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FÍSICA PARA TODOS

CARLOS JIMENEZ HUARANGA

VECTORES EN TRES DIMENSIONES Los vectores pueden expresarse en función de coordenadas, de la siguiente manera:

Si se tiene:

r A = ( a; b; c) r r r o de otra forma: A = a i + b j + c k r r r donde: i , j , k , son vectores denominados, vectores unitarios que indican la dirección de los ejes “x”, “y”, “z” respectivamente. z

c

→ A

θ α

β

y b

x

SUMA DE VECTORES

a

r El módulo del vector A es igual:

r r Entonces: A + B = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; c1 + c2 ) Ejemplo: calcular el módulo del vector resultante de los siguientes vectores: r A = ( 2; 1; − 2) r B = (1; − 3; 1) r C = (−1; 1; − 1) La resultante de estos vectores es: r r r r R = A+ B +C r R = (2 + 1 − 1; 1 − 3 + 1; − 2 + 1 − 1) r R = (2; − 1; − 2) r r r r También se expresa: R = 2 i − j − 2k El módulo de la resultante es: R = ( 2) 2 + ( −1) 2 + ( −2) 2 = 9 R=3

A = a2 + b2 + c2 Ejemplo: El módulo del vector: r r r r A = i + 2 j + 2k

RESTA DE VECTORES Si se tiene:

Es igual a: A = 12 + 2 2 + 2 2 → A = 3

cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1 a → a = A cosα A

cos β =

b → b = A cosβ A

cos θ =

c → c = A cosθ A

α: ángulo que forma el vector β: ángulo que forma el vector θ: ángulo que forma el vector

r A = (a1 ; b1 ; c1 ) r B = (a2 ; b2 ; c2 )

r r Entonces: A − B = ( a1 − a2 ; b1 − b2 ; c1 − c2 )

COSENOS DIRECTORES:

cos α =

r A = (a1 ; b1 ; c1 ) r B = (a2 ; b2 ; c2 )

r A con el eje x r A con el eje y r A con el eje z

r r Ejemplo: Calcular: A − B r Si se tiene: A = (4; − 8; 6) r B = (1; 4; 2) La resta de los vectores es: r r A − B = ( 4 − 1; − 8 − 4; 6 − 2) r r A − B = (3; − 12; 4) r r r r r También se expresa: A − B = 3 i − 12 j + 4k El módulo del vector resta es: r r A − B = (3) 2 + (−12) 2 + (4) 2 r r A − B = 169 r r A − B =13

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FÍSICA PARA TODOS

PRODUCTO DE VECTORES

r r Producto escalar ( A ⋅ B ) Al multiplicar escalarmente dos vectores, se obtiene como resultado “un número”. Dicho número se obtiene multiplicando los módulos de los vectores y por el coseno del ángulo que forman dichos vectores.

CARLOS JIMENEZ HUARANGA

r r Producto vectorial ( A × B ) Al multiplicar vectorialmente dos vectores se obtiene como resultado a otro vector. El módulo de ese vector es igual al producto de los módulos de los vectores a multiplicar y por seno del ángulo que forman entre sí. r r A × B = A B senθ

→ B θ → A

r r A ⋅ B = A B cos θ r Ejemplo: Si los módulos de los vectores A y r B son A= 12, B=6 y el ángulo que forman dichos vectores es 60º. Calcular el producto escalar de ellos. r r A ⋅ B = A B cos θ = (12)(6) cos60º r r r r A ⋅ B = (72)(0,5) → A ⋅ B = 36 Ejemplo: Si se tiene los vectores: r A = (1; 2; − 2) r B = (3; − 1; 2) r r Calcular el producto escalar A ⋅ B r r A ⋅ B = (1)(3) + (2)(-1) + (-2)(2) r r A ⋅ B = 3 -1 -4 r r A ⋅ B = −2

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→ A

r r Si los vectores A y B son dados de la siguiente forma: r r A = (1; 2; 3) y B = (4; 5; 6) Su productor vectorial se determina así: → → A×B=

i 1 4

j 2 5

k 3 6

r r r r r A × B = (2 × 6 − 5 × 3)i − (1 × 6 − 4 × 3) j + (1 × 5 − 4 × 2)k

r r r r r A × B = (12 − 15)i − (6 − 12) j + (5 − 8) k

Caso particular: Cuando dos vectores son perpendiculares entre sí, el producto escalar de ellos es “CERO” r r A⋅ B = 0 r r Ejemplo: Si los vectores A y B son perpendiculares entre si, hallar el valor de “a” r r A = ( a; 2; − 2) y B = (3; − 1; a ) r r Si son perpendiculares, se cumple: A ⋅ B = 0 Osea: (a)(3) + (2)(-1) + (-2)(a) = 0 3a – 2 – 2a = 0 → a = 2

La dirección de dicho vector es perpendicular r r al plano que contiene a los vectores A y B → → A×B → B

r r r r r A × B = −3i + 6 j − 3k

Si se desea calcular el módulo del producto vectorial se procede a efectuar así: r r r r r A × B = −3i + 6 j − 3k

r r A× B = ( −3) 2 + (6) 2 + (3) 2 r r A× B = 9 + 36 + 9 = 54

r r A× B = 3 6 http://fisica-pre.blogspot.com

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FÍSICA PARA TODOS

¿Cómo se determina el vector unitario de un vector? r El vector unitario de cualquier vector A r r A Se expresa de la siguiente manera: u = A

Ejemplo: Para determinar el vector unitario r r r r del vector: A = 2i + j + 2k , se determina en primer lugar, su módulo: A = 2 2 + 12 + 2 2 → A = 9 → A = 3

r r r r r A 2i + j + 2 k Entonces: u = = A 3 r El vector unitario del vector A , es igual a: r r r r 2i j 2k u= + + 3 3 3

→ A (2; 4; 1)

r 1. Calcular la resultante (R) de los siguientes 3 vectores: r r r r A = 2i + j − 3k r r r r B = i + 3 j + 2k r r r r C = −4i − j + 2k r r r r r r r r A) R = i + 3 j + 3k B) R = −i + 3 j + k r r r r r r r r C) R = −i + 3 j − k D) R = i + 3 j + k r r r r E) R = −i + 5 j + k r 2.- Determine el módulo del vector F , si: r r r r F = 2 A − B + 3C r r r r A = 2i + j + k r r r r B = i − j + 2k r r r r C = −i + 3 j − 2 k B) 6 2

C) 6 3

D) 6 5 E) 12

(6; 3; 5)

r 3. Si el módulo del vector A es igual a 3, r calcular el módulo del vector B : r r A = (1; a; a) ; B = (2a; a; 4) A) 4 D) 6 2

y

x r El vector A está entre los puntos: (2; 4; 1) y (6; 3; 5) Su ecuación vectorial se obtiene restando el punto del extremo del vector menos el punto del origen del vector: r A = (6; 3; 5) – (2; 4; 1) r A = (6 - 2; 3 - 4; 5 - 1) r A = (4; -1; 4)

r r r r A = 4i − j + 4 k

PROBLEMAS PROPUESTOS

A) 6

¿Cómo se determina la ecuación vectorial de un vector? z

CARLOS JIMENEZ HUARANGA

B) 4 2 E) 10

C) 6

4. Determine los valores de m y n si se cumple la siguiente relación: r r r A = mB + nC r r r r r r r A = i − j ; B = 2i + j + 3k ; r r r r C = i + j + 2k Dar como respuesta: m+ n A) 0 B) -1 C) +1 D) +2 E) -2 r 5. Un vector A tiene su origen en el punto (2; -1; -2) y su extremo (flecha) en un r punto “P”; un segundo vector B se inicia en el punto “P” y termina en el punto (-3; 1; 3). Calcular el módulo del vector resultante de estos dos vectores. A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 6 6

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FÍSICA PARA TODOS

6. Dos vectores parten de un mismo punto “P” y uno de ellos termina en el punto (3; -2; -1) y el otro en el punto (2; -4; -2). Calcular el módulo de la resta de estos vectores. A) 6 B) 2 C) 3 D)

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E) 2 6

r 7. Calcular el vector unitario del vector A . z

→ A

x (4; -3; -1) A)

1r 2 r 2 r 1r 1 r 1 r i + j + k B) i + j + k 3 3 3 6 3 3

C)

1r 2 r 2 r 1r 2 r 2 r i + j − k D) i − j + k 3 3 3 3 3 3

1r 2 r 2 r E) − i + j + k 3 3 3

r 8. Calcular la resultante de los vectores A y r B , ubicados en el siguiente cubo de 2 unidades de arista. z → B

r r 10. Si se tiene: a = (3; 1; − 4) y b = (−2; 3; 1) . r r Calcular: a ⋅ b A) +7 B) -7 C) -1 D) +1 E) 0

12. En la figura se tiene a los vectores r r r A ; B y C perpendiculares entre sí. Indique la expresión correcta que represente la figura. → A → B → C r r r r r r A) A × B = C B) C × A = B r r r r r r C) A × C = B D) B × C = A r r r E) B × A = − C 13. Un vector forma 60º con el eje “x”, 120º con el eje “y”, ¿qué ángulo forma dicho vector con el eje “z”? A) 30º B) 45º C) 60º D) 120º E) 180º

y

x

r r r A) i + 2 j + 2k r r r C) 2i + 4 j − 2k r r r E) 2i − 4 j − 2k

r r a = ( m; n; − 4) ; b = ( n; − 1; p ) y r c = (3; p; m) A) 0 B) +1 C) -1 D) +2 E) -2

r r 11. Si los vectores A y B son perpendiculares entre sí, determine el valor de “a”. r r A = ( a; − 2; 3) y B = ( 2; 1; − a ) A) 0 B) +1 C) -1 D) +2 E) -2

(2; 1; 3) y

→ A

CARLOS JIMENEZ HUARANGA

r r r B) 2i + 4 j + 2k r r r D) 2i − 4 j + 2k

r r r 9. Si la resultante de los vectores a ; b y c es nula, calcular: m + n + p.

14. El resultado de efectuar el producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad igual al módulo del producto vectorial de los mismos vectores. ¿Qué ángulo forman dichos vectores? A) 30º B) 37º C) 45º D) 60º E) 90º

r r 15. ¿Qué ángulo forman los vectores A y B r r r r r si se sabe que: A = 2k y B = i + j

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FÍSICA PARA TODOS

A) 0º D) 90º

B) 45º E) 120º

CARLOS JIMENEZ HUARANGA

A) 0 D) +2

C) 60º

B) +1 E) -2

19. El vector ubicado en el cubo de arista igual a 1, tiene un módulo igual a 3 3 . Determine su ecuación vectorial.

16. ¿Qué ángulo forman los vectores:

r r r r r r r r A = i + 2 j + 2k y B = − i + j + k

z

A) 30º B) 60º C) 90º D) Arc tg 2 E) Arc tg 3

r r 17. Calcular el producto vectorial: A × B r r A = ( 2; − 3; 1) y B = (1; − 2; − 1) A) (5; 3; -1) C) (-5; 3; 1) E) (1; -1; 3)

→ B

y x

B) (5; -3; -1) D) (1; 3; -1)

18. En la siguiente figura se tiene un cubo de arista igual a 1, y en él dos vectores. Determine el producto escalar de dichos vectores. z

→ A

C) -1

y

r r r A) i + j + k B) r r r C) 3i + 3 j + 3k D) r r r E) 3i + 3 j + 3k

r r r 2i + 2 j + 2 k r r r 3i − 3 j + 3k

r r 20. Se sabe que los vectores A y B son r r perpendiculares entre sí. Calcular: A × B r r r r r r r r A = i − aj + k y B = 2i + 2 j + ak A) 3 D) 6 2

x

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B) 3 2 E) 12

C) 6