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Derivada parcial La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables podemos medir dos razones de cambio: una según cambia cambia

, dejando a

e

fija y otra según

, dejando a fija.

Suponga que dejamos variar sólo a

, dejando a

fija, digamos

, en donde

es una

constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable a saber

. Si

parcial de y

con respecto a

tiene una derivada en en

,

entonces la llamamos la derivada

. De forma análoga podemos hacerlo para

variable

fija. Definición (derivada parcial)

Sea

una función de dos variables y sea

entonces la derivada parcial de

con respecto a en

,

es

siempre y cuando el límite exista. De forma similar definimos la derivada parcial de

con respecto a

en

por

Observación: los límites de la definición

son en una variable, por lo que podemos

2

calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôspital, etc. Ejemplo 1 Usando la definición de derivada parcial calcule

para

Solución Usando la definición tenemos que:

Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:

Ejemplo 2 Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto Además, suponga que

e

es

.

están medidas en metros y la temperatura

centígrados. ¿Cómo varía la temperatura

en el punto

cuando

en grados

permanece fijo en

?, ¿Qué significa esto ? Solución : Del ejemplo 1 tenemos que en el punto

con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura

es de 8 grados centígrados por metro, cuando

esta fijo en . El hecho

3

de que sea positiva nos indica que la temperatura avanzamos sobre la recta

hacia

de la placa aumenta a medida que

.

Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función

de una

variable que obtenemos al fijar alguna de las variables o , su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable. Para calcular

, considere a como una constante y derive a

con respecto a .

Para calcular

, considere a como una constante y derive a

con respecto a

.

Ejemplo 3

Calcule la derivada parcial

para

y también calcule

Solución Usando la regla para la derivada del cociente

con lo cual

.

Ejemplo 4 Calcule y , si la siguiente ecuación

está definido implícitamente como una función de

e

, mediante

4

Solución Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a

Y al despejar

, que:

, obtenemos que:

De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a , obtenemos da

Ejemplo 5

Calcule

para la función

Solución Para calcular

debemos aplicar repetidamente la regla de la cadena

El siguiente ejemplo muestra que algunas veces no queda más que recurrir a la definición para calcular una derivada parcial. Ejemplo

5

Si

, calcule

.

Solución. Observe que si calculamos la derivada parcial usando las reglas de derivación usuales obtenemos que

y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada conclusión errónea de que la derivada parcial no existe.

; esto nos puede llevar a la

Ahora usemos la definición

Por lo tanto la derivada parcial con respecto a

existe y es .