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Razonamiento Matemático

1 Máximos y mínimos Cuando se tiene un problema que puede tener varias soluciones, aparece la idea de buscar una solución óptima, aquella que garantice una máxima eficiencia o mínimo gasto, en la busca de esta optimización surge el tema de máximos y mínimos. Para obtener la garancia máxima y mínima, tendríamos:

Ganancia Precio venta Precio costo máxima = máximo – mínimo

Ganancia Precio venta Precio costo mínima = mínimo – máximo

Trabajando en clase

Consumimos las diez botellas, entonces tendríamos:           

          

1. Se tiene un terreno en forma de un cuadrilátero regular. ¿Cuál es la mayor área que se puede cercar si el perímetro de dicho terreno es de 120 m? 2. Si un huevo pesa entre 50 g y 80 g. ¿Cuál es la máxima cantidad de huevos que hay en 1 kg? 3. En las elecciones para alcalde de un pequeño pueblo hay 4 candidatos. Si hay 383 votos válidos, ¿cuál es el mínimo número de votos con los cuales un candidato puede ganar la elección? 4. En la bodega Juanita se da la siguiente oferta: «Por cinco chapitas, lleve gratis dos botellas llenas». Si José junta 29 chapitas. ¿Cuántas botellas podrá consumir como máximo? Resolución: Si por cada cinco chapitas recibo dos botellas, tendríamos:

                                                     





10 botellas y nos sobrarían 4 chapitas

5.° año

85

Como máximo podrá consumir: 10 + 4 + 2 + 2 = 18 botellas RAZ. MATEMÁTICO

1

MÁXIMOS Y MÍNIMOS 5. Juanito puede hacer con 6 colillas de cigarro, un cigarro entero. Si Juanito tiene 42 colillas, ¿cuántos cigarros podrá fumar como máximo?

10. Dados 16 rectángulos como se muestra. ¿Cuál es el mínimo número de colores a emplear de modo que no se tenga dos rectángulos pintados del mismo color juntos?

6. La suma de dos números enteros positivos es 16. Calcula la máxima diferencia que puede existir entre ellos. 7. ¿Cuántas veces debe lanzarse un dado para tener la seguridad de obtener 2 veces el mismo número de puntos? 8. Se tiene 27 bolas de billas del mismo color y tamaño, pero una de ellas un poco más pesada que las demás, que sí tienen el mismo peso. Si se dispone de una balanza de dos platillos, ¿cuál es el menor número de pesadas a efectuar para encontrar la más pesada? Resolución: Separamos en grupos iguales las bolas y pesamos dos de ellos, si pesan igual en el otro grupo está la más pesada, si pesan diferente sabremos en que grupo está la más pesada y repetimos el procedimiento.

11. Dos kilos de manzanas contienen desde 16 hasta 30 manzanas. ¿Cuál será el mínimo peso que tendrán 150 manzanas? 12. Se compran libros que cuestan entre S/.15 y S/.25 c/u, y se venden a precios que varían entre S/.30 y S/.45. Si se venden 15 libros, ¿cuál es la ganancia máxima que se puede obtener? Resolución: Para obtener la ganancia máxima tendríamos ganancia máxima = PVmáx – PC mín

... 1 pesada a



... 2a pesada

13. Un kilo de peras contiene entre 4 y 8 peras. Si el precio de compra de un kilo varía entre S/.4 y S/.8 dependiendo de la calidad de las peras y el precio de venta de una pera varía entre S/.1 y S/.2. ¿Cuál es la mayor ganancia que puede tener en la venta de 4 kg de peras?

... 2a pesada

Como mínimo 3 pesadas.

9. Se tienen 243 bolas de golf del mismo color y tamaño, pero una de ellas tiene un defecto pues es un poco más pesada que las demás. Si se dispone de una balanza de dos platillos, ¿cuál es el menor número de pesadas a efectuar para encontrar la más pesada?

1

RAZ. MATEMÁTICO

ganancia máxima = S/.45 – S/.15 = S/.30 Si son 15 libros entonces la ganancia total es: Ganancia total = S/.30 × 15 = S/.450

14. Un banco tiene 7 sucursales en una ciudad y hay 70 empleados en ellas. Si ninguna oficina tiene menos de 8 empleados, ni más de 14. ¿Cuál es el menor número de empleados que puede haber en 5 oficinas?

86

5.° año

2 Certezas y principios de conteo Certeza

Ejemplo:

Los problemas de certezas o extracciones consisten en sacar objetos siempre poniéndose en el peor de los casos, para ponerse en esta situación hay tres palabras clave que tienen que aparecer en el texto del problema. ZZ ZZ ZZ



¿Cuántas opciones hay al lanzar 3 dados? 1er lanz.

Mínimo Azar Certeza

2do. lanz. C

C

Principio de conteo

Principio de adición: Cuando se nos presentan datos no combinables, normalmente unidos por la letra o. ZZ Principio de multiplicación: Cuando se nos presentan datos combinables, normalmente unidos por la letra y. ZZ Diagrama del árbol: Técnica que facilita el conteo de diversas situaciones. ZZ

S C



C



S

3er. lanz. C S C S C S C S

8 opciones

Trabajando en clase Enunciado (preg. 1 a 3) En una urna cerrada hay 8 bolas rojas, 9 verdes y 14 amarillas. Indica cuál es el mínimo número de bolas que debes extraer al azar para tener la seguridad de obtener: 1. Una bola roja



5. En una bolsa hay 10 pares de guantes blancos y 6 pares de guantes negros todos de la misma talla y modelo y se extraen uno por uno al azar. Si se quiere extraer un par de guantes utilizables del mismo color, ¿cuántas veces se deben extraer como mínimo?

2. Nueve bolas del mismo color 3. Una bola roja y una bola verde 4. En una bolsa hay 7 pares de zapatos negros de la misma talla y modelo, y se extraen uno por uno al azar. Si se quiere extraer un par de zapatos utilizables, ¿cuántas veces se debe extraer un zapato como mínimo? 5.° año

Resolución: Se sacan los 7 zapatos de un solo lado y uno más del otro, entonces: 7+1=8 Hay 8 extracciones como mínimo.

6. Se tienen seis modelos de muñecas y cuatro modelos de muñecos. ¿Cuántas parejas (varón y mujer) se pueden formar?

87

RAZ. MATEMÁTICO

2

CERTEZAS Y PRINCIPIOS DE CONTEO 7. En una caja grande hay 6 cajas, dentro de cada una de estas cajas hay 3 cajas, dentro de estas hay 2 cajas. ¿Cuántas cajas hay en total?

C2

A

8. Supongamos un alfabeto de cinco letras diferentes. Si una placa de automóvil consta de dos letras diferentes seguidas de dos dígitos de los cuales el primero es distinto a cero. ¿Cuántas placas diferentes pueden fabricarse? UNMSM 2013-I Resolución: El número de opciones es: L L N N ↓ ↓ ↓ ↓ 5 × 4 × 9 × 10 = 1800

C1

B1

C4

B2

C3

C5 C6

B3 C8

B4 C11

Se pueden fabricar 1800 placas diferentes

9. ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar con dos letras seguidas de 2 digitos? (el alfabeto tiene 27 letras)



Enunciado (preg. 10 y 11) Piero tiene tiempo de jugar la ruleta cinco veces como mínimo. Él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar. Él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos. 10. ¿De cuántas maneras puede terminar el juego?

C7 C9

C10

Resolución: Pasando por B1 = 3 rutas Pasando por B2 – B3 = 4 rutas Pasando por B3 – B2 = 4 rutas Pasando por B4 = 4 rutas

        

15 rutas

13. ¿Cuántos caminos diferentes hay para ir de A a D siguiendo los caminos y sabiendo que no se puede retroceder? B

C

D

A

11. ¿De cuántas maneras puede terminar el juego con $2? 12. ¿Cuántos caminos diferentes hay desde A hasta llegar a Cn, n = 1; 2; 3; …; 11, sin pasar dos veces por un mismo punto?

2

RAZ. MATEMÁTICO

14. En una liga de fútbol hay 12 equipos participantes. Si cada equipo juega con otro exactamente una vez, ¿cuántos juegos se deben programar?

88

5.° año

3 Análisis combinatorio I El análisis combinatorio busca el número de ordenamientos o formaciones que se dan a cierto número de objetos o personas, para esto es fundamental que sepas trabajar un factorial.

Factorial

ZZ

Permutación lineal: Formación en forma de línea, donde: Pn = n!

ZZ

Permutación circular: Formación en forma circular, donde: Pc = (n – 1)!

Tiene la forma:

n

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) … 3 . 2 . 1 donde n ∈ N; y; 0! = 1

ZZ

Permutación con repetición: Formación en forma lineal pero con elementos repetidos, donde: n! n P a, b, c = a! ⋅ b! ⋅ c!



Donde a, b, c son los números de los elementos repetidos.

Permutación

Al calcular el número de ordenamientos, se permuta cuando el número de espacios o lugares es igual al número de personas o cosas a ordenar. Tenemos tres tipos de permutación:

Trabajando en clase 1. Calcula el valor de: 17! + 18! + 19! 17! + 18!



Opciones de que Andrea y Johans vayan juntos:



A J C G B

2. Calcula el valor de «a + b + c» si: abc = a! + b! + c!



Opciones de que no vayan juntos: 120 – 48 = 72

3. ¿De cuántas formas 6 personas se pueden sentar en una fila con 6 asientos, si dos de ellos siempre van a estar juntos?

5. Cinco personas se sientan alrededor de una mesa circular con cinco asientos distribuidos simétricamente. ¿De cuántas formas se pueden sentar si hay dos de ellos que no pueden estar juntos?

4. Andrea, Camila, Gabina y Brenda se van al cine con Johans. Si hay exactamente cinco asientos vacíos juntos. ¿De cuántas formas diferentes podrán sentarse en estos cincos asientos, si Andrea nunca está junto a Johans? Resolución: Opciones totales: Cinco personas para cinco espacios: P5 = 5! = 120 5.° año

P4 ⋅ P2 = 4! ⋅ 2! = 48

6. En una reunión hay 3 arequipeños, 4 cusqueños y 2 limeños. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila si los del mismo departamento se sienten juntos? 7. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si solo dos saben conducir. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse?

89

RAZ. MATEMÁTICO

3

ANÁLISIS COMBINATORIO I 8. Un grupo de alumnos desea preparar un nuevo plato que se forma mezclando 7 ingredientes distintos para el concurso de Bbanco Yafue, que ofrece un premio de $10 000. La idea es cambiar el orden al añadir los ingredientes uno a uno para encontrar el mejor resultado. ¿Cuántas pruebas deben realizarse? Resolución: Son 7 ingredientes que varían su orden, entonces: P7 = 7! = 5040

11. Si: m = n = p = q y m + n = 17! 13! 14! 15! 16!

13. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra CATARATITA, sin importar que la palabra tenga sentido o no?

10. Cuatro hombres y cuatro mujeres se sientan alrededor de una mesa circular con 8 asientos distribuidos simétricamente, ¿de cuántas maneras se pueden sentar si los hombres no van a estar juntos?

RAZ. MATEMÁTICO

UNMSM 2012-II

12. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra PAPAYASA? (el significado de la palabra formulada no importa) Resolución: Es un ordenamiento lineal pero con letras repetidas, entonces: 4 8! 8⋅7⋅6⋅5⋅4 8 = P 2; 4 = 2! ⋅ 4! 2! ⋅ 4! = 840

9. Se tienen 4 comisiones diferentes y 4 personas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar una comisión a cada persona?

3

Calcula: q – p

14. ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden obtener con las letras de la palabra COCODRILO, si las vocales deben permanecer juntas?

90

5.° año

4 Análisis combinatorio II Variación

Dos formas adicionales para calcular el número de ordenamientos de cierto número de objetos es la combinación y la variación, estas van a ser usadas cuando el número de espacios o lugares sea igual al número de personas o cosas que se van a ordenar.

Se usa cuando en los objetos a ordenar SÍ importa el orden. n n! V = k (n – k)!

Combinación

Propiedad

Se usa cuando en los objetos a ordenar NO importa el orden. n n! C = k k!(n – k)!

n

n

n

n

C + C 2 + C 3 + ... + C n = 2n – 1 1

Trabajando en clase 1. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar a tres personas de un grupo de ocho?

6. Con 10 puntos no colineales. ¿Cuántos triángulos, como máximo se formarán?

2. En una carrera participan 10 automóviles. ¿De cuántas formas pueden ocupar los tres primeros lugares?

7. Una clase consta de 8 niños y 4 niñas. ¿De cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos si todos van a tener cargos diferentes?

3. ¿Cuántos sabores de jugo distinto se pueden hacer si se cuenta con 7 frutas diferentes? 4. Se tiene un grupo de 12 personas de las cuales 7 son hombres. ¿Cuántos comités de 5 personas (2 hombres y 3 mujeres) se pueden formar? Resolución: Como el orden no importa: 5 5! 7 C × C 3 = 7! × 2 2! ⋅ 5! 3! ⋅ 2! 3 2 7 ⋅ 6 ⋅ 5! × 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 210 = 3! ⋅ 2 5! ⋅ 2 Se pueden formar 210 comités

8. De un grupo de 7 hombres y 5 mujeres se deben seleccionar 5 hombres y 3 mujeres para formar un comité. ¿Cuántos comités distintos se pueden formar? UNMSM 2012-II Resolución: El orden al seleccionar las personas no importa, entonces: 5 5! 7 C × C 3 = 7! × 5 2! ⋅ 5! 3! ⋅ 2! 3 2 7 ⋅ 6 ⋅ 5! × 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2! = 210 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2! 5! ⋅ 2 Se pueden formar 210 comités.

5. En una oficina se requieren 4 abogados, 5 secretarias y 2 administradores. ¿De cuántas maneras se puede elegir si se presentan 7 abogados, 8 secretarias y 5 administradores? 5.° año

91

RAZ. MATEMÁTICO

4

ANÁLISIS COMBINATORIO II 9. Un examen consta de 15 pregunta (8 de RM y 7 de RV), si se van a seleccionar 3 preguntas de RM y 2 de RV, ¿de cuántas maneras se pueden seleccionar las preguntas?





10. Mafer es una señorita jovial porque solo en una semana de estar en la academia, ha conseguido tener 10 amigos a los cuales desea invitar a su cumpleaños. ¿De cuántas maneras puede invitar a uno o más de ellos?

13. Se van a elegir a cuatro de 10 alumnos para una foto. Si a los cuatro elegidos se les pone en fila, ¿de cuántas maneras puedo ordenar a las personas para la foto?

11. Micaela tiene siete bolitas diferentes y Zoe tiene cuatro bolitas diferentes. Si quieren intercambiar sus bolitas, de modo que se intercambien no más de tres, ¿cuántos intercambios posibles se darán?

14. Un equipo de rescate debe estar conformado por al menos 1 policía, 1 bombero y 1 paramédico. En cierto turno se encuentran disponibles 4 bomberos, 5 policías y 3 paramédicos. ¿Cuántos equipos de rescate se pueden formar si debe haber igual cantidad de bomberos que de policías y de paramédicos?

12. Se tiene ocho banderas de ocho colores diferentes. Si se requiere hacer señales con tres de estas banderas, sacando una a continuación de otra, ¿cuántas señales diferentes se podrán formar?

4

RAZ. MATEMÁTICO

Resolución: Para banderas, sillas, asientos, etc el orden siempre importa, entonces: 8 V = 8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 336 3 5! 5! Se harán 336 señales.

92

5.° año

5 Probabilidades Conceptos previos de probabilidades:

Además sabemos que:

Experimento determinístico

Es aquel hecho o suceso que SÍ es completamente seguro que suceda.

0 ≤ P(A) ≤ 1

Experimento aleatorio

Toda probabilidad es mayor que 0 pero menor que 1.

Es aquel hecho o suceso que NO es seguro que suceda.

P(A) = 1 – P ′

Espacio muestral

(A)

Es el conjunto de todos los posibles eventos o sucesos.

Probabilidad

Definición clásica: Probabilidad =

La probabilidad que suceda un evento es igual a 1 menos la probabilidad de que no suceda.

Casos favorables Casos totales

Trabajando en clase 1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras al lanzar tres monedas?

5. Una urna contiene 20 bolas rojas, 15 negras y 25 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola de la urna y que no sea roja?

2. Calcula la probabilidad de extraer una carta de corazones, al sacar una carta de una baraja.

6. Para un examen un alumno solo ha estudiado 20 de los 25 temas correspondientes a una materia. Este examen se realiza eligiendo al azar tres temas. Calcula la probabilidad de que el alumno elija en el examen tres de los temas estudiados.

3. Calcula la probabilidad de sacar una suma de puntos de 7 al lanzar dos dados comunes.

7. En una caja se encuentran 30 reglas de las cuales cuatro son defectuosas, ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar tres reglas, las tres sean defectuosas?

4. Un lote consta de 12 artículos buenos, 8 con pequeños defectos y 5 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Calcula la probabilidad de que no tengas defectos graves. Resolución: Artículos que no tienen defectos graves: 8 con pequeños defectos + 12 buenos = 20

8. La probabilidad de que un alumno apruebe Lenguaje es 0,5; de que apruebe Matemática es 0,45 y la probabilidad de que apruebe ambas asignaturas es 0,25. Calcula la probabilidad de que el alumno no apruebe ninguna de las dos asignaturas. Resolución: Nos ayudamos con diagrama de Venn:

⇒ Probabilidad = 20 = 4 25 5

5.° año

93

RAZ. MATEMÁTICO

5

PROBABILIDADES

Lenguaje 0,25

12. Se sacan simultáneamente dos cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que estas sean un rey y una reina? Resolución: Trabajamos los casos en que salen las cartas rey y reinas y viceversa, entonces: P= 4 × 4 ×2= 8 52 51 663

Matemática 0,25

0,2 0,3

  

1

Por el viceversa

La probabilidad de que no apruebe ninguna de las dos asignaturas es 0,3.

13. Se sacan dos cartas de una baraja una a una. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones?

9. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número de dos dígitos, sea primo y termine en 7? 10. Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos obtenidos. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más probable? a) Que el resultado sea mayor que 9. b) Que el resultado sea menor que 9. c) Que el resultado sea par. d) Que el resultado sea impar. e) Que el resultado sea igual a 9.

14. La probabilidad de que un cazador acierte un tiro a su presa es del 40%. Si tres cazadores tiran a la vez a la misma presa, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos acierte?

Advertencia pre Este capítulo es un capítulo de gran demanda en los exámenes de admisión tipo UNI y Católica.

11. De un grupo de 6 hombres y 7 mujeres, se eligen 6 personas para formar un comité. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho comité esté formado por 2 hombres y 4 mujeres?

5

RAZ. MATEMÁTICO

94

5.° año

6 Gráficos estadísticos I Variación porcentual

Un gráfico estadístico es una representación de datos que facilita la visualización de los mismos de manera que sean mucho más sencillas las operaciones y proyecciones que deseamos. Dentro de la gran variedad de gráficos que existen, nosotros trabajamos los gráficos de barras y de líneas. Para facilitar nuestras operaciones debemos saber que:

10

50

40

lo que me piden Fracción = respecto de quién

A

Porcentaje = Fracción × 100 %

Variación = 10 Variación porcentual = 10 × 100 = 25%

B

40

Ejemplo: 1 × 100 = 50%

1 × 100 = 16, 6 %

2

6

1 × 100= 33, 3 %

1 × 100 = 12,5%

3

8

1 × 100 = 25%

1 × 100 = 11, 1 %

4

50

40

9

1 × 100 = 20%

A

B

Variación = 10 Variación porcentual = 10 × 100 = 20%

1 × 100 = 10%

5

10

10

50

Trabajando en clase 1. Calcula la variación porcentual en: 60

50

40

30

A

5.° año

2. Calcula la variación porcentual en:

B

A

95

B

RAZ. MATEMÁTICO

6

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I 3. Según la gráfica mostrada:

Cantidad de alumnos

Producción (miles) 56 49 33 27

56 36

36

Hombres Mujeres

130 110 70 50

50 35 27

15

Ciencias Letras Arquitectura

11

E F M A M J



180 160

J

A



S O N D Meses

¿En qué trimestre del año se dio la mayor producción?

Calcula el porcentaje de mujeres que no postulan a ciencias, respecto al total de alumnos postulantes.

7. Según el gráfico. Gasto semanal de los adolescentes (de 13 a 18 años) Adolescentes (porcentaje)

Gráfico 1 (preg. 4 y 5) Las estaturas de 1800 alumnos de un colegio se distribuyen según el siguiente gráfico. Estatura

56,5

1,80 1,70

23,8

1,60

8,9

1,50 150 250

600 800

Cantidad de alumnos

0 a 20 21 a 40 41 a 80 81 a más Gastos soles soles soles soles



4. ¿Qué porcentaje de los alumnos se encuentra por encima de las estatura promedio? Resolución: Promedio = 250×1,5+800×1,6+600×1,7+150×1,8 1800 de tallas

Por encima de la estura promedio 1,70 y 1,80:



⇒ 600 + 150 × 100 ≅ 41,67 1800

Tasa de inflación

90%

5. Si llegan al colegio 500 alumnos cuyo promedio de talla es 1,90 m, ¿cuál será el nuevo promedio de tallas? (aproximadamente)

60% 40% 30% 20% 10%

6. El siguiente gráfico muestra la cantidad de alumnos que postulan a una universidad, distribuidos por áreas:

6

RAZ. MATEMÁTICO

Gasto promedio: S/.10 S/.30 S/.60 S/.100 ¿Cuál es el promedio del gasto de los adolescentes en una semana?

Enunciado (preg. 8 y 9) La inflación en un país mostró la siguiente evolución entre febrero y junio. Por ejemplo; la inflación en el mes de marzo fue de 30%.

≅ 1,64

10,8

Feb. Mar. Abr. May. Jun.

96

Meses

5.° año

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I 8. Si el primero de marzo un kilo de arroz costaba S/.3, ¿cuánto costaba el primero de mayo? Resolución: Inflación marzo → 30% Inflación abril → 40%

Enunciado (preg. 12; 13 y 14) Cantidad vehículos vendidos

2011 2012 16 726

140 130 (3) = 5,46 100 100

12 328



⇒



El costo del arroz el primero de mayo es S/.5,46

7280

4354

9. ¿Cuál será la inflación en julio según la tendencia mostrada?

2527

Ligeros

Enunciado (preg. 10 y 11) El gráfico muestra el total de habitantes por nivel socioeconómico en una determinada ciudad en tres años diferentes.

Comerciales

3584

Pesados

Vehículos

12. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de incremento de ventas de 2011 a 2012? Resolución: Vehículos vendidos: 2011 → 12 328 + 4354 + 2527 = 19 209 2012 → 16 726 + 7280 + 3584 = 27 590

Cantidad de personas (miles)

8381 17,5 14 12

A

17 11

15

13

B

2007

15,5 14

15,5

19 209

11

C

2008

17,5



8381 × 100 = 43,63% 19 209

13. ¿Cuántos vehículos más se vendieron el 2012 con respecto al 2011?

D Nivel

14. Si la ganancia en la venta de los vehículos es la que sigue:

2009



10. ¿Cuál es el total de habitantes de dicha ciudad? (en miles) 11. ¿Qué nivel socioeconómico tiene la mayor cantidad de habitantes?

5.° año

Aumento porcentual =

27 590

97

Ganancia Ligeros → $1500 Comerciales → $2000 Pesados → $3000 ¿Cuál es la ganancia en miles de dólares en 2012?

RAZ. MATEMÁTICO

6

7 Gráficos estadísticos II Dentro de este tema trabajamos los gráficos circulares y tablas. Para trabajar los gráficos circulares nos ayudamos de:

Algunas fórmulas que te pueden ayudar para trabajar más de porcentaje a ángulo y viceversa es:

lo que me piden Fracción = respecto de quién

Porcentaje =

Porcentaje = Fracción × 100 % Ángulo = Ángulo = Fracción × 360º Ejemplo: Fracción 1/2 1/3

Porcentaje 50 % 33, 3 % 25 %

1/4 1/6

16, 6 % 12,5 % 10 %

1/8 1/10

Ángulo × 100% 360

Porcentaje × 360º 100

Advertencia pre

Ángulo 180º 120º

En los exámenes de admisión Católica siempre hay 5 preguntas respecto a gráfico. En el examen de admisión UNI siempre vienen de 3 a 4 gráficos de una pregunta.

90º 60º 45º 36º

Trabajando en clase 3. Según el siguiente gráfico:

Según el gráfico completa: (preg. 1 y 2) 1. Fracción = ___________ 36 Porcentaje = __________ Ángulo = ____________ Total = 120 2.

7

Otros 45%

A

D C

10%

25%

B

87



Fracción = ___________ Porcentaje = __________ Ángulo = ____________ Total = 300

RAZ. MATEMÁTICO

15%

98

Total de personas = 1500 ¿Cuántas personas más prefieren A y B que C y D?

5.° año

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II Tabla 1 (preg. 4 y 5)

CAPITAL (S/.)

La siguiente tabla muestra las ventas de tres productos:

Producto

Costo unitario (S/.)

Utilidad (%)

M

100

10 %

N

160

14 %

90

8416

P

200 Total

180

32 716

Unidades vendidas

Pedro

Monto venta total 4400

S/.3000 Jimmy



108º S/.4000 Ernesto

SUELDOS

Resolución:



José 72º

4. ¿Cuántas unidades del producto M se vendieron?



Raúl 15%

Sueldos (S/.)

Costo = 100  Producto M =  Utilidad = 10 (100) = 10  100 Precio de venta = 100 + 10 = 110 4400 Unidades vendidas = = 40 110

Pedro Raúl José Ernesto Jimmy

% sueldos 15% 25%

S/.1000 10% S/.1500

8. ¿Cuánto fue lo que aportó Raúl a la empresa? 5. ¿A cuánto asciende la utilidad unitaria del producto C?

9. En promedio, ¿cuánto será el sueldo de los 5 varones? Gráfico Nº 2 (Preg. 10 y 11)

Tabla 2 (preg. 6 y 7) La siguiente tabla muestra los datos del personal de una empresa.

Hombres Mujeres

Casados 50 30 70 80

Solteros 40 80 20 30

A continuación se muestra información sobre el sexo y las edades de un grupo de 60 alumnos. Mujeres

con hijos sin hijos con hijos sin hijos

Mujeres 144º Hombres

6. ¿Cuántas madres solteras hay?

30º

17 años 60º 20 años

19 años

7. ¿Cuántos empleados no tienen hijos o no están casados?

10. ¿Cuántas mujeres fueron encuestadas?

Gráfico N.1 (Preg. 8 y 9) Cinco amigos deciden formar una empresa y cada uno aportará cierto capital y además trabajarán en diferentes áreas de la empresa.

5.° año

18 años

11. ¿Cuánto más es el porcentaje de hombres respecto al de mujeres?

99

RAZ. MATEMÁTICO

7

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II Tabla Nº 3 (Preg. 12; 13 y 14) Producto A

Producto B

Año

Precio de costo (S/.)

Precio de venta (S/.)

Cantidad Precio Precio (miles de de costo de venta unidades) (S/.) (S/.)

Cantidad (miles de unidades)

1999

17,5

22,5

12,0

15

19

6,2

2000

15,3

19,5

9,5

18

22

5,7

2001

18,5

22,0

10,0

20

25

7,2

2002

8,3

15,6

6,5

23

29

8,3

12. ¿Cuál fue la ganancia total en 2001, en miles de soles? 13. ¿Cuál es el promedio anual de unidades vendidas del producto A? 14. ¿En qué par de años se obtuvo la menor ganancia?

7

RAZ. MATEMÁTICO

100

5.° año

8 Repaso

Enunciado (preg. 9 y 10) La siguiente tabla muestra el número de kilogramos de alcachofas vendidas por la empresa Alkchof, así como su precio de costo y su precio de venta.

3. Cinco parejas de esposos se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras se pueden sentar si las parejas de esposos quieren estar siempre juntas? a) 768 c) 720 e) 3600 b) 1440 d) 1430 4. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra PAPITA si no importa si la palabra formada tiene sentido o no? a) 720 c) 360 e) 180 b) 480 d) 240 5. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 personas de un grupo de 9 para ocupar cargos diferentes? a) 1880 c) 1926 e) 3208 b) 3024 d) 2764 6. Se van a contestar exactamente 8 preguntas de un grupo de 12. ¿De cuántas maneras se pueden contestar dichas preguntas, si se deben contestar obligatoriamente por lo menos 4 de las 6 primeras? a) 240 c) 480 e) 720 b) 360 d) 600

Cantidad (kg)

Precio costo unitario

Precio venta unitario

2009

350 000

1,2

2,3

2010

480 000

1,1

2

2011

450 000

1,3

2,1

2012

460 000

1,2

2,2

2013

520 000

1

2,1

9. ¿En qué año se obtuvo la máxima ganancia? a) 2009 c) 2011 e) 2013 b) 2010 d) 2012 10. ¿Cuál fue la ganancia total en los cinco años mostrados? (da la respuesta en miles). a) 2198 c) 2314 e) 229 b) 2209 d) 2282 Gráfico (preg. 11 y 12) El siguiente gráfico indica los hombres y mujeres presentes en un simposio, así como también la distribución del número de personas casadas y solteras en el mismo.

7. Calcula la probabilidad de sacar dos cartas de corazones al extraer dos cartas de una baraja. 1 e) 1 a) 1 c) 13 17 26 1 b) 1 d) 15 20 5.° año

Año

101

Total personas = 1200

Mujeres

2. Martha tiene para vestirse 6 faldas, 3 jeans, 2 polos y 4 blusas. ¿De cuántas maneras se puede vestir si todo es combinable? a) 15 c) 54 e) 144 b) 36 d) 725

8. Si la probabilidad de aprobar el examen bimestral de RM es del 60% y la probabilidad de que lo haga con menos de 15 es 75%. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen con una nota mayor o igual a 15? a) 10 % c) 20 % e) 30 % b) 15 % d) 25 %

Ho mb res

1. Un kilogramo de manzanas cuesta entre S/.1,8 y S/.2,3 y trae entre 6 y 9 de estas. ¿Cuál es el máximo precio que debo pagar por seis docenas de manzanas? a) S/.13,8 c) S/.21,8 e) S/.28,2 b) S/.20,7 d) S/.27,6

144º

RAZ. MATEMÁTICO

8

REPASO Hombres

casados 40%

solteros 60%

12. Si llegan al simposio 200 parejas de esposos, ¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres? a) 52,5 % c) 57,5 % e) 62,5 % b) 55 % d) 60 %

Mujeres

casadas 55%

solteras 45%

Claves

11. ¿Cuántos hombres solteros más que mujeres solteras hay en el simposio? a) 216 c) 240 e) 260 b) 232 d) 252

1.

D

5.

B

9.

E

2.

C

6.

B

10.

B

3.

A

7.

C

11.

A

4.

E

8.

B

12.

C

Bibliografía 1. Razonamiento matemático 5.º año, Paz. Lima, Perú, Ediciones PAZ. 2. Solucionario del examen de admisión UNI. Lima, 2013. Delta. 3. Solucionario del examen de admisión UNMSM. Lima, 2013. Delta.

8

RAZ. MATEMÁTICO

102

5.° año