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DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

ÁREA: MATEMÁTICA

E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III

TEMA: VECTORES EN 𝑹𝟑 TURNO: NOCHE

PABELLÓN: B

SEMANA: 01 AULA: 503 B

SEMESTETRE: 2017 - II

VECTORES EN 𝑹𝟑 𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑅 3 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 Alguna de las funciones que ejercen los vectores en la vida cotidiana son:  Juegos de computadora y películas animadas, están realizadas con gráficos vectoriales.  Transporte aéreo y/o manipulación de objetos pesados como barcos, al desplazarlos con un objeto especial para no lastimarse la espalda o el cuerpo al manipularlo de manera incorrecta.  Cuando un auto choca con otro, se puede identificar quien fue el culpable por los rastros de fuerza que realizo fuerza al otro.  Al adelantar un carro se debe hacer mentalmente una resta de vectores, en los cuales los vectores son las velocidades que llevan los carros con su

Representación geométrica. - Geométricamente a un vector de 3 se lo representa en el Espacio como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P1  ( x1 , y1 , z1 ) y

P2  ( x2 , y2 , z2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido

desde

representación

P1

hacía

P2

del

tenemos vector

una

v

v  PP 1 2  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )

correspondiente dirección y sentido.

Definición. – Un vector de 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: v  ( x, y , z ) Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

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Ejemplo: v  (2, 4, 3) Los ángulos 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son llamados Ángulos Directores. Observe que:

Magnitud o norma. - Sea v  ( x, y, z ) . La magnitud o

Cos  

x  v

Cos  

y  v

x2  y 2  z 2

Cos  

z  v

x  y2  z2

x x  y2  z2 2

y z 2

Demuestre que:

norma de v denotado como v , de define como:

v  x2  y 2  z 2

Sentido. - El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. Para v  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 ) sería:

v  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2

3 Igualdad de vectores de . - Dos vectores v1  ( x1 , y1 , z1 ) y v2  ( x2 , y2 , z2 ) son iguales si y sólo

si x1  x2 , y1  y2 y z1  z2 OPERACIONES

Dirección. - La dirección de v  ( x, y, z ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Suma. – Sean v1 y v2 dos vectores de

3

tales que

v1  ( x1 , y1 , z1 ) y v2  ( x2 , y2 , z2 ) entonces la suma de v1 con v2 , denotado por v1  v2 , se define como:

v1  v2  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

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ÁREA: MATEMÁTICA Propiedades: Sean v1 , v2 y v3 vectores de

3

Producto escalar. Producto punto o Producto Interno. - Sean v1  ( x1 , y1 , z1 ) y v2  ( x2 , y2 , z2 ) vectores de

, entonces:

3

. El producto escalar de v1 con v2 denotado como

1. v1  v2  v2  v1 la suma es conmutativa

v1 . v2 se define como:

2.  v1  v2   v3  v1   v2  v3  la suma es asociativa

v1 v2  x1 x2  y1 y2  z1 z2

3.  0

3

,v

tal que v 0  v , donde

3

3

 v 

3

1. Sean v1 y v2 vectores de

3

. Entonces:

2. v1  v2  v3   v1v2  v1v3

0  (0, 0, 0) es llamado vector neutro. 4.  v 

Propiedades:

tal que v   v   0 Donde

 v  es llamado vector inverso aditivo de v .

3.  v1 )( v2    (v1v2 ) Si v  ( x, y, z ) entonces:

v v  ( x, y, z )( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 . Por lo tanto v v  v o también v  v v

Geométricamente:

Producto

Vectorial.

Producto

Cruz.

–

v1  ( x1 , y1 , z1 ) y v2  ( x2 , y2 , z2 ) vectores de

Sean 3

. El

Producto Vectorial de v1 con v2 denotado como v1 x

v2 se define como: v1 xv2  ( y1 z2  z1 y2 , ( x1 z2  x2 z1 ), x1 y2  y1 x2 Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el Vector Diferencia. Multiplicación por escalar. – Sea   un vector de

3

Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

y v  ( x, y , z )

entonces:  v   x, y, z 

Propiedades

  v1  v2    v1   v2    2.  ,   ,  v  3     v   v   v  1.   ,  v1 , v2 

3.  ,   ,  v 

3

3

Propiedades Sean v1 , v2 y v3 vectores de

1. El vector (v1 xv2 ) es tanto perpendicular a v1 como

  v    v 

Cualquier vector de , v  ( x, y, z ) puede ser expresado en combinación lineal de los vectores 3

i  (1, 0, 0), j  (0,1, 0) y k (0, 0,1) v  ( x, y, z )  (1, 0, 0) x  (0,1, 0) y  (0, 0,1) z v  xi  yj  zk

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3

a v2 2. El sentido del vector (v1 xv2 ) se lo puede obtener empleando la mano derecha. Mientras los dedos se dirigen desde v1 hacía v2 , el pulgar indica la dirección de (v1 xv2 ) .

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Producto escalar de dos vectores v1 y v2 , es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

v1 v2  v1 v2 cos  OA  v2 cos   proy. dev2 sobrev1 Luego v1 v2  v1 OA

3. v1 xv2  (v2 xv1 )

En el caso de que el ángulo sea obtuso se obtiene:

Los ángulos  y  son suplementarios por tanto, cos    cos  4. v1 xv1  0 5. Si v1 v2 entonces v1 xv2  0 6. 1v1 ) x( 2v2   1 2 (v1 xv2 )

v1.v2 || v1 || . || v2 || .cos 

7. v1 x  v2  v3    v1 xv2    v1 xv3  8. v1 xv2

2

 v1

2

v2

2

|| v2 || .cos    || v2 || cos   OA donde OA es la proyección de v2 sobre v1 es decir,

 (v1 v2 ) 2

v1.v2   || v1 || .OA

De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se obtiene un resultado muy importante:

v1 xv2  v1

2

 v1

2

 v1

2

v1 xv2

2

 v1 v2 v2

2

v2

2

 (v1 v2 ) 2

2

 ( v1 v2 cos  ) 2

2

 v1

2

Ejemplo: u .v  1.1  (1).2  3.2  5 El ángulo que forman los vectores es agudo

v2 cos 2  2

v2 1  cos2   2

2

 v1

2

v2

2

sen 2

Finalmente:

v1 xv2  v1 v2 sen

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|| v || 12  2 2  2 2  3 u.v || v || .x  5  3.x  x 

5 (que es la medida 3

del segmento x) Dividimos el vector 𝑣 ⃗⃗⃗ por su módulo a fin de obtener un vector de la misma dirección y sentido, pero de módulo unidad: E_MAIL. [email protected] – [email protected] [email protected] 999685938 Página 4 de 10

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Área  v2 h

|| v || 12  22  22  3 ; v 1 1 2 2  (1, 2, 2)   , ,  || v || 3 3 3 3 Finalmente,

el

vector

Observe

unitario

obtenido

lo

5 multiplicamos por : 3

h v

entonces

Área  v1 v2 sen y por la propiedad del producto cruz: Área  v1 xv2

5  1 2 2   5 10 10  proy. de u sobre v  x   , ,    , ,  33 3 3 9 9 9  Observación importante: Cuando el producto escalar es positivo, el ángulo es agudo Cuando el producto es negativo, el ángulo es obtuso.

Proyección escalar: Proyv2 v1 

sen 

que

v1 v2 v2

Proyección vectorial: Proy v2 v1 

v1 v2 v2

2

Cálculo del volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.

Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura h del paralelepípedo será de

v2

proyección escalar v3 sobre v1 xv2 , entonces: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Donde Áreabase  v1 xv2

Aplicaciones

altura  h  Pr oyv1xv2 v3 

Cálculo del área del paralelogramo sustentado por dos vectores. Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observa la

(v1 xv2 ) v3 v1 xv2

Por tanto

Volumen  v1 xv2

figura:

(v1 xv2 ) v3 v1 xv2

Finalmente, simplificando resulta:

Volumen  (v1 xv2 ) v3

Tomando como base a v2 , tenemos: Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR de los vectores v1 , v2 y v3 , y su interpretación es el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v2 y v3 . Observe E_MAIL. [email protected] – [email protected] [email protected] 999685938 Página 5 de 10

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además que no importa el orden de operación de los vectores.

El producto vectorial de coordenadas, viene dado por:

  y u  v   1  y2

Para calcular el volumen de un tetraedro El volumen del tetraedro es

Volumen(tetraedro ) 

esos

z1 z1 , z2 z2

vectores,

x1 x1 , x2 x2

en

   

y1 y2

Para ello, previamente vamos a ver cuáles son los productos vectoriales de los vectores de la base

1 v1 , v2 , v3  6



 

canónica B  i , j , k

  i i  0    j  i  k    k i  j



   i  j k   j j 0    k  j  i

   i k   j    j k  i   k k  0



Por tanto, dados dos vectores u  ( x1 , y1 , z1 ) y

 v  ( x2 , y 2 , z 2 ) , éstas son sus coordenadas respecto

a la base canónica, es decir:

u  ( x1 , y1.z1 )  x1i  y1 j  z1k

Ejemplos 01. Halla el ángulo que forman los vectores   u  (3,2,6) y v  (4,5,1)

v  ( x2 , y2 , z2 )  x2i  y2 j  z2 k

u  v  ( x1i  y1 j  z1k )  ( x2i  y2 j  z2k )

Solución

    u v cos(u , v )    u ·v  u.v  12  10  6  4  || u || 9  4  36  49  7 ;  || v || 16  25  1  42  u.v 4 cos    .   || u || . || v || 7 42

 ( y1 z2  z1 y2 )i  ( z1 x2  x1 z2 ) j  ( x1 y2  y1 x2 )k

7 42

  u  v  ( y1 z 2  z1 y2 , z1 x2  x1 z 2 , x1 y2  y1 x2 ) , o    y1

mejor, u  v   y  2

 02. Hallar el producto vectorial de u  ( x1 , y1 , z1 ) y  v  ( x2 , y 2 , z 2 )

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z1 z1 , z2 z2

x1 x1 , x2 x2

y1 y2

   

(Nota: De forma práctica podemos calcularlo de la

, se obtiene   84,94º

Solución

,

que equivale a decir,

Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno es

4

y

 e1   siguiente forma: u  v  x1 y1

 e2 x2 y2

 e3 x3 . y3

Lo anterior hay que tomarlo como una ‘regla mnemotécnica’, pues eso no es un verdadero determinante (no tiene sentido un determinante con números y vectores) y hay que calcularlo desarrollándolo por los elementos de la primera fila)

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03. Calcula el producto vectorial de los vectores   u  (1,7,3) y v  (5,0,4)

 06. Dados los vectores u  (3,2,5) y halla un vector perpendicular a ambos

Solución

Solución

Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo:   v  (5,0,4) u  (1,7,3)

Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:

   7 -3 -3 1 1 7    (28, 11, 35) u  v   , ,  0 4 4 5 5 0     04. Dados los vectores u  (3,2,5) y v  (4,1,6) , halla el área del paralelogramo que determinan. Solución Teniendo en cuenta que el área del paralelogramo que determinan es el módulo del producto vectorial:

 

que Área =

78 u

7 2  2 2  (5) 2  78 por lo

también, mediante la regla mnemotécnica:

i j k u  v  3 2 5  12i  20 j  3k  8k  5i  18 j 4 1 6  7i  2 j  5k  (7, 2, 5)

3 2    u.(v  w)   4 1 2 0

2

05. Dados los puntos𝐴 (1, 1, 1), 𝐵 (4, 3, 6) 𝑦 𝐶 (5,2,7), halla el área del triángulo que determinan. Solución: El área del triángulo determinado por los tres puntos viene dada por la fórmula siguiente:

1 || AB  AC || 2   Por lo tanto, hallemos u  AB y v  AC Dichos vectores serán: u  (3, 2, 5) y v  (4,1, 6) y su Área 

   2 5 5 3 3 2   (7, 2, - 5) o u  v   , ,  1 6 6 4 4 1  

07. Dados los vectores u  (3,  2,5), v  (4,1, 6) y w  (2, 0,  1) halla el volumen del tetraedro que determinan. Solución

   2 5 5 3 3 2   (7, 2, - 5) u  v   , ,  1 6 6 4 4 1   Área = || u  v ||

 v  (4,1,6) ,

Volumen( tetraedro) 

5 6  3  24  10  8  29 1

1 29 2 | 29 | u 6 6

08. El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el alambre es de 2500 N determine:

producto vectorial:

   2 5 5 3 3 2   (7, 2, - 5) u  v   , ,  1 6 6 4 4 1     2 2 2 || u  v || 7  2  (5)  78 y por tanto Área 

1   78 2 || u  v || u 2 2

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a. Las componentes de Fx , Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno y b. los ángulos  x ,  y y  z que definen la dirección de la fuerza.

04. Determine la suma de los vectores a (4, 8, -6) y b (5, 0, 6) y el ángulo que forma la resultante con cada vector. 05. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3.i 6.j +2. k, y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, infiera su producto escalar.

09. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres alambres, los cuales están anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 525 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B.

06. Suponiendo dos vectores cuyos módulos son 7 y 8, y el ángulo que forman es de 30°, compute el módulo de su producto vectorial e indique el ángulo que formará con ambos vectores. 07. Los vectores a (3, 2, -5), b (6, -4, 0) y c (0, 7, 4) están sometidos a la siguiente operación: v = 2.a + b +c. Especifique: a. El módulo de v. b. El producto escalar de a y v. 08. Dados los puntos 𝐴 (0,2,2), 𝐵 (2,0, −1) 𝑦 𝐶 (3,4,0): a) Forme los vectores AB, BC y AC. b) El perímetro del triángulo. c) El área del triángulo. d) Los ángulos internos del triángulo. e) La proyección escalar de AB en BC. f) La proyección vectorial de AB en BC.

Ejercicios

g) Un vector paralelo al vector AC y de magnitud 7. h) La altura del triángulo.

01. Dos vectores a y b, vienen expresados por: 𝒂 = 3𝒊 + 4𝒋 + 𝒌 𝑦 𝒃 = 4𝒊 – 5𝒋 + 3𝒌. a. Calcule los módulos y los cosenos directores de ambos vectores. b. Señale si son perpendiculares

i) Encuentre los cosenos directores y los ángulos directores del vector BC.

02. Dados los vectores a (3, -2, 0) y b (5, 1, -2), deduzca sus módulos, su producto escalar, el ángulo que forman y su diferencia. 03. Conocidos los vectores a (4, a, -2) y b (-a, 2a, 8), averigüe el valor de “a”, si dichos vectores son perpendiculares. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

09. Dados los puntos A (-1, 5, 3) y B (6, -1, 4). Encuentre: a) Los ángulos directores del vector AB b) El ángulo entre los vectores de posición A y B c) La distancia entre los puntos A y B. E_MAIL. [email protected] – [email protected] [email protected] 999685938

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¿Forman los puntos A, B y el origen un triángulo rectángulo? Justifíquelo mediante un procedimiento 10. Los puntos 𝐴 = (0, 2, 2), 𝐵 = (2, 0, 1), y C= (

5 1 , 2,  ) son los vértices de un triángulo. 2 2

Encuentre: a. El área y el perímetro. b. Las alturas c. Probar que la suma de los ángulos internos suman  radianes. d. Hallar la proyección del lado AB en AC. 

15. Dos vectores parten de un mismo punto “P” y uno de ellos termina en el punto (3; -2; -1) y el otro en el punto (2; -4; -2). Calcular el módulo de la resta de estos vectores.



e. Hallar el vector proyección del lado AC en AB

16. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre los vectores a y b.

f. Hallar las coordenadas del punto de intersección de las medianas. 

g. Hallar un vector paralelo a CB y de magnitud igual a 10 unidades 11. Hállese la proyección del vector A sobre la dirección del vector B , y la proyección del vector B sobre la dirección del vector A ; si A = 2, B = 1, y si el ángulo entre A y B es de 120°. 12. Graficar y hallar el área del triángulo de vértices: 𝑃 = (3, 2, 3), 𝑄 = (0, 2, 1), 𝑅 = (5, 3, 0) 13. Dado los vectores 𝑢 ⃗ = 3𝑖– 𝑗 + 𝑘y𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘, hallar el producto vectorial de dichos vectores y comprobar que el vector obtenido es perpendicular a los vectores 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣. 14. Teniendo en cuenta que la figura se compone con cubos de arista 1 unidad de longitud, determine la expresión en función de las componentes del vector que representa a la suma de los cinco vectores de la figura.

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17. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores 𝐴 = 3𝑖 + 𝑗 – 2𝑘, 𝐵 = 𝑖 − 3𝑗 + 4𝑘 . (Solución: 5

)

18. Hallar el ángulo agudo formado por las dos diagonales de un cubo. (Solución: 70º 32'). 19. Dos lados de un triángulo son los vectores 𝐴 = 3𝑖 + 6𝑗 − 2𝑘, 𝐵 = 4𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 . Hallar los tres ángulos del triángulo. (Solución: 36º4', 53º56' y 90º) E_MAIL. [email protected] – [email protected] [email protected] 999685938

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20. Hallar el volumen del par alelepípedo formado por los vectores: u  (3,  2,5), v  (2, 2,  1) y w  ( 4, 3, 2)

G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.

(Solución: 91 u 3 ) 21. Considere la siguiente figura:

Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”, Harla, sexta edición, 1992.

Referencias https://aga.frba.utn.edu.ar/vectores-en-r3/ Se pide: a. Coordenadas de D para qué ABCD sea un par alelogr amo . b. Área de este paral elogramo . (Solución: a. D = (4,4,1) b.

2 u2 )

Bibliografías Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica

http://migueltarazonagiraldo.com/ https://estaticaydinamica.jimdo.com/capitulo-2-vectores-enel-espacio/

https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/v ectores/ejercicios-resueltos-vectores-suma-productoescalar-modulo.html https://www.academiadiego.es/ejercicios/matematic as/vectores-r2-y-r3/

Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III

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