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Un aspecto importante en las Ciencias (Matemáticas, Físicas, Ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este capitulo nos ayudará traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y apartir de ellas resolverlas. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

LENGUAJE MATEMÁTICO

TRADUCCIÓN

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incognitas. Ejms.: 5x - 4 x - 3y + 4 = 0 2 2 3 - 7 = 0; x - 3x + 4 = 5x + 8x ; 5x + 7y - 10 = 0 2x - 1

{

EL ARTE DE PLANTEAR UNA ECUACIÓN Un problema muy remoto que solían plantear nuestros antecesores, decía:

SOLUCIÓN : Observemos el siguiente esquema: mamá

niña

PRO BLEMA “Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas que le dejó su marido. Si nacía una niña, de acuerdo con las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si nacía un niño. La madre la mitad de la parte del hijo. Pero..., ¡nacieron mellizos: un niño y una niña!”. ¿Cómo repartió dicha herencia la viuda?

¿Cómo podre dividir la herencia para cumplir con las condiciones impuestas?

+

niño +

Recibe el doble de la niña

= 3 500

Recibe el doble de la mamá

Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nos resulta a S/. 500 cada parte. ∴El reparto debe efectuarse del siguiente modo:

Recibe Niña: S/. 500 Mamá: S/. 1000 Niño: S/. 2000 Otra forma de plantear el problema utilizando ecuacines es: Sea “ x ” el monto que corresponde a la niña niña mamá niño GH G5 5H G5 H x + 2x + 4x = 3500

7x = 3500 Þ x= 500 Por lo tanto, cada uno recibe: Recibe Niña: x= S/. 500 Mamá: 2x= 2(500)= S/. 1000 Niño: 4x= 4(500)= S/. 2000

Procedimiento para plantear una ecuación :

1.- Leer bien el enunciado del problema. 3.- Fijar la incógnita mediante una variable. 5.- Resolver la ecuación.

2.- Separar los datos. 4.- Fijar un plan de solución.

Problema 1 El exceso de 8 veces un número sobre 60, equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número ¿Calcular dicho número? a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9

Resolviendo:

7 x − 14 =x ⇒ 9 2x = 126

Solución: Recuerda que:

Sea “x” el número El exceso de 8 veces el número sobre 60: 8x − 60 El exceso de 60 sobre 7 veces el número: 60 − 7x Planteando de acuerdo al enunciado:

Solución: Sea “x” mi edad actual El triple de mi edad: Mi edad aumentada en 8:

8x − 60 = 60 − 7x

x= 8 Rpta.

Aurora recibió tres dólares, tuvo entonces tres veces más de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7 Solución: Sea “x” el dinero de Aurora al inicio Recibió tres dolares: x+3 Si hubiera perdido lo recibido: x − 3 Recuerde que “3 veces más que un número” equivale a decir: el cuadruplo del número

Resolviendo:

x + 3= 4 ( x − 3 )

Problema 5 Entre dos personas tienen 600 soles, si uno de ellos diera 100 soles al otro, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene uno de ellos? a) 350 soles b) 250 soles c) 400 soles d) 300 soles e) 450 soles Solución: Sea “ x ” lo que tiene la 1ra persona Entre los ambos tienen 600 soles, podemos suponer que la 2da persona tiene: 600 − x

x − (600 − x) = 200

Operando:

x + 3 = 4x − 12

Resolviendo:

= 15 3x ⇒ x= 5 Rpta.

Problema 3 Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta quedó disminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron? a) 49 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

x − 14 x−

Resolviendo: x − 600 + x = 200

⇒

2x = 800

x = 400 ⇒ Lo que tienen ambos es: 1ra. persona: 400 soles 2da. persona: 600 − 400 = 200 soles 400 soles Rpta. Problema 6

Solución: Sea “x” el número de personas al inicio

:

3x − x − 8 = 16 = 2x 24 ⇒ x= 12 Rpta.

Cuando dice: “Si uno diera al otro 100 soles, ambos tendrían la misma cantidad”, significa que la diferencia entre ambos es el doble de 100:

Luego, planteando la ecuación

Quedó disminuida en sus 2/9

3x x+8 3x − ( x + 8 ) = 16

Planteando la ecuación:

Problema 2

Se retiran 14 personas:

x = 63

Si al triple de la edad que tengo le quito mi edad aumentada en 8 años; tendría 16 años ¿Qué edad tengo? a) 11 años b) 10 años c) 15 años d) 13 años e) 12 años

B

⇒

9x − 126 = 7x

Problema 4

Exceso (diferencia entre 2 cantidades)

15x= 120

⇒

2 x 9

49 Rpta. 63 − 14 =

Quedaron en la reunión:

A

Resolviendo:

x − 14 =x −

Del enunciado tenemos:

2 9

A Mario le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas.” ¿Qué hora es? a) 4:15 p.m . b) 3:50 p.m . c) 3:45 p.m. d) 4:20 p.m . e) 4:30 p.m.

Solución: Tome en cuenta el siguiente gráfico para poder plantear el problema: 1  día   24 horas Faltan por horas transcurridas transcurrir

24 − x

x

Sea “x” la hora exacta del enunciado “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas significa, que la diferencia entre la hora actual y lo que falta transcurrir es 9, es decir: x − (24 − x) = 9 x − 24 + x = 9 33 x= x = 16,5 horas ⇒ 2 x = 4:30 p.m. x = 16h 30 min ⇒ Rpta.

a) 110 d) 111 Solución: Sea

Lo que tengo más lo que debo es 2200. Si pagara lo que debo me quedarían 1000 soles ¿Cuánto debo? a) 400 soles b) 500 soles c) 600 soles d) 700 soles e) 800 soles Solución: Sea “x” lo que debo Como la suma de lo que tengo y lo que debo es 2200, podemos afirmar que: Lo que tengo será: 2200 − x “Si pagara lo que debo me quedaría 1000 soles”, (2200 − x) − x = 1000

es decir:

2200 − 2x = 1000 2200 − 1000 x= ⇒ x = 600 ⇒ 2 Luego, lo que debo es: 600 Rpta.

Resolviendo:

Problema 8

c) 55

El número menor: x El número mayor: x+1

1 1 (x + 1)- x = 15 3 5

Del enunciado tenemos: Resolviendo:

5(x + 1) - 3x = 15 15 5x + 5 - 3x = 225 Þ

Þ Por lo tanto:

Resolviendo:

Problema 7

b) 109 e) 54

2x = 220

x = 110

El número menor: 110 El número mayor: 111 111 Rpta.

Problema 10 Elías dice a Aurora: “Si me das S/. 7, tendré el doble de lo que posees tú.”, y Aurora le contesta:, “Tú tienes más que yo, pues si me das S/. 5 tendríamos cantidades iguales.” ¿Cuánto tiene Elías? a) S/. 42 b) S/. 53 c) S/. 48 d) S/. 49 e) S/. 41 Solución: En este problema utilizaremos dos variables. Sean

Lo que tiene Elías: Lo que tiene Aurora:

x y

Traduciendo el enunciado: 1ro Elías dice a Aurora:

x + 7= 2(y − 7) …. (1)

2do Aurora contesta:

x−5= y+5

….. (2)

De (2), despejando tenemos: y= x − 10 ….. (3) Reemplazando (3) en (1) tenemos: x+7 = 2 [ (x − 10) − 7 ] Resolviendo: x + 7= 2(x − 17) x + 7 = 2x − 34 ⇒ = x 34 + 7

Hallar un número entero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dicho número sobre 119 es igual al décuplo del exceso del número sobre 8. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

x = 41 En la ecuación (3) hallamos el valor de “y”

Resolución: Sea el “x” el número Del enunciado, planteando tenemos:

Por lo tanto, Elias tiene:

2

x − 119 = 10(x − 8) Operando y resolviendo: 2

x − 119 = 10x − 80 ⇒

⇒

2

x − 10x = 39

(x − 10) x = 13(3)

Identificando el valor:

x = 13 Rpta.

Problema 9 Dos números consecutivos son tales que la tercera parte del mayor excede en 15 a la quinta parte del menor. El número mayor es:

= y 41 − 10

⇒

y = 31

S/. 41 Rpta.

Problema 11 Se han comprado por 6000 soles cierto número de escritorios, si se hubiera comprado 30 más con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. ¿Calcular el número de escritorios? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Solución: En este problema utilizaremos dos variables. Sean:

El número de escritorios: El valor de cada escritorio: Del enunciado:

n

x

“Como el valor de todos los escritorios es 6000”

nx = 6 000

…(I)

“Si se hubiera comprado 30 más con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato”, podemos plantear

(n + 30)(x − 180) = 6 000

nx = nx − 180n + 30x − 5 400

30x − 180n = 5 400

⇒

x − 6n = 180

… ( III )

2

Multiplicando por “n”, a (III): xn − 6n = 180n 2

6 000 − 6n = 180n

Reemplazando de (I): 2

2

1000 1000 − n = 30n ⇒ n + 30n = Identificando el valor: (n + 30) n = 20(50)

n = 20 Rpta. Problema 12 En una fiesta infantil a Ibethe le ofrecieron 60 galletas, luego de 1 hora le preguntaron por las galletas que se comió a lo que ella respondió: “Comí 2 veces más de lo que no comí, menos 40 galletas.” ¿Cuántas galletas comió Ibethe? a) 35 b) 20 c) 30 d) 45 e) 37 Solución: Sea “x” lo que comió. De las 60 galletas, lo que no comió es: 60 − x El enunciado dice: “Comí 2 veces más de lo que no comí, menos 40 galletas”, recordar que “2 veces más es equivalente al triple entonces, podemos plantear:

x= 3(60 − x) − 40

Resolviendo: x = 180 − 3x − 40 4x = 140

⇒

Problema 13

x = 35 Lo que comió:

2y - 6 = 18

Resolviendo la segunda ecuación y = 12 Reemplazando x - 12 = 18

en

la

primera

… ( II )

Igualando ( I ) y ( II ) nx =+ (n 30)(x − 180) Resolviendo:

x - y = 18

35 Rpta.

Se tienen 54 monedas las cuales se separan en tres grupos: del primero se pasan al segundo tantas monedas como hay en éste; del segundo al tercero tantas monedas como la mitad que tenía éste obteniéndose igual cantidad de monedas en cada grupo. El primer grupo tenía: a) 25 monedas b) 30 monedas c) 26 monedas d) 12 monedas e) 24 monedas Solución: Analizando: Si al final se tiene que de las 54 monedas estas se reparten en igual cantidad, entonces el número de monedas de cada grupo es: 54 ÷ 3 = 18 monedas. Si en el tercer grupo habían “x” monedas, y le llegan la mitad de lo que tenía, se cumple que: 3x x x+ = 18 ⇒ = 18 ⇒ x = 12 2 2 Vamos a representar gráficamente la repartición: 1º 2º 3º +6 +y x y 12

ecuación:

⇒ x = 30 En consecuencia, El 1er. grupo tiene: 30 El 2do. grupo tiene: 12 El 3er. grupo tiene: 12 Luego, el 1er. grupo tiene: Problema 14

30 monedas Rpta.

Manuel compra la mitad de un rollo de alambre, menos 12 metros. Raúl compra un tercio del mismo rollo, más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Manuel. ¿Cuántos metros compró Manuel? a) 52 m b) 60 m c) 72 m d) 44 m e) 50 m Solución: Sea: “x” metros medida del rollo de alambre x Manuel compra: - 12 … (*) 2 x Raúl compra: +4 3 Como lo que compra Raúl es 8 metros menos que Manuel, podemos afirmar que:

æx ö æx ö ÷ çç - 12÷ ç ÷ ÷ ÷- ççè3 + 4 ø ÷= 8 çè2 ø Resolviendo: x x x x = 24 ⇒ x = 144 - 12 - - 4 = 8 ⇒ 2 3 2 3 Para saber cuento compró Manuel, debemos 144 reemplazar en (*): - 12 = 72 - 12 = 60 2 Manuel compró 60 m Rpta. Problema 15 Se tienen dos terrenos rectangulares cuyos lados correspondientes son igualmente proporcionales. El perímetro del primero es 84 m, el ancho y el largo del segundo miden 15 m y 20 m respectivamente. Luego las medidas del primer terreno son: a) 19 m y 23 m b) 16 m y 26 m c) 17 m y 25 m d) 20 m y 22 m e) 18 m y 24 m Solución: Como el perímetro del rectangulo es 84, entonces la suma del largo y el ancho es 42. Podemos suponer que: La longitud del ancho es: x La longitud del largo es: 42 - x Ayudémonos con un gráfico:

x

15 42 − x

20

Por la proporcionalidad:

x 42 − x = 15 20

Resolviendo: x 42 − x = 4x 126 − 3x ⇒ 7x = 126 ⇒ = 3 4 ⇒ x = 18

a) 450 b) 3 500 c) 40 000 d) 4 500 e) N.a. Solución: Sea el número = x Del enunciado del problema: * Número dividido por 10 x

** Al cociente

x 10

*** Suma de los cocientes es 600 x

+

10

Problema 16 Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 soles. Lo que gasta y lo que cobra están en la relación de 2 á 3. ¿Cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 16 soles b) 24 soles c) 32 soles d) 15 soles e) 20 soles Solución: 1a. Parte: Gasta: 2k Cobra: 3k Del enunciado:

lo dividimos por 3.

 x     10  = x Nuevo cociente 3 30

Por lo tanto: La longitud del ancho es: 18 La longitud del largo es: 24 Las dimensiones son: 18 y 24 Rpta.

= cociente

10

2k + 3k = 600

Resolviendo: k = 120 soles Entonces: Gasta: 240 y Cobra: 360 2a. parte: Sea “x” el gasto que se tiene que disminuir 240 − x 3 Podemos plantear: = 360 5 Resolviendo: x = 24 soles Rpta. PROBLEMAS RESUELTOS II 01. Una persona tiene S/. 20 000 y otra S/. 7 500 cada una ahorra anualmente S/. 500 ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? a) 6 años b) 8 años c) 10 años d) 20 años e) N.a. Solución: Sea “x” el número de años que ahorran cada persona -

Ahorro total de cada persona = 500x Capital con ahorro de la primera persona = 20 000 + 500x - Capital con ahorro de la segunda persona = 7500 + 500x Según enunciado del problema El capital con ahorro de la primera es doble del capital con ahorro de la segunda

20 000 + 500x = 2 [ 7500 + 500x ] 20 000 + 500 x = 2 . 7500 + 2 . 500x 20 000 + 500x = 15 000 + 1000x 5000 = 500x ∴ x = 10 añosCLAVE “C” 02. Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a ese cociente dividiéndolo por 3; la suma de estos cocientes es 600.

x 30

= 600

Damos común denominador en el primer miembro. 3x + x 30

= 600

4x = 600 × 30 ∴ x = 4500CLAVE. “D” 03. Juan dice a Pedro: Dame S/. 18 000 y así tendré doble dinero que tú y Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/. 15000 y así tendremos los dos igual cantidad. ¿Cuánto tenía Pedro?? a) S/. 48 000 b) S/. 114 000 c) S/. 84 000 d) S/. 96 000 e) N.a. Solución: Sea: x = dinero que tenía Juan y = dinero que tenía Pedro *

Cuando Juan dice a Pedro: dame S/. 18000 y así tendré doble dinero que tú. Lo que tenía Juan Lo que le queda a Pedro

x + 18 000 = 2(y - 18 000) De donde: x = 2y – 54 000 ...... (I) ** Cuando Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/. 15000 y así tendremos los dos igual cantidad (y - 18000) + 15000 = (x + 18000) - 15000 y – 3000 = x + 3000 ∴ x = y – 6000 .... (II) Igualamos (I) y (II): 2y – 54000 = y – 6000 ∴ y = 48000 CLAVE “A” 04. El producto de dos números naturales consecutivos es “P”, unidades más que el siguiente consecutivo. Encontrar el menor. a) d)

P− 2 P 3

b)

P+ 2

c)

2P

e) N.a.

Solución: Sea los 2 números consecutivos: a = # menor (a + 1) = # mayor Del enunciado del problema: El producto de dos números naturales consecutivos es “P” unidades más que el siguiente consecutivo. Veamos: a(a + 1) – P = (a + 2) a2 + a – P = a + 2 a2 = P + 2 ∴ a = P+ 2

CLAVE “B”

05. Se ha comprado por S/. 6000 cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcular el número de cuadernos a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 Solución: Sea: X = # de cuadernos que se han comprado por S/. 60000 Siendo: Precio de c/cuaderno =

Costo total # de cuadernos

Pr ecio de cada S / .6000 ..... (α) = cuaderno x

x 2 – 10 – 39 = 0,

Si hubiera comprado 30 cuadernos más con la misma cantidad de dinero. O sea por S/. 6000, el precio de cada cuaderno sería: Pr ecio de S / .6000 Costo total = = c / cuaderno # de cuadernos (x + 30)

Precio de c/ cuaderno =

S / .6000 (x + 30)

.... (β)

Si al comprar 30 cuadernos más, el precio de c/cuaderno costaría 180 soles más barato. Luego, se plantea la siguiente ecuación: S / 6000 x

−

S / 6000 (x + 30)

x(x - 2) = 10 (8) ∴ x = 10 (# de amigos)CLAVE “A” 07. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. a) 13 b) 10 c) 7 d) 3 e) N.a. Solución Sea: El número pedido = x El cuadrado del número = x 2 Luego, planteamos la siguiente ecuación, según el enunciado del problema. Veamos: x 2 – 119 = 10 [x – 8] x 2 – 119 = 10x – 80

= S / .180

1 1  6000  −  = 180 ;  x (x + 30) 

x x

– 13 +3

De donde: i) x – 13 =

y

x+3=0

∴ x = 13 y x = –3 ∴ El número pedido es 13.CLAVE “A” 08. Al preguntar una madre de su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio. Ella respondió “Si no hubiera comprado un chocolate, que me costó 10 soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que hubiera gastado. ¿Cuánto gastó? a) 15 soles b) 20 soles c) 25 soles d) 30 soles e) N.a. Solución: Para su mejor entendimiento hacemos el siguiente gráfico: (Compra de un 10 soles chocolate)

Damos común denominador en el corchete.  (x + 30) − x  6000   = 180  x(x + 30)  6000 (30)

x(x + 30) =

180

x(x + 30) = 1000 x(x + 30) = 20(50) por comparación de términos obtenemos: ∴ x = 20 cuadernos 6. Varios amigos alquilaron un ómnibus por $ 400 para una excursión, a pagar por parte iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de los que asistieron tuvieron que pagar $ 10 más. ¿Cuántos fueron a la excursión? a) 10 b) 20 c) 30 d) 50 e) N.a. Solución: Sea: x = # de amigos p = lo que tiene que pagar cada uno De donde: x . p = 400 .... (α) pero como faltaron dos a dicha excursión lo que quedan son (x - 2) amigos, tienen que pagar c/u 10 dólares o sea: (p + 10) Luego: (x - 2) (p + 10) = 400 .... (β) Igualando (α) y (β), obtenemos: x . p = x . p + 10x – 2p – 20 2p = 10x – 20; Sacamos mitad a c/término p = 5x – 10 p = 5(x – 2) .... (θ) Reemplazamos (θ) en (α): x [5(x – 2)] = 400 x(x - 2) = 80

Lo vuelve a gastar

(Tan sólo hubiera gastado)

S/.40 S/. 30

(30 - x) soles

(Lo que no se gasto)

Del enunciado del problema: Tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que hubiera gastado x=

3 5

[(30 − x) + 10]

Lo que no gastó si no hubiera comprado chocolate Lo que no gastó en total De donde:

5x = 3[40 – x] 8x = 120 ∴ x = 15 Luego lo que gastó es: 10 soles del chocolate + x lo que vuelve a gastar. ∴ Lo que gastó = 10 + 15 = 25 soles 09. Se compra cierto número de relojes por S/. 5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles. ¿Cuántos relojes se han comprado? a) 70 b) 75 c) 80 D) 85 e) 65 Solución Sea: x = # de relojes x = precio de cada reloj en soles Siendo, el costo total de los relojes = x . x = x 2 Por dato: x 2 = 5625

x = ± 5625 x = ± 75 De donde solo se acepta: ∴ Se han comprado 75 relojes CLAVE “B” 10. Los ahorros de un niños consta de: (p + 1), (3p – 5) y (p + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuánto asciende sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles? a) 900 soles b) 455 soles c) 345 soles d) 400 soles e) 360 soles Solución: Del enunciado del problema, obtenemos: Ahorro en monedas de 5 soles = 5(p + 1) Ahorro en monedas de 10 soles = 10(3p – 5) Ahorro monedas de 20 soles = 20(p + 3) Para cambiar dichas monedas a monedas de 25 soles nos bastará dividir cada ahorro en monedas entre 25, veamos: Monedas de S / .5 5(p + 1) = convertida s aS / .25 25 Monedas de S / .10 convertida a S / .25

=

+

10(3p − 5) 25

+

25

ii)

20(p + 3) 25

25

1    a  = 3 ...... (Cociente de sus recípro cos de dichos números ) 1    b

En esta última expresión, hacemos producto de extremos y medios. 1   a = 3 1    b

= 2[(p + 1)]

b

3 5

= 3 ⇒ b = 3a

........ (α)

Reemplazamos (α) en (i): a + 3a = 60 4a = 60

= 2(p + 1)

55p + 15 = 50p + 50 5p = 35 ∴ p=7 Entonces sus ahorros ascienden a: 5(p + 1) + 10(3p – 5) + 20(p + 3) = 5(8) + 10(16) + 20(10) = 400 ∴ Sus ahorros ascienden a 400 solesCLAVE: “D” 11. Si al numerador de la fracción 3/5 se le suma un número y al denominador se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la recíproca de la fracción dada. Calcular el número a) 3 b) 1 C) 2 d) –5 e) –6 Solución: Sea el número = x Fracción inicial =

(150 + x)

a + b = 60 .... (suma de los dos números)

a 5p + 5 + 30 p − 50 + 20 p + 60

2 3

240 + 3x = 300 + 2x 3x – 2x = 300 – 240 ∴ x = 60 Luego, a cada recipiente se le añade: 60 ltsCLAVE “D” 13. Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3. (Dar como respuesta el quíntuplo del mayor aumentado en 8) a) 83 b) 233 c) 332 d) 323 e) N.a. Solución Sean los dos números “a” y “b”

i)

10(3p − 5)

Del enunciado, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles.

25

(80 + x) =

Del enunciado, plateamos las siguientes ecuaciones:

Monedas de S / 20 20(p + 3) = convertida a S / .25 25

5(p + 1)

12. Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el contenido del primer recipiente sea los 2/3 del segundo? a) 30 lts b) 40 lts c) 50 lts d) 60 lts e) 80 lts Solución: Sea: x = # de litros de agua que se añade a cada recipiente Donde: El primer recipiente tendrá: (80 + x) lts El segundo recipiente tendrá: (150 + x) lts Del enunciado, obtenemos:

; recíproca de la fracción =

5 3

Del enunciado, del problema obtenemos: 3(3 + x) = 5(5 – x) 8x = 16 ∴ x =2 CLAVE C”

a=

60 4

∴ a = 15 Ahora, reemplazamos el valor de “a” en “α” b = 3(15) ∴ b = 45 Como se observará de los números hallados el mayor es 45. Luego, calculamos el valor de la incógnita: INCÓGNITA: Quíntuplo del # mayor, aumentado en 8. : 5(45) + 8 ∴ Incógnita: 233CLAVE “B” 14.El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en su 2/5, en sus 3/10 y en 40; suma 200 años. ¿Cuántos años tengo? a) 30 años b) 50 años c) 35 años d) 60 años e) 40 años Solución: Sea: mi edad =x Doble de mi edad = 2x del enunciado, obtenemos la siguiente ecuación:

2x +

1 2

2x +

x+ 1 2

2 5

x+ 2

x+

5

3

x+

Pedro = x → Pedro tendrá: x –

x + 40 = 200

10

3 10

x = 160

le dá

damos común denominador en el primer miembro. 20 x + 5x + 4x + 3x 10

= 160

Sea:

x = primera parte y = segunda parte x + y = 1000 ...... (I) Del enunciado, obtenemos:

x+

5 6

y=

5 6

(1000 ) ...... (III)

Restamos miembro a miembro (III) y (II) 5  5 1  5 5  6 x + 6 y  −  6 x − 4 y  = 6 (1000 ) − 10     5 1 5 – 10, damos y + y = (1000) 6 4 6

común

denominador a toda la ecuación. 2(5y) + 3(y) 12

=

x,

Pablo = y → Pablo tendrá: y +

3 5

x

y+ 3 5

x=

3 8

3 5

x=y+

3 8

y

y → 8x = 5y ..... (II)

Reemplazamos (I) en (II): 8x = 5(x + 24) 8x = 5x + 120 3x = 120 ∴ x = 40 (Dinero de Pedro en soles) Reemplazamos el valor de “x” en (I): y = 40 + 24 ∴ y = 64 (Dinero de Pablo en soles)

5 1 x − y = 10 ........ (II) 6 4  5 Multiplicamos  x  a cada término de la ecuación (I)  6 6

x

De donde:

32x = 160(10) x = (5) (10) ∴ x = 50 años (edad que tengo)CLAVE “B” 15. Dividir el número 1000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera se resta 1/4 de la segunda, se obtiene 10. Calcular la segunda parte. a) 420 b) 240 c) 670 d) 750 e) 890 Solución:

5

3 5

3 5

Luego, el número de soles de cada uno es: Pedro = 40 soles Pablo = 64 solesCLAVE “C” 17. Un número entero consta de tres dígitos. El dígito de las centenas es la suma de los otros dos, y el quíntuplo del las unidades es igual a la suma de las decenas y del de las centenas. ¿Hállese este número sabiendo que si se invierten los dígitos resulta disminuido en 594? a) 369 b) 639 c) 936 d) 963 e) Ninguna Solución: Sea el número de tres dígitos: cdu

2 . 5(1000 ) − 12(10)

Unidades Decenas Centenas

12 13 y

9880 = 12 12 9880 y= = 760 13

∴ y = 760 (segunda parte)CLAVE “D” 16. Pedro y Pablo tienen cada uno cierto número de soles, si Pablo da 12 soles a Pedro; tendrán ambos igual cantidad, si por el contrario, Pedro da 3/5 de su dinero a Pablo, El número de soles de este queda aumentado en los 3/8. ¿Cuántos soles tiene cada uno? a) 30 y 84 b) 60 y 84 c) 40 y 64 d) 64 y 40 e) Ninguna Solución: Sean: x = # de soles de Pedro y = # de soles de Pablo *) Si Pablo da 12 soles a Pedro, ambos tendrán la misma cantidad. Pablo = y le da 12 soles Pedro = x

⇒ Pablo tendrá: y – 12 ⇒ Pedro tendrá: x + 12 De donde: y – 12 = x + 12 ∴ y = x + 24 .... (I) **) Si por lo contrario, Pedro da 3/5 de su dinero a Pablo, el # de soles de este queda aumentado en sus 3/8

Del enunciado, ecuaciones: i) c = d + u ii) 5u = d + c

planteamos

las

siguientes

iii) cdu + udc = 594 Los términos del primer miembro de la ecuación (iii), los descomponemos polinómicamente, veamos: (100c + 10d + u) – (100u + 10d + c) = 594 99c – 99u = 594 99(c – u) = 594 ∴ c–u=6 ......(I) Reemplazamos (i) en (ii): 5u = d + (d + u) 4u = 2d ⇒ 2u = d ..... (II) Reemplazamos (i) en (I) (d + u) – u = 6 ∴ d=6 El valor de “d” hallado, lo reemplazamos en (II): 2u = 6 u=3 El valor de “u” hallado, lo reemplazamos en (I) c–3=6 ∴ c=9 Luego el número de tres dígitos: cdu = 963 CLAVE “D”

18. La suma de los dos dígitos de un número entero es 15. Si se invierte el orden de los dígitos se obtiene otro número igual al primero multiplicado por 23/32. ¿Hállese el número? a) 39 b) 69 c) 96 d) 63 e) 36 Solución: Sea: du = número de dos dígitos Del enunciado, planteamos ecuaciones: i) d + u = 15 ⇒ d = 15 – u ..... (I) ii)

ud =

23 32

las

(10 u + d) =

23 32

e = 70

km hr

∴ e= e

MN

× 3hr = 210 Km

CLAVE “A”

siguientes

20. ¿Cuál es la edad actual de un Padre que duplica la de su hijo y hace 24 años su edad 10 veces que la de su hijo?

du

De la ecuación (ii), polinómicamente, obtenemos:

Luego, reemplazamos el valor de “v” en (I):

descomponiendo

(10d + u)

a) 27 años d) 63 años

b) 48 años e) 45 años

c) 54 años

Solución

320u + 32d = 230d + 23u 297u = 198d;

Sea: Edades actuales:

sacamos novena a cada término 33u = 22d,

Edad del Padre = P P = 2H ... (I) Edad del hijo = H

Sacamos onceava a cada términos ∴ 3 u = 2d .... (II) Reemplazamos (I) en (II): 3u = 2(15 - u) 3u = 30 – 2u 5u = 30 ∴ u=6 Ahora reemplazamos el valor de “u” en (I): d = 15 - 6 ∴ d=9 Luego, el número de dos cifras: du = 96CLAVE “C” 19. Un tren va de la ciudad “M” a la ciudad “N” en 3 horas de viajando a una velocidad uniforme. En el viaje de regreso el tren va a 10 km/h, más despacio y la jornada toma media hora más ¿Cuál es la distancia de la ciudad “M” a la ciudad “N”? a) 210 Km b) 345 Km c) 160 Km d) 180 Km e) N.a. Solución: v = Velocidad Uniforme (v=cte)

Edades hace 24 años Edad del Padre = P – 24 Edad del hijo = H – 24 P – 24= 10(H – 24) P – 24 = 10H – 240 P = 10H – 216 ....... (II) Igualamos las ecuaciones (I) y (II): 2H = 10H – 216 216 = 8 H H = 27 años (Edad del hijo) Luego, reemplazamos el valor de “H” en (I): P = 2(27) ∴ P = 54 años (Edad del Padre) CLAVE “C” OTRO MÉTODO: También, se puede trabajar con una sola variable, veamos:

Tiempo 3 horas c M

N

Sabemos que: Espacio = velocidad × tiempo De donde: e = v × 3 ... (I) (v - 10)

Padre : 2x Edades actuales  ⇒ .....( α) hijo : x Edades hace Padre : 2x − 24  24 años Hijo : x − 24

Ahora, planteamos la siguiente ecuación: (2x – 24) = 10(x - 24) 2x – 24 = 10x – 240 216 = 8x

Tiempo 3,5 horas e N

M

∴ x = 27

Sabemos que: Espacio - Velocidad × tiempo De donde: e = (v - 10) × 3,5 .... (II) v × 3 = (v – 10) × 3,5 3v = (v –10) ×

35 10

30V = 35v – 350 350 = 5v ∴ v = 70 km/hr

Reemplazamos el valor de “x” en (α) Edades actuales Padre: 2x = 2(27) = 54 años Hijo: x = 27 años

PARTE iii PLANTEO DE ECUACIONES 1. Halle el número cuyo quíntuplo, disminuido en los

3 del mismo, es igual al triple, de la suma de dicho 4

número con cinco. A) 10 B) 11 C) 12 RESOLUCIÓN Sea “x” el número

D)13

E) 14

3 5x − x = 3 ( x + 5) 4 Por (4): ⇒ 20x − 3x = 12x + 60 17x −12x = 60 5x = 60 x = 12RPTA.: C 2. El producto de tres números enteros consecutivos es igual a 600 veces el primero. ¿Cuál es la suma de dichos números? A) −76 B) −81 C) 71 D)73 E) 3 RESOLUCIÓN (x) (x+1) (x+2) = 600x X[(x+1)(x+2) − 600] = 0 x = 0 ∨ (x+1) (x+2) = 600 x = 0 ∨ x² + 3x − 598 = 0 (x−23) (x+26) = 0 x = 0 ∨ x = 23 ∨ x = −20 x=0 0, 1, 2 ⇒ =3

∑

∑ = 72

x = 23

23, 24, 25⇒

x = −26

−26, −25, −24⇒

∑=

−75

RPTA.: E 3. ¿Cuál es el número negativo que sumado con su inverso, da igual resultado que el doble de su inverso, disminuido en el número? A)

−2

B) −

2 C) −

2 2

D) −3 E) − 3 RESOLUCIÓN Sea “x” el número

1 1 x + = 2  − x x x

2x =

x= −

( )

−1

− ( − ( x − 5) ) =30

x−5+x−5 = 30 2x − 10 = 30 2x = 40 x = 20 RPTA.: D 6. El cuádruplo de un número, aumentado en 3, es equivalente al triple, del número aumentado en uno, más el número. Halle el número. A) No existe tal número B) 0 C) 1 D) −2 E) Cualquier número real RESOLUCIÓN Sea “x” el número. 4x + 3 = 3(x+1)+x 4x + 3 = 3 4x − 4x = 3 − 3 (4 − 4) x = 0 0x =0 ∴ x ∈  cualquier número real.RPTA.: E 7. ¿Cuántos números cumplen lo siguiente: si al doble del número se le aumenta el número disminuido en 8, se obtiene el triple, del número disminuido en seis, más cuatro? A) Ninguno B) Uno C) Dos D) Tres E) Todos los reales RESOLUCIÓN Sea “x” el número 2x + (x − 8) = 3(x − 6) + 4 3x − 8 = 3x − 18 + 4 0x = −6 CS = φRPTA.: A 8. El largo de un rectángulo es el doble de un número, mas tres y el ancho es el exceso de cinco sobre el duplo del número. ¿Cuál es la máxima área del rectángulo? A) 18 µ² B) 16 µ² C) 14 µ² D) 12 µ² E) 10 µ² RESOLUCIÓN

2x + 3 A(x) = (2x+3)(5−2x) A(x) = 10x − 4x² + 15 − 6x A(x) = −4x² + 4x + 15 A(x) = −(4x² − 4x+1 − 1) + 15 A(x) = −((2x−1)² −1) + 15 A(x) = (2x−1)² + 16 El máximo valor del área es 16 µ².

2 2

2 RPTA.: C 2

( )

−1

5 − 2x

4. Julio es asesor y gana el primer mes 7x soles, el segundo mes le duplicaron el sueldo, el tercer mes le pagan el triple del sueldo inicial, al cuarto mes lo despiden pagándole lo del primer mes. ¿Cuánto ganó en los 4 meses? A) (49)x B) (35)x C) (35)4x D) 7x+1 E) 14x RESOLUCIÓN x x x x x x +1 RPTA.: D

( )

7  + 2 7 + 3 7 + 7= 7 7 = 7   2º mes

( ( x − 5) )

1 1 2 1 ±  x² = ⇒ x = 2 2 2 x

2x² = 1 ⇒ x = ±

1º mes

número disminuido en cinco, resulta 30. Halle el número. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 RESOLUCIÓN Sea “x” el número.

3º mes

5. Si el recíproco, del inverso de un número disminuido en cinco; es disminuido en el opuesto aditivo del

Para

x=

1 RPTA.: B 2

9. Si el exceso de “a” sobre “b” es un factor, del exceso de “c” sobre “a” y el otro factor, es factor del exceso de a² sobre c². Indique ¿cuál es el otro factor de a² sobre c²? A) a . c B) c C) a D) b − a E) (a+c)(b−a) RESOLUCIÓN (a−b)F = c − a F: el otro factor ⇒ F=

c − a  c − a y a² − c² = a − b  a − b 

c −a a−b 

 (a + c) (a − c) y = 

⇒ y = (a+c)(b−a)RPTA.: E 10. Un número excede al cuadrado más próximo en 30 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 29 unidades. Indique la suma de las cifras del número. A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 RESOLUCIÓN Sea “x” el número. k² ............. x ................ (k+1)² 30 29 x − k² = 30 ...................(I) (k+1)² − x = 29 ..................(II) k²+2k+1−x = 29 2k + 1 = 29 + (x − k²) De (I) 2k + 1 = 29 + 30 2k + 1 = 59 k = 29 En (I) x − 29 ²= 30 x = 871 Se pide: 8 + 7 + 1 = 16RPTA.: B 11. Se ha comprado cierto número de libros por 200 soles. Si el precio por ejemplar hubiese sido dos soles menos, se tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compro? A) 30 B) 28 C) 25 D) 23 E) 20 RESOLUCIÓN Sea “x” el número de libros comprados. → Uno cuesta:

200 x

200 x+5 200 200 Condición: − = 2 x x+5 100 100 − = 1 x x+5

→ Uno costaría:

⇒ 100(x+5) = 100x = x(x+5) 100x + 500 − 100x = x (x+5) 500 = x(x+5) 500 = 20(25) x = 20RPTA.: E 12. Se tienen 600 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 5 niños, los restantes reciben 4 caramelos más. ¿Cuántos niños habían inicialmente? A) 20 B) 23 C) 25 D) 28 E) 30 RESOLUCIÓN Sea “x” el número de niños

600 x

Si se retiran 5,

x 5 x y+ x.......(I) = = ⇒ y 3 6 2 5 10 + y =x......(II) 6 De(I) y (II) se tiene : x = 10 = ⇒ x 30 3 15 ∴y = 14. Una persona compró objetos a los precios de 48 y 42 soles, pero no recuerda cuántos, solamente recuerda que gastó S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 era impar y no llegaba a diez. ¿Cuántos objetos compró? A) 19 B) 17 C) 51 D) 36 E) 40 RESOLUCIÓN x : # objetos de S/. 48 y : # objetos de S/. 42 48x + 42y = 1542 8x + 7y = 257

= y

Sea: (x + 5) libros que se tendrá

c/u:

750 =30(30−5) x = 30RPTA.: E 13. Si tuviera lo que no tengo, más la tercera parte de lo que tengo, tendría 5/6 de lo que tengo, pero si tuviera 10 soles más de lo que no tengo tendría 5/6 de lo que tengo. ¿Cuánto no tengo? A) 40 B) 35 C) 30 D) 20 E) 15 RESOLUCIÓN x : tengo y : no tengo

c /u :

600 x −5

600 600 = +4 x −5 x 600 600 − = 4 x −5 x

x : impar ∧ x < 10 257 − 8x ∧  7 x : 1, 3,5, 7, 9

Evaluando para x = 5 → y = 31 Se pide: x + y = 36 RPTA.: D 15. Dame S/. 30 y tendré tanto como tu tengas, pero si te doy S/. 40, tu tendrás el triple de los que yo tengo. ¿Cuánto tienes? A) S/. 170 B) S/. 110 C) S/. 80 D) S/. 100 E) S/. 150 RESOLUCIÓN Yo tengo: x 30 Tu tienes: y ⇒ x + 30 = y − 30 ⇒ x = y −60 Yo tengo: x 40 Tu tienes: y ⇒ 3(x−40) = y + 40 3x −120 = y + 40 3(y − 60) − 120 = y + 40 3y − 180 − 120 = y +40 2y = 40 + 300 2y = 340 y = 170RPTA.: A 16. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 RESOLUCIÓN

5

Condición:

600x − 600x + 3000 =4(x)(x−5) 3000 = 4x (x−5) 750 = x(x−5)

4 esc 5 4 esc “x” escalones

“x” escalones

# pasos :

x 4

# pasos:

x 5

Condición: En el primero se dan 4 pasos más que en el segundo.

x x − = 4 ⇒ 5x − 4x = 80 4 5

x = 80 escalones RPTA.: D 17. De los gatitos que tenía Angela se le murieron todos menos los que se murieron. ¿Cuántos quedaron vivos? A) Absurdo B) Ninguno C) Todos D) La mitad E) Dos RESOLUCIÓN Tenía: x Se le murieron: α Dato: α =x−α 2α

=x

⇒ α=

21. Al sumar tres números enteros consecutivos y dividir entre su producto se determina el numerador y denominador respectivamente de un número racional cuyo equivalente es 196 . ¿Cuál es el 7840 menor de los tres números? A) −12 B) −13 C) 9D) 13 E) 12 RESOLUCIÓN x−1 Sean los números: x x+1 Condición:

( x − 1) + ( x ) + ( x + 1) ( x − 1) ( x ) ( x + 1)

x 2

x ≠ 1; x ≠ 0, x ≠ −1

= x² − 1 x = 11 120 3 1 ⇒  = ⇒ x − 1 40  x² = 121 x = −11 2

gasté en total? A) S/. 20 B) S/. 30 C) S/. 35 D) S/. 25 E) S/. 45 RESOLUCIÓN Tenía : 50

22. Gaste los

# extremidades: 4(16a) = 768 a = 12 monosRPTA.: A

3 de lo que no gasté y aún me quedan 5

60 dólares más de los que gasté. ¿Cuánto tenía? A) $ 250 B) $ 240 C) $ 200 D) $ 190 E) $ 150 RESOLUCIÓN

3 (50 − x ) 7

7x = 150 − 3 x 10x = 150 ⇒ x = 15 Gasto total: x + 15 = 15 + 15 = S/. 30RPTA.: B 19. Los hijos de Pedro tienen tres hermanas cada uno y sus hijas tantos hermanos como hermanas. ¿Cuántos varones, por lo menos hay en la casa de Pedro? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN Cada hijo tiene 3 hermanas → Cada hija tiene 2 hermanas y 2 hermanos ∴ Hay 3 varonesRPTA.: B 20. El alcalde de un distrito ha observado con respecto a las mascotas de su distrito que por cada mono hay 3 gatos y por cada gato hay 4 perros. Si en total se han contado 768 extremidades de animales. ¿Cuántos monos hay? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 RESOLUCIÓN Mono : a Gatos : 3a Total 16a Perros: 4(3a) = 12a cuadrúpedos

−12  ⇒ −11 RPTA.: A  −10

x= −11

Si no hubiera comprado la gorra hubiera gastado: x No hubiera gastado: (50 − x) Entonces: = x

10  ⇒ 11 12 

= x 11

3 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto 7

Camiseta : x ⇒ x + 15 Gaste  : 15 Gorra

196 7840

3x 1 = ( x − 1) ( x ) ( x + 1) 40

Se le murieron la mitad, quedaron vivos la otra mitad.RPTA.: D 18. Jerry razonaba: tenía S/. 50, primero compré una camiseta y luego una gorra que me costó S/.15. Si no hubiera comprado la gorra, tan sólo hubiera gastado

=

Gasté

:

3 x 5

No gasté : x

3 8x x+x= 5 5 3 = 60 + x 5

Tenía x

:

5x = 300 + 3x x

= 150Tenía

:

8 (150) = $.240 5

RPTA.: B 23. Un anciano deja una herencia de 2mn dólares a cierto número de parientes. Sin embargo “m” de estos renuncian a su parte y entonces, cada uno de los restantes se beneficia en “n” dólares más. ¿Cuántos son los parientes? A) (m+n) B) 2m C) 2n D) m E) n RESOLUCIÓN Sea “x” el # de parientes, c/u inicialmente recibiría: *

2mn x

Pero “m” renuncian a su parte, entonces cada uno recibe ahora:

2mn x−m

*

Con lo cual cada uno de los restantes se beneficia en “n” dólares mas.

2mn 2mn − = n x−m x

2mx − 2mx − 2m² = x (x−m)

x² − mx − 2m² = 0 0 ( x − 2m) ( x + m) =

= x1 2m x2 = −m

∴ x = 2mRPTA.: B 24. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles les sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 RESOLUCIÓN Sea “x” el número de personas 50x > 320 → x > 6,4 40x < 320 → x < 8 6,4 < x < 8 x=7 ⇒ # de hijos es 6RPTA.: B 25. El cuadrado de la edad de Juan menos 3 es mayor que 165. En cambio el doble de su edad más 3 da un número menor que 30. ¿Cuántos años tiene Juan? A) 20 B) 13 C) 18 D) 11 E) 15 RESOLUCIÓN Sea “x” la edad de Juan. x² − 3>165 → x²>168 → x > 12,9 2x + 3 507 ∧ 51−3x>2 2x² > 510 ∧ 51−2>3x x²>255

∧

x>15,96... Luego:

16

35.

16,3

Luego : x = 16 años Se pide : 90−4(16) = 26RPTA.: C 33. La inscripción como socio de un club de natación cuesta 840 soles para las 12 semanas de la temporada de verano. Si un socio ingresa después de comenzada la temporada, sus derechos se fijan proporcionalmente. ¿Cuántas semanas después de iniciada la temporada ingresaron 3 socios simultáneamente si pagaron juntos 1680 soles? A) 7 B) 6 C) 5 D)4 E) 3 RESOLUCIÓN 12 semanas cuestan 840

840 12  840  ⇒ x semanas cuestan:  x  12 

⇒ 1 semana cuesta:

⇒ los 3 socios pagan:

 840  3  x = 1680  12 

10 m 3

RESOLUCIÓN

CASA r

∨ r= 10 RPTA.: C

Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año se gastó 100 soles y aumento el resto con un tercio de este; el año siguiente volvió a gastar 100 soles y aumentó la suma restante en un tercio de ella; el tercer año gastó de nuevo 100 soles y después de que hubo agregado su tercera parte, el capital llego al doble del inicial. Halle el capital inicial. A) 1480 B) 1840 C) 8140 D) 4180 E) 1520 RESOLUCIÓN Capital inicial: x Al final del primer año: x − 100 Al aumentar en

1 4 → ( x − 100 ) 3 3

Luego de tres años tendrá:

 4 4 4  2x   ( x − 100 ) − 100 − 100 = 3 3 3  

4 4 3x 3x + 200 2 ( x − 100) − 100 = + 100 =  3 3 2  4 9x + 600 9x + 1400 = + 100 = ( x − 100 ) 3 8 8

36.

210x = 1680 x = 8(se les cobró por 8 semanas), luego ya habían transcurrido: 12 − 8 = 4 semanasRPTA.: D 34. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 m, ella podría abarcar cuatro veces el área original. Entonces la longitud original de la cuerda es: A) 20 m B) 15 m C) 10 m D) 5 m E)

10 r= − 3

 16, 3 > x  ∧ x< 16, 3

15,96

3 π r² 4

32(x−100) = 3(9x+1400) 5x = 7400 x = 1480RPTA.: A La suma de dos números es tres y la suma de sus cuadrados 4,52. Halle la raíz cuadrada de la diferencia de sus cuadrados aumentada en cuatro centésimos. A) 0,8 B) 0,6 C) 0,5 D) 0,4 E) 0 RESOLUCIÓN x+y=3 x² + y² = 4,52

x² − y² +

4 ...............(I) 100

(x + y)² = x² + y² + 2xy 3² = 4,52 + 2xy 2xy = 4,48 (x−y)² = x² + y² − 2xy (x−y)² = 4,52 − 4,48 x − y = 0,2

( x + y ) ( x − y ) + 0,04 0,8 (3) (0,1) + 0,04 =

En (I): 10

=

RPTA.: A

PRACTICA DE CLASE 01. Dividir 90 en dos partes tales que 3 veces más la parte mayor excede a 200 tanto como 11 veces la parte menor es excedido por 300. Indique cuántas veces más es la parte mayor que 10. a) 2 d) 7

b) 6 e) 4

c) 5

02. Al gastar el señor Pérez tantas veces 5 céntimos de sol. Como soles tenía en su bolsillo, le quedó 38 soles. ¿Cuántos soles le hubiera quedado si hubiera regalado tantas veces 50 céntimos como la mitad del número de soles que tenía? a) 38 d) 25

b) 37,5 e) 20

c) 3

03. En un tiro al blanco se disparan 25 litros pagando 0,40 soles por tiro que no da en el blanco y recibiendo 11 n soles por cada blanco que se haga. Si se sabe que el tirado pagó 10 soles. Calcule el número de blancos que hizo. a) 10 d) 18

b) 5 e) 3

c) 0

04. Dos decenas de litros cuestan tantos soles como libros dan por S/. 2880. ¿Cuánto cuesta cada libro? a) S/. 16 d) S/. 12

b) S/. 20 e) S/. 8

c) S/. 9

05. Un grupo de palomas se aproxima a un grupo de postes, si en cada poste se posan 3 palomas resultarían 2 postes sobrantes, en cambio, si en cada poste se posan 2 palomas haría falta 2 postes más. I. Hay 24 palomas II. Hay 12 postes III. Si hubiesen 4 postes menos, en cada poste habrían 4 palomas a) Sólo I d) I y II

b) Sólo II e) I y III

c) sólo III

06. Se ha calculado el promedio del paso de un grupo de chicos, se une David al grupo, que pesa 39 kg, y el promedio se transforma en 51 kg. Más tarde se une Pablo, que pesa 61 kg. y el promedio pasa ser 52 kg. ¿Cuál era el promedio ante de que llegaran David y Pablo? a) 50 kg d) 48.5 kg

b) 49 kg e) 51.5 kg

c) 52.5 kg

07. Una persona compra 3 bicicletas y paga en total “p” soles; la tercera cuesta “q” soles menos que la primera y la segunda juntas; y la primera cuesta “R” soles más que la segunda, ¿Cuál es el precio de la segunda bicicleta? P − Q − 2R P + Q − 2R a) b) 4 3 P − Q + 2R P + Q − 2R c) d) 4 3

c)

P + Q + 2R 4

08. Se reparte una cantidad entre 3 personas de tal manera que cada uno recibe el doble del anterior. Por error se entrega las partes en orden inverso y uno recibe 270 soles menos ¿Cuál fue la menor de los partes? a) S/. 180 d) S/. 45

b) S/. 270 e) S/. 70

c) S/. 90

09. En la fecha inaugural de un torneo interclubes de fulbito, los capitanes de equipo intercambian banderines y ser estrecharon la mano; un espectador advirtió que la diferencia entre el número de banderines intercambiados y el número de apretones de mano fue de 120. ¿Cuántos clubes participaron?

a) 16 d) 14

b) 15 el 12

c) 13

10. Descomponer el número 8 en dos partes tales que dividiendo una entre la otra se obtiene 3 de cociente y 4 de resto. Hallar la mitad de la diferencia entre las dos partes. a) 14 d) 37

b) 13 e) 26

c) 11

11. Un número de cuatro cifras termina en 4. En él mismos e verifica que si la cifra de las unidades se coloca delante de las otras tres manteniéndose el orden de éstas, el número obtenido supera al anterior en 1638. Hallar la suma de cifras de dicho número. a) 13 d) 10

b) 21 e) 14

c) 18

12. Se desea pagar una deuda con monedas de S/. 5 y S/. 12 (en total 15); en el momento del pago se intercambio el número de monedas por equivocación pagándose S/. 3 demás. ¿Cuántas monedas de S/. 2 se entregó? a) 8 d) 5

b) 7 e) 6

c) 9

13. Una almacén debe vender todo su stock de televisores para cubrir algunos gastos de emergencia. Si vende cada televisor a su precio normal se ganará S/. 4000; pero si se vende cada televisor en S/. 90 menos, perdería S/. 2300 ¿Cuántos televisores posee? a) 120 d) 60

b) 100 e) 75

c) 70

14. Dos cirios de la misma altura y calidad se consumen de la siguiente forma: el primero en 40` y el segundo en 30`y en forma constante. El segundo se enciende 4`después que el primero. ¿después de qué tiempo de encendido el primero las alturas de ambos serán iguales? a) 16` 6) 18` c) 12` d) 14` e) 20` 15. Cuando un comerciante compra cuadernos le regalan 2 por cada 7 y cuando los vende regala 1 por cada 8 ¿Cuántos cuadernos compró si vendió 700? a) 650 d) 800

b) 850 e) 900

c) 750

16. Si te doy dos de mis canicas, la relación de mis canicas a las tuyas será de 1 a 3; pero si tú me das una canica, tendremos igual cantidad ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por raíces el número de caninas cada uno? a) x2 - 8x +15 c) x2 - 12x - 35 e) x2 - 12x +35

b) x2 - 10x +21 d) x2 - 10x +24

17. Los pesos de un padre y su hijo son entre sí como 19 es a 7, los pesos de una madre y su hija es como 13 es a 7. Si los pesos de los varones excede al de las demás en 30 kilos; halle la suma de cifras del resultado de sumar los 4 pesos, si ninguno de ellos es mayor que 100. a) 7 d) 12

b) 5 e) 10

c) 13

18. Halle el número entero que está entre 12 y 96, de modo que sea tantas vece más que 16 como 96 es tantas veces dicho número. a) 28 d) 45

b) 35 e) 48

c) 39

19. Al finalizar el juego de ping - pong Carmen comenta a María: Si te hubiera dado tres puntos menos de ventaja, te habría ganado con una diferencia de seis puntos. Si maría anotó 10 puntos (sin contar con la ventaja dada) y el juego de ping pong es hasta los 21 puntos, ¿cuántos de ventaja dio Carmen a María? a) 35 b) 5 c) 8 d) 9 e) 10 20. Un hacendado piensa: Si vendo mis ovejas a S/. 200 cada una podré comprar un automóvil y tener S/. 900 de sobra. Pero si las vendo a S/. 180, comparando el automóvil me sobraría sólo S/. 60. Halle la cantidad de ovejas del hacendado. a) 42 d) 100

b) 30 e) 450

c) 90

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 01. Un comerciante gastó S/. 171 en igual número de cuaderno y borradores. Si cada borrador costó un sol y cada cuaderno S/. 2 entonces el total de artículos comprados es: a) 100 d) 104

b) 114 e) 120

c) 86

02. Una cantidad de $ 1350 se ha pagado con billetes de 100 y 50 dólares. ¿Cuántos billetes de 100 dólares se han dado, si los billetes de 50 dólares son 6 más que los de 100 dólares? a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5

03. A una reunión asistieron 200 personas. María bailó con 7 muchachos; Olga con ocho; Anita con nueve y así sucesivamente hasta llegar a Carola que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos habían en dicha reunión? a) 113 d) 103

b) 115 e) 93

c) 105

04. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/. 250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/. 300 ¿Cuántos era los trabajadores inicialmente? a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 4 05. La diferencia de 2 números más 60 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 50 unidades. Hallar la suma de los números, si el mayor es el triple del menor. a) 120 d) 210

b) 180 e) 160

b) 16 e) 7

c) 8

07. Un padre va con sus hijos al cine y al sacra entradas de a 3 soles observa que le falta dinero para tres de ellos y tiene de a S/. 1.50 así entran todos y le sobra S/. 3 ¿Cuántos eran los hijos? a) 6 d) 8

b) 7 e) 9

c) 5

08. Se sabe que una naranja y una manzana cuestan 80 céntimos de sol entre los dos. Sabiendo que 6 naranjas cuestan tanto como 4 manzanas. ¿Cuánto cuestan 15 manzanas? a) S/. 6

b) S/. 6,4

e) S/. 8,4

09. A cierto número para se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que lo siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par en referencia es: a) 162 d) 150

b) 120 e) 63

c) 36

10. Una persona quiere comprar 450 pelotas o por el mismo dinero 50 polos y 50 short. Si al final compró el mismo número de objetos de cada clase, hallar el número de short y polos comprados al final. a) 80 d) 90

b) 60 e) 120

c) 100

11. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 120. ¿Cuánto tengo? a) 110 d) 36

b) 90 e) 16

c) 12

12. En un rascacielos de 54 pisos, Sofía vive en el piso 23 y Ana en el tercer piso. Con respecto al primer piso, ¿Cuántas veces más alejada se encuentra Sofía que Ana? a) 23/3 d) 27/3

b) 20/3 e) 33/3

c) 30/3

13. Si tengo S/. 1024 y además se sabe que tengo tantas monedas como el valor en soles de cada moneda, ¿Cuántas monedas tengo? a) 19 d) 28

b) 31 e) 18

c) 32

14. Yo tengo el cuádruple de lo que tú tienes. Si tuvieras 5 soles más de lo que tienes, yo tendría dos veces más de lo que tú tendrías. ¿En cuánto se diferencian nuestras cantidades? a) 40 d) 35

b) 45 e) 50

c) 30

c) 220

06. En un corral hay liebres y gallinas. Si comparamos el doble del número de cabezas con el número de patas. Éste excede a aquel en 16. ¿Cuántas liebres son? a) 3 d) 6

d) S/. 7,20

c) S/. 17

15. Se ha comprado cierto número de lapiceros por S/.100. Si el precio por unidad hubiese sido S/.1 menos se tendría 5 lapiceros mas por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros se compró? a) 15 d) 20

01 02 03 04 05 06 07

b) 18 e) 16

B A D B C C B

CLAVES 08 D 09 C 10 D 11 C 12 13 C 14 B

c) 10

15

D