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Serie Apuntes de Clase

N° 02 Agosto de 2014

Rafael Bustamante Romaní

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA) FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ECONOMÍA

La Serie Apuntes de Clase tiene por objetivo difundir los materiales de enseñanza generados por los docentes que tienen a su cargo el desarrollo de las asignaturas que forman parte del Plan de Estudios de la Escuela Académico-Profesional de Economía de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Estos documentos buscan proporcionar a los estudiantes la explicación de algunos temas específicos que son abordados en su formación universitaria.

Escuela Académico Profesional de Economía. Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Calle Germán Amézaga N° 375. Ciudad Universitaria, Lima 1. Perú. Teléfono 619-7000. Anexo 2208. [email protected] http://economia.unmsm.edu.pe/escuela/econ.htm

Vectores Autorregresivos Rafael Bustamante Romaní Resumen Este documento describe la estimación y análisis de los vectores autorregresivos (VAR) y los modelos de errores de corrección (VEC). Se consideran a los VAR como una forma reducida que pudo haberse derivado de algún modelo estructural. Esto es, un VAR es una herramienta de análisis econométrico que permite a los datos hablar por ellos mismos, sin que exista necesariamente una teoría económica que guíe o restrinja la estructura de un modelo.

Palabras Claves:

VAR, MA, descomposición de Cholesky, causalidad, test de Sims, exogeneidad.

Clasificación JEL:

C32, C40.



Doctorado en Economía con mención en los Recursos Naturales (c), Universidad Nacional Autónoma de México. MBA Gerencial (c), CENTRUM Pontificia Universidad Católica del Perú. Maestría en Economía con mención en Finanzas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos. B. Sc. Economía, UNMSM. Profesor Auxiliar del Departamento de Economía de la UNMSM. Investigador asociado al Instituto de Investigaciones FCE - UNMSM. Contacto: [email protected]

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I. INTRODUCCIÓN En los modelos econométricos estructurales (tradicionales), que hacen uso de información en forma de series de tiempo, comúnmente se requiere imponer restricciones a los parámetros involucrados para obtener formas reducidas que puedan ser estimadas con las técnicas estadísticas conocidas; también resulta necesario hacer supuestos acerca de la dinámica del sistema económico, mediante la imposición de restricciones sobre el número de retrasos con que una variable afecta a las demás. Es requisito asimismo, conocer cuáles de las variables involucradas son exógenas y cuáles son endógenas; por otro lado, existe también el programa en algunos modelos de que se requiere tener en cuenta las expectativas del comportamiento de algunas variables (lo que ha dado origen en particular a los modelos de expectativas racionales). Este tipo de restricciones han sido subrayadas en especial por Sims (1980) y por Hendry y Richard (1983), entre otros autores de literatura econométrica (Londoño, 2005)

El enfoque estructural de la modelación de las ecuaciones simultáneas usa la teoría económica para describir las relaciones entre varias variables de interés. El modelo resultante se estima entonces, y probaba la relevancia empírica de la teoría.

Desgraciadamente, la teoría económica no es a menudo lo bastante rica para proporcionar una especificación completa de todas las relaciones dinámicas entre las variables. Además, la estimación e inferencia son complicadas por el hecho que las variables endógenas pueden aparecer en la izquierda y lados del derecho de las ecuaciones, recuérdese la estimaciones de ecuaciones simultaneas. No obstante la arbitrariedad de las restricciones impuestas a priori, ya sea por teoría económica o por necesidades de cómputo, los modelos estructurales han probado ser útiles en la práctica para obtener pronósticos y para realizar análisis de política económica. Este hecho conduce a pensar entonces que son las formas reducidas las Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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que realmente importan en la práctica, aun cuando se hayan obtenido con restricciones derivadas de supuestos falsos; por este motivo, es conveniente tener representaciones en forma reducida, aunque no se tenga el modelo estructural completo, y esto es precisamente lo que se logra con un Vector Autorregresivo (VAR): una forma reducida que pudo haberse derivado de algún modelo estructural. Esto es, un VAR es una herramienta de análisis econométrico que permite a los datos hablar por ellos mismos, sin que exista necesariamente una teoría económica que guíe o restrinja la estructura de un modelo. Estos problemas llevan a la alternativa, los enfoques no estructurales para modelar la relación entre varias variables. Este documento describe la estimación y análisis de los Vectores autorregresivos (VAR) y los modelos de errores de corrección (VEC).

Los modelos VAR tradicionales son, en cierta forma, una respuesta a la imposición de restricciones a priori que caracteriza a los modelos econométricos keynesianos: en un sistema de ecuaciones simultáneas se requiere imponer restricciones sobre los parámetros de las mismas para garantizar la identificación, y posible estimación, de las ecuaciones que lo conforman. Para ello, además, es indispensable diferenciar entre las variables endógenas y las predeterminadas, es decir, aquéllas cuyos valores no son determinados por el modelo en el período actual. Estas últimas pueden ser exógenas o endógenas rezagadas.

El sistema VAR proporciona estimaciones (o predicciones o simulaciones) para las variables endógenas donde el sistema está relacionado a lo largo del tiempo. Igualmente se usa (no sin controversia), para analizar el impacto dinámico de diferentes tipos de variación

estocástica, es decir shocks económicos,

variables del lado derecho de una ecuación. Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

en las

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En este enfoque, además, se enfatiza la necesidad de la modelación estructural para tratar que cada variable endógena dentro del sistema sea función de las variables rezagadas de todas las variables endógenas dentro del sistema. En resumen el vector autoregresivo es comúnmente usado para pronósticos de sistemas de serie de tiempo interrelacionados y analizar el impacto dinámico de una perturbación aleatoria sobre las variables del sistema. II. ESPECIFICACIÓN Para especificar un VAR, se requieren las siguientes decisiones:   

La lista de variables endógenas El intervalo de retardo del modelo La lista de variables exógenas, si fuera necesario

El VAR presenta alternativamente, un sistema de ecuaciones simultáneas en el que cada una de las variables es explicada por sus propios rezagos y los del resto de variables del sistema. Es decir, no se admiten restricciones a priori y todas las variables son consideradas endógenas. La única información a priori que se incluye está referida al número de rezagos de las variables explicativas, que se incorporan en cada ecuación a partir del análisis de la data. No obstante, en términos operativos, una correcta especificación del sistema requiere que la determinación de las variables a ser incluidas en él se base en el conocimiento de un modelo teórico relevante (Barco, 2003). Supuestos en la estimación de un VAR: 

Las variables que componen el vector son estacionarios (salvo para casos de cointegración) en cuyo caso existen metodologías alternativas.

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

Esto permite que los Test hechos sobre VAR tengan las distribuciones estándar necesarias en la etapa de inferencia.



Inclusión de variables no estacionarias sujetas a los mismos problemas que el caso univariado: distribuciones no estándar (salvo el caso de cointegración).

Un VAR tiene, en general, la siguiente especificación: p

yt    i yt i  et

1.

i 1

Donde yt e yt-i son vectores de orden m (m es el número de variables del sistema) y i es la matriz (cuadrada de orden m) de coeficientes del rezago i de las variables explicativas de las m ecuaciones. De esta forma, se puede observar que deberán estimarse tantas matrices i como rezagos se incluyan en el sistema. Matricialmente, y utilizando una especificación de operadores de rezago (Barco, 2003):

 y1t   a11( L ) y  a  2 t    21( L )        ymt   am1( L )

a1m( L )   y1t    1t  a2 m ( L )   y2t    2 t              amm ( L )   ymt   mt 

a12 ( L )

2.

En este sistema existen m variables endógenas y el operador de rezagos L resume los p rezagos del modelo. Esta es la formulación del VAR en la forma reducida. En este sistema:

E et eT t - j   0 j  0 T E et e t    e

3.

Es una matriz simétrica.

Entonces  tendrá una distribución normal multivariada Nk (0, ) , donde Σ es la matriz de viaranza-covarianza:

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  E  

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  21  1,2 T   22  e1t   e1t     2,1 e  e    . .  2t   2t          . .       emt   emt    m1,1  m1,2 2   m ,1  m ,2

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. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .  2 m 1 . .  m , m 1

 1,m    2,m  .    e  m2,m   m1,m    2 m 

Es decir, no se tiene autocorrelación entre los errores de una misma ecuación pero se observa correlación contemporánea entre los errores de las diferentes ecuaciones. Características adiciónales: La estimación de esta forma reducida por MCO para cada ecuación del vector es eficiente. La forma estructural no está identificada salvo supuestos adicionales. Desde que solo los valores rezagados de las variables endógenas aparecen en el lado derecho de las ecuaciones, la simultaneidad no es problema y los estimadores obtenidos por MCO son consistentes siempre y cuando se consideren a las variables rezagadas como determinísticas. Sin embargo aun cuando las innovaciones

t

pueden estar

contemporáneamente correlacionadas los estimadores MCO son eficientes

y

equivalentes a los MCG debido a que todas las ecuaciones tienen idénticos regresores. Veamos, por ejemplo, el caso de un VAR (1) con dos variables, de la forma:

yt  10 -  12 zt  11 yt -1  12 zt -1   yt

z t   20   21y t   21y t -1   22z t -1   zt

4.

Donde yt y zt son variables endógenas estacionarias, yt y zt son ruidos blancos y no están correlacionados entre sí. La ecuación 4 sería entonces la forma estructural del Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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sistema. Aunque se tienen endógenas como explicativas. Si se quiere obtener la forma reducida, es decir, expresar las endógenas en función sólo de predeterminadas (rezagos de las endógenas), se debe resolver:

 1  12   yt   10   11 12   yt -1   yt     z         z     1  22   t -1   21   t   20   21  zt 

5.

Donde yt y zt son variables endógenas estacionarias, yt y zt son ruidos blancos y no están correlacionados entre sí. La ecuación 5 sería entonces la forma estructural del sistema. Aunque se tienen endógenas como explicativas. Si se quiere obtener la forma reducida, es decir, expresar las endógenas en función sólo de predeterminadas (rezagos de las endógenas). En este sistema si se da Un shock en la variable Yt expresado en  yt  entonces Zt también se verá afectado. Además debemos decir lo siguiente: -y12: Es el efecto contemporáneo de un cambio de Zt sobre Yt. β21: El es efecto de un cambio en yt-1 sobre Zt. Entonces existe un problema de correlación de Zt con  yt y de yt con  zt El sistema se puede rescribir que se puede rescribir en términos vectoriales como: Yt  B0  B1Yt -1   t siendo Yt un vector que contiene a yt y zt

Yt  1B0  1B1Yt-1  1 t

6.

Yt  A0  A1Yt-1  et Es decir

y t  a10  a11y t -1  a12z t -1  e1t

7.

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z t  a20  a21y t -1  a22z t -1  e2t La ecuación 7 es la forma reducida del VAR (1) de la ecuación 4. En ella los errores sí están correlacionados debido a que recogen la presencia de yt y zt como explicativas del VAR original. Así:



1

 1     21   

  12

   1   

8.

  1   12 21

Donde: y,

 e1t  1 t  et    e2 t

  yt   12 zt      -  yt 21   zt t    

     

9.

Ya que:

   t   yt   zt 

Son procesos ruidos blanco se puede decir que e1t y e2t tienen una media igual a cero y varianza constante y además cada una de ellas es in correlacionada individualmente, en el tiempo con varianza constante pero si existe correlación entre ellas.



 e yt ezt





2   yt  21   yt zt   21 12 yt zt   12 zt2   E  2  

 e yt e zt



 21 y2   12 z2 2

0

10.

11.

La ecuación anterior no va a ser cero siempre que  21  0,  12  0 , es decir, mientras que yt y zt estén presentes en la forma estructural del VAR. Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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Note que cuando se estima un VAR lo que en realidad se observa es la forma reducida.

III. IDENTIFICACIÓN DE UN VAR El problema consiste en “rescatar” los parámetros de la forma estructural, partir de las estimaciones de la forma reducida. Sin restricciones adicionales este proceso es imposible (existe una subidentificación). Veamos en un sistema VAR con n variables endógenas.

n2-n

n

n2 p

n

Que es la cantidad de parámetros que se necesitan conocer. Entonces a partir de la forma reducida tiene:

 

# parámetros de la forma estructural - # estimaciones de la forma reducida = #restricciones necesarias para la identificación. n Resolviendo, se requieren n(n-1)/2 restricciones n2p

n(n+1)/2

A partir del cual se puede decir lo siguiente: # Parámetros de la forma estructural - # estimaciones de la forma reducida = # restricciones necesarias para la identificación = n(n-1)/2. Note que en la forma reducida ni los parámetros ni los shocks tienen interpretación económica. Los errores de la forma reducida ya no son ortogonales entre si, sino combinaciones lineales de innovaciones estructurales. Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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Los parámetros de la forma reducida pueden ser estimados por (MCO) y estos estimadores son suficientes y consistentes. Por ejemplo si se tiene un VAR (1):

y t   10   12 z t   11 y t -1   12 z t -1   yt

z t   20   21y t   21y t -1   22z t -1   zt Este VAR contiene 2 variables por lo tanto usando n(n-1)/2=1, es decir se necesita una restricción para identificar los coeficientes de la forma estructural. En un célebre artículo donde Christopher Sims introdujo los VARs a la profesión econométrica (Macroeconomics and Reality, Econometrica 1980) propuso una estrategia de estimación basada en una representación recursiva “la teoría económica puede ayudarnos” del VAR (es decir la matriz  es triangular). Él nos dice que no es necesario “volver”a la forma reducida. Otros autores imponen una restricción a la forma estructural y así obtener los parámetros de la forma estructural (Sims, 1980). Podemos suponer que  21  0 .

1  12   y t   10   11 12   yt-1   yt    z     0 1   z             t   20   21 22   t-1   zt 

 y t  1  12   10  1  12   11 12   y t-1  1  12   yt   z   0 1      0 1      z    0 1       20     21    zt  22   t-1   t   y t   a10   a11 a12   y t-1   e1t   z    a   a a   z   e   t   20   21 22   t-1   2t  Reemplazando tenemos: Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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 y t   10   12   11   12  21 12   12  22   yt-1   yt   12 zt  z        z       20 zt 21 22   t-1    t     Una forma reducida puede corresponder a varias formas estructurales cuando el sistema esta sobre identificado. Se puede estimar la forma reducida por MCO siempre y cuando el VAR sea “estable” (estacionaria en covarianza es decir débilmente estacionaria). Donde: 1)

a10  10   12

2)

a20   20

3)

a11  11   12 22

4)

a21   21

5)

a12  12   12 22

6) a22   22 Recordando que:

e1t   yt   12 zt

e2t   zt 2 2 2 7) VAR(e1t )  VAR( yt   12 zt )  E ( yt   12 zt  2 12 yt  zt )

8) VAr (e2t )  Var ( zt )  E (

2

zt

)   zt2

9) COV (e1t , e2t )  E ( yt   12 zt )  zt   E  yt zt   12 zt2    12 zt2 Tenemos 9 parámetros estimados:

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a10 , a11 , a12 , a20 , a20 , a21 , a22 , Var (e1t ); Var (e2 t ) y cov(e1t , e2t )

Que pueden ser sustituidos dentro de las nueve ecuaciones de arriba en orden de resolverlo simultáneamente para obtener los parámetros de la forma estructural que son también 9.

 10 ,  12 ,  20 , 11 , 12 ,  21 , 22 ,VAR( yt );VAr ( zt ) Note que los estimados de

   y    pueden ser recuperados. yt

zt

Note que esta estrategia de identificación implica que la variable más exógena viene primero. Cuando se utiliza una identificación recursiva (también llamada de Cholesky) debemos tener en cuenta que un cambio en el orden de las variables cambiará totalmente los resultados, por ello este método es absolutamente frágil y muy poco recomendable. IV. ESTACIONARIEDAD DEL VAR Y REPRESENTACIÓN MA    Sea: p

yt   0    i yt i  et i 1

Yt  1Yt 1   2Yt 2  ..... pYt  p   0  et

I  L  1

2

L2   3 L3  .....   p Lp  Yt   0  et

Se puede escribir de la siguiente forma:

( L)Yt   0  et

Un VAR es estacionario en covarianzas si y solo si las pxn raíces del polinomio formado de la matriz de variables endógenas y endógenas rezagadas ( L) caen fuera del circulo unitario o las pxn raíces características

i

son menores a uno en

valor absoluto. Sea el VAR de orden 1:

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Yt   0  1Yt-1  et Yt   0  1 ( 0  1Yt-2  et-1 )  et Yt   0   1 ( 0   1Yt-2  e t-1 )  e t

Yt   I   1   0   21Yt-2   1e t-1  e t

Yt   I   1   0   21 ( 0   1Yt-3  et-2 )   1et-1  et Yt   I   1   21   0   31Yt-3   21et-2   1et-1  et Generalizando:

Yt   I   1  

2 1



3 1

 ...  

n 1



Si n tiende al infinito la convergencia requiere que

0



A

n+1 1

n

Yt-(n+1)    i1et-i

n+1 1

i 0

desaparezca.

La condición de estabilidad requiere que los eigenvalores de la matriz A1 sean menores a la unidad.

1   I  0

i  1 Podemos escribir la solución particular como:   0  Yt     i1et-i   I   i 0  1 

Yt 

I

 1 

1



 0    i 1 et - i i 0

O alternativamente si:

Yt   0  1Yt-1  et

 yt   a10   a11 a12   yt-1   e1t   z   a   a   z   e  a  t   20   21 22   t -1   2 t 

yt  a10  a11 yt -1  a12 zt -1  e1t zt  a20  a21 yt -1  a22 zt -1  e2t 12 Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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yt  a11 yt L  a12 zt L  a10  e1t zt  a21 yt L  a22 zt L  a20  e2t Resolviendo el sistema se tiene que:

1  a11 L  (1  a22 L)  a21a12 L2

0

Las raíces L deben encontrarse fuera del circulo unitario. Además tenemos:

 1 0   a11 I  A1    0 1  a21

 I  A1 

1



1  a11  a22   a21 a12 

a12 

1  a22 

1 1  a22 a12    a21 1  a11 

  1  a22 1  a11   a12 a21

 I  A1 

1

 I  A1 

1

A0 

1 1  a22   a21

A0 

1 

a12   a10    1  a11    a20 

 a10  1  a22   a20 a21   y     z  a 1  a  a a   11 10 12     20

Por lo tanto para todo VAR estacionario se puede obtener una representación MA (00) expresado de la siguiente forma:

Yt     t  t 1  t 2  ....  t  p  ...    ( L) t 2 3  ( L)    I   1 L   2 L   L  .... 

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V. ESTIMACIÓN DEL VAR Trabajando en general con un VAR (p) de la forma (Hamilton, 1994):

Yt  A0  A1Yt-1  A2Yt-2 

 A pYt-p  et

12.

Se puede observar que: 1. Se tiene un problema de sobreparametrización: hay que estimar n*p  n parámetros, lo que produce un grave problema de pérdida de grados de libertad. La selección adecuada de los grados de libertad es importante; si p es bastante pequeña ,el modelo está mal especificado si p es bastante grande los grados de libertad se desperdician No obstante, el objetivo de un VAR es encontrar la interrelación entre las variables y no realizar predicciones de corto plazo, lo que reduce la importancia del problema. 2. Dado que se trabaja con la forma reducida, los errores de cada ecuación están autocorrelacionados y tienen varianza constante, el mejor método de estimación es aplicar MCO ecuación por ecuación. No obstante, para que sea un estimador eficiente todas las ecuaciones deben tener igual número de rezagos de cada explicativa. En términos prácticos se recomienda utilizar la siguiente receta1: 1. Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de no estacionariedad. Las variables que componen el vector son estacionarias (salvo para el caso de cointegración), esto permite que los

test hechos sobre el VAR tengan

distribuciones estándar. 2. Estimar por MCO cada ecuación, individualmente. 1

Proporcionado en el Curso de Econometría del 49 Curso de Extensión Universitaria BCRP.

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3. Determinar el número de rezagos de las variables explicativas que deben permanecer en cada ecuación. Para ello se sugieren aplicar: 

El Test de Máxima Verosimilitud para el conjunto de ecuaciones. La hipótesis nula de este test es que el sistema tiene un número i de rezagos versus la alternativa de que este número es i+r. El estadístico sería:



Si alguna de las ecuaciones del VAR tiene regresores que no están incluidas en las otras entonces se puede usar el método SUR que provee de estimadores eficientes de los coeficientes VAR. Así cuando allí existe una buena razón para para permitir que la longitud de los rezagos difieran de una ecuación a otra, usar SUR.

El planteamiento formal del Test es el siguiente:     (T  c) * log i  log i r    Donde:

13.

Log i  = logaritmo del determinante de la matriz de varianzas y covarianzas para el modelo con a rezagos. T = número de observaciones c = parámetros del modelo no restringido en cada ecuación = mx(r+i). Este test se distribuye 2 con grados de libertad igual al número de restricciones en el sistema

q  m2 x r .Este test tiene poco poder para rechazar test sucesivos de

restricción de rezagos; por ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el sistema, es decir, cualquier hipótesis nula debe ser contrastada contra el rezago (i+r).

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También se puede usar el LR test:     LR  (T ) * log i  log i r   

4. No se debe utilizar el test t ni dar importancia a los signos de los coeficientes, ya que existe una gran multicolinealidad entre las variables de cada ecuación. La magnitud de los coeficientes es un indicador relativo de la significancia de la variable (un coeficiente pequeño generalmente acompaña a una variable poco significativa). El ratio MV es un test basado en la teoría asintótica que no será muy útil en muestras pequeñas. Además el test del Ratio de MV es solo aplicable cuando un modelo es una versión restringida de la otra. Un test alternativo para determinar la longitud apropiada de los rezagos son las generalizaciones multivariadas del AIC y SBC. Rezago óptimo - criterios de Akaike y Schwartz: beneficio de mayor verosimilitud vs. Penalización por inclusión de variables adicionales: Akaike AIC (p) = -2 L/T+ (2p/T) Schwartz SIC (p) = -2L/T + p ln (T)/T

Donde L = logaritmo de la función de máxima verosimilitud (suponiendo distribución normal multivariada). p = número de parámetros estimados. T = número de observaciones. Selección: valor más bajo de criterio de información

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5. Llevando a cabo la prueba de exclusión de rezagos para cada rezago dentro del VAR. El estadístico de Wald  para la prueba de significancia conjunta de todas las variables endógenas en lo que los rezagos son reportados para cada ecuación separadamente y conjuntamente. 2

Resumen: Supuestos en estimación de VAR: 

Variables que componen el vector son estacionarias (salvo para el caso de cointegración).



Esto permite que los tests hechos sobre el VAR tengan distribuciones estándar.



Inclusión de variables no estacionarias sujetas a los mismos problemas que en caso univariado: distribuciones no estándar (salvo cointegración).



Resumen de comportamiento dinámico de series.



Forma reducida no permite interpretación estructural.



Bajo supuesto de orden causal, podemos analizar dinámica y recuperar forma estructural.

VI. LA FUNCIÓN IMPULSO-RESPUESTA Y LA DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIANZA Los coeficientes de regresión estimados por un modelo VAR tienen cierta dificultad de Interpretación, por lo que más acertado es obtener la llamada función impulso respuesta (FIR) y también la descomposición de la varianza del sistema.Entonces la forma común de evaluar comportamiento dinámico: Es el análisis ImpulsoRespuesta que es la respuesta de las variables en VAR ante un shock en una de las variables del modelo. · ¿Qué nos interesa más, shocks a

eit (innovaciones estructurales)? Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

eit (innovaciones de forma reducida) ó shocks a 17

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· Vimos que eit es en realidad combinación lineal de shocks estructurales

eit

no

sabríamos como interpretarlo. · El objetivo es ver impacto de shocks estructurales. Se trata de conocer la reacción de las variables del sistema frente a shocks. La FIR representa la reacción de la variable endógena ante un cambio de una de las variables aleatorias (shocks). Así por ejemplo, en nuestro caso, dada una variación del efecto será inmediato en pero también habrá un efecto en los valores futuros de dicha variable y en el valor futuro de las otras variables debido al carácter dinámico interconectado del sistema. La FIR calcula el efecto presente y futuro en las variables endógenas, ante una variación “shock” expresado en el tamaño de su desviación estándar.

6.1. Representación (MA) de los modelos VAR Una forma alternativa de representación del VAR consiste en hacer depender el vector de valores actuales de las variables del valor actual y los infinitos rezagos del vector de errores estructurales:

Yt 

p

 j 1

i

L jYt  et

14.

p  j  I   L  i   Yt  et i  1  

15.

A( L)Yt  et Yt 

et A( L)

Propiedad en matrices: Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

16.

17.

18

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Yt    et  1e1t 1  2et 2 

18.



Yt     ie t i 0

i

Si aumentamos s periodos adelante tenemos lo siguiente:

Yt  s    et  s  1e1t  s1  2et  s2 

 s et  s1et 1  ...



Yt  s     i et  s i i 0

Cuál es el efecto s periodos adelante de un shock dado en el instante t (s < t)

Yt  s  s e't

Yi ,t  s ei ,t

Que viene a ser la matriz de multiplicadores de impacto.

  ij ( s)

Efecto en la variable i de un shock en la variable j.

Asimismo con las funciones impulso respuesta se pueden sustentar empíricamente los mecanismos de transmisión. Ejemplo: La función impulso respuesta para un VAR (1):

 y t   a10   a11 a12   y t-1   e1t   z    a   a a   z   e   t   20   21 22   t-1   2t  Obteniendo la versión MA del VAR en forma recursiva:

Yt   0  1Yt-1  et

Yt   0  1 ( 0  1Yt-2  et-1 )  et Yt   0  1 0   21Yt-2  1et-1  et Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

19

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Yt   0   1 0   21 ( 0   1 0   21Yt-3   1et-2 )  et 

 1et-1  et Otra forma de expresarlo:

(I-1L)Yt   0  et

Yt 

 0  et (I- 1L)

Yt  (I-1L)-1 0  (I-1L)-1et

Yt    (I-1L)-1B 1 t Yt    ( L) B 1 t

Yt     ( L) t _   yt   y  11 (i) 12 (i)   yt i     z   _   Para i = 1, 2,3,...    t   z  i 0 21 (i ) 22 (i)   zt i   

19.

Es una representación MA (∞). Esta representación pudo ser transformada de tal forma que los valores actuales de las variables sean una función de los valores presentes y pasados de un vector de innovaciones ortogonales: como los errores en (19) no tienen por qué estar no correlacionados, se acostumbra pre multiplicar dicha ecuación por la única matriz triangular (T), con unos en la diagonal principal, que diagonalizará la matriz de covarianzas del error. Así, se obtiene un nuevo modelo con errores ortogonales: Ejemplo: función de IR para un VAR (1) Se tiene:

20 Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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  y2  e    zy

 y t   a10   a11 a12   y t-1   yt   z    a    a a   z      t   20   21 22   t-1   zt  Suponga que en t = 0

ezt =1  Zt

 yz    z2 

se incrementa en una unidad.

¿Cómo responde el sistema?

VII. DESCOMPOSICIÓN DE CHOLESKY Es la modificación que normaliza la varianza de las innovaciones estructurales a la unidad (igual supuesto de ordenamiento) Diagonalizando: p

P Yt  P   iYt i  Wt

20.

i 1

 Pet ,

Dónde: Wt

es el vector

de las innovaciones ortogonalizadas, y

D  P e P ' . Es decir, para cada matriz Σe real, simétrica y definida positiva existe una única matriz triangular baja P con unos en la diagonal y una única matriz diagonal D con entradas positivas en la diagonal, tal que:

 e  PDP '  e  PDP '  PD1 / 2 D1 / 2 P '  VV '

21.

Analizando la matriz de covarianza de los shocks estructurales

et  B 1 t E(et et ' )

E( Bet et ' B' )

BE(et et ')B'

B

e

B'

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Si se quiere obtener un nuevo modelo con errores ortogonales, bastará con hacer P  B1 , y además imponemos restricciones a la matriz B de forma tal que B es una

matriz triangular inferior con unos diagonal principal:

 1   1  E WW t t '    B  E  et et '   B 

'

22.

  B1  e  B1  '

B

1

BDB ' B '

 w_  11  0 D   .   0

. _

23. 1

D .

w22

.

.

w33

.

.

_

24.

0    .   .   _ wmm 

25.

Donde D, la matriz de varianzas y covarianzas de los errores transformados, es una matriz diagonal que garantiza su ortogonalidad. Entonces la matriz de covarianzas de los errores ortogonalizados es la matriz diagonal, esto quiere decir que los mismos tienen todos sus componentes, incorrelacionados cada uno con varianza que vienen a ser los valores de la diagonal principal. El orden de las variables para descomponer matriz de covarianzas es importante, implica que shocks en la segunda variable no tienen efectos contemporáneos sobre la primera y asi sucesivamente. Por lo visto, podemos decir que la descomposición de Cholesky plantea la modificación que normaliza varianza de innovaciones estructurales a la unidad (igual supuesto de ordenamiento).A partir de este modelo transformado se puede obtener la función impulso-respuesta ortogonalizada, calculando el efecto sobre

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Yt  s

22

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de un impulso unitario en w jt . Estos multiplicadores, describen cómo nueva información sobre y jt nos lleva a revisar nuestra predicción de

Yt  s , aun cuando la

definición implícita de nueva información es diferente para cada variable j. El orden en que se coloquen las variables en el sistema tendrá un impacto importante sobre los multiplicadores calculados: al elegir un orden recursivo particular de las variables, implícitamente, se responde a un conjunto de preguntas específicas respecto a la predicción; el ordenamiento dependerá de la razón por la cual queremos responder esas preguntas en primer lugar. Asimismo, pueden existir razones teóricas para suponer que una de las variables no se ve afectada por los shocks contemporáneos de las otras. La importancia del ordenamiento depende de la magnitud de la correlación de los errores no ortogonalizados del sistema. En la práctica, una correlación baja (menor a 0.2) disminuye la relevancia de un ordenamiento adecuado. Si la correlación es elevada, en cambio, será indispensable probar diferentes ordenamientos y analizar cuánto cambian los resultados. En principio, una buena especificación del sistema debería arrojar resultados muy similares con cualquier ordenamiento utilizado (Barco, 2003). Resultados ante distintos ordenamientos diferirán más mientras mayor sea la correlación entre los residuos del VAR. En resumen podemos plantearnos lo siguiente: -

Teoría económica

-

¿Son funciones impulso respuesta muy distintas ordenamientos?. Contradice la teoría económica.

bajo

distintos

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Asimismo, es posible realizar un análisis de descomposición de la varianza a partir del modelo ortogonalizado. Este consistirá en calcular la contribución de la innovación j sobre el error de predicción del período t+s. Es de esperar que en el corto plazo la propia innovación explique la mayor proporción de este error. Cabe resaltar que este análisis también se ve afectado por el ordenamiento de las variables del sistema, por lo que se sugiere probar diferentes ordenamientos, al igual que en el caso de la función impulso- respuesta.

VIII. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA. 

Se trata de conocer la contribución de la j-ésima innovación ortogonalizada en el error cuadrático medio (ECM) de la predicción s periodos adelante. La descomposición de varianza del error de predicción nos dice que proporción de los movimientos (variabilidad) en una secuencia de uno de los componentes de Yt son explicados por sus propios shocks y que proporción lo explican los shocks de los otros componentes.



Nos va ha medir la proporción (que parte de los movimientos en una de las variables esta explicado por sus propios choques y que parte esta explicado por los choques de las otras variables.



Una forma fácil de ver cuál es la variable más exógena es la grafica y comparación de cada una de las series en estudio. Si los movimientos de la serie están explicados por ella misma entonces la variable es exógena o mas exógena.

Supóngase que conocemos los coeficientes de Ao y A1 y que queremos pronosticar los diversos valores de Xt+i condicionados a los valores Xt. Por ejemplo:

Yt+1   0  1Yt  et+1

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E t (Yt+1 )   0  1Yt El error de predicción, condicionado a la información disponible en el periodo t, con un periodo de adelanto es:

Yt+1 -E t (Yt+1 )  et+1 Similarmente:

Yt+2   0  1Yt+1  et+2

Yt+2   0   1  0   1Yt  et+1   et+2

Yt+2   0  1 0   21Yt  1et+1  et+2 E t (Yt+2 )   0  1 0   21Yt y el error de predicción asociado es:

Yt+2 -E t (Yt+2 )  1et+1  et+2 

Sea

E t (Yt+n )  Y t  n / t

Generalizando tenemos:    2 n 1 Y  Y et+1 t  n / t    1et+n-1   1 et+n-2  ...   1  t+n  

También se puede obtener el error de predicción en términos de VMA dado que el VAR en la forma reducida y el VMA contienen la misma información.

Yt    ( L) B 1 t

Yt     ( L) t _  y  t   y 11 (i) 12 (i)   yt i     z   _    (i )  (i)    22   zt i   t   z  i 0  21   25 Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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

Yt+n     i t+n-i i 0

Así que el error de predicción será: n 1

   ECM( Y t  n / t )   Yt+n  Y t  n /t   i t+n-i   i 0 

IX. CAUSALIDAD Generalmente no resulta fácil determinar la existencia de una relación de causalidad entre dos variables y menos aún su dirección. Para ello se recurre, en la práctica, a la teoría económica aun cuando la verificación de la validez de dicha relación resulta ser poco rigurosa si se pre condiciona la misma a la existencia de una teoría que la apoya. La alternativa econométrica de verificación consiste en general en estimar una regresión entre las variables que se analizan y observar la significancia de los coeficientes obtenidos. Sin embargo, una alta correlación entre dos variables no asegura una relación causa-efecto entre ellas, ya que la posibilidad de que se haya obtenido una correlación espúrea no debe ser descartada. Como es bien sabido la correlación espurea se da debido a que el alto valor del coeficiente de correlación se explica principalmente por la presencia de un tercer factor y no por la existencia de una relación con sentido económico entre las variables. Es por estas razones que se ha desarrollado el concepto de causalidad en econometría, el mismo que se basa en el desarrollo teórico llevado a cabo por Granger2. Formalmente podemos definir la llamada causalidad a lo Granger diciendo que: la variable x causa a la variable y si al tomar en cuenta los valores pasados de x se mejoran las predicciones de y. Granger se refiere a las predicciones insesgadas de y que se obtienen a través de la estimación por MCO, midiendo la

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precisión de las mismas a través de la varianza del error de predicción que para el caso de insesgamiento viene a ser error cuadrático medio: ^

2

ECM = E[( Y -Y) ]

26.

Así, x causa a y si: ^

^

ECM(Y/ U )

(Y/ U - x)

Mientras que X causa instantáneamente a Y si: ^

^

ECM(Y/ U )

(Y/ U - x)

27.

Donde U es un set de toda la información disponible pasada y presente, U es el mismo set pero que contiene sólo la información pasada, X contiene toda la información pasada y presente de dicha variable y x sólo la información pasada. Asimismo,

~y es el predictor MCO de y.

La posibilidad de hacer operativa esta definición pasa por la necesidad de acotar el set U de toda la información disponible, aún cuando ello implique recurrir a la teoría económica y, de algún modo, perder parte de la objetividad ganada aplicando el concepto mismo de causalidad. Son principalmente tres los test que se utilizan para verificar las existencia de una relación de causalidad entre dos series de tiempo. 9.1. El test directo La hipótesis a testear será: Ho : y   x

28.

Es decir, se requiere examinar si y no causa a x. Para ello se estima la relación entre x, los m primeros rezagos de yt y los n primeros rezagos de xt:

27 Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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p

p

i 1

i 1

x t =     i yt i    i xt i  ut

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29.

y luego se verifica la significancia conjunta de los rezagos de yt; si ellos no fueran significativos entonces xt estaría explicado solamente por su propio pasado y por el elemento aleatorio respectivo.

Para que el test arroje un resultado correcto es necesario asegurarse que la especificación del modelo sea la adecuada, de tal forma que el error asociado sea ruido blanco. Por lo mismo se requiere escoger cuidadosamente el valor de p, especialmente en el caso de los rezagos de x, ya que la eliminación de estos últimos, si es que son importantes para explicar el comportamiento de x, inflarían artificialmente la significancia de los rezagos de y llevándonos a obtener una conclusión falsa respecto de la relación de causalidad entre x é y.

Cuando una variable yt no es útil para predecir otra variable xt entonces se dice que “yt no causa a xt en el sentido Granger”.

E( X t  s / X t , X t 1 ,...)  E( X t  s / X t X t 1 X t 2 ,...; YY t t 1 , Yt  2 ,...) 9.2.Test de Sims Consiste en regresionar xt en función de los valores pasados y futuros de yt, de forma tal de testear que yt no causa xt sobre la base de la significancia de los coeficientes asociados con los valores futuros de xt. Dicho de otro modo, si existe una relación entre el valor presente de xt y los valores futuros de yt ésta debe expresar una causalidad de

28 Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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x a y y no de y a x, ya que el futuro no puede causar al presente (ver nota 1)2. Así, se plantea correr la regresión:

xt 

p

 y  

t 

 m

 zt

o p

p

 1

 1

30.

xt    yt      yt   zt Donde se testear la Ho  

 0  1,2,...., p

Lo más importante de la aplicación de este test es que para que arroje un resultado correcto el error de la ecuación debe ser ruido blanco. De no ser así, deberá ser estimada por mínimos cuadrados generalizados, luego de identificar la estructura autorregresiva del error. Sims simplificó este proceso asumiendo a priori dicha estructura:

wt

1.5wt

1

0.5625wt

2

et

31.

y multiplicando cada variable de la ecuación por (1-1.5L+ 0.5625L2) antes de estimarla. Este se convirtió entonces en el filtro ad-hoc de Sims.

9.3.El test de Geweke, Meese & Dent (1983) Geweke trató de resolver el problema del test de Sims, que implicaba tener que determinar una estructura autorregresiva para el error o utilizar el filtro ad-hoc. Para ello, se plantea una corrección de la ecuación original:

29

El teorema de Sims que sustenta esta metodología de testeo de la causalidad sostiene que: “cuando (x,y) tienen una representación AR, x puede ser expresado como una función de rezagos y valores actuales de y, con un residuo no correlacionado con ningún valor de y, pasado o futuro, si y sólo si y no causa a x en el sentido Granger”. 2

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29

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yt

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  ( L) x t   1 ( L) t

32.

que implica multiplicar cada uno de sus elementos por el polinomio AR(p), (L), de forma que:

 ( L) y t   ( L) ( L) x t   t

33.

donde, por definición, existe la garantía de que el error es ruido blanco. Esta transformación implica agregar a la ecuación, como explicativas, p rezagos de x é y, de forma tal de limpiar el error; luego se testea la hipótesis de Sims de que los coeficientes asociados con los valores futuros de las x son no significativos. Exogeneidad (Engle, Hendry y Richard, HER, 1983) Se definen los niveles de exogeneidad necesarios para implementar cada uno de los siguientes usos en los modelos econométricos: 1) Inferencia 2) Predicción 3) Análisis estructural Un PED bivariado puede aproximarse por alguna función de distribución conjunta, la cual puede ser factorizada en dos componentes: la función marginal y la función condicional; es decir: y  34. f  x t , yt   f  x t  f   t x  t   marginal

condicional

Donde:

y t   x   N  ,    t

     1  2 

  12   21

 12    22 

35.

Por ejemplo:

y t  x t   1t Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

Ecuación condicional

36.

30

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x t   1 x t -1   2 y t -1   2 t

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Ecuación marginal

37.

donde:

 0   1t   N  ,    2t   0 

  12  12    2    2   21 

38.

Suponga que la ecuación de interés es la (36). El asunto clave parece ser la exogeneidad de xt. No obstante, EHR afirman que lo importante es más bien tener claro para qué servirá la mencionada ecuación. Tres son los posibles propósitos: a)

Hacer inferencia sobre un parámetro de interés, por ejemplo  . En este caso se requiere exogeneidad débil.

b)

Predecir yt en función de xt. De ser este el caso se requiere exogeneidad fuerte.

c)

Testear si (36) es estructuralmente invariante a cambios en la distribución marginal de xt. En este caso se requiere super exogeneidad.

9.4. Exogeneidad débil f

 x t , yt  

f

 xt 

marginal

y t  x t   1t x t   1 x t -1   2 y t -1   2 t

y  f   t x  t   condicional

Ecuación condicional

39.

Ecuación marginal

40.

1. Para verificar este tipo de exogeneidad es necesario definir los siguientes grupos de parámetros:  

1 , los parámetros de la función de distribución condicional.

2

, los parámetros de la función de distribución marginal.

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31

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 

  1

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 

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, los parámetros de la distribución conjunta.

 , los parámetros de interés.

La exogeneidad, entonces, está relacionada con : una variable es exógena para unos determinados parámetros de interés. Condiciones para que se dé exogeneidad débil xt es exógena débil si existe una reparametrización de 

  f 1 



1

  1

   tal que

Exclusivamente Ψ es función de λ1

y 2

son de libre variación, es decir, los valores que toma el primer conjunto de parámetros no afectan al otro.

Por ejemplo, suponga que multiplicamos la ecuación (37) por

 12 , restando el  22

resultado de la (37). A través de esta operación diagonalizamos la matriz de varianzas y covarianzas del error, obteniendo:

y t   0 x t   1 x t -1   2 y t -1   t 41. siendo (39) la nueva ecuación condicional, donde:

0   

 12  22

 1   1

 12  22

 2   2

 12  22

 t   1t 

 12  2t  22

42. por lo que: 2   12     2 Var  t    11 2   2t   0 

De esta forma: Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

 0    22  

43.

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    ,  ,  ,  

   ,1 , 2 ,  12 ,  22 ,  12 1

0

1

2

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

44.

2 1

 2   1 ,  2 ,  22  Supongamos ahora que se define como parámetro de interés, es decir:    

Verifiquemos entonces las dos condiciones de exogeneidad débil: a)

 0 

1  0  2 1 2

Por lo que  depende de

1  0 ,  1  ,

pero también depende de  2  1 ,  2  . Es

decir, la primera condición no se cumple. b)

 2  1   1 2

por lo que 1 y  2 sí tienen relación, incumpliéndose también la segunda condición. En conclusión, definido el parámetro de interés como  , xt no es exógenamente débil. Veamos, sin embargo, algunas variantes. Si  12  0 , es decir los errores de las ecuaciones 12 y 13 no están correlacionados, entonces  es igual a

 0 , siendo este

último un parámetro que pertenece exclusivamente a 1 ; de aquí que la primera condición sí se cumple. De otro lado, la relación anterior b) desaparece (dado que 1 = 2 = 0) por lo que la segunda condición también se cumple. Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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Nótese que si 2  0, pero el nuevo parámetro de interés fuese 0, se cumpliría la primera condición pero no la segunda. Para que esta última también se cumpliera se requerirá, además, que yt no cause a xt. Se deja al lector la demostración detallada de este caso. Exogeneidad Fuerte Para que xt sea exógenamente fuerte respecto a , se debe cumplir que: Xt sea exógena débilmente respecto a  . Yt no cause a Xt en el sentido granger.

a) b)

xt es super exógena si los parámetros de la distribución condicional son invariantes a cambios en la distribución marginal. 9.5. Test de exogeneidad A. Exogeneidad débil 1. Comprobar que yt no cause instantáneamente a xt. 2. Probar que Ho:  12  0 . Para ello: a)

Correr las ecuaciones condicional y marginal, y recoger los errores de ambas,  1 y  2 , respectivamente.

 f constante, x t ,  2 

b)

Correr la regresión  1

c)

Se rechaza la nula si TR

2

~  2 1 excede el valor crítico correspondiente.

B. Exogeneidad fuerte Comprobar que xt es exógenamente débil. Demostrar que yt no causa a xt. C. Superexogeneidad 1. Realizar un test de estabilidad de parámetros sobre la condicional. 2. Hallar un conjunto de dummies que expliquen la inestabilidad de parámetros de la marginal. Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

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3. Correr la ecuación condicional incluyendo las dummies anteriores como explicativas y testear Ho: los coeficientes de las dummies son cero. Si se acepta ésta, entonces la ecuación condicional es invariante a cambios en la marginal. El VAR estructural La Descomposición de Choleski La estimación de la forma reducida del VAR planteado en la parte tercera:

y t  a10  a11y t-1  a12z t-1  e1t

z t  a20  a21y t-1  a22z t-1  e2t

45.

no permite recuperar la forma estructural:

y t  10   12 z t  11 y t -1   12 z t -1   yt

z t   20   21y t   21y t-1   22z t-1   zt

46.

ya que mientras que la ecuación (1) arroja 6 parámetros estimados, además de las dos varianzas de los errores y la covarianza entre ellos (9 en total), el segundo tiene 10 parámetros a estimar: los 8 coeficientes y las desviaciones de los errores estructurales. Es decir, a menos que se imponga al menos una restricción sobre el modelo estructural, éste no podrá recuperarse. Una forma de identificar el modelo es usar el sistema recursivo propuesto por Sims (1980). Así, se supone que 21 es igual a 0, de tal forma que: 1   12   1   1  0

47.

Premultiplicando el sistema de ecuaciones (2) por la matriz de (3), se tiene:  y t  1   12   10  1   12   11   z   0 1    20  0 1    21  t 

o,

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12   y t -1  1   12   yt    22   z t -1  0 1   zt 

48.

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 y t   10   12  20   11   12  21 z      20  21  t   

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12   12  22   y t -1   yt   12 zt   z     zt  22   t -1   

49.

por tanto, a partir de la estimación de la forma reducida (1), se pueden establecer las siguiente relaciones entre coeficientes: a10   10   12  20 a11   11   12  21 a12   12   12  22 a 20   20

50.

a 21   21 a 22   22

además, como e1t=  yt   12 zt y e2t=zt, entonces: Var (e1 )   y2   12 z2

51.

Var (e2 )   z2

52.

Cov(e1 , e2 )   12 z2

53.

con el resultado de (8) en (9), podemos hallar 12, a partir de lo cual es posible obtener todos los coeficientes de la forma estructural de (6). Téngase en cuenta que este resultado fue obtenido gracias a la restricción impuesta, 21=0, la que implica que yt no tiene un efecto contemporáneo sobre zt. Además, viendo (5) se puede observar que la restricción implica también que yt y zt afectan ambos el valor contemporáneo de yt, pero que sólo zt afecta el valor contemporáneo de zt. Esta descomposición triangular de los residuos se conoce como la Descomposición de Choleski.

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Otras alternativas de descomposición: el VAR estructural Los sistemas exactamente identificados

El objetivo de un VAR estructural es utilizar la teoría económica para recuperar los errores estructurales a partir de las estimaciones de la forma reducida. De esta manera, se evita utilizar criterios arbitrarios de ordenamiento de variables como el que requiere la descomposición de Choleski, más aún si se sabe, que la utilización de diversos ordenamientos puede arrojar resultados muy diferentes para un mismo grupo de variables3.

La idea del VAR estructural es simplemente reconocer que los VARs no son más que la forma reducida de la forma estructural que debe mostrar coherencia teórica, para que sus predicciones sean creíbles.

Es decir, las restricciones de nulidad no pueden imponerse alegremente como en Choleski sino más bien deben utilizarse restricciones basadas es propuestas que se desprenden de la teoría económica.

Así, se buscará imponer restricciones que permitan recuperar los errores estructurales, preservando su estructura. Para identificar los parámetros estructurales deberán contarse entonces ecuaciones e incógnitas. Usando la matriz de varianzas y covarianzas () estimada por MCO para la forma reducida de un sistema de m variables se tienen (m2+m)/2 valores diferentes conocidos (dado que 

3

Seleccionar un orden determinado implica dar mayor importancia a la variable que se coloca como primera. Además, la amplitud del impulso respuesta que se atribuye al error de esta última será incrementada por dicho ordenamiento, mientras que reducirá las del resto de variables situadas a continuación.

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es simétrica). De otro lado, dado que la matriz  tiene unos en la diagonal, contiene m2-m valores desconocidos a los que hay que adicionar m más que corresponden a las varianzas de los errores estructurales. Es decir:

Valores conocidos (estimados a partir del modelo reducido)= (m2+m)/2 Incógnitas = m2 Total de restricciones a imponer en el modelo estructural = m2-(m2+m)/2= (m2-m)/2

Nótese que la descomposición de Choleski satisface esta condición. En el ejemplo visto antes, donde m=2, se requería una sola restricción para identificar el modelo, por lo que se supuso que 21=0. Sin embargo, lo que propone el VAR estructural es trabajar con un conjunto de restricciones menos limitantes (que vayan más allá de la triangulación de la matriz de varianzas y covarianzas). Estas descomposiciones alternativas estructurales pueden ser hasta de tres tipos:  Las restricciones sobre los coeficientes.- que supone establecer valores específicos para los ’s.  Las restricciones sobre los valores de las varianzas.- que por tratarse de la varianza, arrojará resultados múltiples respecto de los valores de los ’s4  Las restricciones simétricas.- que consisten en combinaciones lineales de los coeficientes ’s y las varianzas, como sería el caso de suponer que 12=21

Los sistemas sobreidentificados

Es posible que la teoría económica sugiera la presencia de más de (m2-m)/2 restricciones. En este caso, tendremos un sistema sobreidentificado que requerirá un procedimiento especial de estimación, con los siguientes pasos: 4

Para entender esto, basta tener en cuenta la relación cuadrática existente entre las matrices de varianzas y covarianzas de los

' errores de la forma reducida y estructural, a saber:     e 

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Estimar el VAR no restringido, sabiendo que el ordenamiento de las variables no afecta su resultado. Obtener la matriz de varianzas y covarianzas del modelo no restringido, cuyo determinante constituye un indicador del ajuste del modelo. Seleccionar las restricciones y maximizar la función de verosimilitud respecto a los parámetros libres de  y  Si las restricciones no son válidas,  y  serán equivalentes. Sea R el número de restricciones en exceso de las que harían el modelo exactamente identificado. El siguiente test puede ser utilizado para evaluar el sistema restringido:

 2  R   Donde R son los grados de libertad. Si 2 calculado excede el de tabla las restricciones serán rechazadas. Restricciones de Largo Plazo (Blanchard & Quah, 1989) Supone el siguiente modelo donde una de las series es I(1) y la otra es I(0): Forma estructural:

X t  B0  B1X t -1   t

E et et '

D

X    ( L) t

54.

La forma reducida será:



Xt  A0  A1 Xt -1  ut



E ut ut   '

X    ( L)ut

55.

Donde:

ut

B-1et

También:

E B-1et et ' B-1

E ut ut '

(L)ut

( L)et

De 79 tenemos: Vectores Autorregresivos Bustamante Romaní, Rafael

(L)B-1

'

B-1E et et '

( L)

B-1

'

B-1E D B-1

'

56.

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 x1t   1  11 ( L) 12 ( L)  1t   x        ( L)  ( L)    22   2t   2t   2   21

En BQ

x1t es el PIB e x2t la tasa de desempleo, 1t es un shock de oferta y 2t es el

shock de demanda. BQ suponen que los shocks de demanda no tienen efectos de largo plazo ni en el PIB ni en el desempleo mientras que los shocks de oferta solo tienen efectos permanentes en el PIB. Las restricción de neutralidad de largo plazo se puede expresar como 12 ( L)  0 . Las restricciones sobre

x2t son innecesarias pues x2t

I (0) .

Por lo tanto tenemos:

0   (1) (1)   11   21 (1)  22 (1)  Como podemos utilizar esta restricción para identificar B?

(1)

De (80) podemos calcular la varianza de largo plazo: las definiciones de (1) y de tenemos:

(1)' sustituyendo

(1)B B 1 D( B 1 )' B' (1)' (1)D (1)' Llegado a este punto BQ suponen que

D

I

(1) (1)'

57.

La restricción de neutralidad implica que (1) es triangular entonces se puede decir que es la descomposición de Cholesky de . Finalmente usamos (81) para determinar B:

(L)u t

( L)et

B= (I-A1 ) (1)

(L)B-1 1

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( L)

B= (L)

( L)

1

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Barco, A. (2003). Econometría de series de tiempo. Notas de clase de Econometria II. Lima: Mimeo. Universidad del Pacífico. https://econometriaii.files.wordpress.com/2010/01/beltran.pdf Hamilton, J. (1994). Time series analysis. Princeton University. Londoño, W. (2005). Modelos de ecuaciones múltiples modelos VAR y cointegración. Medellín: Departamento de Ciencias Básicas, Maestría en Matemáticas Aplicadas. Universidad de EAFIT . https://repository.eafit.edu.co/bitstream/handle/10784/134/Wbaldo_Londo%C 3%B1o_2005.pdf?sequence=3&isAllowed=y Sims, C. (1980). Macroeconomics and reality. Econometrica, 48(1), 1-48.

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