CAPÍTULO 9 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 9.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (Área 2) Al derivar una función cualquiera y =
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CAPÍTULO 9
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
9.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (Área 2)
Al derivar una función cualquiera y = f ( x ) se genera otra función y' = g ( x ) , como
.c
om
por ejemplo en el caso de que y = x2, al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se llama la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presente curso ha estado encaminado a obtener la primera derivada.
at
em
at
ic
a1
Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función llamada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a derivar, se obtiene la tercera derivada, y así sucesivamente. Es decir, la segunda derivada resulta de derivar la primera derivada, que en simbología matemática puede escribirse como
ww w.
M
d ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
Para abreviar la simbología anterior, la segunda derivada se escribe como
137
Derivadas de orden superior
d ⎛ dy ⎞ d 2 y ⎜ ⎟= dx ⎝ dx ⎠ dx 2 La segunda derivada es la derivada de la derivada, no la derivada por la derivada. Son
dy = 3 x 2 . En la sidx
cosas diferentes. Por ejemplo, si y = x 3 , entonces la primera derivada es
guiente tabla se muestra la diferencia entre lo que resulta de la derivada de la derivada y de la derivada por la derivada:
m
d 3x 2 = 6 x dx
ic a1
.c o
Derivada de la derivada:
( 3x )( 3x ) = 9 x 2
2
4
em
at
Derivada por derivada:
w.
M
at
Todo lo antes dicho es aplicable para la tercera derivada, la cuarta derivada, etc.
ww
Ejemplo 1: Obtener la segunda derivada de la función y = 5 x 2 − 7 x + 13 .
Solución:
La primera derivada es
dy = 10 x − 7 dx
La segunda derivada se obtiene derivando la primera derivada, es decir
d ⎛ dy ⎞ d 2 y d = (10 x − 7 ) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ dx ⎠ dx dx
138
Derivadas de orden superior
d2y = 10 dx 2
Ejemplo 2: Calcular la tercera derivada de la función y = sen 6 x .
(Primera derivada)
d2y = − 36 sen 6 x dx 2
(Segunda derivada)
.c o
(Tercera derivada)
m at
ic
d3y = − 216 cos 6 x dx 3
m
dy = 6 cos 6 x dx
a1
Solución:
M
Para la primera derivada debe emplearse la fórmula (7) del producto uv , vista en la página 77:
ww w.
Solución:
at e
Ejemplo 3: Investigar cuál es la segunda derivada de la función y = e 2 x cos 6 x .
dy 2x = eN − 6 sen 6 x ) + cos 6 x ( 2e 2 x ) (
dx
u
dv dx
+
v
dy = − 6 e 2 x sen 6 x + 2 e 2 x cos 6 x dx
139
du dx
(Primera derivada)
Derivadas de orden superior
Para calcular la segunda derivada nuevamente debe utilizarse la misma fórmula del producto uv para cada término:
d2y = − 6e 2 x [ 6 cos 6 x ] + sen 6 x ⎡⎣ − 12e 2 x ⎤⎦ + 2e 2 x [ − 6 sen 6 x ] + cos 6 x ⎡⎣ 4e2 x ⎤⎦ 2
dx derivada del 1er producto
derivada del 2º producto
d2y = − 36e 2 x cos 6 x − 12e 2 x sen 6 x − 12e 2 x sen 6 x + 4e 2 x cos 6 x 2 dx
at
(Área 2)
M
EJERCICIO 15
em
at
ic a
1.c
om
d2y = − 32e 2 x cos 6 x − 24e 2 x sen 6 x 2 dx
ww
w.
Calcular la segunda derivada de las siguientes funciones: 1)
y = 4 x 6 + 11x 5 − 7 x 3 − x + 9
2)
3)
y = 4 x3 + 3x 2 − 2 x − 1
4) y = ( 5 x − 8 )
5)
y = cos 8 x
6) y = tan 2 x
7)
y = ln x 2
8)
9)
y=
10)
3 x + 13
140
y = 7x − 8
y=
7
3 x −5 2
y=
5
x2 − 1