• Author / Uploaded
• luis

Citation preview

DERIVADAS PARCIALES 10B.1 Derivada parcial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable) Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:

:

Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la xconstante). Así tenemos:

Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada. 10B.2 Diferencial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales". Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función: hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

, ya que

Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2. Para la función

las derivadas en el punto P(1, 2) son:

y la diferencial en ese punto:

10B.3 Derivadas parciales de segundo orden. Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.) Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

Se trata de derivar respecto de x la derivada Se trata de derivar respecto a x la derivada Se trata de derivar respecto a y la derivada Se trata de derivar respecto a y la derivada

. . . .

Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.

10B.4 Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas. Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto axy sea continua en este punto, para que tengamos:

es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola". En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas. A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como una matriz 2 2

:

En este caso los elementos que se encuentren en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices son simétricas. Para el caso de una función de tres variables w = f(x, y, z), el número de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podríamos expresar así:

coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la diagonal principal). 10B.5 Diferencial segunda de una función z = f(x,y). Sea z = f(x,y) una función de dos variables. Entonces la diferencial segunda de z, d2z, es la diferencial de la diferencial, esto es, d(dz), la cual se puede expresar así:

que teniendo en cuenta la igualdad (en general) de las derivadas mixtas, puede expresarse:

En nuestro ejemplo tendríamos:

* Podemos hallar la diferencial de z = f(x,y) en un punto específico, digámos P(a,b), sin más que sustituir las x por a, y las y por b. Hallemos, para la función z de nuestro ejemplo, la diferencial de z en el punto P(1,2):

10B. 6 Extremos de una función z = f(x,y) (método de la diferencial segunda). Sea una función z = f(x, y), sea un punto Po(a,b) que es un extremo local de la función (en la imagen un "mínimo local"), entonces:

Si para los puntos P(x,y) de un entorno de Po se tiene:

f(x,y) – f(a,b) < 0 , el punto es máximo f(x,y) – f(a,b) > 0 , el punto es mínimo.

* Condiciones necesarias: Fijándonos en el gráfico adjunto, es fácil observar que para que Po sea extremo también lo ha de ser para las secciones transversales a los ejes X e Y, (imaginad que en la superficie de la gráfica adjunta realizamos cortes de cuchillo transversales a los ejes X e Y), entonces se debe cumplir:

{1}

Si ahora expresamos los dos primeros términos del desarrollo de Taylor de f(x,y) en un entorno del punto Po(a,b), y teniendo en cuenta que las dos derivadas primeras se anulan en este punto, tenemos:

siendo h = x – a, k = y – b, por otra parte las derivadas segundas de f(x,y) se expresan en un punto intermedio , pero como el tipo de funciones que utilizamos son tales que sus derivadas segundas no varían mucho de un punto a otro próximo podemos cambiar este punto por el punto vecino Po(a,b). Entonces se tiene:

Además si consideramos a h = (x-a) ser una cantidad muy pequeña, lo podemos sustituir por dx, de la misma manera podemos sustituir k = (y-b) por dy. Entonces:

que teniendo en cuenta la expresión de la diferencial segunda de f, podemos asegurar que lo que hay dentro del corchete es la diferencial de la función z = f(x,y). Entonces el signo de f(x,y) – f(a,b) es el mismo que el de d2z en el punto Po(a, b).

Ahora bien, la expresión de la diferencial de la función z = f(x,y) en el punto Po(a,b):

corresponde con lo que en Álgebra se llama forma cuadrática, cuyo comportamiento es el siguiente:

Por lo tanto, podremos hacer el estudio de máximos y mínimos locales de la forma:

Ejemplo. Hallemos los extremos locales (máximos y mínimos) de la función de dos variables: z = f(x, y) = 2 x3 + 2 y3 – x2 – y2 – 2 xy Para ello, en primer lugar determinamos aquellos puntos que cumplen la doble condición necesaria para ser extremo local {1} :

o lo que es lo mismo:

Se resuelve este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y su solución nos indica los dos puntos posibles de ser extremos locales:

Ahora para determinar si estos puntos son máximos o mínimos, primeramente hallamos las derivadas segundas de la función:

ahora expresamos d2z para cada punto de arriba. I) Para el punto (0,0):

Por lo que la función z=f(x,y) presenta en el punto (0,0) un casi-maximo. Téngase en cuenta que dx puede ser igual a -dy, y por tanto d2z puede hacerse 0. II) Para el punto (2/3, 2/3):

Por lo tanto la función z=f(x,y) presenta en el punto (2/3, 2/3) presenta un mínimo cuyo valor es z=-(16/27).

10B.7 Estudio de máximos y mínimos mediante el Hessiano. Otra forma, algo menos efectiva, de estudiar los máximos y mínimos locales de una función de n variables, es la utilización del Hessiano. Sea una función de n variables, función al determinante:

, se llama Hessiano de esta

O más concretamente se habla del "Hessiano de la función f en el punto ":

en el que cada derivada segunda de f está realizada en el punto P. A partir de este determinante hessiano se elimina la ultima fila y la ultima columna, con lo que se obtiene el "hessiano reducido", 1 . Entonces, de forma general, la manera de operar es la siguiente: A) En primer lugar, hallamos los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo (sus derivadas primeras son todas nulas), resolviendo el sistema:

B) Para cada uno de estos puntos P que cumplen la condición necesaria hallamos el hessiano y el hessiano reducido, . Entonces, lo que puede decirse de P está expresado en la siguiente tabla:

en el caso de que alguno de estos hessianos sea nulo ese punto queda indeterminado y habría que utilizar el método de la diferencial visto en la cuestión anterior. Para el caso de una función de dos variables z = f(x,y), estos hessianos se reducen a los siguientes:

Para el ejemplo anterior de la función z = f(x, y) = 2 x3 + 2 y3 – x2 – y2 – 2 xy , podemos operar así: Primeramente hallaríamos los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo, de la misma manera que se ha visto antes. Estos dos puntos son: .Ya

continuación hacemos el estudio de los hessianos para cada uno de estos dos puntos. a) Para el punto (2/3, 2/3):

Se trata del caso 1-b) de la tabla de arriba, lo cual nos indica que en este punto la función tiene un mínimo local. b) Para el punto (0,0):

que se trata de un caso indeterminado, por lo que no podemos asegurar nada respecto del punto (0,0) mediante este método.

10B.8 Derivación de una función compuesta. Sea una función de n variables, z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras m variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... . Es decir, tengamos:

De una manera simbólica expresaremos esta dependencia lineal entre las variables así:

En ultima instancia la función z depende de las x, y,... . Vamos a expresar las derivadas de la función z con respecto a esas variables, que siguen la misma pauta multiplicativa de las funciones de una variable:

Para establecer estas derivadas nosotros debemos guiarnos por el esquema de la dependencia lineal. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Sea la función variables x, y de la forma:

, donde a su vez, u, v son funciones de las

Vamos a hallar las derivadas parciales de z con respecto a x, y con respecto a y. Para ello fijémonos, primeramente, en la dependencia lineal de la función z:

De aquí que podamos expresar las derivadas parciales de z como:

Ahora hacemos directamente cada una de las derivadas de ambos miembros de la derecha, y obtenemos:

Ejemplo 2: Sea la función z(u, v) = u2 + v2, siendo u, v tales que:

y a su vez, siendo t, p tales que: de z respecto de x, y.

. Hallemos las derivadas

Bien, en consonancia con el enunciado, la dependencia de la función z con respecto a las variables ultimas x,y es la siguiente:

En el fondo tenemos la función z como dependiente de las variables x, y. Por tanto, las dos derivadas primeras se expresarán:

10B. 9 Derivadas de una función compuesta (ordenes superiores). Sea una función de varias variables z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... , según una cierta dependencia lineal. Vamos a ver ahora cómo establecer las derivadas segundas, terceras, etc. Para ello debe tenerse en cuenta el siguiente lema: "Las derivadas de una función tienen la misma dependencia lineal que la función. Esto significa que el esquema que utilizamos para una cierta función z=f(u, v, ...) es valido para cada derivada, de cualquier orden". Aclarémoslo mediante un ejemplo. Sea la función z = 5 x2 y – y2 , donde las variables x, y se encuentran expresadas como dependientes de las coordenadas polares:

Vamos a hallar las derivadas segundas de z con respecto a las variables . La dependencia lineal de la función z con respecto a estas dos variables es:

Entonces, las derivadas primeras de z son:

Para hallar las derivadas segundas de z hay que derivar estas derivadas primeras, para ello debemos: (1) dejarlas solamente con las variables x, y; (2) considerar el lema anterior. (1). De las relaciones entre las variables (x, y) y las (,) fácilmente se deduce:

que sustituyendo en las derivadas nos queda:

(2). Con las derivadas así expresadas, ya podemos comprender que estas son funciones de (x,y) que a su vez siguen siendo funciones de (,), es decir, la dependencia de cada una de ellas es la misma que la de z (tal como dice el lema):

Y siguiendo estos esquemas tendremos para las derivadas segundas:

Ahora sustituimos en los miembros de la derecha, dentro de los paréntesis, las expresiones correspondientes de la derivada primera. Por ejemplo, vamos a hacer la última de ellas:

y ahora derivamos estos paréntesis y también sustituimos el valor de las derivadas con respecto de .

es decir,

10B.10 Cambio de variables en expresiones diferenciables. Caso I. Una función de una variable. Supongamos que tenemos una expresión matemática E (normalmente supondremos una ecuación diferencial) en la forma:

Hagamos ahora un cambio de variable, en la forma x = x(t), con el propósito de transformar la ecuación de arriba, mediante la nueva variable t. No sólo debemos cambiar la variable x de la ecuación, mediante x(t), sino que debemos cambiar las derivadas dy/dx, d2y/dx2, ..., que deberán ser transformadas en dy/dt, d2y/dt2, ... Al final la expresión matemática de arriba quedará en la forma:

En este caso la dependencia lineal de la función y(t) es:

por tanto la derivada de y respecto de x se expresará:

donde se ha tenido en cuenta la siguiente propiedad:

Una vez obtenida la primera derivada, obtendremos la derivada segunda sin más que derivar la primera. Es decir:

Ahora sustituiríamos dentro del paréntesis del miembro de la derecha el valor obtenido para dy/dx y derivaríamos directamente. Veámoslo mediante un ejemplo: Ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial:

Veamos cómo queda transformada esta ecuación cuando realizamos el cambio de coordenada: x = Ln t Solución: Nosotros aquí podemos despejar fácilmente [1] la variable t: t = ex , y ahora considerar la dependencia lineal:

entonces podemos expresar la primera derivada de y:

En cuanto a la segunda derivada quedaría sin más:

y ahora téngase en cuenta que en el paréntesis hay un producto, cuya derivada es:

por lo tanto:

Sustituimos estas derivadas en la ecuación y nos queda:

finalmente simplificamos y obtenemos la ecuación ya transformada.

No hay gran inconveniente en el caso de que t no pueda ser despejada como t(x) pues en este caso haríamos dx/dt y tendríamos en cuenta la propiedad ya citada: [Nota 1]

En nuestro ejemplo, supongamos que de x = Ln t no pudieramos despejar t :

Entonces haríamos: y como dx/dt = 1/t nos quedaría dx/dt = t dy/dx, o sea, lo mismo que ántes. Caso II. Una función de dos variables: Supongamos que tenemos una expresión matemática E (normalmente supondremos una ecuación diferencial) en la forma:

Si ahora hacemos un cambio de variables, pasando de las variables x, y a las u, v, en la forma:

se trata de transformar esta expresión matemática (o ecuación diferencial) E que tenemos. Entonces nos encontramos con la dependencia lineal [2]:

Siempre que sea posible despejar u, v en la forma u(x,y), v(x,y), aunque tampoco es gran problema la imposibilidad de despejarlas. [Nota 2]:

De aquí que las derivadas primeras puedan ser expresadas:

de donde podemos realizar de manera sencilla las cuatro derivadas:

Y por tanto, ya tendríamos unas expresiones para las derivadas primeras, a continuación las derivadas segundas se obtendrían derivando adecuadamente estas derivadas primeras, tal como vamos a ver en el ejemplo siguiente: Ejemplo: Sea la ecuación diferencial:

Obtengamos la ecuación diferencial transformada según el cambio de coordenadas:

Respuesta: Ya nos han dado u(x,y), v(x,y), evitándonos la tarea de tener que despejar u,v. Ahora si consideramos a z como función de estas nuevas variables u, v, podemos expresar la dependencia lineal en la forma:

y teniendo en cuenta que:

y teniendo presente que x-y = ev podemos expresar:

Ahora obtenemos las derivadas segundas derivando estas primeras, teniendo en cuenta que :

o sea, para la derivada con respecto a "x dos veces":

y para la derivada con respecto a "y dos veces":

finalmente, las sustituimos en la ecuación, y simplificamos: