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1 DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas mediante

siempre y cuando existan los límites. Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y. Ejemplo 3.1 Calcular fx y fy para la función Solución Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes: Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

Ejemplo 3.2

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2 DERIVADAS PARCIALES Para la función (1, ln2)

encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto

Solución Como es

Como es

la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2)

la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2)

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

figura 3.1 representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c). De forma similar,

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3 DERIVADAS PARCIALES representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.

figura 3.2 Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente. Ejemplo 3.3

Encontrar la pendiente de la superficie dada por (1/2,1,2) en las direcciones x e y.

en el punto

Solución En la dirección x, la pendiente viene dada por (ver figura 3.3)

En la dirección y, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.4)

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.

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4 DERIVADAS PARCIALES

figura 3.3

figura 3.4

Derivadas parciales de orden superior Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y). 1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

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Orden de derecha a izquierda indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial (fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f. Ejemplo 3.4 Encontrar las derivadas parciales segundas de valor de fxy(-1,2)

y calcular el

Solución Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28 Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo 3.5 Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

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6 DERIVADAS PARCIALES Solución Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

Diferenciales En este capítulo generalizamos los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos o más variables. Para una función de dos variables, dada por z=f(x,y), usamos una terminología similar a las de las funciones de una variable. Llamamos

y

a los incrementos de x y de y, y el incremento de z viene dado

por

Las diferenciales dx, dy y dz se definen como sigue.

Definición 4.1 Si z=f(x,y) y , son incrementos de x y de y, entonces las diferenciales de las variables independientes x e y son dx=

y dy=

y la diferencial total de la variable dependientee z es

Ejemplo 4.1 La diferencial total dz para la función

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es

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7 DERIVADAS PARCIALES En el cálculo de una variable se tiene que para una función diferenciable dada por y=f(x), podemos usar la diferencial dy=f´(x) dx como una aproximación (para pequeños) al valor . Cuando es posible una aproximación similar para una función de dos variables, decimos que es diferenciable. A continuación se anuncia esto explícitamente en la definición 4.2.

Diferenciabilidad Una función f dada por z=f(x,y) es diferenciable en (x,y) si puede expresarse en la forma

donde ambos cuando . Se dice que la función f es diferenciable en la región R si es diferenciable en todo punto de R. Ejemplo 4.2 Probar que la función

es diferenciable en todos los puntos del plano.

Solución Haciendo z=f(x,y), el incremento de z en un punto arbitrario (x,y) del plano es

donde . Como diferenciable en todo punto del plano.

cuando

, entonces f es

Observar que el término diferenciable se usa de forma distinta al aplicarlo a funciones de dos variables y a funciones de una variable. Una función de una variable es diferenciable en un punto si su derivada en ese punto existe. Sin embargo, para una función de dos variables la existencia de las derivadas parciales fx y fy no garantiza que la función sea diferenciable. (ver Ejemplo 4.5). En el teorema siguiente, presentamos una condición suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

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Aproximación por diferenciales Si f es una función de x e y, con f, fx y fy continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. Este teorema nos dice que podemos elegir (x+

,y+

) suficientemente próximos a

(x,y) para hacer insignificantes. En otras palabras, para pequeños podemos usar la aproximación

y

Recordemos que las derivadas parciales pueden interpretarse como las pendientes de la superficie en las direcciones x e y, respectivameente. Esto significa que

representa la variación en altura de un plano tangente a la superficie en el punto (x,y,f(x,y)). Puesto que un plano del espacio se representa por una ecuación lineal en las variables x, y ,z, llamamos a esta aproximación de

por dz aproximación

lineal. Ejemplo 4.3

Usar la diferencial dz para aproximar la variación en cuando (x,y) va desde el punto (1,1) a (1.01,0.97). Comparar esta aproximación con la variación exacta de z. Solución Haciendo (x,y)=(1,1) y (x+

,y+ dx=

)=(1.01,0.97) tenemos que =0.01 y dy=

=-0.03

luego la variación en z puede aproximarse por

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9 DERIVADAS PARCIALES En x=1 e y=1, resulta

Ahora calculamos la variación exacta

(observe que la diferencia es mínima)

Esta teoría se extiende la funciones de tres variables como se ve en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.4 El posible error involucrado al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es de 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x=50 centímetros, y=20 centímetros y z=15 centímetros. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error realativo en el volumen calculado de la caja. Solución El volumen de la caja viene dado por V=xyz, luego

Como 0.1 milímetros es igual a 0.01 centímetros, tenemos que dx=dy=dz= el error propagado es

0.01 y

Puesto que el volumen es V=(50)(20)(15)=15000 centímetros cúbicos, el error relativo es

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10 DERIVADAS PARCIALES Al igual que ocurre con las funciones de una variable, si una función de dos variables es diferenciable en algún punto de su dominio, entonces tanbién es continua en dicho punto. Este es el contenido del siguiente teorema:

Teorema 4.2 Si una función de x e y es diferenciable en (x0,y0), entonces es continua en (x0,y0). Ya hemos señalado que la existencia de las derivadas parciales primeras no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad. En el ejemplo siguiente usamos el teorema 4.2 para mostrar su validez. Ejemplo 4.5 Mostrar que existen ambas fx(0,0) y fy(0,0), pero que f no es diferenciable en (0,0), estando f definida como

Solución Por el teorema 4.2 podemos ver que f no es diferenciable en (0,0) si no es continua en dicho punto. Para ver que f no es continua en (0,0), nos fijamos en los valores de (x,y) cerca de (0,0), pero según dos direcciones diferentes, como se indica en la figura 4.1. Por la recta y=x, el límite es

mientras que pot y=-x tenemos que

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figura 4.1 Luego el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0) no exisite, y concluimos que f no es continua en (0,0). Por tanto, por el teorema 4.2 sabemos que f no es diferenciable en (0,0). Por otro lado, por la definición de las derivadas parciales fx y fy tenemos

luego las derivadas parciales en (0,0) existen.

Regla de la Cadena El trabajo con diferenciales nos proporciona la base para la extensión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. en esta extensión, consideramos dos casos. En el primero interviene w como función de x e y, donde x e y son funciones de una única variable independiente t.

Teorema Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(t) e y=h(t), siendo g y h funciones de t, entonces w es una función derivable de t, y

Ejemplo 4.6 Sean

, donde

. Encontrar dw/dt cuando t=0.

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12 DERIVADAS PARCIALES Solución Por la regla de la cadena para una variable independiente tenemos

Cuando t=0, x=0 e y=1, entonces dw/dt=0-2=-2. La regla de la cadena presentada en esta sección nos proporciona técnicas alternativas de solución para muchos problemas del cálculo con una sola variable. Así en el ejemplo 4.6, podríamos haber utilizado técnicas de una sola variable para hallar dw/dt escribiendo en primer lugar w como función de t,

y a continuación derivando en forma usual. La regla de la cadena en el teorema 4.3 puede extenderse a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si cada xi es función derivable de una sola variable t, entonces para w=f(x1,x2, ..., xn) tenemos

Otro tipo de función compuesta es aquel en que las variables intermedias son ellas mismas funciones de más de una variable. Por ejemplo, si w=f(x,y) donde x=g(s,t) e y=h(s,t) entonces se sigue que w es función de s y de t, y podemos considerar las derivadas parciales de w con respecto a s y a t. Una forma de encontrar estas derivadas parciales consiste en escribir w como función de s y de t explícitamente mediante la sustitución de las ecuaciones x=g(s,t) e y=h(s,t) en la ecuación w=f(x,y). Entonces, es posible hallar las derivadas parciales en la forma usual, como se muestra en el ejemplo siguiente

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13 DERIVADAS PARCIALES Ejemplo 4.7

Hallar

para w=2xy, donde

Solución

Comenzamos sustituyendo

Entonces, para encontrar

De forma similar, para hallar

en la ecuación w=2xy para obtener

mantenemos t constante y derivamos con respecto a s:

mantenemos s constante y derivamos con respecto

a t para obtener

Derivadas direccionales y gradiente Supongamos que estamos en la ladera de la colina dibujada en la figura 5.1 y quisieramos determinar la inclinación de la colina en la dirección al eje z. Si la colina estuviese representada por z=f(x,y), entonces ya sabríamos cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes -la pendiente en la dirección y vendría dada por la derivada parcial fy(x,y) y la pendiente en la dirección x vendría dada por la derivada parcial fx(x,y)-. En este capítulo vamos a ver que se pueden usar estas dos derivadas parciales para encontrar la pendiente en una dirección arbitaria.

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14 DERIVADAS PARCIALES

figura 5.1 Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Comenzamos haciendo que z=f(x,y) sea una superficie y P(x0,y0) un punto del dominio de f, como se muestra en la figura 5.2. Especificamos una dirección mediante un vector unitario , donde  es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Ahora, para hallar la pendiente deseada, reducimos el problema a dos dimensiones mediante la intersección de la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo al vector u, como se ve en la figura 5.3. Este plano vertical corta a la superficie para formar una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en (x 0,y0,f(x0,y0)) como la pendiente de la curva C en ese punto.

figura 5.2

figura 5.3

Podemos escribir la pendiente de la curva C como un límite muy parecido a aquellos que se usan en el cálculo de una variable. El plano vertical empleado para formar C corta al plano xy en una recta L que se representa por las ecuaciones paramétricas

Luego para cualquier valor de t, el punto Q(x,y) pertenece a la recta L. Para cada uno de los puntos P y Q, existe el punto correspondiente sobre la superficie (x0,y0,f(x0,y0)) Punto sobre P (x,y,f(x,y)) Punto sobre Q

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15 DERIVADAS PARCIALES Además, puesto que la distancia entre P y Q es

podemos escribir la pendiente de la recta secante que pasa por (x 0,y0,f(x0,y0)) y (x,y,f(x,y)) como

Finalmente, haciendo qdue t tienda a cero, llegamos a la definición 5.1

Derivada direccional Sea f una función de dos variables x e y, y sea un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u se denota por Duf, y es

El cálculo de la derivada direccional mediante esta definición es comparable al de encontrar la derivada de una función de una variable. Una fórmula de trabajo más simple para obtener derivadas direccionales recurre a las derivadas parciales fx y fy.

Teorema Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario

es

Observar que hay infinitas derivadas direccionales en un punto dado de una superficie -una para cada una de las direcciones especificadas por el vector u, como se muestra en la figura 5.4-. Dos de ellas resultan ser las derivadas parciales fx y fy.

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figura 5.4 El vector u especifica una dirección en el plano xy

1) En la dirección positiva del eje x (=0):

2) En la dirección positiva del eje y (

=

):

Ejemplo 5.1

Calcular la derivada direccional de

en (1,2) en la dirección de

Solución

Evaluando en

, x=1 e y=2, tenemos

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Ejemplo 5.2

Calcular la derivada direccional de

en (1,

) en la dirección de

v=3i-4j Solución Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v:

Usando este vector unitario, tenemos

Gradiente La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario

y el vector

Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f.

Definición 5.2

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18 DERIVADAS PARCIALES Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante vector

, es el

Otra notación para el gradiente es grad f(x,y) Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u como

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema.

Teorema Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es

Ejemplo 5.3 Calcular la derivada direccional de desde P(-1,3) a Q(1,-2)

en (-1,3) en la dirección que va

Solución Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

Como

, el gradiente (-1,3) es

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En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema 5.3.

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