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Universidad Técnica de Manabí ALGEBRA LINEAL ESTUDIANTES: LEVI JESUS MEZONES SANTANA  BRYAN GABRIEL RIVAS PIN  CARMEN PAOLA IBARRA ARCAYA  TOMMY ALEJANDRO FREIRE MUÑOZ 

DOCENTE: BEATO DÍAZ ORESTE

PORTOVIEJO – MANABÍ – ECUADOR AÑO 2018

Vectores en R2 Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y. Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Un vector en el plano, se denota por un par ordenado de números reales y la notación x, y se emplea en lugar de ( x, y) para evitar la confusión entre vector y punto. V2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y). Un vector en el plano es un par ordenado de números reales x, y , Los números x y y son las componentes del vector x,y . Sea el vector A el par ordenado de números reales a1, a2 Si A es el punto (a1, a2 ) , entonces el vector A puede representarse geométricamente por el segmento dirigido OA este segmento dirigido es una representación del vector A. La representación particular de un vector con su punto inicial en el origen se denomina representación de posición del vector. Vectores en R2 en el plano cartesiano Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.

Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano.

Un vector fijo Descripción: vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Módulo del vector Descripción: vector Es la longitud del segmento AB, se representa por Descripción: módulo. Dirección del vector Descripción: vector Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector Descripción: vector El que va del origen A al extremo B.

Producto Vector y Escalar Se llama producto de un vector V por un número k, al vector que tiene ·

La misma dirección del vector V.

·

La magnitud es igual al producto de k por la magnitud del vector V.

·

El sentido depende del signo de k

o

Si k es positivo tiene el mismo sentido que el vector V.

o

Si k es negativo tiene el sentido opuesto del vector V.

Producto Vector Escalar Propiedades de los Vectores Como toda operación, la suma de vectores tiene unas propiedades que facilitan su realización. Estas son la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, la propiedad distributiva y el inverso aditivo. La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumando no altera la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A. La propiedad asociativa es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la

resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C). La propiedad distributiva es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB. La propiedad del inverso aditivo es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0. Aquel vector que tiene su punto inicial en el origen de un sistema de coordenadas es un vector estándar. El vector estándar de un vector V con punto inicial en (x1, y1) y punto extremo en (x2, y2) esta dado por: V= V= La magnitud o longitud de un vector estándar V es: ‖V‖=√(x2+y2) Vectores Unitarios Si V es un vector en el plano diferente de cero entonces, el vector unitario en la dirección de V es U. Estos vectores unitarios se utilizan para representar la dirección de otros vectores en términos de sus componentes.

La magnitud del vector V es diferente de una unidad. La magnitud del vector U es igual a una unidad. La dirección de los vectores V y U es la misma.

VECTORES EN R3 Queda establecido un sistema de coordenadas donde todo punto de R3R3 se define mediante una terna ordenada de números reales: P(x,y,z)P(x,y,z), y tiene asociado un vector posición ⃗p=−− →OP=(x,y,z)p→=OP→=(x,y,z). Para dar un ejemplo en el siguiente esquema graficamos al punto P(2,4,3)P(2,4,3), y su vector posición ⃗p=−− →OPp→=OP→:

Hemos tomado la misma escala sobre cada uno de los ejes. Pero, como en R2R2, es posible tomar una escala diferente para cada eje. En el siguiente GIF les mostramos cómo podría hacerse la gráfica del punto paso a paso:

OPERACIONES Y NOCIONES BÁSICAS SOBRE VECTORES EN R3

Sean ⃗v=(vx,vy,vz)v→=(vx,vy,vz) y ⃗w=(wx,wy,wz)w→=(wx,wy,wz) vectores de R3. A continuación definimos algunas operaciones y nociones básicas:     

Igualdad: ⃗v=⃗w⇔vx=wx,vy=wy,vz=wzv→=w→⇔vx=wx,vy=wy,vz=wz Suma: ⃗v+⃗w=(vx+wx,vy+wy,vz+wz)v→+w→=(vx+wx,vy+wy,vz+wz) Vector nulo: ⃗0=(0,0,0)0→=(0,0,0) Opuesto de ⃗vv→: –⃗v=(–vx,–vy,–vz)–v→=(–vx,–vy,–vz) Resta: ⃗v–⃗w=⃗v+(–⃗w)=(vx–wx,vy–wy,vz–wz)v→–w→=v→+(–w→)=(vx–wx,vy–wy,vz–wz)

El producto de un escalar por un vector se define: ⃗v=(vx,vy,vz),k∈R,k.⃗v=(k.vx,k.vy,k.vz)v→=(vx,vy,vz),k∈R,k.v→=(k.vx,k.vy,k.vz) k.⃗vk.v→ es un vector tal que:  



Tiene igual dirección que el vector ⃗vv→ Sentido: Si k>0k>0 entonces ⃗vv→ y k.⃗vk.v→ tienen el mismo sentido, si k1 entonces ∥k.⃗v∥>∥⃗v∥‖k.v→‖>‖v→‖ Si |k|