Guia Derivadas Parciales de Orden Superior

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. 1 DANIEL SAENZ

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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

1

DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL [email protected]

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Si f( x , y ) es una función de dos variables, al derivar la función parcialmente con respecto a una de las variables x o y , se obtiene otra función de estas dos variables, la cual se puede derivar parcialmente con respecto a x o y, con lo que se las derivadas parciales segundas de

f. siguiendo el mismo proceso se pueden obtener las terceras derivadas, y así sucesivamente.

Ahora, si f( x , y ) es una función de las variables x , y, entonces:

f x;

fy

, representan las primeras derivadas parciales. A partir de ellas se pueden

obtener las cuatro segundas derivadas parciales, las cuales se obtienen al derivar parcialmente

f x;

fy

con respecto a la variable x y luego con respecto a la variable y.

siendo estas segundas derivadas las siguientes:

f xx;

f yx

f xy;

f yy

Cuantas son las terceras derivadas parciales?

f xx

2 f   f   2    x  x  x

lo cual nos indica que la funciones a la función se le debe

encontrar la segunda derivada parcial con respecto a la variable x.

2 f   f  f xy     yx y  x 

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la

derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con respecto a la variable y.

2 f   f  f yx     xy x  y 

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la

derivada parcial con respecto a la variable y y luego derivarla parcialmente con respecto a la variable x.

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2

f xxy

3 f   2 f    yx 2 y  x 2

  

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar

la segunda derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con respecto a la variable y. En el siguiente esquema se ilustra las tres primeras derivadas parciales de una función de dos variables.

F(x,y)

Fx

Fy

Fxx

Fxxx

Fxy

Fxxy

Fxyx

Fyx

Fxyy

Fyxx

Fyy

Fyxy

Fyyx

f ( x, y )  5 x 3 y 2  x 2 Seny 2

EJEMPLO: DADA LA FUNCION

Fyyy

encontrar:

a) las primeras derivadas parciales.

f y  10 x 3 y  2 yx 2Cosy 2

f x  15 x 2 y 2  2 xSeny 2 b) Las segundas derivadas parciales:

f xx  30 xy 2  2 Seny 2

f xy  30 x 2 y  4 yxCosy 2

f yx  30 x 2 y  4 xyCosy 2 f yy  10 x3  2 x 2Cosy 2  4 y 2 x 2 Seny 2

TEOREMA DE LA DERIVADA MIXTAS O CRUZADAS.

f ;f ;f ;f

x y xy yx están definidas en toda una Si f( x , y ) y sus derivadas parciales región abierta que contenga a un punto ( a , b ) y son todas continuas en ( a , b ) , entonces

f xy a, b   f yx a, b  .

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3

ACTIVIDAD. 2

2

1. El plano x = 1 interseca el paraboloide z = x + y en una parábola. Encuentre la pendiente de la tangente a la parábola en ( 1 , 2 , 5 ). 2

2

2

2. Encuentre la pendiente a la curva de intersección de la superficie x + y + z = 9 con el plano y = 2 en el punto ( 1 , 2 , 2 ).

3. La temperatura en cualquier punto ( x , y ) de una placa es T y T = 54 – 2/3 x2 – 4y2 . si la distancia se mide en pies, encuentre la rapidez de cambio de la temperatura con respecto a la distancia recorrida a lo largo de los ejes x , y en el punto ( 3 , 1 ).

4. Determinar

A)

f x ; f y ; f xx ; f yy ; f xy ; f yx

y 2  x2 f ( x, y )  xy

f ( x, y )  5 x 3 y 4  x3 Seny 2

E)

f ( x, y )  4 x  y 2





f ( x, y )  5 x 3 y 2  Sen x 2 y 2

B)

C)



para las siguientes funciones.

f ( x, y )  3 3 x 2  y 2

D)

4



f ( x, y )  2 x 3 y 2  y 2 Senx 2

F)

5. Comprobar el teorema de las derivadas cruzadas para las siguientes funciones:

A)

f ( x, y )  2 x 3 y 2  x 3 y 5

C)

f ( x, y )  x 3  y 2





B)

2

D)

f ( x, y )  3e 2 xCosy f ( x, y )  5 x 3Cosy 2  y 2 Senx 2

6. Si se dijera que existe una función f( x , y ) que tiene como primeras derivadas parciales las funciones

fx  x  4

y

f y  3 x  y ¿usted lo creería?

7. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial

2 f 2 f  0 x 2 y 2 se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaciones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico. Compruebe que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace.

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4

A)

f ( x, y )  e 2 yCos 2 x

C)

f ( x, y )  e x Seny

B)

f ( x, y )  Ln x 2  y 2

D)

f ( x, y ) 

1 y e  e  y Senx 2





DIFERENCIALES.

DEFINICION: Sea z = f ( x , y )

una función de dos variables, si

x ,

y son los

incrementos de x y de y, el incremento de z es: z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y ) Ejemplo: Si z = xy – 3 , encuentre el incremento de z para incrementos de x y de y . Sean x , y son los incrementos de x y de y, luego el incremento de z es:

z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y ) z = ( x + x )( y + y ) – 3 – ( xy – 3 ) z = xy + x y + yx + x y – 3 - xy + 3 z = x y + yx + x y DEFINICION: Si z = f( x , y ) y

x , y son los incrementos de x y de y, entonces las

diferenciales de las variables x e y son : dx = x , dy = define como:

dz 

z z dx  dy x y

o

y y la diferencial total de z se

dz  f x  x, y dx  f y  x, y dy .

3 3

Ejemplo: si z = x y + 5xy – 3x +2 , encuentre la diferencial total: La diferencial total se define como:

dz  f x  x, y dx  f y  x, y dy

, luego

dz  f x  x, y dx  f y  x, y dy









dz  3 x 2 y 3  5 y  3 dx  3x 3 y 2  5 x dy

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5 ACTIVIDAD 1. Encuentre la diferencial total de las siguientes funciones:

z  e x Sen( y 3 )

z  3x 2 y 3

w  2 z 3 y 3 Senx

z  xCosy  ySenx

w  x 2 yz 2  sen( xy )

2. Evaluar f(1,2) y f( 1.05 , 2.1) para calcular z , luego aplicar la diferencial total para aproximar z.

f ( x, y )  9  x 2  y 2

f ( x, y )  2 x  3 y

f ( x, y )  x 2  y 2

f ( x, y )  x 2 y 3

3. Las dimensiones de una caja rectangular están creciendo a los ritmos siguientes: la longitud 3 pies/min. La anchura 2 pies/min y la altura a ½ pies/min. Hallar las razones de cambio del volumen y del área de la superficie de esa caja cuando la longitud, la anchura y la altura son 10, 6 y 4 pies. 4. El radio de un cilindro circular recto esta creciendo a razón de 6 cm/min , mientras que la altura decrece a razón de 4 cm/ min. Cual es la razón de cambio del volumen cuando el radio es 12 cm y la altura de 36. 5. La gravedad especifica de un objeto esta dado por la formula s 

A , donde A es el A W

numero de libras de peso del objeto en el aire y W es el numero de libras de peso del objeto en el agua. Si el peso del objeto en el aire es de 20 libras con un posible error del 0,01 libras y el peso en el agua es 12 libras con un posible error del 0,02 libras. Encontrar el máximo error posible al calcular S a parir de las medidas. 6. Dos objetos viajan siguiendo trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones parametricas:

x1  4Cost

y1  2 Sent

;

y2  3Cos 2t

x2  2Sen 2t

, a que ritmo varia la distancia entre los dos objetos cuando

t 

.

DEFINICION: Una función f dada por z = f( x , y ) es diferenciable en el punto ( x0 , y0 ) si

fx ( x0 , y0 ) y fy ( x0 , y0 ) existen y z se puede expresar en la forma z = fx ( x0 , y0 ) x + fy ( x0 , y0 )y + 1 x + 2 y donde ambos 1 y 2 tienden a cero cuando (x , y ) tiendan a ( 0 , 0 ).

Ejemplo: probar que la función z = xy+3x+5y es diferenciable en el punto ( 1 , 2 )

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6

dz  f  x  x, y  y   f  x, y  dz   x  x  y  y   3 x  x   5 y  y   xy  3 x  5 y dz  xy  xy  yx  xy  3x  3x  5 y  5y  xy  3 x  5 y dz  xy  yx  xy  3x  5y dz   y  3x   x  5y  xy

dz  2  3x  1  5y  xy dz  5x  6y  xy Llamado 1 = x y 2 = 0 , se tiene:

dz  f x 1,2 x  f y 1,2y   1y   2 x DEFINICION: La linealización de una función f ( x , y ) en un punto ( x0 , y0 ) donde f es diferenciable es la función:

L( x, y )  f x0 , y0   f x  x0 , y0 x  x0   f y  x0 , y0  y  y0  La aproximación

f  x, y   L ( x, y )

es la aproximación lineal estándar de f en ( x0 , y0 ).

Ejemplo: encuentre la aproximación lineal de

f x, y   x 2  xy  y 2  3

en el

punto ( 2 , 3 ) .

La

linealización

de

una

función

de

dos

variables

define

como:

L( x, y )  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y x0 , y0  y  y0  que

para el

punto indicado es:

L( x, y )  f 2,3  f x 2,3x  2  f y 2,3 y  3 Pero:

f 2,3  2 2  2 * 3  32  3  10 f x 2,3 2 x  y 2, 3  2 * 2  3  1 f y 2,3   x  2 y 2,3   2  2 * 3  4 Con lo cual la linealización nos queda:

L ( x, y )  10  1 x  2   4 y  3 L  x, y   x  4 y  4 EL ERROR EN LA APROXIMACION LINEAL ESTANDAR:

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se

7

Si f tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en todo un conjunto abierto que contenga un rectángulo R con centro en ( x0 , y0 ), y si M es cualquier cota superior para los valores de

f xx;

f xy; , f yy

,

sobre R, entonces el error E( x , y ) en el que se

incurre al reemplazar f(x,y) sobre R por su linealización

L( x, y )  f x0 , y0   f x  x0 , y0 x  x0   f y x0 , y0  y  y0  satisf ace la desigualdad:

E ( x, y ) 

1 M  x  x0  y  y 0 2

EJEMPLO: La linealización de la función punto ( 2 , 3 ) es



2

f x, y   x 2  xy  y 2  3

en el

Lx, y   x  4 y  4 , encuentre una cota superior para el errar en la

f  x, y   L ( x, y )

aproximación

sobre

el

rectángulo

R : x  2  0,1 ; y  3  0,1 . Para encontrar la cota , buscamos las derivadas parciales:

f x  2x  y : f y  x  2 y f xx  2; Con lo que:

f xy  1;

f yy  2

f xx  2  2;

f xy   1  1;

f yy  2  2 ,

ellas es 2, por lo que podemos escoger M = 2 . Con ( x0 , y0 ) = ( 2 , 3 ), sabemos que ,en toda R:

1 2 M  x  x0  y  y 0  2 1 2 E ( 2,3)  2 x  2  y  3  2 E ( x, y ) 

E ( 2,3)  1 x  2  y  3 

2

E ( 2,3)  0,1  0,1

2

E ( 2,3)  0,04

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la mayor de

8 En tanto que el punto ( x , y ) permanezca dentro de la regio R, la aproximación

f  x, y   L ( x , y )

tendrá un error de no mas de 0,04.

REGLA DE LA CADENA: Si w = f ( x , y , z ) es diferenciable y

x , y , z son funciones

diferenciables de t, entonces w es una función diferenciable de t y:

dw f dx f dy f dz    dt x dt y dt z dt Si w = f ( x , y , z ) y

x = g( r , s ) , y = h( r , s ) , z = m( r , s ) son funciones

diferenciables de t, entonces w tiene derivadas parciales respecto a r y s , dadas por las formulas:

w w x w y w z    r x r y r z r w w x w y w z    s x s y s z s DERIVADAS DIRECCIONALES, VECTORES GRADIENTE.

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de

en el punto ( x0 , y0 ) en la

dirección de un vector unitario arbitrario 

u  a, b  .

superficie

Para

esto

consideramos la

con ecuación z = f ( x , y ) (la

gráfica de f ) y sea z0 = f ( x0 , y0 ). Entonces el punto P= ( x0 , y0 , z0 ) está sobre

. El plano

vertical que pasa por el punto

en la



dirección del vector en la curva

u interseca a la superficie

. La pendiente de la recta tangente

a la curva



de cambio de

Z en la dirección de u .

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en el punto

es la tasa

9 Si Q( x , y , z ) es otro punto sobre la curva , y si y Q/ son las proyecciones sobre el plano de los vectores y Q, entonces el vector es paralelo al vector

 / /

, y por consiguiente



P Q  h u  (ha, hb) para algún escalar

. Así pues,

x  x 0  ha;

y  y 0  hb

y la razón de cambio está dada por

f x 0  ha, y 0  hb   f x, y  z z  z 0   h h h y al tomar el límite cunado

obtenemos la tasa de cambio instantánea de

respecto a la distancia) en la dirección de dirección de .

, la cual se llama derivada direccional de

(con en la

CONCEPTO: Sea f: D  R2  R una función escalar y sean P = ( x0 , y0 )  D y un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en P = ( x0 , y0 )en la dirección del vector

, está dada por :

Ejemplo: encuentre la derivada de f(x , y ) = x2 + xy en P( 1 , 2 ) en la dirección del vector unitario

 1   1  u   i   j. 1 2    

La derivada direccional se define como:

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10

f x0  ha, y 0  hb   f  x0 , y 0  h0 h 1 1   f 1  h ,2  h   f 1.2  2 2    Lim h0 h

Du ,P0  Lim

2

1   1  1   h   1  h  2  h   12  1 * 2 1  2   2  2   Lim  h0 h 5h  h2 5  Lim 2  h0 h 2



Si f es una función



diferenciable en x e y, entonces la derivada direccional de f en la

dirección del vector unitario u = Cos i + Sen j es:

Du f  x, y   f x ( x, y )Cos  f y ( x, y ) Sen

Ejemplo: encuentre la derivada direccional de

f x, y   x 2  xy  y 2  3

en la

dirección del vector U = < 3 , 4 >. Las derivadas parciales de la función son:

f x  x, y   2 x  y El

vector

y

unitaria

f y  x, y    x  2 y en

la

dirección

U  3,4   3,4  3 4 u    ,  2 2 U 5 5 5 3 4 3 4 u  i j 5 5 Con lo que la derivada direccional es:

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de

U

es:

11

Du f  x, y   f x ( x, y )Cos  f y ( x, y ) Sen 3 4  2 x  y    x  2 y  5 5 6 3 4 8  x y x y 5 5 5 5 2  x y 5 ACTIVIDAD: 1. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO INDICADO Y EN LA DIRECCION DEL VECTOR DADO.

1 3 f ( x, y )  3 x  4 xy  5 y; P (1,2); v  i  j 2 2 2 2 i j 2 2 f ( x, y, z )  3xy  4 zy  5 xz; P (1,1,1); v  2i  j  k f ( x, y )  x 2  y 2  5 y; P ( 4,3); v 

f ( x, y )  xyz; P (4,1,1); v  i  2 j  k 2. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO P Y EN LA DIRECCION DE Q.

f ( x, y )  x 2  4 y 2 ; P(3,1); Q  (1,1)

 f ( x, y )  Cos( x 2  4 y 2 ); P(0,  ); Q  ( ,0) 2 f ( x, y, z )  Ln( x  y  z ); P (1,0,0); Q  (4,3,1) f ( x, y , z )  xye z ; P(2,4,0); Q  (0,0,0) DEFINICION: El vector gradiente ( gradiente ) de f( x , y ) en un punto P0 ( x0 , y0 ) es el

vector definido como:

f 

f f i j x y

obtenido al evaluar las derivadas parciales de

f en el punto P0.

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12 PROPIEDADES DEL GRADIENTE. Sea f una función diferenciable en el punto ( x , y ). 1. Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es : 2. Si f ( x, y )  0

Du f ( x, y)  f ( x, y )  u

entonces la derivada direccional de f en la dirección de cualquier

vector unitario es igual a cero. 3. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por f ( x, y ) , y el valor máximo de

Du f ( x, y )

es f ( x, y) .

4. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por de

Du f ( x, y )

es

 f ( x, y ) , el valor mínimo

 f ( x, y ) .

DEFINICION DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL:

Sea F diferenciable en el punto P= ( x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0, con

f ( x0 , y0 , z0 )  0 .

1. El plano que pasa por P y es normal a

f ( x0 , y0 , z0 )  0

se conoce como el

plano tangente a la superficie S en P. 2. La recta que pasa por P y tiene la dirección de se conoce como la recta Normal a la superficie S en P.

ECUACION DEL PLANO TANGENTE:

Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) una ecuación del plano tangente a la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) es:

f (x0 , y0 , z0 )  f x (x0 , y0, z0 )(x  x0 )  f y (x0 , y0 , z0 )(y  y0 )  fz (x0 , y0 , z0 )(z  z0 )  0 ECUACION DE LA RECTA NORMAL:

Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) las ecuaciones simétricas de La recta normal a la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) son:

Como la recta tiene la dirección del vector gradiente

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13

 f ( x , y , z )  f x ( x , y , z )i  f y ( x , y , z ) j  f z ( x , y , z ) k ,

se tiene las derivadas

parciales evaluadas en el punto ( x0 , y0 , z0 ) corresponden a los números directores de la recta. Con lo que las ecuaciones buscadas son:

(x  x0 ) ( y  y0 ) (z  z0 )   fx (x0, y0, z0 ) f y (x0, y0, z0 ) fz (x0 , y0, z0 )

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