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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

Un aspecto importante en las Ciencias (Matemáticas, Físicas, Ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este capitulo nos ayudará traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y apartir de ellas resolverlas. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

LENGUAJ LENGUAJ E E MATEMÁTICO MATEMÁTICO

TRADUCCIÓN

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incognitas. Ejms.: 5x - 4 x - 3y + 4 = 0 2 2 3 - 7 = 0; x - 3x + 4 = 5x + 8x ; 5x + 7y - 10 = 0 2x - 1

{

EL ARTE DE PLANTEAR UNA ECUACIÓN Un problema muy remoto que solían plantear nuestros antecesores, decía:

PROBLEMA

“Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas que le dejó su marido. Si nacía una niña, de acuerdo con las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si nacía un niño. La madre la mitad de la parte del hijo. Pero..., ¡nacieron mellizos: un niño y una niña!”. ¿Cómo repartió dicha herencia la viuda?

¿Cómo podre dividir la herencia para cumplir con las condiciones impuestas?

SOLUCIÓN : Observemos el siguiente esquema: niña mamá niño +

+

Recibe el doble de la niña

= 3 500

Recibe el doble de la mamá

Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nos resulta a S/. 500 cada parte. El reparto debe efectuarse del siguiente modo: Recibe Niña: S/. 500 Mamá: S/. 1000 Niño: S/. 2000 Otra forma de plantear utilizando ecuacines es:

el

problema

Sea “ x ” el monto que corresponde a la niña niña mamá niño GH G55 H G5 H x + 2x + 4x = 3500 7x = 3500 Þ x=500 Por lo tanto, cada uno recibe:

www.antorai.com.pe

9

Álgebra

Compendio Académico I

Recibe Niña: x= S/. 500 Mamá: 2x=2(500)=S/. 1000 Niño: 4x=4(500)=S/. 2000

ENUNCIADO (Forma verbal)

EXPRESIÓN MATEMÁTICA (Forma simbólica)

 La suma de dos números consecutivos más 3

(x) + (x + 1) + 3

 El producto de 5 números consecutivos es m

(x)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m Otra forma de plantear: (a – 2)(a – 1)(a)(a + 1)(a + 2) = m

 Tres menos de dos veces un número x

2x – 3

 Tres menos dos veces un número x

3 – 2x

    

A excede a B en 4 A es mayor que B en 4 El exceso de A sobre B es 4 B es excedido por A en 4 La diferencia entre A y B es 4

A:

x+ 4 x

A = B+4 Yo : x+20 Tú : x Yo: x – 40 Tú: x

 Yo tengo S/. 20 más que tú      

B:

Yo tengo S/. 40 menos que tú Tú tienes S/. 40 más que yo A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad A A tiene una vez más de lo que posee B

A:

B:

2x

x

La frase “una vez más“ equivale a: el doble.  A tiene el triple de lo que tiene B  A tiene dos veces más de lo que tiene B  A es dos veces mayor que B En resumen: Una vez más

el doble Dos veces más

el triple  Tú tienes el doble de mi dinero que es S/. 30 más que el dinero de él.  Si tú me das S/. 20, entonces tendremos igual cantidad de dinero “la diferencia entres ambos es el doble de 20”  El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20.  El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20.  La suma de los cuadrados de dos números  El cuadrado de la suma de dos números

–10–

A = 2B A:

B:

3x

x

A = 3B

Tres veces más

cuádruplo Cuatro veces más

quintuplo Yo: x Tú: 2x Él: x – 30 Yo (A): Tú (B):

a a + 40

el el

B - A = 40

Sea “y” lo que tengo: 20 Sea “y” lo que tengo: 20) Sean “x” e “y” los números: y2 Sean “x” e “y” los números: y)2

4y + 4(y + x2 + (x +

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

   

A es a B como 3 es a 5 La relación entre A y B es 3/5 A y B están en la razón de 3 a 5 A es a 3 como B es a 5

 Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.

A:

3k

B:

Nº fichas rojas: Nº fichas Azules:

5k

A 3 = B 5

3k 5k

Nº fichas rojas 3 = Nº fichas azules 4

Procedimiento Procedimiento para para plantear plantear una una ecuación ecuación :: 1.- Leer bien el enunciado del problema. 3.- Fijar la incógnita mediante una variable. 5.- Resolver la ecuación.

Problema 1 El exceso de 8 veces un número sobre 60, equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número ¿Calcular dicho número? a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9 Solución: Recuerda que:

Sea “x” el dinero de Aurora al inicio Recibió tres dolares: x 3 Si hubiera perdido lo recibido: x  3 Recuerde que “3 veces más que un número” equivale a decir: el cuadruplo del número Luego, planteando la ecuación

Exceso (diferencia entre 2 cantidades)

A

B

8x  60  60  7x 15x=120

x  3  4  x  3 Operando: Resolviendo:

x  3  4x  12 15  3x  x= 5 Rpta.

Problema 3

Sea “x” el número El exceso de 8 veces el número sobre 60: 8x  60 El exceso de 60 sobre 7 veces el número: 60  7x Planteando de acuerdo al enunciado: Resolviendo: Rpta.

2.- Separar los datos. 4.- Fijar un plan de solución.



x= 8

Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta quedó disminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron? a) 49 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 Solución: Sea “x” el número de personas al inicio Se retiran 14 personas: Quedó disminuida en sus 2/9 :

Problema 2 Aurora recibió tres dólares, tuvo entonces tres veces más de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7 Solución: www.antorai.com.pe

x  14  x 

Del enunciado tenemos: Resolviendo:

x  14 

x  14 2 x 9

7 x 9

2 x 9



9x  126  7x 2x  126



x  63 11

Álgebra

Compendio Académico I

Quedaron en la reunión: Rpta.

63  14  49

Problema 4 Si al triple de la edad que tengo le quito mi edad aumentada en 8 años; tendría 16 años ¿Qué edad tengo? a) 11 años b) 10 años c) 15 años d) 13 años e) 12 años Solución: Sea “x” mi edad actual El triple de mi edad: 3x Mi edad aumentada en 8: x+8 Planteando la ecuación: Resolviendo: 3x   x  8   16 3x  x  8  16

2x  24  x= 12 Rpta.

Problema 5

Tome en cuenta el siguiente gráfico para poder plantear el problema: 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4417día 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 48 24 horas Faltan por horas transcurridas transcurrir

24  x

x

Sea “x” la hora exacta del enunciado “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas significa, que la diferencia entre la hora actual y lo que falta transcurrir es 9, es decir: x  (24  x)  9 x  24  x  9 33  x x  16,5 horas 2  x  4:30 p.m. x  16h 30 min Rpta. Resolviendo:

Problema 7

Entre dos personas tienen 600 soles, si uno de ellos diera 100 soles al otro, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene uno de ellos? a) 350 soles b) 250 soles c) 400 soles d) 300 soles e) 450 soles Solución: Sea “ x ” lo que tiene la 1ra persona Entre los ambos tienen 600 soles, podemos suponer que la 2da persona tiene: 600  x

Lo que tengo más lo que debo es 2200. Si pagara lo que debo me quedarían 1000 soles ¿Cuánto debo? a) 400 soles b) 500 soles c) 600 soles d) 700 soles e) 800 soles Solución: Sea “x” lo que debo Como la suma de lo que tengo y lo que debo es 2200, podemos afirmar que:

Cuando dice: “Si uno diera al otro 100 soles, ambos tendrían la misma cantidad”, significa que la diferencia entre ambos es el doble de 100:

Lo que tengo será: 2200  x “Si pagara lo que debo me quedaría 1000 soles”,

x  (600  x)  200 Resolviendo: x  600  x  200  x  400



400 soles

Problema 8 200 soles Rpta.

Problema 6 A Mario le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas.” ¿Qué hora es? a) 4:15 p.m . b) 3:50 p.m . c) 3:45 p.m. d) 4:20 p.m . e) 4:30 p.m. Solución:

–12–

2200  2x  1000 2200  1000   x x  600 2 Luego, lo que debo es: 600 Rpta. Resolviendo:

2x  800

Lo que tienen ambos es: 1ra. persona: 400 soles 2da. persona: 600  400 

(2200  x)  x  1000

es decir:

Hallar un número entero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dicho número sobre 119 es igual al décuplo del exceso del número sobre 8. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Resolución: Sea el “x” el número Del enunciado, planteando tenemos: 2

x  119  10(x  8) Operando y resolviendo:

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1 x  7  2x  34  x  34  7

x  10x  39 x  119  10x  80   (x  10) x  13(3) 2

2

Identificando el valor:

En la ecuación (3) hallamos el valor de “y” y  31 y  41  10 

x  13 Rpta.

Por lo tanto, Elias tiene:

Problema 9 Dos números consecutivos son tales que la tercera parte del mayor excede en 15 a la quinta parte del menor. El número mayor es: a) 110 b) 109 c) 55 d) 111 e) 54 Solución: Sea

El número menor: x El número mayor: x+1

Del enunciado tenemos: 1 1 ( x + 1) - x = 15 3 5

2x = 220

Por lo tanto: El número menor: 110 El número mayor: 111

Problema 10 Elías dice a Aurora: “Si me das S/. 7, tendré el doble de lo que posees tú.”, y Aurora le contesta:, “Tú tienes más que yo, pues si me das S/. 5 tendríamos cantidades iguales.” ¿Cuánto tiene Elías? a) S/. 42 b) S/. 53 c) S/. 48 d) S/. 49 e) S/. 41 Solución: En este problema utilizaremos dos variables. x y

Traduciendo el enunciado: x  7  2(y  7) ….

(1) 2

do

Aurora contesta:

x 5  y 5

…..

(2) y  x  10 De (2), despejando tenemos: ….. (3) Reemplazando (3) en (1) tenemos: x  7  2 (x  10)  7 Resolviendo:

x  7  2(x  17)

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Problema 11 Se han comprado por 6000 soles cierto número de escritorios, si se hubiera comprado 30 más con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. ¿Calcular el número de escritorios? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Sean:

El número de escritorios: n El valor de cada escritorio: x Del enunciado: “Como el valor de todos los escritorios es 6000” …(I)

“Si se hubiera comprado 30 más con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato”, podemos plantear

Rpta.

1ro Elías dice a Aurora:

Rpta.

nx  6000

111

Lo que tiene Elías: Lo que tiene Aurora:

S/. 41

Solución: En este problema utilizaremos dos variables.

5(x + 1)- 3x = 15 Resolviendo: 15 5x + 5 - 3x = 225 Þ Þ x = 110

Sean

x  41

(n  30)(x  180)  6000

… ( II )

Igualando ( I ) y ( II ) nx  (n  30)(x  180) Resolviendo:

nx  nx  180n  30x  5400

30x  180n  5400



x  6n  180

… ( III )

Multiplicando por “n”, a (III): xn  6n2  180n 2 Reemplazando de (I): 6000  6n  180n 2 2 1000  n  30n  n  30n  1000 (n  30) n  20(50) Identificando el valor: n  20 Rpta. Problema 12

En una fiesta infantil a Ibethe le ofrecieron 60 galletas, luego de 1 hora le preguntaron por las galletas que se comió a lo que ella respondió: “Comí 2 veces más de lo que no comí, menos 40 galletas.” ¿Cuántas galletas comió Ibethe? a) 35 b) 20 c) 30 d) 45 e) 37 13

Álgebra

Compendio Académico I

Solución: Sea “x” lo que comió. De las 60 galletas, lo que no comió es: 60  x El enunciado dice: “Comí 2 veces más de lo que no comí, menos 40 galletas”, recordar que “2 veces más es equivalente al triple entonces, podemos plantear: x  3(60  x)  40 Resolviendo: x  180  3x  40 4x  140  x  35 Lo que comió:

35

Rpta.

Problema 13 Se tienen 54 monedas las cuales se separan en tres grupos: del primero se pasan al segundo tantas monedas como hay en éste; del segundo al tercero tantas monedas como la mitad que tenía éste obteniéndose igual cantidad de monedas en cada grupo. El primer grupo tenía: a) 25 monedas b) 30 monedas c) 26 monedas d) 12 monedas e) 24 monedas Solución: Analizando: Si al final se tiene que de las 54 monedas estas se reparten en igual cantidad, entonces el número de monedas de cada grupo es: 54  3  18 monedas. Si en el tercer grupo habían “x” monedas, y le llegan la mitad de lo que tenía, se cumple que: x 3x x   18   18  x  12 2 2 Vamos a representar gráficamente la repartición: 1º 2º 3º +6 +y x y 12

x - y = 18

2y - 6 = 18

Resolviendo la segunda ecuación y = 12 Reemplazando x - 12 = 18

en

la

primera

ecuación:

 x  30 En consecuencia, El 1er. grupo tiene: 30 El 2do. grupo tiene: 12 El 3er. grupo tiene: 12 Luego, el 1er. grupo tiene: Rpta. Problema 14

Manuel compra la mitad de un rollo de alambre, menos 12 metros. Raúl compra un tercio del mismo rollo, más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Manuel. ¿Cuántos metros compró Manuel? a) 52 m b) 60 m c) 72 m d) 44 m e) 50 m Solución: Sea: “x” metros medida del rollo de alambre x - 12 … (*) Manuel compra: 2 x +4 Raúl compra: 3 Como lo que compra Raúl es 8 metros menos que Manuel, podemos afirmar que: æx ö ÷ ç ÷ ç ÷ç2 - 12ø è

Resolviendo: x x x x - 12 - - 4 = 8  = 24  x = 144 2 3 2 3 Para saber cuento compró Manuel, debemos 144 - 12 = 72- 12 = 60 reemplazar en (*): 2 Manuel compró 60 m Rpta. Problema 15 Se tienen dos terrenos rectangulares cuyos lados correspondientes son igualmente proporcionales. El perímetro del primero es 84 m, el ancho y el largo del segundo miden 15 m y 20 m respectivamente. Luego las medidas del primer terreno son: a) 19 m y 23 m b) 16 m y 26 m c) 17 m y 25 m d) 20 m y 22 m e) 18 m y 24 m Solución: Como el perímetro del rectangulo es 84, entonces la suma del largo y el ancho es 42. Podemos suponer que: x La longitud del ancho es: La longitud del largo es: 42 - x Ayudémonos con un gráfico:

x

15 42  x

30 monedas

Por la proporcionalidad:

Resolviendo:

–14–

æx ö ÷ ç ÷ ç ÷= 8 ç3 + 4ø è

20 x 42  x  15 20

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

x 42  x   4x  126  3x  7x  126 3 4  x  18 Por lo tanto: La longitud del ancho es: La longitud del largo es: Las Rpta.

dimensiones

son:

18 24 18 y 24

Problema 16 Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 soles. Lo que gasta y lo que cobra están en la relación de 2 á 3. ¿Cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 16 soles b) 24 soles c) 32 soles d) 15 soles e) 20 soles Solución: 1a. Parte: Gasta: 2k Cobra: 3k Del enunciado: 2k  3k  600 Resolviendo: k  120 soles Entonces: Gasta: 240 y Cobra: 360 2a. parte: Sea “x” el gasto que se tiene que disminuir 240  x 3  Podemos plantear: 360 5 Resolviendo: x  24 soles Rpta.

BLOQUE I 1. Yuliani fue al mercado con S/. 850. Si gastó el cuádruple de lo que no gastó. ¿Cuanto gastó? a) S/. 340 b) S/. 680 c) S/. 740 d) S/. 540 e) S/. 480 2. Be tty tiene el triple que Ana, y Carmen S/. 4 más que Betty. Si entre las tres tienen S/. 620, ¿cuánto tiene Carmen? a) S/. 264 b) S/. 268 c) S/. 240 d) S/. 320 e) S/. 480 3. En la feria de Huancaro, Jaimito observó que por cada 3 chanchos había 4 pavos. Si www.antorai.com.pe

en total contó 220 patas. ¿Cuántas alas había en la feria? a) 33 b) 40 c) 44 d) 88 e) 80 4. En una caja registradora hay S/. 2400, en billetes de S/. 10 y de S/. 100. Si hay doble número de billertes de los primeros que los segundos. ¿Cuántos billetes de S/. 10 hay? a) 20 b) 60 c) 30 d) 10 e) 40 5. A un alambre de 130 cm. de longitud se le da tres cortes, cada pedazo mide 5 cm. más que el anterior. Uno de los pedazos mide: a) 20 cm b) 38 cm c) 10 cm d) 24 cm e) 35 cm 6. En una fiesta hay tantos hombres como mujeres. Si se retiran 5 hombres y 10 mujeres, el número de mujeres seríán los 2/3 de los hombres. ¿Cuántos hombres quedan? a) 10 b) 18 c) 15 d) 20 e) 12 7. Un recipiente lleno de leche vale S/. 70. Si se sacan 80 litros vale S/. 14, ¿cuál es la capacidad del recipiente? a) 150 L b) 180 L c) 96 L d) 100 L e) 200 8. Ángel y Beto empiezan a jugar con S/. 80 cada uno. Si Beto tiene ahora el triple de lo que tiene Ángel, ¿Cuántos soles ha perdido Ángel? a) 60 b) 24 c) 10 d) 40 c) 16 9. Si subo una escalera de 5 en 5 doy cuatro pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos pasos daría al bajar la escalera de 4 en 4 escalones? a) 24 b) 30 c) 20 d) 25 e) 40 10. Tenía S/. 480 y gasté la tercera parte de los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? a) 400 b) 80 c) 320 d) 160 e) 200 11. Una alumna decía: “De los S/. 60 que tenía, si no hubiera comprado un regalo para mi profesor, que me costó S/. 16, tan solo hubiera gastado los 2/3 de lo que no hubiera gastado”. ¿Cuánto gastó la alumna? a) 20 b) 40 c) 32 15

Álgebra

Compendio Académico I

d) 24

e) 26

12. Con una misma suma de dinero se puede comprar 24 mesas y 36 sillas o 36 mesas y 12 sillas. ¿Cuántas mesas se podrá adquirir con dicha suma de dinero? a) 40 b) 24 c) 42 d) 20 e) 22 13. ¿Qué fecha será en un año bisiesto cuando la séptima parte del número de días transcurridos sea igual a la quinta parte de los días que falta transcurrir, disminuido en 6? a) 11 de julio b) 13 de julio c) 15 de julio d) 12 de julio e) 14 de julio

equipo de sonido. Pero es despedido a los 10 meses de trabajo, recibiendo un pago de S/. 600 más los dos artefactos. De haber sido despedido a los 8 meses, habría recibido solo S/. 580 y el equipo de sonido. ¿Cuántos soles cuesta el televisor? a) 250 b) 100 c) 120 d) 180 e) 150 20. Cuando compro me regalan un cuaderno por cada docena y cuando vendo regalo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1000? a) 360 b) 720 c) 320 d) 960 e) 340 BLOQUE II

14. Mónica tiene sólo billetes de S/. 10 y Sharli solo de S/. 5 y entre ambos tienen S/. 420. Si Mónica le regalaría 4 billetes a Sharli, entonces ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tiene Mónica? a) S/. 290 b) S/. 160 c) S/. 220 d) S/. 250 e) S/. 120

1. Si Juan recibe S/. 5 tendría el doble que si hubiera gastado S/. 5. ¿Cuánto tiene Juan? a) S/. 18 b) S/. 15 c) S/. 9 d) S/. 10 e) S/. 5

15. Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final, de que él tiene el triple de dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos S/. 120. ¿Cuánto tenemos entre ambos? a) S/. 120 b) S/. 160 c) S/. 80 d) S/. 250 e) S/. 100

2. Se pesan a un chancho, un pavo y una gallina. El perro pesa 3 kg. más que el pavo y la gallina pesa 3 1/2 kg. menos que el pavo, si los tres juntos pesan 13 kg., ¿Cuánto pesa la gallina? a) 1/2 kg. b) 1 kg. c) 1/3 kg. d) 1 1/2 kg. e) 2 kg.

16. En una familia, el hermano mayor dice: “Mis hermanos son el doble de mis hermanas” y la hermana mayor dice:”Tengo 5 hermanos más que hermanas”. ¿Cuántos hijos (varones) hay en dicha familia? a) 9 b) 7 c) 3 d) 10 e) 8

3. Dos personas tienen 200 y 250 dólares. Si hacen el mismo gasto, la relación de los saldos es de 5 a 3; indicar cuánto de saldo tienen entre los dos. a) $ 300 b) $ 200 c) $ 180 d) $ 210 e) $ 320

17. En una fiesta hay tantos varones bailando como mujeres sin bailar y ningún varón sin bailar; una vez que se retiran 70 mujeres y 20 varones y todos salen a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas personas había inicialmente? a) 190 b) 110 c) 160 d) 100 e) 150

4. La cantidad de libros de dos personas son tales que una excede a la otra en 15 libros, además el doble de la tercera parte de la cantidad menor es igual a la mitad de la segunda. ¿Cuántos libros deberá prestar el que tiene más al otro de tal forma que la diferencia sea mínima? a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 8

18. Entre todos los profesores de un colegio se desea comprar un retro proyector, cuyo costo es de 280 dólares; pero como se incorporan dos profesores a la plana, entonces ahora cada uno debe dar 7 dólares menos. ¿Qué cantidad de profesores hay en dicha plana? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 19. Por el trabajo de un año, a un obrero le prometen pagar S/. 800, un televisor y un

–16–

5. Entre Efraín y Fanny tienen S/. 1600, si Fanny le regalaría a Efraín S/. 45, ambos tendrían la misma cantidad. La mayor cantidad que tiene uno de ellos es: a) 960 b) 780 c) 845 d) 835 e) 815 6. La suma de dos números es 74 y su diferencia dividida entre el menor da 3 de cociente y 4 de residuo. Hallar el producto de los números.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 840 d) 960

b) 810 e) 980

COMPENDIO ACADÉMICO c) 920

7. Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales la suma de S/. 20000, como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tienen que pagar S/. 1500 más, ¿Cuántas personas no pagaron? a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 2 8. María Fernanda fue de compras al mercado de flores llevando S/. 120, pero compró 3 rosas menos porque cada rosa le costó S/. 2 más. ¿Cuántas rosas compró? a) 10 b) 18 c) 12 d) 11 e) 9 9. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana diario S/. 10 más que el segundo, si después de laborar el mismo número de días; el primero recibió S/. 270 y el segundo S/. 180. ¿Cuánto gana diariamente el segundo? a) S/. 10 b) S/. 20 c) S/. 30 d) S/. 25 e) S/. 40 10. Don Antonio desea repartir su herencia a sus tres hijas, recibiendo una el doble que la anterior hija más S/. 500 empezando así la repartición por la menor. Si por equivocación les repartió en el orden inverso, recibiendo así la última S/. 2400 menos. ¿Cuánto debió recibir la hija mayor? a) S/. 1100 b) S/. 1200 c) S/. 300 d) S/. 2500 e) S/. 2700 11. Al comprar 10 cuadernos me regalan 2 y al vender 15 regalo 1. ¿Cuántos debo comprar para ganar 24 cuadernos? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 190 12. Un comerciante compra pavos a 4 por S/. 45 y luego los vende a 3 por S/. 50. Si ha obtenido una ganancia de S/. 650, ¿cuántos pavos vendió? a) 120 b) 150 c) 860 d) 100 e) 980 13. El profesor Alexander puede colocar exactamente 80 libros de R.M. o 120 libros de R.V., si puede colocar igual cantidad de libros de ambos tipos, ¿cuántos colocaría en total el maestro? a) 42 b) 58 c) 52 d) 46 e) 48 14. Cinco amigos van a almorzar, todos comen por igual excepto dos de ellos que pidieron postre y por esa razón sus cuentas salieron S/. 2,50 más que los otros. Si entre www.antorai.com.pe

1

los cinco gastaron S/. 45. ¿Cuánto pagaron los que pidieron postre? a) S/. 8,50 b) S/. 11 c) S/. 12,50 d) S/. 10,50 e) S/. 7,50 15. ¿Que fecha será en un año no bisiesto cuando el triple de un número de días transcurridos, sea excedido en 130 por el cuádruple del número de días que faltan transcurrir? a) 9 de julio b) 8 de julio c) 10 de julio d) 12 de julio e) 11 de julio 16. En una reunión se encuentran tantos caballeros como 3 veces el número de damas; después se retiran 8 parejas. El número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? a) 48 b) 36 c) 24 d) 12 e) 20 17. Un comerciante vende café de dos variedades, si vende 5 kg de la primera variedad y 3 kg de la segunda variedad, el kilo de la mezcla vende a S/. 10, si vende 3 kg de la primera variedad y 2 kg de la segunda variedad, el kilo de la mezcla vende a S/. 12. Hallar el precio de venta del kilo de café de la primera variedad. a) S/. 16 b) S/. 18 c) S/. 20 d) S/. 12 e) S/. 10 18. Al preguntarle a Jaimito cuanto había gastado de los S/. 40 que le dio su madre, él respondió.”Si no hubiera comprado un regalo para mi madre que me costó S/. 10, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado.” ¿Cuánto gastó Jaimito? a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 25 d) S/. 30 e) S/. 35 19. Una sala tiene 3 metros más de largo que de ancho. Si el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho fuese 2 metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie. a) 150 m2 b) 180 m2 c) 160 m2 2 2 d) 170 m e) 120 m 20. De dos velas de igual calidad y del mismo diámetro, una tiene 24 cm. de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor duró 150 minutos en total? a) 64 cm b) 58 cm c) 52 cm d) 48 cm e) 62 cm 17

Álgebra

Compendio Académico I

21. En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuántas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1. a) 18 b) 22 c) 24 d) 16 e) 20 22. Un caballo y una mula caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que la mula le dijo: “De qué te quejas, si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble de la que te queda. En cambio, si te doy un saco tu carga se igualaráa la que me queda.” ¿Cuántos sacos llevaban entre los dos? a) 9 b) 13 c) 12 d) 16 e) 19

c) 17, 18, 19 e) 57, 58, 59

d) 47, 48, 49

6. La suma de tres números pares consecutivos es 366. Hallar los números. a) 110, 112, 114 b) 100, 102, 104 c) 120, 122, 124 d) 130, 132, 134 e) 140, 125, 142 7. La suma de tres números impares consecutivos es 237. Hallar los números. a) 71, 73, 95 b) 73, 75, 77 c) 35, 37, 39 d) 77, 79, 81 e) 79, 81, 83 8. Hallar tres números consecutivos de modo que el mayor entre el menor sea igual a los 3/10 del intermedio. a) 4, 5, 6 b) 5, 6, 7 c) 6, 7, 8 d) 7, 8, 9 e) 8, 9 ,10 9. Sean dos números consecutivos tales que la cuarta parte del mayor exceda en 5 a la sexta parte del menor. El número menor disminuido en uno es: a) 35 b) 48 c) 56 d) 59 e) 49

1. Hallar dos números consecutivos de tal manera que la suma del duplo del menor y el triple del mayor sea 103. a) 20 y 21 b) 21 y 22 c) 19 y 20 d) 18 y 19 e) 22 y 23 2. La suma de tres números enteros consecutivos es “n”. ¿Cuál de estos números representa al mayor? n n a)  1 b)  1 c) 3 3 3 1 n 3 d)  1 e) F.D. n 3. La diferencia entre el cuadrado del mayor y el cuadrado del menor de dos números consecutivos es igual a 5. Los números son: a) 5 y 6 b) 4 y 5 c) 2 y 3 d) 3 y 4 e) 1 y 2 4. Hallar el menor de tres números impares consecutivos tales que la suma de los dos últimos sea 29, más que el primero. a) 25 b) 27 c) 23 d) 19 e) 21 5. Hallar tres números naturales consecutivos tales que dos veces el menor sea 53 menos que tres veces el mayor. a) 37, 38, 39 b) 27, 28, 29

–18–

10. A un cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose en total 108 unidades. El producto de los dígitos del número par es: a) 2 b) 10 c) 4 d) 6 e) 8 11. La suma de 6 números pares consecutivos es 150, encontrar el número mayor. a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 12. A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par de referencia es: a) 42 b) 38 c) 36 d) 32 e) 34 13. Hallar el mayor de 3 números consecutivos tales que el cuadrado del número medio sea mayor en una unidad que el producto de los dos restantes. a) Infinito b) 35 c) 36 d) 85 e) 60 14. Hallar el menor de 2 números enteros consecutivos tales que la quinta parte del mayor exceda a la séptima parte del menor en 3. a) 45 b) 47 c)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 49 d) 51

COMPENDIO ACADÉMICO 1

e) 53

15. La diferencia de dos números más 60 unidades es igual al cuádruple del menor, menos 50 unidades. Hallar los dos números, siendo la suma de ellos 70. a) 20 y 50 b) 40 y 30 c) 10 y 60 d) 65 y 5 e) 35 y 35 16. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma que quedaría S/. 120. ¿Cuánto tengo? a) S/. 8 b) S/. 9 c) S/. 10 d) S/. 11 e) 12 17. El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. El número es: a) 8 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 18. La suma de dos números es 3966, al dividir el primero entre el segundo el cociente es 6 y el residuo 207. La diferencia de estos números es: a) 2490 b) 2892 c) 2846 d) 2932 e) 2967 19. Entre dos personas tienen S/. 1600, si una de ellas diera S/. 45 a la otra, ambas tendrían la misma cantidad. La cantidad mayor entre ellas es: a) S/. 960 b) S/. 845 c) S/. 835 d) S/. 815 e) S/. 780 20. La suma, el producto y la diferencia de dos números son entre sí como 5, 12 y 1. Hallar el menor. a) 4 b) 2 c) 8 d) 16 e) 12 21. Al comprar 11 lapiceros y 9 libros gasté S/. 51. Si hubiera comprado 9 lapiceros y 11 libros habría gastado S/. 49. ¿Cuál es el costo de 3 lapiceros y de 2 libros?. a) S/. 13 b) S/. 10 c) S/. 15 d) S/. 17 e) S/. 19 22. Tenía S/. 480 y gasté los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 280 b) S/. 310 c) S/. 300 d) S/. 360 e) S/. 350 23. Se llaman números “plutonianos” a aquellos que consecutivamente se van diferenciando en “x” unidades. Jaime toma 5 “plutonianos” consecutivos, el menor de los cuales vale “a + b” y al sumarlos se obtiene 8 veces el valor del que le sigue al primero. ¿Cuánto vale “x”? www.antorai.com.pe

a) 2(a+b) /3 c) 3(a+b)+2 e) absurdo

b) 3(a+b) /2 d) 2(b–a)/3

24. Juan tiene cuádruple cantidad de soles que Luis, si Juan le diera 45 soles a Luis ambos tendrían la misma cantidad en total. ¿Cuánto tenían ambos al principio? a) S/. 150 b) S/. 120 c) S/. 100 d) S/. 80 e) S/. 230 25. En una reunión familiar hay 50 varones y 30 mujeres, ¿Cuántos varones más deben de llegar cada uno acompañado de 3 chicas, para que el número de mujeres sea el doble de los varones? a) 50 b) 60 c) 40 d) 70 e) 85 26. En una fiesta, el número de chicos excede en 10 al número de chicas. ¿Cuántos chicos más deben de llegar cada uno acompañado por dos chicas, para que el número de varones y mujeres se igualen? a) 20 b) 15 c) 10 d) 30 e) 25 27. En un corral entre gallinas y conejos se cuentan 92 patas y 31 cabezas. ¿Cuál es la diferencia entre el número de gallinas y conejos? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 28. En una haciendo hay ovejas y patos, el número de ojos es 24 menos que el número de patas. Hallar el número de ovejas. a) 6 b) 10 c) 12 d) 16 e) 14 29. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 soles. Cada sombrero costó 2 soles y cada traje 50 soles. ¿Cuántos sombreros compré? a) 13 b) 26 c) 24 d) 36 e) 27 30. La longitud del largo de un rectángulo excede al ancho en 3 m. Si a cada dimensión se le aumenta en 1 m. la superficie se aumenta en 22 m2. Hallar las dimensiones del rectángulo. a) 12 m x 9 m b) 6 m x 9 m c) 12 m x 15 m d) 4 m x 7 m e) 7 m x 9 m 31. Una de las dimensiones de una sala rectangular es el doble de la otra. Si cada dimensión se aumenta en 5 m., el área aumentaría en 160 m 2. Hallar las dimensiones del rectángulo. 19

Álgebra

Compendio Académico I

a) 5 m x 10 m 16 m d) 18 m x 9 m

b) 6 m x 12 m

c) 8 m x

e) 14 m x 7 m

32. Tenía 480 soles y gasté los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 280 b) S/. 310 c) S/. 300 d) S/. 360 e) S/. 350 33. Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me quedan 20 soles más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? a) 100 b) 120 c) 160 d) 80 e) 90 34. Los 3/4 de un barril, más 7L son de petróleo y 1/3, menos 20 L son de agua. ¿Cuál es la capacidad del barril? a) 124 L b) 156 L c) 148 L d) 160 L e) 153 L 35. En un almacén se observa que al sumar los días de una semana de cierto mes, se obtiene 63. ¿Qué día de la semana empezó dicho mes? a) sábado b) domingo c) lunes d) martes e) miércoles 36. Un sapo recorrió 20 m dando 4 saltos, en cada salto avanzó 2 m menos que en el salto anterior. ¿Cuántos metros avanzó en el tercer salto? a) 8 m b) 6 m c) 4 m d) 2 m e) 10 m 37. Caperucita roja va por el bosque llevando una cesta con manzanas para su abuelita, si en el camino la detiene el lobo y le pregunta: “¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta?” y Caperucita le responde: “Llevo tantas decenas como el número de docenas más uno”. Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta. a) 30 b) 90 c) 120 d) 60 e) 180 38. Dos personas tienen “n” soles entre los dos. Si el primero diera “m” soles al segundo, éste tendría el triple de lo que le quedaría al primero. ¿Cuánto tiene el segundo? n n m n m a) b) c) 4 m 4 4 4n  m 3n m d) e) 4 4 39. Averiguando el número de miembros de una familia, un hijo varón respondió: “Tengo el doble de hermanos que hermanas”. Pero una hija contestó: “Mis hermanos son el

–20–

triple de mis hermanas”. El miembros de dicha familia es: a) 13 b) 15 14 d) 16 e) 12

total

de c)

40. Para una instalación de Luz, Carlos pidió 14 nuevos soles, por cada instalación de foco, incluyendo el material y la mano de obra y pensó ganar 672 nuevos soles, pero hizo una rebaja de 2 nuevos soles por foco y ganó solamente 448 nuevos soles. ¿Cuántos focos instaló Carlos? a) 160 b) 112 c) 140 d) 170 e) 125 41. Se tiene un montón de 89 monedas de 10 centavos y otro de 38 monedas de 5 centavos. Estas dos clases de monedas pesan respectivamente 10 y 25 g. ¿Cuántas monedas deben pasar de un montón a otro, para que los montones pesen igual sin variar el número de monedas de cada uno de ellos? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 42. Cierto número de personas alquilan un bus en $320, en el momento de la salida faltan 2 personas y por eso los demás tienen que pagar cada una $8 más. ¿Para cuántas personas se había contratado el bus inicialmente? a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 11 43. Pedro dice: “Yo tengo tantos hermanos como el doble del número de mis hermanas, más 2; pero Erika hermana de Pedro dice: “El triple del número de mis hermanas; más 2 es igual al número de mis hermanos.” ¿Cuántos hermanos son en total? a) 14 b) 15 c) 12 d) 13 e) 16 44. Si compro 7 cuadernos y 3 lapiceros gasto 44 soles y mientras que si compro 7 lapiceros y 3 cuadernos gasto 36 soles. ¿Cuánto se gasta comprando 2 lapiceros y un cuaderno? a) 11 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14 45. Cuando Anita le pregunta la hora a Carlitos, éste responde: “Faltan transcurrir del día “n” horas más de las transcurridas.” ¿Qué hora es? n n 6 n a) 12  b) 12  c) 2 2 2 6 n 12  n d) e) 2 2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

46. Los ahorros de un niño constan de:  P  1 ,  3P  5 y  P  3 monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 soles, el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 centavos? a) 900 b) 455 c) 345 d) 400 e) 360 47. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Romel, más 2 años. Hace 3 años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años la suma de sus edades de Romel y Pedro será: a) 36 años b) 30 años c) 26 años d) 20 años e) 18 años 48. Se reparten S/. 3000 entre cuatro personas de tal manera que a la primera le corresponda S/. 400 más que a la segunda; a ésta 3/5 de lo que le corresponde a la tercera, y a ésta S/. 600 más que a la cuarta persona. ¿Cuánto recibió la segunda persona? a) 500 b) 490 c) 575 d) 600 e) 800 49. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá “a” soles y pagará “b” soles por cada uno de los que falle. Después de “n” tiros recibió “c” soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco? an  c bn  c a) b) c) a b a c bn  c a b an  c bn  c d) e) a b a b 50. La inscripción como socio de un club de natación cuesta 150 soles para las 12 semanas de la temporada de verano. Si un socio ingresa después de comenzada la temporada, sus derechos se fijan proporcionalmente. ¿Cuántas semanas después de iniciada la temporada ingresaron 2 socios al mismo tiempo si pagaron juntos 175 soles? a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8 51. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número N; y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos años tiene la tortuga? a) 276 b) 245 c) 120 www.antorai.com.pe

d) 189

e) 164

52. En un examen de admisión, donde no hay puntaje en contra, la pregunta bien contestada en la parte numérica vale 6 puntos y en la parte verbal 4. Un alumno de la academia responde correctamente igual número de preguntas de cada parte y obtiene 140 puntos. Para obtener en la parte verbal el mismo puntaje que obtuvo en ciencias, el número de preguntas adicionales de letras que debió responder bien es: a) 7 b) 13 c) 10 d) 4 e) 3 53. Un obrero gana diariamente las dos terceras partes de su jornal para mantenimiento y la quinta parte en otras atenciones. En un mes ha economizado S/. 50 habiendo dejado de trabajar 2 días. ¿Cuál es el jornal del obrero? a) 20 b) 18 c) 16 d) 15 e) 25 54. Dos vinos de diferentes precios se mezclan: por un lado en relación de 3 a 5 y, por otro lado, en relación de 1 a 2, respectivamente. El volumen de las mezclas resultantes es como 4 a 3 y sus precios como 35 a 27. Hallar la relación de precios por litro de los vinos puros. a) 6/17 b) 5/18 c) 5/17 d) 5/11 e) 6/11 55. Pedro piensa: “Si compro "X" cigarrillos me sobrarían "S" soles, pero si compro "S" cigarrillos necesito "B" soles más.” ¿Qué cantidad de dinero tiene Pedro? a) S–X b) (xB–S2)/(S–x) c) (BS–S)/x d) (xB + S2)/(S–x) e) S+x 56. En una expedición a la selva, unos científicos encontraron un animal raro tal es así que los dedos de sus cuatro extremidades inferiores excedían en 16 al total de dedos de sus tres extremidades superiores. Si el total de dedos que posee es igual al total que tienen dos seres humanos. ¿Cuántos dedos tiene en sus extremidades inferiores? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 28 57. Regocijándose los monos, divididos en dos bandos, su octava parte al cuadrado en el bosque se solazan, 12 con alegres gritos, atronando el campo están. ¿Cuántos monos hay en total en la manada? a) 16 b) 32 c) 20 d) 45 e) 52

21

Álgebra

Compendio Académico I

58. Si escribo a la derecha de un número las cifras x, y; este número aumenta en “a” unidades. ¿Cuál es ese número? a  10x  y a) a  10x  y b) c) 99 a  10x  y 11 a  10x  y d) e) a  10x  y 99 59. Un caballo y una mula caminaban juntos llevando sobre sus lomos, pesados sacos. Lamentabase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que la mula le dijo: “De qué te quejas, si yo tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía.” ¿Cuántos sacos llevaba la mula? a) 24 b) 18 c) 16 d) 14 e) 7 60. Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de soles. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al principio? a) 4 – 10 – 5 y 26 soles b) 7 – 12 – 6 y 20 soles c) 6 – 14 – 7 y 18 soles d) 8 – 12 – 5 y 20 soles e) 7 – 10 – 4 y 24 soles

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