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• Jhon Merlo Aramburu

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y APLICACIONES DE LA DERIVADA

Si la derivada de la función definida por f(x) = x5 es una nueva función f’, definida por f’(x) = 5x4 ; es fácil de concluir que si podemos derivar la función f’, obtenemos una nueva función f’’, definida por f’’(x)=5(x4)’= 20x3 , a la que llamaremos segunda derivada de f, mientras que a la anterior, primera derivada de f. Sabemos que la derivada f’ es diferenciable, obtenemos otra función (f ’)’. Si continuamos con este proceso, construimos lo que llamaremos derivadas de orden superior. Si continuamos derivando, obtenemos las funciones f’’’(x)= = f(3)(x), f(IV)(x) = f(4) (x), etc. Cualquiera de las siguientes notaciones se usan para derivadas de y=f(x)

y’, y’’, y’’’,…, y(n)

EJEMPLO

 Como f ’(x) es derivable, se tiene:

 Pero f ’’(x) es todavía derivable, luego se tiene:

 Y así sucesivamente, hasta donde la función sea derivable

EJERCICIOS

ALGUNAS APLICACIONES DE LA DERIVADA  Así como la derivada de una función f en un punto «x» mide la razón de cambio de la función f en ese punto, la segunda derivada de f (la derivada de f’) mide la razón de cambio de la derivada f’ de la función f.  La tercera derivada de la función f, f’’’ mide la razón de cambio de f’’ y así sucesivamente.  Veamos algunas aplicaciones de las derivadas de orden superior

1

2

Una ciudad tiene la forma de un rectángulo de lados “x” y “x+3” kilómetros. A causa de la expansión urbana x está creciendo a razón de 1/3 km/año. Hallar la razón de cambio (instantáneo) del área urbana cuando ésta ocupaba 108 km2.

3 Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm/s. ¿A qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante que la arista mide 5 cm?

4 Se bombea aire al interior de un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm3/s. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el diámetro es 50 cm?

5 El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8 cm/s y el ancho a razón de 3 cm/s. Cuando la longitud es de 20 cm y el ancho es de 10 cm, ¿qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo?

5

Una escalera está recostada en una pared. Si la escalera mide 15 m de largo y la parte de arriba se está deslizando a 4 m/s, ¿qué tan rápido se está moviendo la parte de debajo de la escalera en el suelo, cuando la parte de debajo de la escalera se encuentra a 12 m de distancia de la pared?

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN – MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una de las aplicaciones con mayor trascendencia del Cálculo Diferencial son aquellos problemas de Optimización, cuyo objetivo es determinar los mejores resultados posibles de diversas situaciones de la vida diaria aplicando la matemática A través de las derivadas se puede resolver de manera sencilla y rápida muchos problemas que se presentan tanto en Matemáticas como en otras disciplinas. Para optimizar una función, se debe encontrar sus valores máximos y mínimos y darle su apropiada interpretación. Por ejemplo se busca minimizar los costos de producción de un determinado artefacto o encontrar la forma adecuada para comercializar un producto, etc.

 Ahora, veamos un ejemplo donde se calcule el máximo y mínimo valor de una función - Nociones previas: - Sea f(x) una función derivable, luego se tiene: MÁXIMO

La utilidad La productividad El ingreso, etc.

Y

MÍNIMO

Costos Gastos Mano de obra, etc.

Y

Cóncavo hacia arriba

Cóncavo hacia abajo

X

X

 Ejemplo: Obtener el punto máximo o mínimo de la función y=4x-x2

 Ejercicio: determinar los valores máximo y mínimo de la siguiente función: y = x3 – 3x2 – 8

 Ejercicio: determinar los valores máximo y mínimo de la siguiente función: y = x3 – 3x2 – 3

 Ejercicio: determinar los valores máximo y mínimo de la siguiente función: y = 3x4 – 4x3

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN  Se puede recomendar algunos pasos a seguir para resolver problemas de optimización, entre ellos tenemos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Leer cuidadosamente el problema. Cuando sea conveniente, hacer un dibujo Identificar con letras cada una de las variables que intervienen. Seleccionar la variable que se va a optimizar. Eliminar variables para dejar a la función sólo con una de ellas. Derivar para obtener la cantidad optimizada Sustituir ese valor para encontrar las demás cantidades buscadas.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide 64 m y su área sea máxima

2

Calcula el área máxima que puede tener un triángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos valga 4 cm.

3 Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de 500 cm3 de volumen, para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Halla la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la menor posible

4 Calcula dos números positivos tales que su producto es 192 y la suma de tres veces el primero más el segundo es mínima.

5 Un terreno rectangular de 11 250 m2 se divide en tres zonas rectangulares para venderlo como muestra la figura. Se valla el borde del campo y la separación entre las zonas. Calcula las dimensiones del terreno para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

6 A partir de una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 10 cm de lado. Decide si la observación es correcta o no.

7

Una ventana normanda tiene forma de un rectángulo, rematada por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 m, encuentre las dimensiones de la misma de tal forma que entre la mayor cantidad de luz.