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• Yonny Amaya

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10B. DERIVADAS PARCIALES 10B.1 Derivada parcial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable) Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: : Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x(con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada. 10B.2 Diferencial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales". Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función: hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

, ya que

Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2. Para la función

las derivadas en el punto P(1, 2) son:

y la diferencial en ese punto:

10B.3 Derivadas parciales de segundo orden. Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.) Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

Se trata de derivar respecto de x la derivada Se trata de derivar respecto a x la derivada Se trata de derivar respecto a y la derivada Se trata de derivar respecto a y la derivada

. . . .

Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.