• Author / Uploaded
• Castillo Paola

Citation preview

ANÁLISIS VECTORIAL LIC. RUDY G. ESPINOZA N.

1.- VECTOR 1.1.- CONCEPTO Un vector es un segmento de recta orientado que sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. 1.2.-NOTACIÓN 𝑉; V; 𝑣Ԧ ; v; 𝐴𝐵; AB 1.3.-ELEMENTOS DE UN VECTOR A: Punto de Origen B: Punto Final

L

B

𝑉

: Sentido

𝑑𝐴𝐵 :Módulo, Magnitud o Métrica del Vector y su

A

notación es: 𝑉 ; V; 𝑣Ԧ ; v; 𝐴𝐵 ; 𝐴𝐵.

𝜃

L : Es la direccion natural del vector, pero usualmente, la direccion se mide respecto a una recta de referencia 𝐿𝑅 . Entonces el ángulo θ que forma ésta, con la recta de referencia, medido a partir de la recta de referencia en sentido antihorario nos da la dirección del vector.

𝐿𝑅

1.4.- CLASES DE VECTORES ➢ VECTORES COLINEALES Son aquellos que están contenidos en una misma recta, además pueden ser codirigidos ( 𝑨 𝑦 𝑪 ) y contrariamente dirigidos (𝐴Ԧ 𝑦 𝑩; 𝑩 𝑦 𝑪). ➢ VECTORES PARALELOS Son aquellos que están contenidos en rectas paralelas, además pueden ser paralelos( 𝑨 𝑦 𝑪 ) y antiparalelos(𝐴Ԧ 𝑦 𝑩; 𝑩 𝑦 𝑪). ➢ VECTORES CONCURRENTES Son aquellos que se cruzan todos en un mismo punto. ➢ VECTORES IGUALES Dos o mas vectores son iguales si y solo si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. ➢ VECTORES OPUESTOS Dos vectores son opuestos si y solo si tienen el mismo módulo y sentidos opuestos. ➢ VECTORES COPLANARES Si todos los vectores se encuentran contenidos en un mismo plano, se denominan coplanares.

𝑪 𝑩 𝑨 𝑨

𝐿1

𝐿2 𝑩

𝐿3 𝑪 𝐿1 ∥ 𝐿2 ∥ 𝐿3

1.5.- SUMA DE VECTORES CONCURRENTES Dados los vectores: 𝑩

𝑨

𝑩

𝑨 Estos vectores se pueden sumar aplicando: ❑ MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

𝑨 𝑩 𝑩

✓ La suma de vectores es conmutativa. ✓ El método del paralelogramo y el del triángulo, son métodos gráficos que nos permiten saber cual es el punto de origen, punto final y sentido del vector suma o resultante. ❑ LEY DE COSENOS Este método nos permite saber cual es el módulo del vector suma o resultante.

𝑨+𝑩 = 𝑩+𝑨 = 𝑺 =

𝑨 ❑ MÉTODO DEL TRIANGULO

𝑨

𝑩

𝑩

𝑩

𝜽 𝑨

𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝑪𝒐𝒔(𝜽)

𝑨

❑ LEY DE LOS SENOS Este método nos permite saber cual es la dirección del vector suma o resultante respecto a una de sus componentes oblicuas.

𝜷

𝑩

𝛼

𝑩

𝜽

𝑨

𝜷

𝑨 𝑩

𝛼𝜷 𝜽

𝛼 Se cumple :

✓ 𝛼+𝛽 =𝜃 ✓Sen(180°-θ) = Sen(θ)

𝑨

𝛼 𝜽

𝜷 𝑨

𝑩

𝐴 𝑆 𝐵 = = 𝑆𝑒𝑛(𝛼) 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 𝑆𝑒𝑛(𝛽)

❖ CASOS PARTICULARES Si: 𝜽 = 𝟎°

𝑨

𝑩

L1 ∕∕ L L2 ∕∕ L

𝑩

𝑨

𝑺=𝑨+𝑩

Vectores Paralelos

Vectores Codirigidos

𝑆𝑚á𝑥 = 𝐴 + 𝐵 Si: 𝜽 = 𝟗𝟎°

L

Si: 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° 𝑨 𝑩 𝑺=𝑨+𝑩

𝑨

Vectores Contrariamente dirigidos

𝐴2 + 𝐵 2

L

Vectores Anti paralelos

A>𝐵

Si: 𝜽 = 𝟔𝟎° 𝒚 𝐴 = 𝐵 Si: 𝜽 = 𝟏𝟐𝟎° 𝒚 𝐴 = 𝐵 𝑩

120°

60° 𝑨

𝑨

L2 ∕∕ L

𝑩

𝑆𝑚í𝑛 = 𝐴 − 𝐵; con

𝑩

𝑆=

L1 ∕∕ L

𝑆=𝐴 3=𝐵 3

𝑨

𝑆=𝐴=𝐵

1.6.- SUSTRACCION DE VECTORES 𝑩 Dados los vectores

𝑩

𝑩

𝜃

𝑨

𝜃 𝑨

Como queremos resta, uno de los vectores debe ser negativo, entonces:

Método del triángulo Con la ley de los cosenos calculamos el módulo del vector sustracción o diferencia 𝑩−𝑨 = 𝑨−𝑩 = 𝑫 =

−𝑩 𝑩

−𝑨 𝑩

𝜃

𝑨

−𝑨 −𝑩 𝑨

−𝑩

𝑨

Método del paralelogramo

𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝑪𝒐𝒔(𝜽)

Las direcciones del vector sustracción con respecto a las componentes oblicuas serán:

𝑩

Estas direcciones se calculan aplicando la ley de los senos:

𝛼

𝑩

𝜃

𝜷

−𝑨

𝛼

𝜃 𝑨

𝜃

𝑨 𝑫 𝑩 = = 𝑺𝒆𝒏(𝜶) 𝑺𝒆𝒏(𝜽) 𝑺𝒆𝒏(𝜷)

𝑨

𝜃

𝜷

𝑩

𝜶 + 𝜷 + 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎°

−𝑨

𝜃 −𝑩

Se cumple que:

−𝑩 𝑩

𝛼 𝜷 𝑨

𝜃

𝛼 𝜷 𝑨

❖ CASOS PARTICULARES Si: 𝜽 = 𝟎°

𝑨

𝑩

L1 ∕∕ L L2 ∕∕ L

𝑩

𝑨

𝑫=𝑨−𝑩

Vectores Paralelos

Vectores Codirigidos

𝐷𝑚í𝑛 = 𝐴 − 𝐵;

𝑐𝑜𝑛 𝐴 > 𝐵

L

Si: 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° 𝑨 𝑩 𝑫=𝑨+𝑩

L

Vectores Anti paralelos

𝐷𝑚á𝑥 = 𝐴 + 𝐵 Si: 𝜽 = 𝟔𝟎° 𝒚 𝐴 = 𝐵

Si: 𝜽 = 𝟏𝟐𝟎° 𝒚 𝐴 = 𝐵

𝑩 𝑨

60°

𝑩 𝑨

L2 ∕∕ L

𝑩

𝑨

Vectores Contrariamente dirigidos

Si: 𝜽 = 𝟗𝟎°

𝑆=

L1 ∕∕ L

𝑨

120°

−𝑩

𝐴2 + 𝐵 2

D= 𝐴 = 𝐵

D= 𝐴 3 = 𝐵 3

Ejemplo 01 Calcule dos componentes de la fuerza de 100 N representada en la figura, una de ellas actúa en la dirección AB y la otra es paralela a BC.

Aplicando la ley de los senos 𝐹𝐴𝐵 100𝑁 𝐹𝐵𝐶 = = sin 110° sin 30° sin 40° Trabajando el primero con el segundo miembro 𝐹𝐴𝐵 =

Solución

110°

𝐹𝐵𝐶

100 sin 110° sin 30°

𝐹𝐴𝐵 = 187.94𝑁 Trabajando el segundo con el tercer miembro 100 sin 40° 𝐹𝐵𝐶 = sin 30° 𝐹𝐵𝐶 = 128.56𝑁

𝐹𝐴𝐵

Ejemplo 02 Descomponga la fuerza de 1000N de la figura en dos componentes oblicuas, la línea de acción de una coincide con AB y la otra actúa paralela a BC.

Solución 𝐹𝐴𝐵 127° − 𝜃

𝐹𝐵𝐶

5 12

𝜃

53°

𝜃

100 N Aplicando la ley de los senos

5 100 2500 13 𝐹𝐴𝐵 = = 𝑁 = 39.68 𝑁 63 63 65 Trabajando en la ley de los senos el segundo con el tercer miembro:

𝐹𝐴𝐵 100 𝑁 𝐹𝐵𝐶 = = sin 𝜃 sin 127° − 𝜃 sin 53° Y sabiendo que: sin 127° − 𝜃 = sin 127° cos 𝜃 − cos 127° sin 𝜃 sin(127° − 𝜃) =

4 12 3 5 63 ∗ − − ∗ = 5 13 5 13 65

Trabajando en la ley de los senos el primero con el segundo miembro: 100 𝑁 sin 𝜃 𝐹𝐴𝐵 = sin 127° − 𝜃

𝐹𝐵𝐶

100 sin 53° = sin 127° − 𝜃

𝐹𝐵𝐶

4 5200 5 = = 63 63 65 100

𝐹𝐵𝐶 = 82.54 𝑁

Ejemplo 03 Hallar la resultante R de las dos fuerzas aplicadas al soporte.

Aplicando el método del triángulo: 𝜑=

𝜑 𝐹2 𝐹Ԧ

85°

𝛽

sin−1

𝜑 = 49.96° 150 sin 85° sin 𝛽 = 260.249

𝐹1

Aplicando la ley de los cosenos 𝐹=

Solución

2002 + 1502 + 2 ∗ 200 ∗ 150 cos 85°

𝐹 = 260.249 𝑁

= 𝐹2

Calculando la dirección de la resultante respecto a sus componentes oblicuas 55°

= 𝐹1

𝐹1 𝐹 𝐹2 = = sin 𝜑 sin 85° sin 𝛽 sin 𝜑 =

200 sin 85° 260.249

200 sin 85° 260.249

𝛽 = sin

−1

150 sin 85° 260.249

𝛽 = 35.04°

Ejemplo 04 ¿Bajo qué ángulo β hay que aplicar la fuerza de 400N para que el módulo de la resultante R de las dos fuerzas sea de 1000N? ¿Cuál sería, en este caso, el ángulo θ que formaría R con la horizontal?

Aplicando el método del triángulo

𝛽

𝜃 700 𝑁

Aplicando a hora la ley de los senos

400 1000 = sin 𝜃 sin 𝛽 400 sin 𝛽 sin 𝜃 = 1000

β 700 N

Solución

Aplicando la ley de cosenos 10002

=

7002

35 cos 𝛽 = 56

+

4002

Como conocemos el cosβ, podemos formar el triángulo rectángulo

𝜃=

sin−1

39 20

𝜃 = 18.2°

+ 2 ∗ 700 ∗ 400 cos 𝛽

𝛽 = 13.54°

7 39 400 56 sin 𝜃 = 1000

56 7 39

𝛽 35

1.7.-VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO Dado el plano cartesiano x-y, del cual escogemos los puntos P1(x1,y1) y el punto P2(x2,y2), trazamos el segmento de recta 𝑃1 𝑃2 , al darle sentido a éste obtenemos el vector 𝑉 = 𝑃1 𝑃2 , el cual se puede expresar de la forma siguiente: y

𝑉 = (𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 ) 𝑉 = (𝑥, 𝑦)

y1

Su módulo se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras

𝑥2

θ X=x2 - x1

x1

+ 𝑦2

𝑉= Su dirección θ se mide respecto al eje “x+” en sentido antihorario, mediante la relación siguiente:

𝑦 tan 𝜃 = 𝑥

y=y2 - y1

y2

y

P2(x2y2) P1(x1y1)

𝑉 = 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 − 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 )

A hora, si conocemos el módulo del vector y la dirección de éste respecto al eje “x”, entonces sus coordenadas serán:

x2

x

𝑉 𝑉 θ 𝑉𝑥

𝑉𝑦

𝑉𝑋 = 𝑉 cos 𝜃 𝑉𝑦 = 𝑉 sin 𝜃 x

𝑉 = 𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 𝑉 = 𝑉 cos 𝜃, 𝑉 sin 𝜃

1.8.- VECTOR UNITARIO Partimos de la última ecuación

Dado el vector 𝑉 de módulo

𝑉

𝑉=7

𝑉 = 𝑉 cos 𝜃, 𝑉 sin 𝜃 Como el vector 𝑢 ො tiene módulo la

𝑉 = 𝑉 cos 𝜃, sin 𝜃

unidad, luego, el vector 𝑉 se expresa en función de 𝑢ො de la forma siguiente:

𝑉 = cos 𝜃, sin 𝜃 𝑉 𝑉

Definimos el vector unitario de la forma siguiente

𝑉 𝑢ො = = cos 𝜃 , sin 𝜃 𝑉 Este vector tiene módulo la unidad y cualquier otro vector se puede expresar en función de este.

𝑉 = 𝑉𝑢ො

𝑢ො 𝑢ො

𝑉 = 7𝑢ො VECTORES UNITARIOS DE LOS EJES COORDENADOS

𝑉 = 𝑥, 𝑦 𝑉 = 𝑥, 0 + 0, 𝑦 𝑉 = 𝑥 1,0 + 𝑦 0,1 Definimos a los vectores unitarios de los ejes coordenados de la forma siguiente:

𝑉 = −7𝑢ො

𝑖Ƹ = 1,0 𝑗Ƹ = 0,1

𝑉 = 𝑥 𝑖Ƹ + 𝑦 𝑗 Ƹ 𝑉 = 𝑥𝑖Ƹ + 𝑦𝑗Ƹ = 𝑥, 𝑦

Ejemplo 05 Hallar la resultante R de las dos fuerzas aplicadas al soporte. Escribir R en función de los vectores unitarios de los ejes x e y representados.

= 𝐵

La resultante es la suma vectorial de estos dos vectores 𝑅 = 𝐴Ԧ + 𝐵

= 𝐴Ԧ

60°

Remplazando tenemos: 𝑅 = 50 4 cos 35° − 3 cos 60°, 4 sin 35° + 3 sin 60°) 𝑁

𝑅 = 50 1.777, 4.892 𝑁 = 88.85𝑖Ƹ + 244.6𝑗Ƹ N Su módulo:

𝑅 = 50 1.7772 + 4.8922 𝑁 Solución En coordenadas cartesianas, los vectores serán: 𝐴Ԧ = 200(cos 35°, sin 35°) 𝑁 𝐵 = 150(− cos 60°, sin 60°)𝑁

𝑅 = 260.249 𝑁 Su dirección respecto al eje x positivo: 4.892 −1 𝜃 = tan ( ) = 70.04° 1.777

Usted solucione el problema para el sistema x’ y’

𝑅

𝜃 = 70.04°

Ejemplo 06 Las dos fuerzas representadas actúan en el punto A de la barra acodada. Hallar su resultante Solución

𝐹2 = 7(cos 45°, − sin 45°)𝑁 La resultante del sistema es:

𝐹Ԧ = −3 cos 30° + 7 cos 45°, 3 sin 30° − 7 sin 45° N 𝜃

−3 3 + 7 2 3 − 7 2 𝐹Ԧ = , 𝑁 2 2 45°

Su módulo será:

𝐹=

7 2−3 3 2

2

3−7 2 + 2

Y su dirección es: 𝜃=

Las coordenadas de F1 y F2 son:

𝐹1 = 3(− cos 30°, sin 30°)𝑁

𝐹Ԧ

tan−1

3−7 2 −3 3 + 7 2

𝜃 = 235.72°

2

= 4.18𝑁

y x

Ejemplo 07 La fuerza de 3000N representada en la figura es la resultante de cuatro fuerzas que actúan en la armella. En la figura se representan tres de estas fuerzas. Calcule la cuarta fuerza. Solución

y = 𝐶Ԧ

5

3

x

4

𝑅=3000(cos(37°), sen(37°))N

Escribiendo cada vector en coordenadas cartesianas, tenemos: 𝐶Ԧ = 0, 2500 𝑁

𝐵 = (-400, 300)N El cuarto vector coordenadas Dx y Dy

𝐷𝑥 = 1800 𝑁 1800 = 0 + 300 + 2500 + 𝐷𝑦

37°

𝐷

𝐷𝑦 = −1000 𝑁

𝐷 = (1800. -1000)N

𝑅 = 2400, 1800 𝑁 El vector 𝐵 será: 𝐵 = 500 −cos 37° , 𝑠𝑒𝑛 37° 𝑁

=𝐵

𝐴Ԧ = 1000, 0 𝑁

2400 = 1000 − 400 + 0 + 𝐷𝑥

𝑅=3000(4/5, 3/5)N

=𝑅

= 𝐴Ԧ

Los vectores 𝑅 y 𝐵 tienen una dirección dada por el triangulo notable:

tendrá

Por datos del problema 𝑅 es la resultante del sistema, entonces: 𝑅 = 𝐴Ԧ + 𝐵 + 𝐶Ԧ + 𝐷 Reemplazando los datos e igualando las componentes x e y, tenemos:

Su dirección será: −1000 tan 𝜃 = 1800 −5 𝜃 = tan−1 9

𝜃 = 299.055° Su módulo será:

𝐷=

18002 + 10002 𝐷 = 200 106𝑁

1.9.-VECTORES EN EL ESPACIO EUCLIDIANO Dado el sistema euclidiano x-y-z, del cual escogemos los puntos P1(x1,y1,z1) y el punto P2(x2,y2,z2), trazamos el segmento de recta 𝑃1 𝑃2 , al darle sentido a éste obtenemos el vector 𝑉 = 𝑃1 𝑃2 , el cual se puede expresar de la forma siguiente:

z

P2(x2,y2,z2)

P1(x1,y1,z1)

𝑉 = 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 − 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )

𝑉 = (𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ) x1

𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) Su módulo se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras

𝑉=

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

x2 x

𝑉 y1 y2

z1 z2

y

El vector unitario de éste vector es:

𝑉 𝑢ො = = 𝑉 Si:

𝑥, 𝑦. 𝑧

z

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑖Ƹ = (1,0,0) 𝑗Ƹ = (0,1,0)

𝑢ො

z

𝑘෠ = (0,0,1)

y

Son los vectores unitarios de los ejes coordenados x, y, z; entonces:

𝑢ො =

𝑥 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑖Ƹ +

𝑦 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

x 𝑗Ƹ +

y

𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑘෠

x

z

z

𝜃𝑧

𝜃𝑧

z

z

y z

x

x cos 𝜃𝑧 =

𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

cos 𝜃𝑦 =

𝑦 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

y

z

Luego, se cumple que:

𝐶𝑜𝑠 2 (𝜃𝑥 ) + 𝐶𝑜𝑠 2 (𝜃𝑦 ) + 𝐶𝑜𝑠 2 (𝜃𝑧 ) = 1 También, podemos expresar un vector dado su módulo y dos direcciones, de la forma siguiente:

z

𝜃𝑥

𝑉𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

z

𝜃𝑥

z

y

x

𝜃𝑧

𝜑

y cos 𝜃𝑥 =

𝑥2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

x

Ejemplo 08 Calcular de cada fuerza: m(-7, 4, 0)B a)Su expresión vectorial. b)Sus cosenos directores. c)La fuerza resultante y sus cosenos directores.

m(0, 0, 2)A

C(6, -2, 3)m Utilizando la definición de vector unitario

𝐹Ԧ1 = 𝐹1 𝑢ො𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 𝐵 −7, 4, 0 − 𝐴 0, 0, 2 = (−7, 4, −2) Solución

𝐴𝐵 =

72 + 42 + 22 = 69 = 13 𝐴𝐵

−7, 4, −2) = = 13 𝐴𝐵

a)

𝑢ො𝐴𝐵

Lo primero q vamos hacer es ubicar dos puntos conocidos de la recta que contiene al vector e identificar cada fuerza.

𝐹Ԧ1 = 390

−7, 4, −2 13

𝐹Ԧ1 = −210, 120, −60 𝑁

cos 𝜃2𝑥

m(-7, 4, 0)B

6 = 7

cos 𝜃2𝑦

−2 = 7

cos 𝜃2𝑧

3 = 7

c) 𝐹Ԧ = 𝐹Ԧ1 + 𝐹Ԧ2 𝐹Ԧ = −210, 120, −60 + 120, −40, 60 m(0, 0, 2)A

𝐹Ԧ = −90, 80, 0 N C(6, -2, 3)m

𝐹Ԧ2 = 𝐹2 𝑢ො 𝑂𝐶 𝑂𝐶 = 𝐶 6, −2, 3 − 𝑂 0,0,0 = (6, −2, 3)

𝑂𝐶 =

902 + 802 + 𝑜 2 = 10 145𝑁

cos 𝜃𝑥 =

62 + 22 + 32 = 49 = 7

6, −2, 3 𝐹Ԧ2 = 140 = 120, −40, 60 𝑁 7 b) cos 𝜃1𝑥

𝐹=

−7 4 −2 = cos 𝜃1𝑦 = cos 𝜃1𝑧 = 13 13 13

cos 𝜃𝑦 = cos 𝜃𝑧 =

−90 10 145 80 10 145 0 10 145

=

= =0

−9 145 8 145

Ejemplo 09 Calcule la resultante del sistema de fuerzas representado en la figura.

y

Ejemplo 10 Expresar la fuerza F de 400 kN en función de los vectores unitarios i, j y k.

Del triángulo rectángulo ODB, se tiene

b) 𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑧 sin 50° = 400 cos 40° sin 50°

400 𝑘𝑁 =

𝐹𝑧 D

40° 50° 𝐹𝑥𝑧 𝐹𝑥

Solución a) Del triángulo rectángulo OBC, se tiene

𝐹𝑦 = 400 sin 40° = 257.115𝑘𝑁 𝐹𝑥𝑧 = 400 cos 40° = 306.418𝑁

C 𝐹𝑥 = 234.73𝑘𝑁 𝐹𝑦 𝐹𝑧 = 𝐹𝑥𝑧 cos 50° = 400 cos 40° cos 50°

B

𝐹𝑧 = 196.962𝑘𝑁

𝐹Ԧ = 234.73𝑖Ƹ + 257.115𝑗Ƹ + 196.962𝑘෠ 𝑘𝑁

Ejemplo 11 Encontrar la distancia entre los puntos 𝑃1 = (4, 5, −7) y 𝑃2 = −3, 6, 12 . Escribir también la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.

Solución

(x, y, z)P z

La longitud del segmento de recta 𝑃1 𝑃2 es la distancia entre los dos puntos

ℒ

𝑑 𝑃1 𝑃2 =

−3 − 4

2

+ 6−5

2

+ 12 + 7

2

𝑑 𝑃1 𝑃2 = 411 = 20.273

𝑆Ԧ

Para encontrar la ecuación de la recta ℒ tomaremos un vector 𝑉 = 𝑃1 𝑃2 𝑉 = −7, 1, 19 𝑃2 (−3, 6, 12) Tomamos un punto P cualquiera de la recta Tomamos el vector 𝑠Ԧ = 𝑃2 𝑃

𝑆Ԧ = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝑃2 −3, 6, 12 = (𝑥 + 3, 𝑦 − 6, 𝑧 − 12) x

𝑉

Como el vector 𝑆Ԧ es colineal con el vector 𝑉 , entonces:

𝑆Ԧ = 𝜆𝑉,

𝑐𝑜𝑛 𝜆 𝜖 ℝ

y Como estos dos vectores son iguale, sus coordenadas también son iguales La ecuación de la recta es: 𝑥 + 3 𝑦 − 6 𝑧 − 12 𝜆= = = 𝑥 + 3 𝑦 − 6 𝑧 − 12 −7 1 19 = = 𝑃1 (4, 5, −7)

−7

1

19

2.-PRODUCTO DE VECTORES

PROPIEDADES:

2.1.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Dado los vectores:

❑ ❑ ❑

𝐴Ԧ 𝐵 Definimos el producto escalar, también llamado producto punto o producto interno de la forma siguiente:

𝐴Ԧ

Ԧ 𝐵 = 𝐵. 𝐴Ԧ 𝐴. Ԧ 𝐵 + 𝐶Ԧ = 𝐴. Ԧ 𝐵 + 𝐴. Ԧ 𝐶Ԧ 𝐴. Ԧ 𝐴Ԧ = 𝐴2 𝐴.

De esta última propiedades se deduce para el producto escalar de los vectores unitarios de los ejes coordenados lo siguiente:

෠ 𝑘෠ = 1 ➢ 𝑖.Ƹ 𝑗Ƹ = 𝑖.Ƹ 𝑘෠ = 𝑗.Ƹ 𝑘෠ = 0 ➢ 𝑖.Ƹ 𝑖Ƹ = 𝑗.Ƹ 𝑗Ƹ = 𝑘. Entonces dados los vectores en coordenadas euclidianas:

𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘෠ y 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘෠ Ԧ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘෠ . 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘෠ 𝐴. 𝐵

Ԧ 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵 cos 𝜃 𝐴.

𝑨. 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖.Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝑖.Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑖.Ƹ 𝑘෠ + 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑗.Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑗.Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑧 𝑗.Ƹ 𝑘෠ + ෠ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑘. ෠ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑘. ෠ 𝑘෠ 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑘.

𝐵𝑥𝐴Ԧ

Aplicando las propiedades de los vectores unitarios de los ejes coordenados obtenemos:

𝐴Ԧ

Ԧ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖.1Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝑖.0Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑖.Ƹ 0𝑘෠ + 𝐴. 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑗.0Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑗.1Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑧 𝑗.0Ƹ 𝑘෠ + ෠0 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑘. ෠0 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑘. ෠1 𝑘෠ 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑘.

𝐴Ԧ 𝐵

Ԧ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝐴.

Ԧ 𝐴𝑥𝐵 𝐵

2.2.- PRODUCTO VECTORIAL Dado los vectores:

𝐴Ԧ

Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵 sen 𝜃 PROPIEDADES:

𝐵 Definimos el producto vectorial, también llamado producto cruz o producto externo de la forma siguiente:

❑ ❑ ❑

Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = −𝐵𝑥𝐴Ԧ Ԧ 𝐵 + 𝐶Ԧ = 𝐴𝑥𝐵 Ԧ + 𝐴𝑥 Ԧ 𝐶Ԧ 𝐴𝑥 Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 0; 𝑠𝑖: 𝜃 = 0, 𝜋

De esta última propiedades se deduce para el producto vectorial de los vectores unitarios de los ejes coordenados lo siguiente:

෠ 𝑘෠ = 0 ➢ 𝑖.Ƹ 𝑖Ƹ = 𝑗.Ƹ 𝑗Ƹ = 𝑘. ෠ 𝑘 ෠ ➢ 𝑖𝑥 Ƹ 𝑗Ƹ = 𝑘 ➢ 𝑗𝑥 Ƹ 𝑘෠ = 𝑖 + + ෠ 𝑖Ƹ = 𝑗 Ƹ ➢ 𝑘𝑥 𝑗Ƹ 𝑖Ƹ +

𝑘෠

-

𝑖Ƹ

-

𝑗Ƹ

Entonces dados los vectores en coordenadas euclidianas:

𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘෠ 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘෠ Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘෠ 𝑥 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘෠ Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖𝑥 Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝑖𝑥 Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑖𝑥 Ƹ 𝑘෠ + 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑗𝑥 Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑗𝑥 Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑧 𝑗𝑥 Ƹ 𝑘෠ + ෠ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑘𝑥 ෠ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑘𝑥 ෠ 𝑘෠ 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑘𝑥

Aplicando las propiedades de los vectores unitarios de los ejes coordenados obtenemos:

෡ −𝒋Ƹ ෠ 𝒌 0 Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝑖𝑥 Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝑖𝑥 Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑖𝑥 Ƹ 𝑘+ ෡ 𝒊Ƹ ෠ − 𝒌 0Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑧 𝑗𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑗𝑥 Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑗𝑥 Ƹ 𝑘+ 𝒋Ƹ − 𝒊Ƹ ෠ ෠ ෠0 𝑘෠ 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑘𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑘𝑥𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑘𝑥

Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖Ƹ − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑘෠ 𝑖Ƹ Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥

𝑗Ƹ 𝐴𝑦 𝐵𝑦

𝑘෠ 𝐴𝑧 𝐵𝑧

Geométricamente, el módulo del producto vectorial representa el área de un paralelogramo

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐵𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐵𝑥𝐴Ԧ

Ԧ 𝐴𝑥𝐵 = 𝐵𝑥 𝐴Ԧ = 𝐵𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐵 ℎ = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 Área

Á𝑟𝑒𝑎 = ℎ𝐵

𝐴Ԧ

2.3.-PRODUCTO TRIPLE ESCALAR consideremos tres vectores concurrentes y no coplanares:

𝐶Ԧ Ԧ 𝐴𝑥𝐵

𝐵

𝛽 ℎ

𝐶Ԧ

Ԧ 𝑉𝑜𝑙 = 𝐴𝑥𝐵. 𝐶Ԧ

𝐵 θ

Área

𝐴Ԧ Con estos tres vectores podemos formar un paralelepípedo

Ԧ 𝑉𝑜𝑙 = 𝐴𝑥𝐵 𝐶Ԧ 𝑐𝑜𝑠𝛽

En coordenadas euclidianas

𝐶𝑥 𝑉𝑜𝑙 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥

𝐴Ԧ Donde:

Ԧ Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 ℎ = 𝑐Ԧ 𝑐𝑜𝑠𝛽 Volumen del paralelepípedo(𝑉𝑜𝑙 ) =

Área*h

El

𝐶𝑦 𝐴𝑦 𝐵𝑦

𝐶𝑧 𝐴𝑧 𝐵𝑧

Ԧ 𝐴𝑥𝐵. 𝐶Ԧ es un número real

3.- PROYECCIÓN DE VECTORES 3.1.- PROYECCIÓN ESCALAR DE VECTORES Dado los vectores:

𝐴Ԧ

𝜃

𝐴Ԧ

𝜃 𝐵 𝐵 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐸𝑠𝑐𝐴Ԧ = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐵 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐸𝑠𝑐𝐴Ԧ = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐵

Ԧ𝐵 𝐴. 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐸𝑠𝑐 𝐴Ԧ = 𝐵

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴Ԧ 𝐸𝑠𝑐𝐵 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴Ԧ 𝐸𝑠𝑐𝐵 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴

Ԧ𝐵 𝐴. 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴Ԧ 𝐸𝑠𝑐𝐵 = 𝐴

3.2.- PROYECCIÓN VECTORIAL DE VECTORES Dado los vectores:

𝐴Ԧ 𝜃

𝜃 𝐵

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐸𝑠𝑐𝐴Ԧ = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝑉𝑒𝑐𝐴Ԧ = (𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑢ො 𝐵

Ԧ𝐵 𝐴. 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝑉𝑒𝑐 𝐴Ԧ = ( 2 )𝐵 𝐵

𝐴Ԧ

𝐵 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴Ԧ 𝐸𝑠𝑐𝐵 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴Ԧ 𝑉𝑒𝑐𝐵 = (𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑢ො𝐴

Ԧ𝐵 𝐴. 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴Ԧ 𝑉𝑒𝑐𝐵 = ( 2 )𝐴Ԧ 𝐴

Ejemplo 12 En la figura mostrada, calcular : a) El ángulo formado por los cables AB y BD. b) El ángulo formado por el cable AB con el pescante BC. c) El ángulo formado por el cable BD con el pescante BC. d) El área del triángulo ADB. e) El área del triángulo ACB. f) El área del triángulo DBC.

Solución

m(-3,0,5)D 3m

𝐵𝐷 𝐵𝐴 (0,0,0)

𝜃

D

(0,7.5,0)m

3m

a) 𝐵𝐴 = 𝐴 4, 0, 5 − 𝐵(0, 7.5, 0) m 𝐵𝐴 = 4, −7.5, 5 𝑚

𝐵𝐴 =

42

+

7.52

+

52

389 = 𝑚 2

𝐵𝐷 = 𝐷 −3, 0, 5 − 𝐵 0, 7.5, 0 𝑚

𝐵𝐷 = −3, −7.5, 5 m

𝐵𝐷 =

32

+

7.52

+

52

19 = 𝑚 2

317 19 389 = cos 𝜃 4 4

m(-3, 0, 5)D 3m

𝜃=

𝐵𝐷

𝐵𝐴 (0,0,0)

cos −1

cos 𝜃 =

317

317 7391

𝜃 = 32.23°

19 389

b) El ángulo formado por el cable AB con el pescante BC.

𝜑

𝐵𝐶 = 𝐶 0, 0, 0 − 𝐵 0, 7.5,0 𝑚

𝜃 (0, 7.5, 0)m

𝐵𝐶 = 0, −7.5, 0 𝑚

𝐵𝐶 =

7.52 + 02 + 02 = 7.5𝑚

Aplicando el producto escalar para calcular el ángulo entre la tensión BA y el pescante.

Aplicando el producto escalar para calcular el ángulo entre las dos tensiones.

𝐵𝐴. 𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 𝐵𝐶 cos 𝜑

𝐵𝐴. 𝐵𝐷 = 𝐵𝐴 𝐵𝐷 cos 𝜃

4, −7.5, 5 . 0, −7.5, 0 =

389 19 4, −7.5, 5 . −3, −7.5, 5 = ∗ cos 𝜃 2 2 225 19 389 −12 + + 25 = cos 𝜃 4 4

15 15 389 15 ∗ = ∗ cos 𝜑 2 2 2 2 15 −1 𝜑 = cos 389

389 15 ∗ cos 𝜑 2 2 cos 𝜑 =

15

𝜑 = 40.49°

389

c) El ángulo formado por el cable BD con el

(0, -7.5, 0). −3, −7.5, 5 =

pescante BC. 𝛽= m(-3, 0, 5)D

cos −1

𝐵𝐷

(0,0,0)

∗

19 cos 𝛽 2

𝛽 = 37.864°

d) El área del triángulo ADB.

3m

𝐵𝐴

15 19

15 2

𝛽 𝜑

𝐴∆𝐴𝐵𝐷 𝐴∆𝐴𝐵𝐷 =

1 2

𝑗Ƹ 𝑘෠ 1 1 𝑖Ƹ = 𝐵𝐴𝑥𝐵𝐷 = 2 2 4 −7.5 5 −3 −7.5 5

−7.5 5 − (5)(−7.5) 𝑖෡ −

𝜃 (0, 7.5, 0)m

Aplicando el producto escalar para calcular el ángulo entre la tensión BD y el pescante.

4 5 − 5 −3 𝑗Ƹ +

𝐴∆𝐴𝐵𝐷

1 105 = −35𝑗Ƹ − 𝑘෠ 2 2

𝐴∆𝐴𝐵𝐷

1 105 2 = 35 + 2 2

𝐵𝐶. 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 𝐵𝐷 cos 𝛽 𝐴∆𝐴𝐵𝐷

2

1 35 13 ∗ 2 2 35 13 = = 63.1 𝑚2 4

𝐴∆𝐴𝐵𝐷 =

4 −7.5 − (−3)(−7.5) 𝑘෠

De igual forma usted puede resolver los apartados e y f

Ejemplo 13 Una fuerza de 36 N se aplica sobre la llave de torsión para enroscar la regadera. Si la línea de acción de la llave es paralela al eje x, determine: a) La proyección escalar de la fuerza con la llave de torsión. b) La proyección vectorial de la fuerza con la llave de torsión.

La llave de torsión se puede representar por el vector 𝐵𝐶 𝐵𝐶 = 𝐶 215, −50, 140 − 𝐵 0, −50,140 𝑚𝑚

Solución

𝐵𝐶 = 215, 0, 0 𝑚𝑚 La fuerza F, puesto que conocemos su módulo y dos direcciones podemos 0, −50, 140 𝑚𝑚 calcular sus coordenadas. 0 0 0

𝐵𝐶

Si Fxz , la proyección de la fuerza sobre el plano xz

F Fy

215, −50, 140 𝑚𝑚

𝐹𝑥𝑧 Y Fy, la componente de la fuerza en el eje “y” Puesto que Fy es perpendicular al plano xz, entonces:

Aplicando la función seno: 𝐹𝑦 = −36 sin 45 ° = −18 2𝑁

𝐹𝑦

𝐹𝑥𝑧 = 36 cos 45° = 18 2 𝑁 45° 𝐹𝑥𝑧

Aplicando la función seno y coseno

𝐹𝑥 = −18 2 sin 12° 𝐹𝑧 = −18 2 cos 12° 0 0 0

Las coordenadas de 𝐹Ԧ serán:

𝐹Ԧ = −18 2 sin 12° 𝑖Ƹ − 18 2𝑗Ƹ − 18 12 cos 12° 𝑘෠ N 0, −50, 140 𝑚𝑚

𝐵𝐶

F

Fy 𝐹𝑧 Como ya conocemos, el valor de Fxz y el ángulo que forma con el eje z, entonces podemos calcular las coordenadas Fx y Fz

215, −50, 140 𝑚𝑚

𝐹𝑥𝑧

𝐹𝑥 Y como los ejes x e z, son perpendic ulares, entonces:

Entonces la proyección escalar de la fuerza sobre BC es: 215, 0 , 0 . 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 𝑚𝑚𝑁 𝐵𝐶. 𝐹Ԧ Ԧ 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑩𝑪 𝐸𝑠𝑐𝐹 = = 215𝑚𝑚 𝐵𝐶

+x

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑩𝑪 𝐸𝑠𝑐𝐹Ԧ =

+z

𝐹𝑧

12°

215𝐹𝑥 = 𝐹𝑥 = −18 2 sin 12° 𝑁 215

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵𝐶 𝑉𝑒𝑐𝑡𝐹Ԧ =

𝐹𝑥

𝐹𝑥𝑧 = 18 2

𝐵𝐶. 𝐹Ԧ 𝐵𝐶

2 𝐵𝐶

= −18 2 sin 12° 𝑖Ƹ 𝑁

Ejemplo 14 En el origen O del sistema x – y – z representado, está aplicada una fuerza F de módulo 100 N cuya recta soporte pasa por el punto A. Hallar: a) las componentes de F en el sistema representado. b) la proyección Fxy de F en el plano x – y c) la proyección de F sobre la recta OB.

b)

Solución

3, 4, 5 𝑚

Fz

𝜆መ 𝑂𝐵 𝐹𝑥𝑦

𝐹𝑥𝑦 =

𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2

𝐹𝑥𝑦 = 50 2𝑁 c) Tomamos el vector 𝑂𝐵 ෠𝑚 6, 6, 2 𝑚 𝑂𝐵 = 6𝑖Ƹ + 6𝑗Ƹ + 2𝑘 𝑂𝐵. 𝐹Ԧ 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑂𝐵 𝐸𝑠𝑐𝐹Ԧ = 𝑂𝐵

𝑂𝐵. 𝐹Ԧ = 6 ∗ 30 2 + 6 ∗ 40 2 + 2 ∗ 50 2 𝑁𝑚

a) 𝜆Ԧ =

𝑂𝐴 𝑂𝐴

=

(3, 4, 5) 32 + 42 + 52

𝐹Ԧ = 𝐹 𝜆መ = 100 ∗

=

3, 4, 5 5 2

3, 4, 5 𝑁

5 2 𝐹Ԧ = 30 2𝑖Ƹ + 40 2𝑗Ƹ + 50 2𝑘෠ 𝑁

𝑂𝐵. 𝐹Ԧ = 520 2 𝑁𝑚 𝑂𝐵 = 2 19𝑚 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑂𝐵 𝐸𝑠𝑐𝐹Ԧ =

520 2 2 19

𝑁

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑂𝐵 𝐸𝑠𝑐 𝐹Ԧ = 260 2Τ19 𝑁

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑂𝐵 𝐸𝑠𝑐𝐹Ԧ = 84.36 𝑁

Ejemplo 15 La distancia mas corta de un punto a una recta, es una Encontrar la distancia del punto P(4, 5, -7) perpendicular: a la recta que pasa por el punto Q(-3, 6, 12) Ԧ que va desde el punto A hora tomamos un vector 𝑆 ෠ y es paralela al vector 𝑉 = 4𝑖Ƹ − 𝑗Ƹ + 3𝑘 . P a un punto conocido de la recta, en este caso Q Encontrar también la distancia del punto P al plano que pasa por Q y es perpendicular 𝑆Ԧ = −7𝑖Ƹ + 𝑗Ƹ + 19𝑘෠ ℒ z a 𝑉. Como 𝑉 es paralelo a la recta, entonces: Solución 𝑄(−3, 6, 12) Ԧ

𝑑 = 𝑆 sin 𝛽

𝑉 𝑆Ԧ

𝑑=

𝑃(4, 5, −7)

𝑉

𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘෠ −7 1 19 Ԧ 𝑆𝑥𝑉 4 −1 3 𝑑= = 26 𝑉

x

d

𝑆Ԧ 𝑉 sin 𝛽

y

𝑑=

22𝑖Ƹ + 97𝑗Ƹ + 3𝑘෠ 26

=

4951 = 19.52 13

ℒ

𝑑 = 𝑆Ԧ cos 𝜑 𝑑=

𝑆Ԧ 𝑉 cos 𝜑

𝑉

z 𝑄(−3, 6, 12)

𝑑= Ԧ𝑉= 𝑆.

𝑆Ԧ

Ԧ𝑉 𝑆. 𝑉

−7, 1, −19 . 4, −1, 3 86

= 86

43 26 𝑑= = = 16.87 13 26

𝑉 x y

𝜑 𝑃(4, 5, −7)

Ejemplo 16 Sea R(x, y, z) el punto de intersección entre la recta y el plano Dados una recta que pasa por P(4, 5, -7) Tomamos el vector 𝑄𝑅, teniendo en 𝑉 paralela a 𝑉 = −𝑖Ƹ + 2𝑗Ƹ − 4𝑘෠ y un plano P(4, 5, -7) cuenta que todo vector que a través de Q(-3, 6, 12) y perpendicular pertenece a ese plano, es a) Para calcular ෠ a 𝑛 = 𝑖 Ƹ − 𝑗 Ƹ + 2𝑘 . perpendicular a 𝜂Ԧ a) Escribir las ecuaciones de la recta y la ecuación de la 𝑃𝑅 𝑄𝑅 = (𝑥 + 3, 𝑦 − 6, 𝑧 − 12) el plano en coordenadas recta trazamos el rectangulares. vector 𝑃𝑅 𝑄𝑅. 𝜂Ԧ = 0 b) Encontrar el punto de intersección 𝑃𝑅 = (𝑥 − 4, 𝑦 − 5, 𝑧 + 7) de la recta y el plano. c) Hallar el ángulo entre la recta y el Como 𝑃𝑅 es paralelo a 𝑉 R(x, y, z) plano. 𝑃𝑅 = 𝜆𝑉; 𝜆 𝜖 ℝ 𝑄𝑅 𝜂Ԧ Solución z Esto significa que las coordenadas son iguales

𝜂Ԧ

x

𝑉

𝑥−4 𝑦−5 𝑧+7 = = y 𝜆= −1 2 −4 Realizando el producto escalar, obtenemos Esta es la ecuación de la recta en el espacio

𝑥−4 𝑦−5 𝑧+7 = = −1 2 −4

1 ∗ 𝑥 + 3 − 1 ∗ 𝑦 − 6 + 2 𝑧 − 12 = 0 La ecuación del plano es:

X – y + 2z = 15

ℒ

b) De la ecuación de la recta, tenemos: 𝑥 =4−𝜆

𝑦 = 2𝜆 + 5

𝑉 cos 𝜙 =

𝑄𝑅. 𝑃𝑅

P(4, 5, -7)

𝑄𝑅 𝑃𝑅

𝑧 = −7 − 4𝜆

107 −71 −89 Reemplazando en la ecuación 𝑄𝑅 = 11 , 11 , 11 del plano, tenemos: 24411 4 − 𝜆 − 2𝜆 − 5 − 14 − 8𝜆 = 15 𝑄𝑅 = 11 74 30 5 𝑥 = 𝜆=− 30 −60 120 11 𝑦 = − 11 11 𝑃𝑅 = , , 11 11 11 43 74 5 43 𝑧= 𝑅( , − , ) 30 21 11 11 11 11 𝑃𝑅 = 11 c) −3210 A hora calculamos el 𝑃𝑅. 𝑄𝑅 = ángulo entre la recta y el 121 plano, aplicamos el −107 −1 𝜙 = cos producto escalar 512631

𝑃𝑅

𝜂Ԧ

𝜙

R(x, y, z)

𝑄𝑅

𝜙 = 98.595°

ℒ

Ejemplo 18 Le dan los vectores 𝐴Ԧ = 5𝑖Ƹ − 6.5𝑗Ƹ y 𝐵 = − 3.5𝑖Ƹ + 7𝑗.Ƹ Un tercer vector 𝐶Ԧ está en el plano Ԧ y el producto escalar xy y es perpendicular a 𝐴, de 𝐶Ԧ con 𝐵 es 15. Con esta información, obtenga Ԧ las componentes del vector 𝐶. Solución Por dato del problema

Ԧ 𝐴Ԧ = 0 𝐶.

𝑥, 𝑦 . 5, −6.5 = 0 13𝑦 5𝑥 − =0 2 13𝑦 𝑥= 10

… … (1)

Por dato del problema

Ԧ 𝐵 = 15 𝐶. 𝑥, 𝑦 . −3.5, 7 = 15

−7𝑥 + 3𝑦 = 15 2

… … (2)

Reemplazando (1) en (2) 300 𝑦= 151

𝐶Ԧ =

390 𝑥= 151 390 300 𝑖Ƹ + 𝑗Ƹ 151 151