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• Gerardo Oropeza

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Cálculo Diferencial.

4

104 Derivadas

Derivadas

4.1 Incremento o decremento de una variable Cálculo Diferencial.

Competencia específica a desarrollar Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra.

Actividades de Aprendizaje Mostrar con una situación real el concepto de incremento de una variable. Reconocer el cociente de incrementos de dos variables como una razón de cambio. Reconocer a la derivada como el límite de un cociente de incrementos. Mostrar que el valor de la pendiente de la tangente a una curva en un punto se puede obtener calculando la derivada de la función que corresponde a la curva en dicho punto. Definir la diferencial de la variable dependiente en términos de la derivada de una función. Demostrar, recurriendo a la definición, la derivada de la función constante y de la función identidad. Reconocer las propiedades de la derivada y aplicarlas para el cálculo de funciones. Plantear una expresión en la que se tenga una función de función y calcular la derivada mediante el uso de la regla de la cadena. Reconocer la fórmula que debe usarse para calcular la derivada de una función y obtener la función derivada. Calcular la diferencial haciendo uso de fórmulas de derivación. Establecer una función que requiera para el cálculo de su derivada el uso de derivadas laterales. Calcular la derivada de funciones definidas por más de una regla de correspondencia. Graficar la función derivada.

4.1

Incremento o decremento de una variable Una herramienta muy útil en el estudio del cálculo es el dominio del aumento o disminución en el valor de una variable independiente x, pues ésto permite observar los cambios que sufre una función que depende de esa variable cuando se le da un incremento o decremento a dicha variable. Definición 4.1

Incremento de una variable independiente

El incremento de una variable x para pasar de un punto x 1 a un punto x 2 , lo denotamos como ∆x = x 2 − x 1 Donde x 1 representa el punto inicial, x 2 es el punto final. Por supuesto cuando se realiza un incremento o decremento en la variable independiente, este cambio de valor afecta a cualquier función que depende de esta variable, por lo que sufrirá a su vez un cambio, ya sea incrementando o disminuyendo su valor original.

105

4.1 Incremento o decremento de una variable Cálculo Diferencial.

Definición 4.2

Incremento de una variable dependiente

El incremento o decremento de una función f : X → Y , en un punto arbitrario x 1 , lo calculamos como ∆ f (x 1 ) = f (x 1 + ∆x) − f (x 1 ) donde x 1 es el punto inicial y ∆x representa el incremento en la variable.

106

Así por ejemplo en las siguientes funciones se puede observar el cambio de una función que depende de el cambio realizado en la variable. 4.1

Solución . De acuerdo a la definición anterior, el incremento en f (x 1 ) es: ∆ f (x 1 ) = f (x 1 + ∆x) − f (x 1 ) = f (x 1 + 1) − f (x 1 ) = (x 1 + 1)3 − 3 − (x 13 − 3) = 3x 12 + 3x 1 + 1. Ahora evaluando los valores x 1 = 1, 2, tenemos 1. ∆ f (1) = 3(1)2 + 3(1) + 1 = 7, 2. ∆ f (2) = 3(2)2 + 3(2) + 1 = 19.

4.2

Considérese la función g (x) = 3x 2 −2x +1, escribir la expresión resultante para la función si se da un incremento de ∆x = 1, además obtener el valor numérico en el caso de que x 1 = 3, −1. Solución . De acuerdo a la definición anterior, el incremento en g (x) es: ∆g (x 1 ) = g (x 1 +∆x)−g (x 1 ) = g (x 1 +1)−g (x 1 ) = 3(x 1 +1)2 −2(x 1 +1)+1−(3x 12 −2x 1 +1) = 6x 1 +1. Ahora evaluando los valores x 1 = 3, −1, tenemos 1. ∆ f (3) = 6(3) + 1 = 19, 2. ∆ f (−1) = 6(−1) + 1 = −5. Geométricamente podemos apreciar el cambio que sufre la función f (x) = x 3 −3 del ejemplo ?? al pasar el valor de x 1 = 1 hasta x 2 = 2, ésto en la primer gráfica, en la segunda se hace referencia al ejemplo ??, en este caso se hace el cambio de x 1 = 3 hasta x 2 = 4. Comparar los resultados del inciso 1 de cada ejemplo con los obtenidos de la gráfica correspondiente. Nótese que si se toma la razón del incremento de una función respecto a el incremento de la

Derivadas

Considérese la función f (x) = x 3 − 3, escribir la expresión resultante para la función si se da un incremento de ∆x = 1, además obtener el valor numérico en el caso de que x 1 = 1, 2.

4.2 Definición de la derivada Cálculo Diferencial.

Y Y 8

40

6

30

Δf(x)

4

20

2

Δx

107

Δf(x) X

-0.5

0.5

1.0

-2

1.5

2.0

10

2.5

Δx

-4

-2

X

-1

(a) f (x) = x 3 − 3

1

2

3

4

(b) g (x) = 3x 2 − 2x + 1

Figura 4.1. Incremento de funciones

variable, obtenemos

∆ f (x) f (x 1 + ∆x) − f (x 1 ) = ∆x ∆x y tomando el límite cuando el incremento tiende a cero l´ım

∆x→0

f (x 1 + ∆x) − f (x 1 ) ∆x

Este resultado es muy importante pues con el podemos formular la herramienta más indispensable del cálculo diferencial, la derivada, la cual es nuestro objetivo principal en este curso.

4.2

Definición de la derivada La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Definición 4.3

Derivada puntual

La derivada de una función f (x) en un punto x 1 se define como: f 0 (x 1 ) = l´ım

h→0

f (x 1 + h) − f (x 1 ) h

siempre y cuando el límite exista y representa la tasa de cambio instantánea de una función en dicho punto. Si este límite existe para todo número real, se dice que la función f (x) es derivable en todo R, y entonces podemos generalizar este concepto a la derivada general como: Definición 4.4

Derivada de una función

La derivada de una función f (x) esta dada por: f 0 (x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f (x) h

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

donde x representa cualquier número real, h es el incremento o decremento que se da a x.

Si el límite no existe en algún punto, entonces no existe la derivada en dicho punto.

108

4.3

Calcular la derivada de la función f (x) = puntos no es derivable. f (x+h)− f (x) h h→0

= l´ım

h→0

1 − x1 x+h

h

por medio de la definición e indicar en que

1 = l´ım − (x)(x+h) = − x12 , no es derivable en 0. h→0

4.4

Calcular la derivada de la función g (x) = e x por medio de la definición e indicar en que puntos no es derivable. Solución . f 0 (x) = l´ım R.

4.3

h→0

f (x+h)− f (x) h

= l´ım

h→0

e x+h −e x h

= l´ım

h→0

e x (e h −1) h

∼ l´ım

h→0

e x (h) h

= e x , es derivable para todo

Fórmulas de derivación Como ya hemos visto al intentar encontrar las derivadas de acuerdo a su definición es una tarea complicada pues el límite de la función puede resultar muy elaborado o requerir mucho trabajo para resolverlo, en vista de esto se ha trabajado mucho en el sentido de elaborar una tabla que permita identificar las derivadas de una manera mucho más sencilla. Para comprender mejor el proceso de aplicar las fórmulas de derivadas las clasificaremos de acuerdo a el tipo de expresión que tenemos.

4.3.1

Derivadas de funciones polinomiales

La forma mas básica de funciones algebraicas son aquellas en las cuales se tienen expresiones polinomiales afectados por alguna operación de suma, resta, multiplicación, división, raíces o exponentes y combinaciones de estas operaciones. Enseguida te presentamos una pequeña lista de las derivadas polinomiales más usuales, una lista completa de fórmulas de derivación se encuentra en el Apéndice ?? página ??.

Derivadas

Solución . f 0 (x) = l´ım

1 x

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

Algunas fórmulas de derivadas polinomiales Consideremos que c es una constante y u, v, w son funciones de la variable x . F.1)

d d x (c) = 0

F.2)

d d x (x) = 1

F.7)

d n n−1 d x (x ) = nx

F.8)

d p n pd x d x ( v) = n n v n−1

F.9)

v ddx (u)−u ddx (v) d u ( ) = dx v v2

dv

F.3)

d d d d d x (u+v −w) = d x (u)+ d x (v)− d x (w)

F.4)

d d d x (cv) = c d x (v)

F.5)

d d d d x (uv) = u d x (v) + v d x (u)

F.6)

d n n−1 d d x (v ) = nv d x (v)

F.10)

d u dx ( c ) =

d (u) dx

c

En base a estas fórmulas podemos encontrar las derivadas de una manera mucho más sencilla que con su definición formal. Observación

Para resolver derivadas debemos proceder en sentido contrario a la jerarquía de operaciones, es decir, se debe ir aplicando la derivada a la operación más grande y luego las más pequeñas.

4.5

Encontrar la derivada de la función f (x) = 5x − 20x 6 por medio de fórmulas. Solución . Aplicando la fórmula P.3, la derivada es

d 6 5 d x (5x − 20x ) = 5 − 120x .

4.6

Encontrar la derivada de la función f (x) = (3x − 2)(5x 2 + 1)3 por medio de fórmulas. Solución . Como la operación principal aquí es la multiplicación de funciones, aplicamos la fórmula P.5 para obtener ¤ d £ d d (3x − 2)(5x 2 + 1)3 = (3x − 2) (5x 2 + 1)3 + (5x 2 + 1)3 (3x − 2) = dx dx dx = 3(3x − 2)(5x 2 + 1)2 (10x) + (5x 2 + 1)3 (3) = 3(5x 2 + 1)2 (35x 2 + −20x + 1).

4.7

Encontrar la derivada de la función f (x) = Solución .

x−2 x 2 +x

por medio de fórmulas.

109

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

En este caso usaremos la fórmula P.9 para divisiones µ ¶ (x 2 + x) ddx (x − 2) − (x − 2) ddx (x 2 + x) (x 2 + x) − (x − 2)(2x + 1) d x −2 = = = d x x2 + x (x 2 + x)2 (x 2 + x)2 −x 2 + 4x + 2 = . (x 2 + x)2

110

Actividad complementaria

Encontrar la derivada de la función f (x) = Sol.

por medio de fórmulas.

Derivadas de funciones trigonométricas

Para el caso de que las funciones a derivar no sean propiamente algebraicas podemos hacer uso de otra cantidad de formulas previamente establecidas, aquí mostramos una lista de funciones trigonométricas, de las cuales ilustraremos su uso mediante algunos ejemplos, recordemos que para una lista más completa se puede consultar el apéndice ?? página ??.

Algunas fórmulas de derivadas trigonométricas Consideremos que v es una función de la variable x . F.1)

d d d x (sen v) = cos v d x (v)

F.6)

d d d x (csc v) = − csc v cot v d x (v)

F.2)

d d d x (cos v) = − sen v d x (v)

F.7)

F.3)

d 2 d d x (tan v) = sec v d x (v)

(v) d pd x d x (arcsin v) = 1−v 2

F.4)

d 2 d d x (cot v) = − csc v d x (v)

F.8)

d (v) d pd x d x (arc cos v) = − 1−v 2

F.5)

d d d x (sec v) = sec v tan v d x (v)

F.9)

d (v) d dx (arctan v) = dx 1+v 2

d

4.8

Encontrar la derivada de la función f (x) = cos x + sin x1 por medio de fórmulas. Solución . Usando la fórmula para la derivada del seno y coseno simultáneamente, tenemos µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ d 1 d 1 1 dx 1 1 cos x + sin = − sin x + cos = − sin x − 2 cos . dx x dx x dx x x x

4.9

Encontrar la derivada de la función g (x) = tan

¡ x+20 ¢ x−1

por medio de fórmulas.

Solución . Como la operación principal es la tangente, comenzamos con la fórmula para esta función trigonométrica

Derivadas

4.3.2

3 . 2(3x−2)3/2

p 1 3x−2

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

¶ µ ¶ µ ¶ µ d x + 20 x + 20 2 x + 20 d = sec tan dx x −1 x −1 dx x −1

Ahora debemos realizar la derivada de la división que nos indica la expresión anterior 2

µ

sec

x + 20 x −1

¶"

(x − 1) ddx (x + 20) − (x + 20) ddx (x − 1)

111

#

(x − 1)2

Finalmente realizamos las últimas derivadas básicas y simplificamos

sec2

µ

x + 20 x −1

¶·

¸ µ ¶ (x − 1) − (x + 20) 21 2 x + 20 = − sec . (x − 1)2 (x − 1)2 x −1

Actividad complementaria

Encontrar la derivada de las siguientes funciones: ¡ 1 ¢ 1. f (x) = tan 3x−2 . 2. g (x) = sen(x + 2) + cos(x + 2) − (x + 2)6 . ³ ´ −3 1 Sol. (1) f 0 (x) = sec2 3x−2 , (2) g 0 (x) = cos(x + 2) − sen(x + 2) − 6(x + 2)5 . 2 (3x−2)

4.3.3

Derivadas exponenciales y logarítmicas

Finalmente otra clasificación muy importante es la de las funciones exponenciales o logarítmicas, de las cuales también se tiene una lista de fórmulas preestablecidas.

Algunas fórmulas de derivadas exponenciales y logarítmicas Consideremos que v es una función de la variable x . F.1)

d 1 d d x (ln v) = v d x (v)

F.4)

d v v d d x (e ) = e d x (v)

F.2)

log e d d d x (log v) = v d x (v)

F.5)

d v v d x (u ) = u

F.3)

d v v d x (a ) = a

F.6)

d x x d x (x ) = x (1 + ln x)

ln a ddx (v)

³

dv dx

ln |u| + v ddx ln u

´

Ilustremos el uso de esta lista con algunos ejemplos: 4.10

¢ ¡ Encontrar la derivada de la función f (x) = ln 3x 7 + 6x 5 − 23x 2 por medio de fórmulas.

Solución . Usando la fórmula para la derivada de un logaritmo del apéndice ??, tenemos ¡ ¢ d ln 3x 7 + 6x 5 − 23x 2 = dx

d 7 5 2 d x (3x + 6x − 23x ) 3x 7 + 6x 5 − 23x 2

=

21x 6 + 30x 4 − 46x . 3x 7 + 6x 5 − 23x 2

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

4.11

Encontrar la derivada de la función f (x) = 5(x−ln(3x−4)) por medio de fórmulas. Solución . Aquí debemos usar la fórmula para una constante elevada a una función, específicamente la número 14 del apéndice ??, así µ ¶ d 3x − 7 (x−ln(3x−4)) d (x−ln(3x−4)) (x−ln(3x−4)) 5 =5 ln 5 (x − ln(3x − 4)) = ln 5 5 . dx dx 3x − 4

4.3.4

112

Derivada de orden superior

Definición 4.5

Derivada de orden superior

Dada una función f (x) podemos obtener una nueva función f 0 (x) al aplicarle la derivada, si volvemos a derivar obtenemos una segunda función f 00 (x) y así sucesivamente, a este proceso de ir obteniendo derivadas sobre la anterior se conoce como derivada de orden n, donde el número n nos indica la cantidad de derivadas que debemos aplicar. Las notaciones para derivadas de orden superior son las siguientes: 1. Función original

f (x)

2. Primera derivada

f 0 (x)

3. Segunda derivada

f 00 (x)

4. Tercera derivada 5. Derivada de orden n

f 000 (x)

o o o

f (n) (x)

d dx

f (x)

d2 d x2 d3 d x3

o

f (x)

f (x) dn d xn

f (x)

Veamos algunos ejemplos con derivadas de orden superior. 4.12

Encontrar la tercera derivada de la función 5x 7 − 3x 2 + 6x − 9. Solución . Realizamos la primera derivada d (5x 7 − 3x 2 + 6x − 9) = 35x 6 − 6x + 6 dx

Derivadas

Una vez que se conoce la derivada de una función f (x) y lo que esta representa, cabe preguntarnos que pasa si volvemos a derivar el resultado de la primera derivada, si siempre es posible hacerlo y en caso de que se pueda que representa, en la siguiente unidad mostraremos algunas aplicaciones de derivadas de orden superior y mostraremos en los casos que esto puede ocurrir, en esta parte nos limitaremos a conocer los métodos para realizar derivadas de orden superior.

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

luego la segunda derivada queda d (35x 6 − 6x + 6) = 210x 5 − 6. dx finalmente la tercera derivada es d (210x 5 − 6) = 1050x 4 . dx

4.13

Encontrar la segunda derivada de la función

x 1−x .

Solución . La primera derivada nos da d d 1 d ³ x ´ (1 − x) d x x − x d x (1 − x) (1 − x) + x = = = . 2 2 dx 1−x (1 − x) (1 − x) (1 − x)2

nuevamente usando la fórmula para divisiones, obtenemos la segunda derivada como µ ¶ (1 − x)2 ddx 1 − ddx (1 − x)2 x(1 − x) d 1 x = = = . 2 4 4 d x (1 − x) (1 − x) (1 − x) (1 − x)3 Actividad complementaria

Encontrar la tercera derivada de f (x) = ln(cos(x 2 + 2)) por medio de fórmulas.

4.3.5

Regla de la Cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Intuitivamente si una función f (g ), depende de una función g que a su vez depende de una variable x; entonces, la razón de cambio de f con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de f con respecto a g multiplicado por la razón de cambio de g con respecto a x, es decir tenemos el siguiente resultado, cuya demostración se puede encontrar en [?] pag. 228. Teorema 4.1

Sean f : R → R y y : R → R dos funciones derivables tales que ( f ◦ y)(x) esta bien definida, entonces f (y) es derivable con respecto a la variable x , en la forma: d f (y) d f d y = · dx dy dx Veamos algunos ejemplos de como podemos resolver derivadas por medio de la regla de la cadena.

113

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

4.14

Encontrar la derivada de la función h(x) = (3x 2 + 5)8 mediante la regla de la cadena. Solución . Primero expresamos h(x) = (3x 2 + 5)8 como una composición de funciones, para esto igualamos la expresión dentro del paréntesis y = 3x 2 + 5 y definimos f (y) = y 8 , así por el teorema ?? d f (y) d f d y d (y 8 ) d (3x 2 + 5) = · = · = (8y 7 )(6x) = 48y 7 x dx dy dx dy dx

114

finalmente regresamos el cambio de variable que hicimos, para obtener es decir

h 0 (x) = 48(3x 2 + 5)x.

4.15

Encontrar la derivada de la función g (x) = Solución . Primero expresamos 2

1−x 2 2 x 2 +e x

1−x 2 2 x 2 +e x

mediante la regla de la cadena.

como una composición de funciones, para esto hacemos el

cambio y = x pues el término que más se repite, enseguida definimos f (y) = derivada es (y + e y ) ddx (1 − y) − (1 − y) ddx (y + e y ) (y + e y )2

=

1−y y+e y , cuya

(y + e y )(−1) − (1 − y)(1 + e y ) (y − 2)e y − 1 = (y + e y )2 (y + e y )2

así por el teorema ?? d f (y) d f d y = · = dx dy dx

d

³

1−y y+e y

dy

´

¶ µ d (x 2 ) (y − 2)e y − 1 · = (2x) dx (y + e y )2

finalmente regresamos el cambio de variable que hicimos, para obtener à ! ! à 2 2 d f (y) (x 2 − 2)e x − 1 (x 2 − 2)e x − 1 0 = 2x es decir g (x) = 2x . 2 2 dx (x 2 + e x )2 (x 2 + e x )2

Actividad complementaria

Encontrar la derivada de la función cos

³

1−x 2 x

´

mediante la regla de la cadena.

La mayoría de las funciones de una variable se pueden expresar como una composición de dos funciones, de hecho las fórmulas que usamos para derivar expresan la regla de la cadena aunque no lo mencionan, sin embargo en el caso de funciones de dos o más variables la regla de la cadena adquiere otra dinámica en la solución de problemas.

Derivadas

d f (y) = 48(3x 2 + 5)x dx

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

4.3.6

Derivadas implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación y = 5x 2 − 9x dónde la variable y está escrita como función de x. Sin embargo, existe otra forma de escribir las funciones sin necesidad de despejar alguna variable. Definición 4.6

Función explícita

Una función de la forma y = f (x) es una función explícita, mientras que si la escribimos como f (x, y) = 0, entonces se conoce como función implícita. La mayoría de las funciones se pueden expresar tanto en forma explícita como implícita, sin embargo hay algunas en las que es imposible escribirlas en su forma explicita. En una función implícita se pueden obtener dos tipos de derivas, hacer lo siguiente.

dy dx

o

dx dy ,

para esto debemos

Pasos para derivar funciones implícitas P.1) Para encontrar

dy dx

de una función implícita f (x, y).

a) Debemos derivar la función con las reglas habituales, pero considerando y como función de x , por lo que para cada término que contenga la variable y , d f (y) d f (y) d y debemos usar la regla de la cadena, es decir d x = d y d x . b) Enseguida se iguala a cero la derivada y se despeja P.2) Para encontrar

dx dy

dy dx .

de una función implícita f (x, y).

a) Debemos derivar la función con las reglas habituales, pero considerando x como función de y , por lo que para cada término que contenga la variable x ded f (x) d f (x) bemos usar la regla de la cadena, es decir d x = d x dd xy . b) Enseguida se iguala a cero la derivada y se despeja

dx dy .

4.16

¡ ¢2 Encontrar la derivada con respecto de x de la función 3x y + x + y = x

Solución . ¡ ¢2 Escribimos la función en su forma implícita como f (x, y) = 3x y + x + y − x, en este caso y es función de x, por lo que la derivada queda µ ¶ ´ ¡ ¢2 d f (x, y) d ³ dy dy = 3x y + x + y − x = 3x + 3y + 2(x + y) 1 + −1 dx dx dx dx igualando a cero la derivada y despejando

dy dx

µ ¶ dy dy 3x + 3y + 2(x + y) 1 + −1 = 0 dx dx

⇒

dy 2x + 5y − 1 =− . dx 5x + 2y

115

4.3 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial. Actividad complementaria

¡ ¢2 Encontrar la derivada con respecto de y de la función 3x y + x + y = x

Otro método para obtener derivadas implícitas

Aunque el estudio de derivadas parciales corresponde a un curso de cálculo multivariable, en esta sección podemos usar esta técnica para resolver derivadas implícitas y así simplificar nuestro trabajo, para esto realizamos lo siguiente:

116

Segundo método para derivar funciones implícitas P.1) Escribir la función en su forma implícita. d f (x,y) dx

considerando a y como una constante.

P.3) Encontrar la derivada

d f (x,y) dy

considerando a x como una constante.

P.4) Usar la fórmula

P.5) Usar la fórmula

Derivadas

P.2) Encontrar la derivada

df

dy dx

= − dd xf para encontrar la derivada respecto a y .

dx dy

= − d f para encontrar la derivada respecto a x .

dy df dy

dx

4.17 y

Encontrar la derivada con respecto a las variables x, y de la función 3x y + x = c Solución . y La forma implícita de la ecuación es f (x, y) = 3x y + x −c, con esto calculamos la derivada respecto a x, considerando que y es una constante. y

d (3x y + x − c) df y = = 3y − 2 dx dx x por otro lado, para la derivada respecto de y, debemos tomar a x como constante y

d (3x y + x − c) df 1 = = 3x + dy dy x finalmente para obtener

dy dx

dy

3x 2 y−y x2 3x 2 +1 x

df

2

df

y

3y − x 2 dy = − dd xf = − =− dx 3x + x1 y para

=−

3x 2 y − y , 3x 3 + x

dx dy 3x +1 3x + x1 dx 3x 3 + x dy x =− df =− . y = − 3x 2 y−y = − dy 3x 2 y − y 3y − 2 dx

x

x2

4.4 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial. Actividad complementaria

Encontrar la derivada con respecto de las variables x, y de la función cos(x + y) = x

4.4 4.4.1

Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Teorema de Rolle

Suponga que tenemos una función y = f (x), continua y diferenciable sobre un intervalo cerrado [a, b] y que f (a) = f (b), es decir se encuentran a la misma altura sobre los puntos a, b respectivamente, entonces el siguiente resultado nos dice que siempre es posible encontrar una recta tangente horizontal a la curva en un punto x = c dentro del intervalo (a, b). Teorema 4.2 (Teorema de Rolle)

Si f : R → R es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y es derivable sobre (a, b), además cumple que f (a) = f (b) entonces, existe al menos un número c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f 0 (c) = 0. Demostración . Si f es constante es claro que f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Supongamos que la función f (x) es creciente en el punto x = a y notemos que por continuidad ésta no puede ser absolutamente creciente cuando x recorre desde a hasta b, puesto que f (a) = f (b), es decir existe un punto c en el cual f (c−h) ≤ f (c) y f (c+h) ≥ f (c), pero estas desigualdades significan que f (c + (−h)) − f (c) ≤ 0 y también h

f (c + h) − f (c) ≥0 h

Al aplicar el límite cuando h → 0, las dos ecuaciones son iguales pues nos estamos acercando por la derecha y por la izquierda f 0 (c) = l´ım

h→0

f (c + (−h)) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım =0 h→0 h h

por lo tanto f 0 (c) = 0. Geométricamente podemos apreciar que debe existir un valor c, entre a y b en el cual la recta tangente a la curva en f (c) es horizontal. � �

f (b)

f (a)

a

c f (c)

b -�

Figura 4.2. Teorema de Rolle

�

117

4.4 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial.

Notemos que puede haber más de una recta horizontal tangente a la curva dentro del intervalo continuo, para encontrarla derivamos la función e igualamos a cero, después despejamos la variable. 4.18

Dada la función f (x) = x 3 −3x +1, encontrar los puntos donde f 0 (x) = 0 dentro del intervalo (−1.87, 1.53).

(-1, 3)

2

3x − 3 = 0

�

x = 1, −1

⇒

ambos quedan dentro de nuestro intervalo, por lo que al sustituir estos valores de x en la función f (x) obtenemos los puntos (1, −1) y (−1, 3), donde se encuentran las tangentes horizontales

- ����

����

�

(1, -1) -�

Aún si no se cumplen todas las condiciones del teorema, posiblemente podremos encontrar rectas horizontales dentro del intervalo pedido, esto nos dice que el teorema es necesario pero no suficiente. Las funciones f (x) = x 2/3 − 2 y g (x) = x − x 1/3 son continuas en el intervalo [−2, 2] pero no son derivables en x = 0 sin embargo en una de ellas si podemos encontrar incluso dos rectas tangentes horizontales a la curva en este intervalo, como se puede apreciar en las gráficas. �

Y

-�

�

� -2

(a) f (x) = x 2/3 − 2

2

X

(b) g (x) = x − x 1/3

Figura 4.3. Funciones no diferenciables en x = 0

4.4.2

Teorema del valor medio

Una generalización del teorema de Rolle es el teorema de valor medio (o teorema de Lagrange), el cual nos dice que no necesariamente deben ser horizontales las rectas punteadas que se aprecian en la figura del teorema de Rolle.

Derivadas

Solución . Como f (x) es continua en (a, b) y diferenciable, por el teorema de Rolle, existe al menos un punto c tal que f 0 (c) = 0. Para encontrarlo derivamos f 0 (x) = 3x 2 − 3, igualamos a cero y despeja� mos x

118

4.4 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial.

Este teorema establece que cuando una función f : R → R es continua sobre un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior, entonces debe haber por lo menos un punto sobre la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). La palabra medio se refiere aquí a un promedio; es decir, al valor de la derivada en algún punto es el mismo que la razón de cambio media de la función sobre el intervalo. Teorema 4.3 (Teorema del valor medio)

Si f : R → R es una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Es decir: f 0 (c) =

f (b) − f (a) . b−a

(4.1)

Demostración . Consideremos la función d (x) como la distancia vertical entre un punto sobre la gráfica de y = f (x) y la recta secante que pasa por (a, f (a))y(b, f (b)), como se muestra en la figura. Puesto que la ecuación de la recta secante es y − f (b) =

f (b) − f (a) (x − b) b−a

(4.2)

y de la propia figura podemos observar que d (x) = y 2 − y 1 , es decir · ¸ f (b) − f (a) d (x) = f (x) − f (b) + (x − b) b−a

Y 4

f (a)

f (b) (x , y 2)

d(x) X ) (x , y 1

-4

con derivada

f (b) − f (a) b−a y como d (a) = d (b) = 0 por el teorema de Rolle, existe un punto c en (a, b) tal que d 0 (c) = f (b)− f (a) 0, por lo que concluimos que f 0 (c) = b−a , es decir tienen pendientes iguales. d 0 (x) = f 0 (x) −

De acuerdo a este teorema geométricamente, siempre es posible encontrar al menos una recta paralela a la recta secante, como se ve en la siguiente figura: Y 4

f (b)

X

f (a) f (c)

-4

Figura 4.4. Teorema del valor medio

119

4.5 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

El teorema del valor medio nos garantiza que existe este punto x = c de tal forma que las rectas son paralelas, pero no nos dice como obtener ese valor de x, por lo que debemos recurrir a nuestra destreza matemática para encontrarlo. 4.19

Dada la función f (x) = x 3 − 2x 2 + x + 1, indicar si contiene una recta paralela a la secante formada por los puntos (−1, −3) y (2, 3), si la respuesta es afirmativa, dar la ecuación de dicha recta.

3c 2 − 4c + 1 =

f (b) − f (a) b−a

⇒ 3c 2 − 4c + 1 =

3+3 =2 2+1

Resolviendo esta última ecuación se obtiene c 1 = −0.215 y c 2 = 1.548. Sustituyendo cada uno de estos valores en la ecuación original, obtenemos los puntos sobre la recta en donde se tienen las rectas paralelas a la secante dada, éstos son: (−0.215, 0.682) y (1.548, 1.464) Finalmente con la ayuda de la ecuación ??, obtenemos las ecuaciones para cada una de las rectas

Y 4 y = 2 x + 1.112

y−0.682 = 2(x+0.215) ⇒ y = 2x+1.112

-1

0.21

y = 2 x - 1.632

y también -4

y−1.464 = 2(x−1.548) ⇒ y = 2x−1.632

4.5

1.5

Evaluaciones sumativas 14.• Resolver las siguientes derivadas por medio de límites. a.• b.• c.• d.•

3x f (x) = x−1 p g (x) = x f (x) = x 4 h(x) = e x

e.• f.• g.• h.•

g (x) = ln[x] f (x) = sin x h(y) = tan y g (x) = 1

15.• Resolver las siguientes derivadas algebraicas por medio de fórmulas.

2

X

Derivadas

Solución . El intervalo sobre el eje X , que se nos pide es [−1, 2], ahí f (x) es continua y derivable en su interior, por lo que cumple con el teorema del valor medio y por lo tanto debe existir un punto c ∈ (−1, 2) tal que la recta tangente a la curva en f (c) es paralela a la recta pedida. Para encontrarlo derivamos la función f y obtenemos f 0 (x) = 3x 2 − 4x + 1. Al sustituirla en la ecuación ?? del teorema del valor medio, se obtiene

120

4.5 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

a.• f (x) = (3x − 2)(x 2 − 5) ¡ ¢ b.• f (x) = (x − 2)4 x 2 − 5 c.• f (x) = x 31−x p 3 d.• f (x) = x 2 − 2 e.• f (x) = 3x−5 px 2 −1 • f. g (x) = px 2 + x + 1 g.• f (x) =

2x−4 3x−6

x 2 −4 (x−4)(x−3)(x−2) p xp 2x− 6x 3 1−x

h.• h(x) = i.• g (x) =

j.• f (x) = 5 p k.• g (x) = x − x 3 + x 2 − 5 l.• f (a) =

3a 2 p 4 2 a −9 1/3

m.• m(z) = z

− z (1−z)

16.• Resolver las siguientes derivadas trascendentes por medio de fórmulas. a.• f (x) = cos 5x ¡ ¢ b.• f (x) = tan x1 c.• f (x) = x − sen3 (ax) d.

•

g (x) = ln[x

25

− 2]

log[1+x]

e.• f (x) = e x f.• h(y) = tan(sec y) 3y−2 g.• h(y) = sin[ 1−y 5 ] ³

h.

•

h(x) = e

´ p t an(x−2)+ x 2 −e x

17.• Usa la regla de la cadena para calcular las siguientes derivadas. 3x 2 −5 (3x 2 −5)15 p g (x) = x 2 + x + 1

p 2x−4 e 2x−4 15

a.• f (x) =

e.• f (x) =

b.• c.• h(x) =

f.• g (x) = ln[x

d.• f

x 2 −4 p 2 6(x −4)− x 2 −4 sin[1+x] 1+x (x) = e 1+x − 1+x

− 2x 12 + 5]

g.• h(y) = tan[y − 12] − sec[y − 12] p h.• g (x) = cot[ x − x 3 + x 2 − 5]

18.• Encontrar la derivada de orden superior que se indica en cada una de las siguientes funciones. a.• f (x) = e 5x (quinta derivada) 1 b.• f (x) = x+4 (cuarta derivada) • c. f (x) = (15x 3 + 3x − 4)(5x − 2) (cuarta derivada) x d.• f (x) = 1−e 2+e x (segunda derivada) e.• f (x) = 2x 20 + 1 (vigésima derivada) f.• f (x) = sin x (segunda derivada) g.• f (x) = tan x (cuarta derivada) 19.• Encontrar las siguientes derivadas implícitas con respecto a la variable señalada. a.• 5x − 6y = x y (con respecto de x) b.• sin[x + y] = 1 (con respecto de x) c.• x 2 + y 2 = c (con respecto de x, c es una constante.) x d.• sec y+x = y (con respecto de x) x+y x y = x (con respecto de y) y • f. ln[ x ] = x 2 (con respecto de y) • xy

e.•

g. (x − y)(x + y) = e (con respecto de y) h.• x + ye x − e x y = 1 (con respecto de x) i.• (x 2 − y)(y 2 − x) = x y (con respecto de x) 20.• Encontrar una función cuya derivada sea la expresión dada en cada inciso.

121

4.5 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

a.• x 5 b.• e x+2 c.• 1+x 1−x d.• sin[x/2] 2 −3x e.• 5x 20

f.• g.• h.• i.• j.•

(x + 2)x 2 2 8 x 9 p 3 x −1 2x e tan(x + 1)

122

Derivadas

123