• Author / Uploaded
• Arturo CLorca

Citation preview

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

MATH4-ITVH

Definición. Un espacio vectorial real V es el conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones llamadas adición y multiplicación por un escalar. Ejemplo. Sean

r r u, v  ¡

2

¡

y

iii. iv.

¡

n

, los vectores

correspondientes de

r w

y

¡ 2, ¡

3

y

son los elementos

¡

4

.

Axiomas de un Espacio Vectorial V Sean

r r r u, v, w  V y , 

Suma i. ii. iii. iv. v.

escalares, entonces:

r r u  v  V (cerradura) r r r r u  v  v  u (conmutativa) r r r r r r  u  v   w  u   v  w  (asocitiva) r r r r r u  0  0  u  u (identidad) r r r r   u tal que u    u   0 (inverso

(identidad multiplicativa)

Al vector que tiene 1 como i-ésimo y todos los demás

r u (cerradura de la multiplicación) r r r r   u  v   u  v ( primera

simplemente la base de

¡

¡

2

de base estándar de

¡

3

eˆ 1 , eˆ 2 ,...,eˆ n

n

¡

se n

o

, por ejemplo, los vectores

 1 eˆ 1    0

y

 0 eˆ 2    ,  1

son:

Combinación lineal

r r r r v1 ,v 2 , v 3 ,K v n n-vectores, y sean c1,c 2 , c 3 ,K ,c n escalares. El n-vector de la forma r r r r c1v1  c 2 v 2 , c 3 v 3  K  c n v n se llama

Sean

ción lineal de

r r r r v1,v 2 , v 3 ,K ,v n .

c1,c 2 , c 3 ,K ,c n

Los escalares

se llaman coeficientes de la

combinación lineal. Ejemplo: Determine si cada uno de los sig. vectores

0  r   u  2  1 Son combinación lineal de

MULTIPLICACION POR UN ESCALAR ii.

r r 1u  u

combina

aditivo)

i.

(ley asociativa de la

 1 0 0 eˆ 1  0 , eˆ 2   1 , eˆ 3  0  0 0  1

El conjunto de todos los vectores n se representa con

r r u, v

v.

mientras que los de

0.5  r  1  w 0   0.2 

 1 r   v  2  , 3 

(segunda ley de

llaman vectores de la base estándar de

Un vector es una matriz de una columna. Un vector-n o n-vector es una matriz nx1. Por ejemplo

r  1 u   ,  1

r r   u      u

componentes 0, se denota mediante

r  u   u  u    1    1  u2  u2 

ii.

r

multiplicación)

suma vectorial y multiplicación por un escalar es

i.

r

distribución)

, entonces la

r r  u   v  u  u  u  v   1   1    1 2  u2   v 2   v1  v 2 

r

    u  u   u

y

0  r   v   1 2 

r r r w1,w 2 , w 3

donde

ley de

distribución)

1

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

 1 r   w1   1  ,  0  Solución: tales que

MATH4-ITVH

2 r w 2  0 ,  1

1 r w 3  1 . 1 Determinamos los escalares c1 ,c 2 , c 3 r r r r u  c1w1  c 2 w 2  c 3 w 3 , entonces

0  1 2 1 2  c  1   c 0  c 1   1  2   3    1  0   1 1

Sistemas

de

no es una combinación lineal

ecuaciones

lineales

como

ecuaciones vectoriales.

x1 , x 2 , K ,x n

son las incógnitas de un sistema, la

A,

cuyos términos

constantes son las componentes de un vector tanto si

r r r a1, a2 ,K ,an

son las columnas de

r b ; por A , las

notaciones siguientes son equivalentes:

r r  A b   x ar  ar x , K ar x  b 1 1 2 2 n n  

Resolviendo por cualquiera de los métodos aprendidos se tiene que el sistema tiene una infinidad de soluciones, i.e., c1  2  t, c 2  1  t, c 3  t con t cualquier número real. Por ejemplo si t=0 , así

r u

es

0  1 2 1 2  2  1   10  0 1         1  0   1 1 q.e.d r De la misma manera para el vector v , determinamos d1,d2 , d3 los escalares tales que r r r r u  d1w1  d2 w 2  d3 w 3 , entonces

0  1 2 1  1  d  1   d 0  d 1   1  2   3   2  0   1 1  d1 2d2  d3  0 d1  d3  1 d2  d3  2

de

r r r w1 ,w 2 , w 3 .

r v

matriz de coeficientes es

 c1 2c 2  c 3  0 c1  c3  2 c2  c3  1

c1  2, c 2  1, c 3  0 , r r r una combinación lineal de w1 ,w 2 , w 3

solución, por lo tanto,

Si

Lo cual se obtiene un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas

entonces

Resolviendo por cualquiera de los métodos aprendidos se tiene que el sistema es inconsistente, i.e., no tiene

Ejemplo. Escriba el sistema siguiente en forma vectorial

x  5y  1   x  6y  3

 1  5  1 x   y      1  6  3

Ejercicios. Determine si el combinación lineal de los otros.

1.

2.

3.

4.

5.

primer

1  3 ,   1  3 ,  

1  1 1  2     1  1 1  1   

0  2 ,    0  1  2 ,    0 

1 1  1 1 1  1

1  1    1  0  1    1 

1  2 ,    0 

1 1 ,  1

1  0 ,    1

vector

es

0  1    1 

2

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

 3  2 ,    4 

6.

2. Determine si columnas de A 1.

2.

3.

4.

r b

1 1 ,  1

MATH4-ITVH

1  0 ,    1

0  1    1 

Esto equivale a decir que la matriz aumentada

es una combinación lineal de las

consistente y el vector si esta en el generador.

1 A 0 1 A 0 1 A  2 0

1 r  3  , b  2  4  1 0 r 2 , b  1 1  1 1 1 r    1 , b   2   4  2

Ejemplo 2. Determine un conjunto generador para:

  3a  b     V   a  5b  , a,b  ¡   ¡ 3  a      3a  b  3   1       Solución: como a  5b  a 1  b 5 para        a   1  0  todos los escalares a y b , V esta generado por

 1 1 6 r  1 A  2 1 3 , b   1  0 2 3  0 

Espacio

generado

por

un

conjunto

Definición. El conjunto de todas las combinaciones

r r r r v1 ,v 2 ,v 3 ,K ,v n se llama r r r r espacio generado por los vectores v1 ,v 2 ,v 3 ,K ,v n r r r r y se representa por Genv1,v2 ,v3 ,K ,vn  . Si r r r r V  Genv1,v2 ,v3 ,K ,vn  , se dice que r r r r v1 ,v 2 ,v 3 ,K ,v n generan a V y que r r r r v1,v2 ,v3 ,K ,vn  es un conjunto generador de V lineales de las n-vectores

.

2 3  

en el

  1  3   Gen    ,    ?  2 5 

Solución: El vector esta en el espacio generador sii hay escalares c 1 y c 2 tales que

2  1 3  3   c1  2   c 2  5  .      

 3  1         1 ,  5     1  0       

de

vectores

Ejemplo1: ¿Esta

1 3 2   es consistente. Determinando los valores 2 5 3 de c 1 y c 2 por cualquier método aprendido, tenemos que c1  1, c 2  1 así que el sistema es

r r r r V  Genv1,v2 ,v3 ,K ,vn  . r r Entonces para cualesquiera u y v en V y cualquier escalar c : r r u  v está en V i. r cu está en V ii. Teorema.

Si

Ejercicios. Sean

 1  2 1  1 r   r   r   r   v1   3 , v2   3 , v 3   0 , v 4   0   1  0   0  4  r r r r a) ¿ v 4 esta en el Genv1, v 2 , v 3  ? r r r b) ¿ v 4 esta en el Genv1, v 2  ? r r r c) ¿ v 4 esta en el Genv2 , v 3  ? 2. Encuentres un conjunto generador para

3

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

MATH4-ITVH

 a  b   V   , a,b  ¡    2a  4b    3a  b      V    4b  , a,b  ¡    a     

a)

b)

 1   3   11  0 2  3   3  0    6  0  0  4   12  0 Son vectores linealmente dependientes.

Independencia lineal Definición. Sean

r r r r v1 ,v 2 ,v 3 ,K ,v n

n-vectores de un

espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1,c 2 , c 3 ,K ,c n no todos cero, tales que

r r r r r c1v1  c 2 v2 , c 3 v3  K  c n vn  0

Teorema. Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes sii unos de ellos es múltiplo del otro.

Ejercicios. Determine si el conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente.

1.

 1  1 2  ,  3    

2.

 2  1 ,    4 

Ejemplo: Determine si los vectores

 1 3  11  r   r   r   v1   3  , v 2   0  , v 3   6  c1  1, c 2  1 3.  0   4   12  q.e.d

4.

 3  4 ,    2 

5.

1  2  , 1   1

Son linealmente dependientes o independientes. Solucion. Se debe hallar constantes que

r r r r c1v1  c 2 v2 , c 3 v3  0

c1, c 2 y c 3

tal

Si esto se cumple entonces los vectores son l.d. sino entonces son l.i.. Asi tenemos

 1 3   11  0     c1  3   c 2  0   c 3  6  0  0  4   12  0

Formando el sistema

c1  3 c 2  11c 3  0  3 c1  6 c3  0 4 c 2  12c 3  0

Resolviendo por cualquier método aprendido se c1  2, c 2   3, c 3  1 , así obtiene que

 1 0 ,   0

 4  2    8  0  1 ,   0

0 0    1

7  1 ,    3  3 0  , 2    2

 1  1   8 0 4  ,  1   1

5 0   3    1

Subespacios Vectoriales n

Un subconjunto de H no vacio de ¡ se llama subespacio vectorial o lineal si satisface las siguientes propiedades

4

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

r

r

i.

Si u y v están en están H .

ii.

Si

MATH4-ITVH

r r H , entonces u  v

r

c es cualquier escalar u esta en H,

r cu

entonces

Teorema1. Si

esta en H.

r r r r v1, v 2 ,v 3 ,K ,v k

k vectores en un

 1 0 2   Sol. Por el teorema2. Sea A  1 1 1    1 2 0  y det A  8  0 , por el teorema3 se concluye r r r que v1, v 2 ,v3  es linealmente independiente y por el teorema4 genera a V, finalmente B es Base del espacio vectorial V. Ejemplo 2. ¿ Es el conjunto

T  1,1,1 ,  2,1, 1 , 1, 0, 2

espacio vectorial V, entonces el espacio generado por

r r r

r

v1, v2 ,v3 ,K ,vk  es un subespacio de V.

Teorema2. Sean

r r r r v1, v 2 ,v 3 ,K ,v n

Una base de

¡ 3.

n vectores en

n

1 A  1 1

2

1 1 0  1 2 

¡r ry sea r A larmatriz de n rn cuyas r r columnas r son v1, v 2 ,v 3 ,K ,v n . Entonces v1, v 2 ,v 3 ,K ,v n son

Solución.

linealmente independientes sii la única solución del

det A  0 entonces las columnas de la matriz no son linealmente independientes, por lo tanto, T no es Base

sistema homogéneo solución trivial

r r AX  0 ,

A 

i.e.

r r X  0.

r 0  , 

es la

de

Sea

como

¡ 3.

Ejemplo 3. Demuestre que le conjunto

Teorema3. Sea A la matriz de n  n . Entonces det A  0 sii las columnas de A son linealmente independientes.

Es una base del subespacio vectorial

Teorema4. Todo conjunto de n vectores linealmente

H  (2x  y , x ,  x  2y , x  y  z) ; x,y,z ¡

independientes en

¡

n

genera

¡

n



4

de ¡ Solucion. Como

BASE Y DIMENSION



r r r

r

Definición. Un conjunto de vectores v1, v2 ,v3 ,K ,vn es una base del espacio vectorial V si:

r r r

B  (2,1, 1,1), (1,0, 2,1), (0,0,0,1

r

  r r r r ii. v1, v2 ,v3 ,K ,vn  genera a V.

i. v1, v2 ,v3 ,K ,vn es linealmente independiente.

Ejemplo1. Compruebe que

 1 0  2  r   r   r    B   v1   1  , v 2   1 , v 3   1     1 2  0    3 es una Base de ¡ .



(2x  y , x ,  x  2y , x  y  z)  x(2,1,  1,1)  y(1, 0,  2,1)  z(0, 0, 0,1 )

 2 1  1 0 Formamos la matriz   1  2   1 1

0 0 y  0  0 0 x  0  0 0  1 0 z  0

Por lo tanto B es linealmente independiente, con consecuencia H es generado por B. Asi, B es base de H. Ejercicios.

  0    2   ,     4   1 

1.  

 20   2   ,    10   1 

2.  

5

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

  1  0   0     0   1  0  

3.    ,   ,   

  1  0   1         5.  0 , 1 , 0          0   1  1        

 2 2 2         4.  0 , 2 , 2         0 0 2        

  1   0   1  0              0   1   0   1  , , ,          0  0 1 1             1   0   0   1  

MATH4-ITVH

 

En el caso de espacios generados: El número de pivotes de la matriz reducida es la dimensión del espacio generado. En el caso de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: El número de variables libres es la dimensión del espacio lineal.

DIMENSIÓN Si el espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces se dice que V es de dimensión finita, y n es la dimensión de V . Se expresa,

dim(V)  n La dimensión del espacio {0} , se define como cero. Por consiguiente, {0} es dimensional finito. Un espacio vectorial que no tenga una base finita se llama dimensional infinito. Primer teorema de la Dimensión. Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V n-dimensional. Entonces dimH  n . Si en particular, dimH  n necesariamente H  V . “la dimensión de cualquier subespacio H de V es menor o igual que la dimesion del espacio”

dimH  dimV Segundo Teorema de la Dimensión. Sean H y T dos subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V . En este caso H  T tiene dimensión finita y se cumple:

dim(H  T)  dimH  dimT  dim(H  T) Teorema. Sea V un espacio vectorial n–dimensional, y sea S un conjunto de n elementos 1) 2)

Si S es linealmente independiente, entonces S genera a V , i.e., S es base. Si S genera a V, entonces S es linealmente independiente, i.e. S es base.

Ejemplo 1. Determine la dimensión del espacio

  2   1   1   2            2 1   2 1 generado por Gen    ,   ,   ,    .    2  0   2  1              1  1  1   1   Solución: formando la matriz aplicando Gauss-Jordan

 2 1 1  2 1   2  1 2  1  0     2 0  2 1 0      1 1 1  1 0

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1

Por lo escrito anteriormente la dimensión es el numero de pivotes de la matriz reducida. Ejemplo 2. Determine la dimensión del subespacio que generan los polinomios:

2  x  2x ,1  5x  x 2

2

 2x 3 ,

2  x  x 3 , 3  3x  3x 2  x 3



Escribiendo los polinomios matricialmente y reduciendo por Gauss-Jordan

 2 1 2 3 1   1 5 1  3  0     2 1 0  3  0     0  2  1  1  0

0 0

1 1 0 1 0 1 3  0 0 0

La dimensión es el numero de pivotes de la matriz reducida, i.e., la dimensión es 3.

Procesos de Cálculo de dimensiones

6

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

MATH4-ITVH

Ejemplo 3. Determine la dimensión para el subespacio de

¡ 3 formado por las soluciones al sistema 6 x  5 y  3 z 0  12 x  10 y  6 z  0 36 x  30y 18z  0

Teorema2. Si

 6  5  3 0   1  52  21      6 0   0 0 0    12 10  36  30  18 0  0 0 0 

Por lo tanto la dimensión es 2.

4) 5) 6)

  V  Gen2  x  x , x ,1  x  x ,1 V  Genx  x ,1  x ,  1  x  V  Genx ,1  x ,  1  x  V  Gen1  x  5x , 7  x  4x , 8  x  V  Genx  x ,  5  x ,  x , 3  x  V  Gen 1  x  x2 ,1,  1  x2 , x2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r r

r

v1, v2 , K ,vn es una base de V y

r v  V , entonces existe un conjunto único de escalares c1 , c 2 , K ,c n tales que r r r r v  c1v1  c 2 v 2  K  c n v n si

¡ 3 B  (1,0, 1), (1,1,0), (1,1,1) r y el vector v  (2,  3, 4) . Ejemplo1. Se tiene la base de

a)

Determine

r  v  B

 6 r r   b) Calcule el vector w si  w   3 B    2 

r  v  B tiene como componentes a los escalares c1 , c 2 , c 3 tales que Solución. a)

CAMBIO DE BASE Teorema 1. Si

r v  V existen escalares únicos tales r r r r v  c1v1  c 2 v 2  K  c n v n

teorema 1, para que :

r  v  B se modifica al cambiar la base B .

Ejercicios. Determine la dimV  P2

2

r r r B  v1, v2 , K ,vn  . Según el

r r v , expresado como  v  B , se llama vector de r coordenadas (o vector coordenado) de v con respecto aB  c1  c  r  v  B   2   M   cn 

 52   21  x  y   y  1  z         0   1  z 

3)

r

El vector cuyos componentes son los coeficientes de

Entonces:

2

r r

Definición. Sea V un espacio vectorial de dimensiones

Solución: Escribiendo la matriz aumentada y utilizando G-J, se obtiene

2)

r

son bases del espacio vectorial V , entonces m  n ; i.e. dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V contiene el mismo número de vectores

finitas con base

1)

r r

u1, u2 , K ,un  y v1, v2 , K ,vn

 2  1   1 1   3   c  0  c  1  c 1   1  2      4    1  0 1 Resolviendo el sistema por cualquier método, se obtienen los valores de c1 , c 2 , c 3

7

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

MATH4-ITVH

Resolviendo por cualquier método tenemos que

c1  0, c 2  1, c 3  2

 1  1 1 2 c 1  3    0 1 1  3   c 2  4   1 0 1 4  c 3  1

Por lo tanto

 p  B

 3  r  v  B   4   1 

Así

b) Debido a que las componentes

 0   1  2 

Ejercicios. Deduzca el polinomio p, a partir de una base B de Pn y el vector coordenado

r  w B son 6, -3 y 2

entonces

 1   1 1  11 r w  6  0   3  1  2 1    1    1  0 1   4 

pB

 3  6

pB  

1.

B  1  2x, 5x,

2.

4 B  1  x  2x 2 ,  x 2 ,1  2x , p B   3   2 

3.

B  2  2x,  3  3x,





Ejemplo 2: Obtenga el vector de coordenadas de

p  1  2x  3x 2 a) La base estándar. (La base estándar en Pn es en

P2 con respecto a cada una de las siguientes

1,x,x ,K x  ) La base B  1  x,1  x ,1  x  x  bases:

2

n

a   b 

pB  

II. Calcule el vector coordenado

pB , partiendo de

una base B de Pn y p. 1.

B  1 2x,1 x, p  4  17x

1, x, x  y ya que

2.

B  7  4x, 2  3x, p  17  6x

 1 2 p  1 1  2  x  3  x tenemos que p B  2    3  b) Las componentes de p B son escalares

3.

b)

2

Solución. a) Como la base estándar de P2 es

2

2

c1 , c 2 , c 3 tales que p  c1v1  c 2 v2  c 3 v3

p  c1 (1  x)  c 2 (1  x 2 )  c 3 (1  x  x 2 ) 1  2x  3x 2  (c1  c 2  c 3 )  (c1  c 3 )x  ( c 2  c 3 )x 2





B  1  2x  2x 2 , 2x  x 2 ,  1  2x , p  1  6x  8x 2

Matriz de Transición. Sean B1

r r r r r r  u1, u2 , K ,un  y B2  v1, v2 , K ,vn 

dos bases de un espacio vectorial de dimensión finita. Sea A T la matriz n  n cuyas columnas son:

u1 B , u2 B , u3 B 2

Se tiene

c1  c 2  c 3  1 c1

 c3  2  c2  c3  3

2

2

,K ,un B

2

la matriz de transición de la base B 1 a la base B 2 , entonces para todo vector

r x  V , se tiene que

r r  x  B  A T  x  B 2 1

8

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

MATH4-ITVH

Teorema. Si A T es la matriz de transición de la base

B 1 a la base B 2 , entonces A T1 es la matriz de transición de B 2 a la base B 1 .

r  21 A T  x B   1 1  2

¡ 2 , y la base

Ejemplo 1. Sea B 1 base estándar de

B2  (1,1), (1,1)

  4   1        2   3

1 2 1 2

O directamente a partir de B 2 , calculando c1 y c 2

a)

Calcule la matriz A T de B 1 a B 2

b)

Determine la matriz A T de B 2 a B 1

c)

Compruebe la relación

r

r  x  B coordenado se puede determinar 2 de dos formas distintas; usando a A T c). El vector

r r  x  B  A T  x  B 2 1

para x  (4,  2)

 4 1  1 c1  1  c  c  2  1 1 2  1  c  3      2 Por lo tanto

r  1  x B    2 3

Solución. a) A T es la matriz cuyas columnas son

e1 B , e2 B 2

. Determinando

2

e1 B

:

Ejemplo 2.

2

1 1 1 c  e1     c1    c 2    1 0  1  1 c 2   

e1 B

Determinando

2

1 2 1 2

 1   12   2 

e2 B

2

 3  2    2    5  B1     ,    y B2     ,      1   1    4   3  r r  b1  2 dos bases en ¡ . Si  x     , escriba x en B1 b 2  termino de los vectores de B 2 . Sean

Solución: Determinando

:

0 1  1 c  e 2     c1    c 2    1  1 1  1 c 2  1   e 2 B   21  2 2

 21 AT   1  2

1 2 1 2

  

 21  21  1 1  b) Por el teorema A  2  1  1 1 1 2 2 es la matriz de transición de B 2 a la base B 1 . 1 T

2

:

3 2  5 c1  137  c  c 1 1 4 2  3  c   5       2 13

1 2 1 2

Entonces la matriz de transición de B 1 a B 2 es:

u1 B



u1 B

2

 137   5    13 

Determinando

u2 B : 2

 2 2  5 c1  261  1  c1 4  c 2  3  c   5       2 13 

u2 B

2

 261   5    13 

Asi la matriz de transición es:

9

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

1  14 AT   26 10 Como

 2 r   4. En ¡ suponga que  x    1 , donde B1    4 

1 10

r r  x  B  A T  x  B 2 1

r 1  14  x  B   2 26  10

MATH4-ITVH

3

  1  0   1  r   B1     1 ,  1 , 0   . Escriba x en   0    1  0         

entonces

1  b1   137 b1  261 b2    10 b2    135 b1  135 b2 

términos de los vectores de Ejercicios. 1.

  3   1  0     B2    0  ,  2  ,  1    0    1  5         

Determine la matriz de transición de B 1 a B 2 , y la matriz de transición de B 2 a B 1 .

1  1   1  1  B1    ,    B2    ,    1 2   3  4     1  0   0  1  b. B1    ,    B2    ,      0   1   1 0  c. B1  eˆ 3 , eˆ 1, eˆ 2  B2  eˆ 1, eˆ 2 , eˆ 3  a.

2.

r  2 ¡ 2 suponga que  x B    , donde 1   1  3  2  r B1     ,    . Escriba x en términos   1   1 

En

de

 0  5  B2     ,    .   3    1 

r  4 2 3. En ¡ suponga que  x     , donde B1   1   2 7  r B1     ,    . Escriba x en términos   5 3  de

Bases Ortonormales Definición. El conjunto de vectores

u , u , K ,u  r r 1

r

2

k

n

¡ se llama conjunto ortonormal si r r a. u i  u j  0 si i  j r r b. u i  u i  1

en

Si solo se satisface (a) se dice que el conjunto es ortogonal. Proceso de Gram-Schmidt Todo subespacio V de ortogonal y una



¡



n

tiene al menos una base base ortonormal. Si

r r r r B1  u1 , u2 , u3 ,K ,uk es cualquier base de V r r r r entonces B2  v1 , v2 , v3 ,K ,v k es una base





ortogonal, donde

   2   3  B2     ,    .   1  2  

10

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

MATH4-ITVH

r r v1  u1 r v2 r v3 r v4

  2   1  1  1 r r     r r     u2  v1   3    1  6 y v1  v1    1    1  3   1  1  1  1

r r r u2  v1 r  u2  r r v1 v1  v1 r r r r r u3  v1 r u3  v 2 r  u3  r r v1  r r v 2 v1  v1 v2  v2 r r r r r r r u4  v1 r u4  v 2 r u4  v3 r  u4  r r v1  r r v 2  r r v 3 v1  v1 v2  v2 v3  v3

así

  2  1   2  2 0 r 6           v 2   3    1   3    2   1 3   1  1   1  2  1

M

r r r r r r r r uk  v1 r uk  v 2 r uk  vk 1 r vk  uk  r r v1  r r v 2  L  r r vk 1 v1  v1 v2  v2 vk 1  vk 1 y







r r r r r r r r Gen u1 , u2 , u3 ,K ,ui  Gen v1 , v2 , v3 ,K ,v i



i  1,K ,k . Una base ortonormal B 3 se obtiene normalizando a B 2 , i.e., con

 B3   

r r v1 v2 r , r ,K , v1 v2

r vk r vk

  

r r r r r r u3  v1 r u3  v 2 r Para calcular a v 3  u3  r r v1  r r v 2 v1  v1 v2  v2  1   1  1 0 r r     r r u3  v1   2    1  5 ; u3  v 2   2    1  2   4   1   4   1 0 0 r r v 2  v 2   1   1  2  1  1

 1  1  0  83  r  2   5   1  2  1   4  Así v 3    3   2    3   4   1  1   43  Por lo tanto la base ortogonal es

r r r B2  v1 , v2 , v3 

Ejemplo: Determine una base ortogonal y una

¡ 3 aplicando el proceso de Gramr r r Schmidt a la base B1  u1 , u2 , u 3  , en la cual ortonormal de

 1   2  1 r   r r   u1   1 , u 2   3  , u 3   2   1   1   4   1 r r   Solución: Se tiene que v1  u1   1    1 r r r r u 2  v1 r Para calcular a v2  u 2  r r v1 donde v1  v1

  1  B2     1 ,   1    vr Y la base B3   r 1 ,  v1

 0   83    1 ,  4      3   1   43   r r v 2 v 3  r , r  ortonormal v 2 v 3 

es:

   B3        

  1 , 3  1 3  1 3

0      12  ,   1    2  

  1   6   1  6  

2 6

Ejercicios Calcule una base ortogonal y una ortonormal de aplicando el proceso de Gram-Schmidt

¡ 3,

11

UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

  1   1. B   1 ,    0  

MATH4-ITVH

 0   1   1 , 0        1  1 

 2   2. B    1 ,     1  

 0   1   3  , 2         1  0  

  1   3. B    2 ,     1  

 4   1   3  , 2         5   3  

Aplique el proceso de Gram-Schmidt para determinar una base ortogonal para V

  4   1       4. V  Gen  2 , 2         1 3         3  0  2         2 2   0 5. V  Gen    ,   ,      1    1   2      1  0  2    1  0   0   0            1 0 0   1 6. V  Gen    ,   ,   ,      0   1  1  1             0   0   1  1  

12