• Author / Uploaded
• Leandro Mendoza Vallejos

Citation preview

11.

Vectores Aleatorios

Definici´ on 11.1 X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) es un vector aleatorio definido en (Ω, A, P) ssi X1 , X2 , . . . , Xn son variables aleatorias definidas en el mismo modelo (Ω, A, P).

11.1.

Distribuci´ on Conjunta

Definici´ on 11.2 La funci´on definida por FX1 ,X2 ,...,Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) = P(X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn ),

x∈R

se llama funci´ on distribuci´ on conjunta de X1 , X2 , . . . , Xn Definici´ on 11.3 Sea X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) un vector aleatorio en (Ω, A, P). Diremos que: a) X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) es discreto ssi Rec(X)= Rec(X1 , X2 , . . . , Xn ) es un subconjunto contable (finito o no) de Rn . En tal caso, la distribuci´on de probabilidad puede representarse mediante \  n P(X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn ) = P {Xi = xi } i=1

As´ı, (i) P(X = x) ≥ 0 ∀ x ∈ Rn P (ii) P(X = xi ) = 1 b) X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) es continuo ssi existe una funci´on fX1 ...Xn : Rn → R no negativa tal que Z

x1

Z

xn

···

FX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = −∞

fX1 ...Xn (t1 , . . . , tn )dtn · · · dt1 ,

∀ x∈R

−∞

En tal caso fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) =

∂n FX ...X (x1 , . . . , xn ) ∂x1 · · · ∂xn 1 n

Ejemplo 11.1 Sean X e Y variables aleatorias con funci´on distribuci´on conjunta dada por  (1 − e−x )(1 − e−y ), x >0, y > 0; FXY (x, y) = 0, e.o.c. Determine fXY . 59

Definici´ on 11.4 La distribuci´ on de probabilidad de X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) se define como: PX (B) = P(X ∈ B)

∀ B ⊂ Bn

As´ı, PX (B), B ⊂ B n , es una medida de probabilidad. ⇒ (PX , B n , Rn ) es una medida de probabilidad. Proposici´ on 2

∀

B ∈ Bn  X  P(X = x), X   x∈B Z PX (B) = P(X ∈ B) =    fX (x)dx, X

discreta continua

x∈B

Teorema 11.1 Sea X un vector aleatorio continuo n- dimensional con densidad fX (x). Sea g = (g1 , g2 , . . . , gn ) una funci´on. Considere el vector aleatorio Y = g(X). Esto significa que se considera la transformaci´ on y1 = g1 (x1 , . . . , xn ) y2 = g2 (x1 , . . . , xn ) .. . yn = gn (x1 , . . . , xn )

Finalamente sup´ongase que g y g −1 son continuas y dieferenciables. Entonces la densidad de Y es fY (y) = |J|fX (g −1 (y), g2−1 (y), . . . , gn−1 (y))

y ∈ Rn

Ejemplo 11.2 Sean X e Y dos variables aleatorias continuas con distribuci´ on de probabilidad conjunta  4xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1; f (x, y) = 0, e.o.c. Encuentre la densidad conjunta de W = X 2 y Z = XY .

60

11.2.

Distribuciones Conjuntas Especiales

Algunas distribuciones multivariadas conocidas se enuncian a continuaci´on: Suponga que realiza N experimentos inpedendientes, en cada uno de los cuales puede obtener uno de los k resultados posibles, cada uno con probabilidad p1 , p2 , . . . , pk , respectivamente, y desea contar cu´antas repeticiones de cada resultado obtuvo. Definici´ on 11.5 Las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , Xk tienen una distribuci´ on multinomial si y s´olo si su distribuci´on de probabilidad conjunta est´a dada por   n P(X1 = x1 , Xk = xk , . . . , Xk = xk , ) = px1 px2 . . . pxkk n1 n2 · · · nk 1 2 donde

r X

nj = n

y

j=1

k X

pi = 1

i=1

Lo que se denota como (X1 , . . . , Xk ) ∼ M ult(n, p1 , p2 , . . . , pk ) Ejemplo 11.3 Suponga que los errores de cierto procedimiento de medici´on tienen distribuci´ on normal de media 0 y desviaci´on est´andar 2, en mil´ımetros. Suponga que se toman 10 mediciones independientes. Calcule la probabilidad que: por lo menos 9 mediciones tengan errores menores a los 2 mil´ımetros y que no m´as de una medici´on tenga error mayor a los 3 mil´ımetros.

Considere un conjunto de N elementos, de los cuales M1 son de la P primera clases, M2 de la segunda clase, y as´ı sucesivamente, hasta Mk de la k-´esima clase, donde Mi = N . Definici´ on 11.6 Las variables aleatorias X1 , . . . , Xk tienen una distribuci´on hipergeom´ etrica multivariada si y s´olo si su distribuci´on de probabilidad conjunta est´a dada por

M1 k ... M x1 xk
P(X1 = x1 , . . . , Xk = xk ) = M n

donde

k X

xi = n,

y

i=1

k X

Mi = N

i=1

Ejemplo 11.4 En un panel de presuntos jurados participan 6 hombres casados, tres hombres solteros, siete mujeres casadas y cuatro mujeres solteras. Si la selecci´on es al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que el jurado consita de 4 hombres casados, un soltero, cinco mujeres casadas y dos solteras?

61

Entre las distribuciones multivariadas continuas, la distribuci´on normal multivariada es de especial importancia, ya que es una generalizaci´on de la distribuci´on normal en una variable. Definici´ on 11.7 El vector aleatorio (X, Y ) tiene una distribuci´on normal bivariada si y s´ olo si su funci´on densidad conjunta est´a dada por  2  2     1 x − µ1 y − µ2 x − µ1 y − µ2 1 p f (x, y) = + − 2ρ exp − 2(1 − ρ2 ) σ1 σ2 σ1 σ2 2πσ1 σ2 1 − ρ2 para x ∈ R, y ∈ R, σ1 , σ2 > 0, y −1 < ρ < 1.

Teorema 11.2 Si dos variables aleatorias tienen una distribuci´on normal bivariada, son inpedendientes si y s´olo si ρ = 0.

62

11.3.

Distribuci´ on Marginal y Condicional

Dada la distribuci´on de probabilidad conjunta f (x, y) de las variables aleatorias X e Y , la distribuci´on de probabilidad f (x) de X se obtiene al sumar f (x, y) sobre todos los valores de Y . De la misma forma, la distribuci´on de probabilidad f (y) se obtiene al sumar f (x, y) sobre todos los valores de X. Cuando X e Y son variables aleatorias continuas, las sumas se reemplazan por integrales. Definici´ on 11.8 Las distribuciones marginales de X e Y est´an dadas por X X pX (x) = fXY (x, y) y pY (y) = fXY (x, y) y

x

para el caso discreto y Z

Z fXY (x, y)dy

fX (x) =

y

y

fY (y) =

fXY (x, y)dx x

para el caso continuo. Definici´ on 11.9 Sean X e Y dos variables aleatorias discretas o continuas. La distribuci´ on condicional de la variable aleatoria Y, dado que X=x, est´a dada por: fY |X (y) =

fXY (x, y) , fX (y)

fX (x) > 0

Ejemplo 11.5 Suponga que la fracci´on X de atletas hombres y la fracci´on Y de atletas mujeres que terminan la carrera del marat´on puede describirse por la funci´on densidad conjunta fXY (x, y) = 8xy,

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x.

Encuentre fX , fY y fY |X y determine la probabilidad de que menos de 1/8 de las mujeres que se inscribieron para un marat´on en particular la finalicen, si se sabe que exactamente 1/2 de los atletas hombres terminaron la carrera. Definici´ on 11.10 Sean X e Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con distribuci´ on de probabilidad conjunta fXY y distribuciones marginales fX y fY , respectivamente. Las variables aleatorias X e Y se dice que son independientes estad´ısticamente, ssi fXY (x, y) = fX (x)fY (y),

63

∀ x, y ∈ R

Ejercicios 10 . 1. Usted tiene una urna con r fichas rojas y n fichas negras, con r ≥ 2 y n ≥ 2. Usted extrae 2 fichas al azar, sucesivamente y sin reemplazo. Para cada i ∈ {1, 2}, defina: Xi = 1, si la i-esima bolita extraida es roja, y Xi = 0, si no. a) Determine la funci´on de probabilidad conjunta del vector (X1 , X2 ). b) Determine las distribuciones marginales de X1 y X2 . c) Obtenga la funci´on de distribuci´on acumulada FX1 X2 (x1 , x2 ) con (x1 , x2 ∈ R2 ) 2. Sean X1 , X2 variables aleatorias con distribuci´on exponencial de par´ametro λ1 y λ2 respectivamente. Suponga adem´as que los eventos del tipo (X1 < c1 ) y (X2 < c2 ) son independientes entre s´ı para cualquier c1 , c2 ∈ R+ , de lo que se desprende que los eventos del tipo (X1 > c1 ) y (X2 > c2 ) tambi´en lo son. Considere las siguientes variables aleatorias Z = m´ax{X1 , X2 } y

W = m´ın{X1 , X2 }.

a) Exprese FZ (z) en funci´on de FX1 (z) y FX2 (z). b) Calcule fZ (z). c) Demuestre que W sigue una distribuci´on exponencial e identifique su par´ametro. 3. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad conjunta fX,Y (x, y) = cxy,

0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1

a) Calcule P(X ≤ t, Y ≤ t) para cualquier t ∈ (0,1). b) Calcule P(X + Y ≥ 1). 4. Sean X e Y variables aleatorias con funci´on de densidad de probabilidad conjunta  3x, 0 < y < x < 1; fX,Y (x, y) = 0, e.o.c. a) Calcule fX , fY b) Encuentre FX,Y (x, y) para 0 < y < x < 1. c) Calcule P(Y > x/2) 5. Suponga que X e Y son variables aleatorias con densidad conjunta dada por: fX,Y (x, y) = 120x(y − x)(1 − y)

0≤x≤y≤1,

y 0 en otro caso. a) Verifique que Y tiene distribuci´on Beta(α, β) e indique el valor exacto de α y β b) Muestre que para todo 0 < t < 1, P (X ≤ t · Y ) = 3t2 − 2t3 . 64

6. Suponga que X e Y son variables aleatorias con densidad conjunta dada por: 0 ≤ x ≤ 1,

fX,Y (x, y) = 2x;

0≤y≤1

a) Calcule P(X + Y ≤ t) para 0 ≤ t ≤ 2. Indicaci´on: Analice separadamente los casos 0 ≤ t ≤ 1 y 1 < t ≤ 2. b) Obtenga la funci´on de densidad de la variable aleatoria Z = X + Y. c) Demuestre que sen(X) y {ln(Y )}2 son independientes. 7. Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribuci´on Normal(0, σ 2 ). Encuentre las funciones de densidad margina de U = X 2 + Y 2 y V = X y vea que estas son independientes. Y 8. Sea X e Y variables aleatorias independientes con funciones densidades marginales fX (x) = xe−x ,

x>0

y

fY (y) = ey

Sean Z = X + Y,

y

W =

y>0

X X +Y

a) Determine las respectivas densidades marginales de Z y W . b) ¿Son Z y W variables aleatorias independientes? c) Obtenga la funci´on generadora de momentos de Z, MZ (t). 9. Sea (X, Y ) un vector bivariado discreto con funci´on de probabilidad conjunta, pX,Y (x, y) =

cy , x+1

1 ≤ x ≤ 3;

1≤y≤x

Calcule pX (x) en funci´on de la constante c y determ´ınela. 10. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad conjunta fX,Y (x, y) = c|y|e−x ,

0 ≤ x ≤ ∞; −x ≤ y ≤ x

a) Encuentre la densidad marginal de X en t´ermino de la constante c. Demuestre que c = 1/2. b) Encuentre la densidad marginal de Y y obtenga E(Y ). c) Encuentre la densidad condicional de Y dado X = 1.

65

11.4.

Esperanza y Varianza Condicional

Definici´ on 11.11 Dado un vector aleatorio (X,Y) la esperanza condicional de Y dado X=x se define como  X  y P(Y = y|X = x), X discreta   Zy ∞ E(Y |X = x) =    y fY |X (y)dy, X continua −∞

M´as generalmente, si g : R −→ R  X  g(y)P(Y = y|X = x), X discreta   Zy ∞ E(g(Y )|X = x) =    g(y)fY |X (y)dy, X continua −∞

Proposici´ on 3 Si E(|Y |) < ∞ E[E(Y | X)] = E(Y ) Ejemplo 11.6 Sea Y |X = x ∼ U (0, 1 − x) y fX (x) = 2(1 − x), si 0 < x < 1. Determine E(Y ). Propiedades: i) E(c|X = x) = c ii) E(Y1 + Y2 |X = x) = E(Y1 |X = x) + E(Y2 |X = x) iii) E(cY |X = x) = c · E(Y |X = x) iv) E(g(X, Y )|X = x) = E(g(x, Y )) En particular, E(g1 (X)g2 (Y )|X = x) = g1 (x)E(g2 (Y )|X = x) v) E(g(Y )|X = x) = E(g(Y )) ⇔ X es independiente de Y. Definici´ on 11.12 La varianza condicional de Y dado X=x se define como V(Y |X = x) = E[(Y − E(Y |X = x))2 |X = x]  X  (y − E(Y |X = x))2 P(Y = y|X = x), X discreta   Zy ∞ =    (y − E(Y |X = x))2 fY |X (y)dy, X continua −∞

Teorema 11.3 Suponga que E(Y 2 ) < ∞ V(Y ) = E(V(Y |X)) + V(E(Y |X)) 66

Ejemplo 11.7 Sean X e Y variables aleatorias continuas tales que X ∼ U(0, 1) e Y |X = x ∼ U(x, x + 1). Calcule: a) E(Y |X = x) y V(Y |X = x). b) E(Y ) y V(Y ). c) La densidad condicional de X dado Y = y. d) E(X|Y = y) y E(Y |X = x). e) Considere las funciones de variables aleatorias h(Y ) = E(X|Y ) y k(X) = E(Y |X). Calcule la funci´on de densidad de h(Y ) y la funci´on de densidad de k(X). Ejercicios 11 . 1. Sean X e Y variables aleatorias independientes con X ∼ P oisson(λ1 ), Y ∼ P oisson(λ2 ). a) Muestre que Z = X + Y sigue una distribuci´on Poisson. Determine el par´ametro de esta distribuci´on. b) Encuentre la funci´on distribuci´on del vector (X,Z). 2. Sea X una variable aleatoria positiva con media α y varianza β. Condicional en el valor observado x de X se generan variables aleatorias Y1 , Y2 , . . . , Yn independientes e id´enticamente distribuidas P oisson(cx). a) Calcule E(Y1 ) y V(Y2 ) P Yi . Calcule E(Tn ) y V(Tn ). b) Sea Tn = n1 3. Sean S y T variables aleatorias independientes con densidades marginales 1 fS (s) = s2 e−s , 2

s>0

y

fT (t9 = 2t,

0 < t < 1.

a) Sea X=ST. Encuentre la densidad de probabilidad conjunta de X y S. b) Calcule E(X|T = t) y obtenga E(X). 4. Sean N, X1 , X2 , . . . variables aleatorias independientes donde N ∼ P oisson(λ) y Xi ∼ U (0, θ), i = 1, 2, . . . Sea N X T = Xi i=1

a) Encuentre E(T ) y V(T ). b) Sea Z = max{X1 , . . . , Xn }. Encuentre E(Z).

67

5. Sean (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . vectores aleatorios tales iid donde X1 sigue una distribuci´on U(0,1) y la densidad condicional de Y1 dado X=x es fY1 |X1 (y) =

1 −y/x ye , x2

Sea T =

n X

y>0

Yk

k=1

a) Calcule E(T ) b) Calcule V( Tn ) 6. Sean X e Y variables aleatorias tales que Y |X = x ∼ Bin(x, p) y X ∼ P oisson(λ). Determine la distribuci´on de Y y calcule su esperanza.

68