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• NILDER DIAZ VASQUEZ

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL DOCENTE: Ing. Horacio Urteaga Becerra CURSO: Análisis matemático I ALUMNOS: DÍAZ VÁSQUEZ, Royher QUISPE MALCA, Anderson CICLO: II CAJAMARCA, 22 DE NOVIEMBRE DEL 2019

Índice de contenidos 1.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:......................................................................................3 a)

DERIVADA SEGUNDA:......................................................................................................3

b)

DERIVADA DE ORDEN N...................................................................................................3

c)

FORMULA DE LEIBNIZ......................................................................................................3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.....................................................................................................4 2.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA:....................................................................................................16 a)

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN IMPLÍCITA:............................................................................16

EJERCICIOS DE APLICACIÓN...................................................................................................17 3.

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA:.............................................................................................30 EJERCICIOS DE APLICACIÓN...................................................................................................31

1. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: a) DERIVADA SEGUNDA: Dada la función y=f (x ) continua y derivable, en cierto intervalo I, entonces: lim f ( x +h )−f ( x)

se llama la primera derivada de la función f y también h es función de x. Si derivamos f, obtenemos la segunda derivada de la función f, denotada por f'' y se define como: '

f ( x )= h → 0

lim f ´ ( x+ h )−f ´ ( x )

f ' ' (x)= h →0

h

, siempre que exista el límite.

b) DERIVADA DE ORDEN N La derivada de orden superior se conoce como la segunda, tercera, etc. derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x). A tener en cuenta aquí algunas denotaciones de las derivadas de orden superior:

De todo esto se puede simplificar a la forma: ⅆn y (n) n-1 n F (x) son: n , y , Dxf (x) , D xf(x) ⅆx (n)

c) FORMULA DE LEIBNIZ para calcular la derivada enésima de un producto de dos funciones:

Sean g=g(x) ^ u=u(x) dos funciones derivables hasta el orden n inclusive. Para deducir la fórmula de Leibniz hallaremos primero varias derivadas consecutivas y para así luego establecer la ley general, aplicable para el cálculo de una derivada de cualquier orden. Sean: y=gu, entonces: y ' =g' u+u' y ' ' =g' ' u+ g' u ' + g' u' + g u '' =g' ' u+ 2 g' u' + gu ' ' y ' ' ' =g '' ' u+2 u' ' v' +3 g' u ' ' + g u' ' ' y IV =g IV u+ 4 g' ' ' u’+6g’’u’’+4g’u’’’+gu IV . . . y (n )=g(n) u+ n g(n−1)u’+

n(n−1) (n−2) g u’+…+gu(n) 2!

Para poder recordar y aprender mejor esta fórmula se desarrolla el binomio de Newton y en la serie obtenida se sustituyan los exponentes de gu por los índices del orden de las derivadas; además los exponentes cero ( g( 0)=u (0) )que participan en los términos extremos del desarrollo, se sustituyen por las propias funciones. Esta fórmula se puede demostrar por el método de inducción matemática.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO N° 01: Obtenga la tercera derivada de: y=ln cos 2 x Solución: Paso N°1: Para obtener primera derivada de la función, debemos derivar como un logaritmo natural, aplicando la regla de derivación adecuada, obtendríamos: dy 1 d (cos 2 x) = dx cos 2 x dx Derivando obtendríamos:

dy −2 sen 2 x = dx cos 2 x Paso N°2: Aplicando la identidad trigonométrica para

senb =tg ( b ) cosb

−2 sen 2 x =−2tg(2 x) cos 2 x Paso N°3: Para obtener la segunda derivada de la función, hay que derivar la tangente. Quedando de esta manera: d (tan 2 x) d y2 =−2 =−4 sec ⁡(2 x ) ² 2 dx dx Paso N°4: Para obtener la tercera derivada, debemos derivar a la secante como una potencia, puesto que toda la función esta elevada al cuadrado, a excepción del número (-4) que lo podemos colocar fuera de la derivada. d (sec ( 2 x ))² d y3 =−4 3 dx dx d3 y =−4 ( 2 sec ( 2 x ) [ sec ( 2 x ) tan ( 2 x ) 2 ] ) d x3 Paso N°5: Ordenando y multiplicando quedaría de la siguiente manera:

d3 y 2 =−16 sec ( 2 x ) tan ⁡(2 x) 3 dx

fuente: derive 6

EJEMPLO N°2: f ( x )=asen 3 x +bcos 3 x , hallar los valores de a y b Tal que se cumpla la igualdad: f ' ' ( x ) + 4 f ' ( x )+ 3 f ( x )=10 cos 3 x Solución: Paso N°1 De la premisa inicial podemos hallar su primera y segunda derivada f ( x )=asen 3 x +bcos 3 x ⇒ La primera derivada es: f ' ( x )=3 acos 3 x−3 bsen 3 x La segunda derivada es: f ' ' ( x ) =−9 asen 3 x−9 bcos 3 x Paso N°2 Como ya tenemos la primera y la segunda derivada ahora podemos reemplazar en la segunda premisa: f ' ' ( x ) + 4 f ' ( x )+ 3 f ( x )=10 cos 3 x −9 asen 3 x−9 bcos 3 x+ 4 ( 3 acos 3 x−3 bsenx ) +3 ( asen 3 x +bcos 3 x )=10 cos 3 x Paso N°3

Agrupando y simplificando de manera adecuada nos quedaría asi:

(−6 a−12 b ) sen 3 x + (−6 b+12 a ) cos 3 x=10 cos 3 x Paso N°4 Igualando coeficientes se tiene: −6 a−12 b=0 −6 b+ 12a=0 Paso N°5 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtendríamos: a=2/3 b=

−1 3

Graficas de la primera y la segunda derivada de la función:

Fuente: DERIVE 6

EJERCICIO N°3:

Si f ( x )=ln

mx+ b ( mx−b ) ; Hallar f ( 1) n

Fuente: Ejercicio extraído problema resuelto de análisis matemático I de Moisés Lázaro Solución: Paso N°1 Reformulando nuestro ejercicio obtendríamos:

f ( x )=ln ( mx+b )−ln ⁡(mx−b) Paso N°2 Ahora hallamos la primera derivada de f ( x ) m −m2 ( ) f x= − nx+ b (mx−b)2 '

Paso N°3 Ahora hallamos la segunda derivada de f (x) f '' ( x) =

(−m 2) −m2 − (mx+b)2 (mx−b)2

Paso N°4 Hallamos su tercera derivada de f ( x ) f ' ' ' ( x )=

1∗2 m3 m 3 1∗2 − 3 3 ( mx+b) (mx−b)

Paso N°5 Por ultimo hallamos su cuarta derivada para luego establecer un regla o ley general: f iv=

−m 4∗1∗2∗3∗¿ −m 4∗1∗2∗3 − ¿ 5 5 ( mx+b) (mx−b)

Paso N°6 Definimos como queda nuestro logaritmo: mn (−1 )(n+1 ) ( n−1 ) ! mn (−1 )(n +1) ( n−1 ) ! f ( x )= − (mx+b)n (mx−b)n n

Paso N°7

Ahora remplazamos con lo que nos piden: f n (1)

(mn (−1 )n +1 ( n−1 ) !)( ( m−b )n −( m+ b )n) f (1)= n ( m¿ ¿2−b2 ) ¿ n

EJERCICIO N°4 Hallar f n ( x ) si f ( x )=ln ⁡(x+ a) Fuente: Ejercicio extraído de cálculo de una variable JAMES STEWARD Solución Paso N°1 Hallamos su primera derivada: f ' ( x )=

−1 x+ a

Paso N°2 Hallamos su segundan derivada: f '' ( x) =

1 ( x +a )2

Paso N°3 Hallamos su tercera derivada: f ' ' ' ( x )=

−1∗2 ( x +a)3

Paso N°4 Hallamos su cuarta derivada: f IV x=

−1∗2∗3 4 ( x+ a)

Paso N°5 Ahora ya podemos establecer una regla o ley general:

(−1 )n +1∗(1∗2∗…∗(n−1)) f x= ( x+ a )n n

Por lo tanto, la derivada enésima de f(x) quedaría de la siguiente manera: f n x=

(−1 )n +1∗( n−1 ) ! n ( x +a )

Gráfica: Para graficar hay que tomar a (a) un valor arbitrario como el (2) y derivamos hasta su segunda derivada:

Fuente: DERIVE 6 EJERCICIO N°5 Halla :

dy dy 2 3 3 y , si x=cos t , y =ase n t dx d x 2 Fuente: Ejercicio extraído de cálculo de una variable JAMES STEWARD

Solución: Paso N°1 Hallamos su derivada de cada uno:

dx =−3 acos 2 tsent dt dy =3 ase n 2 tcost dt Paso N°2 Volvemos a derivar las funciones anteriores de forma independiente: dx 2 2 3 =6 acostse n t−3 acos t ❑ 2 dt dy 2 2 3 =6 asentco s t−3 ase n t 2 dt Paso N°4 Ahora aplicamos la fórmula de derivación dy dy dt 3 ase n2 tcost = = dx dx −3 acos2 tsent dy Paso N°5 Simplificando obtendríamos: dy =−tant dx Paso N°6 Ahora hallamos la segunda derivada: dx d 2 y d 2 x dy d 2 y dt d t 2 d t 2 dt = d2 x dy 3 dx

( )

Paso N°7 Reemplazando y simplificando de manera correcta nos quedaría de la forma: d 2 y sec 4 tcsct = 3a d2 x EJERCICIO N° 6 Demostrar que la función y= A

sen (hx ) cos (hx ) +B , satisface a la ecuación diferencial x x

x 2 y ' ' + 2 xy y ' −x 2 y=0 Fuente: Ejercicio extraído de análisis Matemático I Eduardo Espinoza ramos Solución: 1) Cálculo de la primera derivada de y ' (xcoshx −senhx ) y'= A + B(xcoshx −coshx ¿ ¿ x 2)¿ 2 x 2) Asociando y'= A

(xcoshx ) (senhx ) 1 senhx coshx +B − A +B 2 2 x x x x x

(

)

3) Sea: senhx coshx +B x x 4) Entonces (xcoshx ) ( senhx ) y ' y =A −B − 2 x x x2

(

)

y= A

5) Calculando la segunda derivada y ' ' (xcoshx−senhx) (xcoshx−senhx) x y ' − y + B − x2 x2 x2 6) Agrupando (xsenhx) (xcoshx ) 1 senhx coshx x y ' − y '' y =A +B − A +B − x x x x2 x2 x2 1 ' y x y'− y '' y = y− y + − x x x2 ''

y =A

(

(

)

)

7) Remplazando la primera y segunda derivada en la ecuación diferencial x 2 y ' ' + 2 xy y ' −x 2 y=0

( xcoshx ) ( senhx ) y 1 ' y x y'− y y+ − + 2 xy A −B − −x2 y 2 2 2 x x x x x x

( ( )

x 2 y−

) (

)

¿ 0 l .q . q . d EJERCICIO N° 7 Un objeto se mueve a lo largo de una recta graduada en centímetros; de acuerdo a la siguiente ecuación: S=t 3−3t +1 donde S esta en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuál es su aceleración en el tiempo 5 sg? b) ¿Qué distancia ha recorrido hasta t=5sg?

Fuente: Ejercicio extraído del libro de análisis matemático I Moisés Lázaro y Absalón Castillo

Solución Paso N°1: Se trata de un ejercicio aplicado a la física y exclusivamente a la cinemática: a) Su aceleración en el tiempo=5 sg es: s ( t ) =t 3 −3 t+1 s' (t )=v (t )=3 t 2−3 Por lo tanto: s' ' ( t )=v' ( t ) =6 t Ahora simplemente reemplazamos t=5 6∗5=30 cm/sg2 b) La distancia recorrida hasta t=5 sg es: s ( 5 )=53 −3 ( 5 ) +1=112cm Grafica:

Fuente: Geogebra

1

Ejercicio N°8 f ( x )=x 2

Fuente: Ejercicio extraído del libro de análisis matemático I de Armando Venero

Ahora en el grafico hemos hallado hasta su derivada segunda de f ( x ) .

Fuente: Derive 6 Ejercicio N°9

Fuente: Ejercicio extraído del libro de análisis matemático I de Armando Venero

Gráfico: solo se ha obtenido su primera derivada:

Fuente: Derive 6 Analisis matemático 1 de armando venero Ejercicio N°10

2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA:

a) DEFINICIÓN DE FUNCIÓN IMPLÍCITA: Cualquier ecuación de la forma F ( x , y ) =0, se dice que define implícitamente y como función de x: y=f (x ), si F [ x . f ( x ) ] =0 A las funciones y=f (x ) definidas en un intevalo se denominan funciones explícitas; por ejemplo y=f ( x ), a las ecuaciones de las variables x e y denotaremos por: E(x,y)=0 Por ejemplo: E ( x , y )=x 2 + y 2−25=0; esta ecuación como muy bien sabemos nos representa una circunferencia, pero no está en forma explícita, pero 2 x 2+ y 2=25; entonces y=± √ (25−x ), que no es una función definida en forma explícita; se puede obtener dos ecuaciones, cada una definida en forma explícita; por lo tanto, una ecuación de dos variables E (x, y) = 0, de donde se obtiene dos o más funciones en forma explícita se denomina función implícita. En la ecuación E (x, y) = 0 muchas veces no es fácil despejar la variable.

Derivación implícita: Si la ecuación: F ( x , y ) =0 define implícitamente a y=f (x ), siendo f una función derivable en algún intervalo I. Podemos encontrar la derivada de f , derivando ambos miembros de F respecto de x, dy usando la regla de la cadena, y luego despejándose ; a este proceso se le llama dx derivación implícita.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO N° 01 a) b) c) d)

Encuentre la derivada implícita de: x 3+ y 3=6 xy Halle la recta tangente al folium de Descartes x 3+ y 3=6 xy , en el punto (3, 3). ¿En cuál punto en el primer cuadrante es horizontal la recta tangente? Fuente: Ejercicio extraído de cálculo de una variable JAMES STEWARD SOLUCIÓN PARTE a)

1) Derivamos la función con respecto a “X” considerando a “Y” como una función de “X”

x 3+ y 3=6 xy dy dy 3 x 2+3 y 2 =6 x +6 y dx dx dy 2) Asociando dx dy dy x 2+ y 2 =2 x +2 y dx dx dy ( y ¿¿ 2−2 x) =2 y + x 2 ¿ dx 2 dy 2 y−x = dx y 2 −2 x SOLUCIÓN PARTE b) Evaluando cuando x= y =3 dy 2∗3−32 = =−1 dx 3 2−2∗3 Recta tangente el punto (3,3) y−3=−1( x−3) y + x=6 SOLUCIÓN PARTE c) La recta tángate es horizontal cuando: dy =0 dx 2 y −x2 =0 y 2−2 x 2 y−x 2=0 ∧ y 2 −2 x ≠0 x2 y= 2 Remplazando en la ecuación de la curva x2 3 x2 x +( ) =6 x ( ) 2 2 6 3 x =16 x x=2.51 ∧ y=3.17 3

3) Interpretación geométrica

Fuente: Derive 6

EJERCICIO N° 02 Encuentre

dy si sen(x + y )= y 2 cos x . dx Fuente: Ejercicio extraído de cálculo de una variable JAMES STEWARD

SOLUCIÓN 1) Derivamos implícitamente respecto a “x” y consideramos que “y” es una función de x, obtenemos

(

cos ( x + y ) 1+

dy dy =−sin ( x ) y 2 +2 cos ( x ) y dx dx

)

cos ( x + y ) +cos ( x + y )

dy dy =−sin ( x ) y 2+ 2cos ( x ) y dx dx

dy cos ( x + y ) +sin ( x ) y 2 = dx cos ( x+ y ) −2 cos ( x ) y 2) Interpretación geométrica

Fuente: Derive 6

EJERCICIO N° 03 Utilice la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 2

x 2+ y 2=( 2 x2 +2 y 2−x ) Punto: (0,1/2):

Fuente: Ejercicio extraído problema propuesto de cálculo de una variable JAMES STEWARD SOLUCIÓN:

1) Derivamos implícitamente respecto a “x” y consideramos que “y” es una función 2

x 2+ y 2=( 2 x2 +2 y 2−x ) 2 x+2 y 2 x+2 y

dy dy =2( 2 x 2 +2 y 2−x)(4 x+ 4 −1) dx dx

dy dy dy dy =16 x 3 + ( 16 x 2 ) −4 x 2+ 8 x y 2+ 8 y 2 −2 y 2−4 x 2−4 x + x dx dx dx dx 3 2 2 2 dy −2(4 x −3 x +4 x y − y ) = dx y (8 x 2−4 x+8 y 2 −1)

2) Evaluando la derivada en el punto (0,1/2)

dy = dx dy =1 dx 3) La recta tangente ala curva en el punto (0,1/2) 1 y− =x 2 4) Interpretación geométrica

1 2

2

() 1 8 ( ) −1/2 2 2∗

3

Fuente: Derive 6

EJERCICIO N° 04 Utilice la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 2

2 ( x 2+ y 2 ) =25( x 2− y 2 ) Punto: (3,1): Fuente: Ejercicio extraído problema propuesto de cálculo de una variable JAMES STEWARD SOLUCIÓN: 1) Derivamos implícitamente respecto a “x” y consideramos que “y” es una función 2

2 2

2

2

2 ( x + y ) =25( x − y ) dy dy 4 ( x 2+ y 2 ) (2 x +2 y )=25(2 x −2 y ) dx dx dy dy dy 8 x 3+ 8 x2 y +8 x y 2 +8 x 2 y =50 x−50 y dx dx dx

dy 50 x−8 x 3−8 x y 2 = dx 8 x 2 +8 x2 y +50 y 2) Evaluando la derivada en el punto (3,1) 3 2 dy 50 ( 3 ) −8∗3 −8( 3)(1 ) = dx 8∗32−8∗32 (1 ) −50(1) dy −9 = dx 13 3) La recta tangente a la curva en el punto (3,1) y−1=

−9 ( x−3) 13

4) Interpretación geométrica

Fuente: Derive 6

EJERCICIO N° 05 Utilice la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. y 2 ( y 2−4 )=x 2 ( x 2−5) Punto: (0 ,−2): Fuente: Ejercicio extraído problema propuesto de cálculo de una variable JAMES STEWARD SOLUCIÓN:

1) Derivamos implícitamente respecto a “x” y consideramos que “y” es una función y 2 ( y 2−4 )=x 2 ( x 2−5 ) y 4 −4 y 2=x 4−5 x 2

( 4 y 3−8 y ) dy =4 x 3−10 x dx

dy x 3−10 x = dx 4 y 3−8 y 2) Evaluando la derivada en el punto (0,-2) dy =0 dx 5) La recta tangente a la curva en el punto (0,-2) y=−2 6) Interpretación geométrica

Fuente: Derive 6

Ejercicio N°6: En la siguiente ecuación x 2+ a √ xy + y 2 =b ² ; y=f ¿) dy =y' ;a , b ,son constantes . Hallar dx Fuente: Ejercicio extraído problema resuelto de análisis matemático I de Moisés Lázaro y Absalón Castillo

Solución: Paso N°1 Usaremos a y 'en remplazo de

dy por lo tanto: dx

De x 2+ a √ xy + y 2 =b ² , se obtiene: 2 x+ a

[

x y'+ y +2 y y ' =0 2 √ xy

]

Paso N°2 Ordenando y despejando las ecuaciones nos queda de la siguiente manera: y'=

−4 x √ xy+ ay ax+ 4 y √ xy

Ejercicio N° 7

Fuente: Derive 6 Ejercicio N°8

Ejercicio N°9

Fuente: Derive 6 Armando venero EjercicioN°10 Dada la función: x 3+ a x 2 y +bx y 2+ y 3=0; hallar su derivada:

Para poder graficar vamos a tomar valores de Arbitrarios de a=1 y b=0 por lo tanto nuestra ecuación: implícita quedaría reformulada de la siguiente manera: x 3 + x2 + y 3

Fuente: Derive 6

3. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA: Si la función y=( f ( x )g ( x )); por lo tanto su derivada lo denotaremos de esta forma:

y '=(f ( x )g ( x ))' ; pero si lo queremos pasar en forma de logaritmo tendríamos lny =ln f ( x)g (x). Usando la propiedad de logaritmos según la cual el logaritmo de una potencia es igual al exponente del logaritmo de la base, tenemos lny=g ( x ) ln ⁡f ( x) ;derivando ahora en los dos miembros de la igualdad tenemos: 1 ' ' 1 y =g ( x ) lnf ( x )+ g (x) f ' (x ) y f (x ) Obsérvese que para derivar lny, al ser  y una función que depende dex tal y como se ha comentado anteriormente, hemos de hacer uso de la regla de la cadena, con lo que la 1 derivada de lny es y ' . Para derivar el segundo miembro se ha utilizado la regla de y derivación del producto. Ahora, despejando  y de la expresión anterior tenemos: 1 ' y ' = y g ' ( x ) lnf ( x ) + g ( x ) f ( x) f ( x)

(

)

y ' =f ( x ) g x ( g ' ( x ) lnf ( x ) + ( )

g ( x ) f ' (x ) ) f (x)

Como la regla anterior no es fácil de recordar, lo mejor es seguir el proceso para derivar funciones en las que la variable independiente aparece tanto en la base como en el exponente.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO N°1 si y=(1+ x)lnx ; hallar la derivada de (y) Fuente: Ejercicio extraído problema resuelto de análisis matemático I de Eduardo Espinoza Solución: Paso N°1 Aplicando lo expuesto tendremos: lny =ln ⁡( 1+ x )ln ⁡( x) Entonces quedaría así: lny =lnxln (1+ x ) Paso N°2 Derivando ambos miembros de la igualdad: 1 ' 1 ( 1 1 y = ln 1+ x ) +lnx y x 1+ x Paso N°3

Ordenando y agrupando adecuadamente quedaría de la siguiente forma: y ' =( 1+ x )lnx (

ln ( 1+ x ) lnx + ) x 1+ x

Interpretación geométrica

Fuente: Derive 6

EJERCICIO N°2 Si y=

[

arcsen ( sen ( x )

2

) 2 arccos ( cos ( x ) )

( arctanx )

]

2

, Hallar y '

Fuente: Ejercicio extraído problema resuelto de análisis matemático I de Horacio Urteaga Solución: Paso N°1 Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros:

lny=( arctanx )2 ¿

Paso N°2 Operando de manera adecuada la derivada de y’ seria: 2

(arctan x )

arcsen ( sen x 2 ) dy =[ ] dx arccos ⁡(cos x 2 )

¿

EJERCICIO N°3 Si y=x √ x; hallar su derivada, utilizando su derivación logarítmica: Fuente: Ejercicio extraído de cálculo de una variable JAMES STEWARD Paso N°1 Dado que la base y los exponentes son variables utilizamos la logarítmica: lny=ln x √ x Paso N°2 Nos quedaría de la forma: lny =√ x lnx Paso N°3 En forma de derivada: y' 1 1 = √ x + ( lnx ) y x 2√ x Paso N°4 Simplificando y ordenando su derivada nos quedaría de la forma: y'= y

( √1x + 2lnx√ x ) y ' =x √ x

( 2+lnx 2√x )

Grafica:

Fuente: Derive 6 EJERCICIO N°4 Encuentre f ' ( x ) , si f ( x )=ln| x| Fuente: Ejercicio extraído de cálculo de una variable JAMES STEWARD

Solución Paso N°1 Reformulamos: f ( x )=lnx ; si x >0

O f ( x )=ln (−x ) ; si x