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UNIVERSIDAD LOS ÁNGELES DE CHIMBOTE FACULTAD DE INGENIERIA

Escuela Profesional de Ingeniería Civil CURSO:

MATEMÁTICA IV

TEMA :

Vectores en R3

DOCENTE :

LIC. YSELA ALVA VENTURA

CICLO :

V

ALUMNO:

CORNELIO VIRHUEZ MIGUEL

AÑO :

2012

Vectores en R3 Vector de R3 es toda terna ordenada de Nos reales. v = (v1,v2,v3) Para su representación se utilizan tres ejes ortogonales llamados ejes cartesianos X,Y,Z. Se pueden plantear dos esquemas de representación, denominados “mano derecha” ymano izquierda. Generalmente se usa el de la mano derecha.

En el primero, el índice de la mano derecha representa al eje X, el pulgar al eje Zy el anular aleje Y (en posición de la mano propia enfrentada al observador). El sentidode rotación X →Y →Z es anti-horario, como el empleado para medir ángulos. En el segundo, se considera el mismo esquema, pero con la mano izquierda. Elsentido de rotación X →Y →Z es horario, o sea contrario al utilizado para medirángulos.

Vectores canónicos en R³:

Puede verificarse que los mismos son ortogonales entre sí, comprobando que elproducto escalar es nulo para cualquier par. Todo vector de R3 se puede escribir como suma de los vectores canónicosmultiplicados por un escalar. Cada término es la proyección del vector sobre el ejecoordenado correspondiente. Se dice que v es combinación lineal de los vectorescanónicos, concepto que se estudiará en detalle en la unidad siguiente.

v = v1 i + v2 j + v3 k

Dirección y sentido de un vector No es posible determinar la dirección en el espacio a partir del ángulo con un soloeje, ya que hay infinitos vectores que determinan el mismo ángulo θ(contenidos en elcono según la fig.)

Propiedad:La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es 1 cos² α+ cos² β+ cos²γ

=

Producto escalar en R³ u •v = u1v1 +u2v2+u3v3 Todas las propiedades expresadas en R² son extensivas a R³, incluidos los conceptos deángulos y distancia entre vectores, ortogonalidad, y proyecciones. Producto vectorial de dos vectores (o Producto Cruz) x : R³x R³ →R³ Es una operación definida sólo en R³ de la cual resulta un tercer vector.

Propiedades Pueden justificarse a partir de las propiedades de los determinantes. I. u x v = - (v x u) (Conmutación de filas) II. (αu )x v = α( u x v) (Producto de una fila por un escalar) III. u x (v + v´) = u x v + u x v´ (descomposición de una fila en suma de otrasdos) IV. Sean u y v no nulos: u // v ⇔u x v = 0 (filas iguales o proporcionales)

Módulo del producto vectoria Sea θel ángulo entre u y v: ⇒

| u x v |² = | u | ² | v |² - (u •v)² Relación a demostrar por el alumno calculando: | u x v |² = | (u2v3-u3v2)i+ (u3v1-u1v3)j+ (u1v2-u2v1)k | ² | u x v |² = | u | ² | v |² - (u •v)² = | u | ² | v |² - | u | ² | v |² cos²θ= |u | ² | v |² (1 – cos²θ) | u x v |² = | u | ² | v |² sen²θ⇒| u x v | = | u | | v |senθ(los módulos son no negativos)

Magnitud Escalares y Vectoriales Imaginémonos que queremos manejar el desplazamiento de un punto en el plano. Con un poco de creatividad podríamos comprender que el arreglo o matriz (a, b) sería suficiente para manejar este desplazamiento; donde el número real a representaría la sombra del desplazamiento sobre un eje horizontal (control horizontal del desplazamiento) y el número real b la sombra de este desplazamiento sobre un eje vertical (control vertical del desplazamiento); de esta forma convenimos que el “par ordenado” (a, b) representa la posición de un punto y solo uno en R2 (Filosofía de Descartes). Con igual razonamiento un arreglo (a, b, c) representaría la posición de un punto en R3 y así podríamos concluir que un arreglo (a1, a2, a3,……….., an) representa la posición de uno y solo un punto en Rn. Magnitudes, como el desplazamiento de un punto en un espacio cualquiera, que necesitan de un arreglo numérico para su identificación, se llaman MAGNITUDES VECTORIALES y el arreglo numérico que las representa es la TERNA del vector, los números reales que componen el arreglo son las coordenadas del vector, bajo este criterio en Física tenemos magnitudes vectoriales como la fuerza, velocidad, aceleración, etc. que necesitarían de una terna para su total identificación. Las magnitudes que con un simple valor numérico quedan totalmente identificadas, como cuatro estudiantes, dos árboles, cinco edificios, son MAGNITUDES ESCALARES y no necesitan de una terna para su identificación.

Un punto, un vector o una terna la identificaremos como una magnitud vectorial, emplearemos la siguiente notación para la recta real, el plano, el espacio tridimensional y el espacio n dimensional: R1 o simplemente R para la recta real R2 para todos los pares ordenados (x, y) R3 para todas las ternas ordenadas (x, y, z) Rn para todas las ternas ordenadas (x1, x2, x3, ……. , xn) Por ejemplo: La terna (2, 3, -6); representa un vector o punto en R3. La terna (-1, 4, -2, 8, 10); representa un vector o punto en R5. Convenimos en usar letras mayúsculas para representar magnitudes vectoriales (excepto i, j, k que se usan para representar los vectores unitarios en R3 y ei que usaremos para representar vectores unitarios en Rn), y minúsculas para representar magnitudes escalares. Con este criterio escribiremos al vector V en R3 como: V = (x, y, z) o al vector V en Rn como: V = (x1, x2, x3,……., xn) debemos recordar que en la terna el orden de los números reales que la componen no puede cambiar. Decimos que dos vectores V1 = (x1, y1, z1) y V2 = (x2, y2, z2) son iguales si, y solo si: x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2. Son paralelos si, y solo si: 𝑥1 𝑦1 𝑧1 = = 𝑥2 𝑦2 𝑧2

Propiedades de la igualdad vectorial: 𝐴 = 𝐴 → 𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎 Propiedad

Nombre

A=A

Reflexiva

𝐴=𝐵⇒𝐵=𝐴

Simétrica

𝐴=𝐵∧𝐵 =𝐶 ⇒𝐴=𝐶

Transitiva

EL VECTOR CERO Al que lo representaremos como 𝛷, será: 𝛷 = (0,0) ∈ 𝑅 2 𝛷 = (0,0,0) ∈ 𝑅 3 𝛷 = (0,0,0, . . . ,0) ∈ 𝑅 𝑛

Modulo(Magnitudó Norma) de un Vector 𝑛 𝑛

𝑆𝑒𝑎𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . . . 𝑎𝑛) ∈ 𝑅 ⇒ ⟦𝐴⟧ =

√𝑎12

+

𝑎22 +. . . +𝑎𝑛2

= √∑ 𝑎𝑖2 𝑖=1

El módulo de un vector será siempre un número real no negativo, el módulo del vector 𝛷es cero.

Vector Unitario ⃗ es un vector unitario entonces ⟦𝜇𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟧ = 1 Si 𝑉 Todo vector, que no sea el vector 𝛷, puede hacerse unitario dividiéndolo entre su módulo: 𝑆𝑒𝑎𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . . . 𝑎𝑛) ∈ 𝑅 𝑛

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜇𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟧ = ⟦ ⟦𝜇𝐴

𝐴 ⟦𝐴⟧

𝐴 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟧ = 1 ⟧= 𝑥⟦𝜇𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟦𝐴⟧ ⟦𝜇𝐴⟧

Los vectores unitarios son importantes para dar la característica vectorial a cualquier magnitud escalar.

Sistema Coordenado Tridimensional, Grafico De Puntos En R3 Los puntos en el espacio R3 pueden representarse de manera análoga a como se lo hace en el plano cartesiano. Para realizar esta representación escogemos tres rectas dirigidas perpendiculares entre sí que se corten en un punto común del espacio, a estas rectas se las conoce como: eje x, eje y, eje z, y el punto común de corte se lo llama origen, como se muestra en la figura 1-1. Se define una escala adecuada sobre cada uno de los ejes y se representan los números reales de la terna (x, y, z) de tal forma que el valor de x se lo representa sobre el eje x, positivos adelante del origen y negativos atrás, el valor y, sobre el eje y, positivos a la derecha del origen y negativos a la izquierda, el valor z, sobre el eje z, positivos arriba del origen y negativos abajo es común llamar a este conjunto de ejes como Sistema de Coordenadas Cartesianas en el Espacio, la característica de este sistema es que existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio R3 y la terna (x, y, z).

Figura 1 – 1

La figura 1-2 representa el gráfico de los puntos (2, -1, 5), (-2, 3, 6) y (3, 5, -4) Figura 1 – 2

Cosenos Directores de un Vector en R3 Si V es un vector cualquiera en el espacio R3 , entonces, Como se observa en la figura 1-6