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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO MÉTODOS NUMÉRICOS

DATOS INFORMATIVOS APELLIDOS: NOMBRES:

CHUQUIN

FERNANDO

PROFESOR:

DR. MARIO AUDELO

SEMESTRE:

QUINTO

PARALELO:

“A”

CÓDIGO:

1839

TEMA:

TAREA UNIDAD III

RIOBAMBA – ECUADOR

1. Use la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás y aritmética de redondeo a

dos dígitos para resolver los sistemas lineales siguientes. (La solución exacta de cada sistema es x1 = 1, x2 =- 1, x3 = 3).

a) 4 −1 1 Â𝟎 = [2 5 2 1 2 4

8 3] 11

# etapas= n-1 # etapas= 3-1= 2 -

Etapa 1

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖1 𝑎11

𝑘21 = − 𝑘31 = −

;

i=2,…,3

𝑎21

𝑘21 = −

𝑎11 𝑎31

𝑘21 = −

𝑎11

1 1 − 𝐾1 = 2 1 − [ 4

2 4

1 2

1 4

0 0 1 0 0 1]

1 0 0 1 4 − 1 0 Â𝟏 = 𝐾1 . Â𝟎 = . [2 2 1 1 − [ 4 0 1] 4 −1 1 8 11 3 0 −1 Â𝟏 = 2 2 9 15 0 9] [ 4 4 -

𝑘21 = −

Etapa 2

𝑘𝑖2 = −

𝑎𝑖2 𝑎22

;

i=3

−1 1 8 5 2 3] 2 4 11

𝑘32 = − 1 0 𝐾2 = [ 0

𝑎32

𝑘21 = −

𝑎22

0 1 9 − 22

[0

0

𝑘32 = −

18 44

𝑘32 = −

0 0 ] 1

1 0 Â𝟐 = 𝐾2 . Â𝟏 = [ 0 4 −1 11 0 Â𝟐 = 2

9 4 11 2

4 0 0 0 ]. 1 [0

0 1 9 − 22

−1 1 8 11 3 −1 2 2 9 15 9] 4 4

1 8 3 −1 2 69 207 22 22 ]

Formulando ecuaciones con la matriz Â2 , tenemos lo siguiente:

4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 8 11 3 𝑥2 + 𝑥3 = −1 2 2 {

69 207 𝑥3 = 22 22

Resolviendo el Sistema de ecuaciones, 69 207 𝑥3 = 22 22 (207) 𝑥3 = (69) 11 2

𝑥3 = 3

Sol.

3

𝑥2 + 𝑥3 = −1 2

3

2

2

11

𝑥2 = (−1 − 𝑥3 ) ∗

3 2 𝑥2 = (−1 − ∗ (3)) ∗ 2 11 𝑥2 = −1

Sol.

4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 8 𝑥1 = (8 − (−𝑥2 + 𝑥3 )) ∗ 𝑥1 = (8 − (1 + 3)) ∗

1 4

1 4

9 22

𝑥1 = 1

Sol.

b)

4 1 2 9 Â𝟎 = [2 4 −1 −5] 1 1 −3 −9 # etapas= n-1 # etapas= 3-1= 2 -

Etapa 1

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖1 𝑎11

𝑘21 = − 𝑘31 = −

;

i=2,…,3

𝑎21

𝑘21 = −

𝑎11 𝑎31

𝑘21 = −

𝑎11

2 4

𝑘21 = −

Etapa 2

𝑘𝑖2 = −

𝑎𝑖2 𝑎22

;

i=3

2

1 4

1 0 0 1 − 1 0 𝐾1 = 2 1 − [ 4 0 1] 1 0 0 1 4 1 − 1 0 Â𝟏 = 𝐾1 . Â𝟎 = . [2 4 2 1 1 1 − 0 1 [ 4 ] 4 1 2 9 7 19 0 −2 − Â𝟏 = 2 2 3 7 45 0 − − [ 4 2 4] -

1

2 9 −1 −5] −3 −9

𝑘32 = −

𝑎32

𝑘21 = −

𝑎22

1 0 𝐾2 = [ 0

3 4 7 2

𝑘32 = −

6 28

𝑘32 = −

3 14

0 0 1 0 ] 3 − 1 14

1 0 Â𝟐 = 𝐾2 . Â𝟏 = [ 0 4 1 7 0 Â𝟐 = 2 [0 0

4 0 0 1 0 0 ]. 3 − 1 14 [0

2

9 19 − 2 129 − 14 ]

−2 −

1 2 9 7 19 −2 − 2 2 3 7 45 − − ] 4 2 4

43 14

Formulando ecuaciones con la matriz Â2 , tenemos lo siguiente:

4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 9 7 19 𝑥2 − 2𝑥3 = − 2 2 {

−

43 129 𝑥3 = − 14 14

Resolviendo las ecuaciones, tenemos lo siguiente:

𝑥1 = 1

Sol.

𝑥2 = −1

Sol.

𝑥3 = 3

Sol.

2. Use eliminación de Gauss para resolver los sistemas:

a)

8 Â𝟎 = [10 12

2 2 2

−2 4 2

−2 4] 6

# etapas= n-1 # etapas= 3-1= 2 -

Etapa 1

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖1 𝑎11

𝑘21 = − 𝑘31 = −

;

i=2,…,3

𝑎21

𝑘21 = −

𝑎11 𝑎31

𝑘21 = −

𝑎11

1

0

10

𝑘21 = −

8 12

𝑘21 = −

8

5 4 3 2

0

5 − 1 0 𝐾1 = 4 3 [− 2

0

1] 1

5 − Â𝟏 = 𝐾1 . Â𝟎 = 4 [−

8 Â𝟏 = [0

2

2

0

1

0

0

1]

8

2 −2 −2 4 4] 12 2 2 6

. [10 2

−2 −2

1 − 2

13 2

0 −1 -

3

0

5

13 ] 2

9

Etapa 2

𝑘𝑖2 = −

𝑎𝑖2 𝑎22

𝑘32 = − 1 0 𝐾2 = [0 1 0 −2

;

𝑎32 𝑎22

i=3

𝑘21 = −

−1 1 2

−

𝑘32 = −2 𝑘32 = −2

0 0] 1

1 Â𝟐 = 𝐾2 . Â𝟏 = [0 0

8

0 0 1 0] . [0 −2 1

2

1 − 2

0 −1

−2 −2 13 2

5

13 ] 2

9

8

2

−2 −2

0

−8 −4

1 − 2

Â𝟐 = [0

0

13 2

13 ] 2

Formulando ecuaciones con la matriz Â2 , tenemos lo siguiente:

8𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = −2 1 13 13 − 𝑥2 − 𝑥3 = − 2 2 2 −8𝑥3 = −4 Resolviendo el Sistema de ecuaciones,

𝑥1 =

3 2

𝑥2 = − 𝑥3 =

1 2

𝑆𝑜𝑙. 13 2

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

b)

1

−1

3

2

Â𝟎 = [3

−3

1

−1]

1

0

3

1 # etapas= n-1 # etapas= 3-1= 2 -

Etapa 1

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖1 𝑎11

𝑘21 = − 𝑘31 = −

;

𝑎21 𝑎11 𝑎31 𝑎11

1 0 𝐾1 = [−3 1 −1 0

i=2,…,3

𝑘21 = − 𝑘21 = − 0 0] 1

3 1 1 1

𝑘21 = −3 𝑘21 = −1

1

Â𝟏 = 𝐾1 . Â𝟎 = [−3 −1

0 1 0] . [3 1 1

0 1 0

−1 3 2 −3 1 −1] 1 0 3

1 −1 3 2 Â𝟏 = [0 0 −8 −7] 0 2 −3 1 NOTA: El elemento 𝑎22 = 0,

debido a esto el método no se puede seguir efectuando.

3. Dado el sistema siguiente de ecuaciones

a) Emplee la eliminación de Gauss con pivoteo parcial para obtener cuáles serían los valores de x. 0 −3 7 2 𝐴̃𝑜 = [1 2 −1 3] 5 −2 0 2

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟏 Selección del pivoting 0 max ||𝑎𝑖1 || = 5

𝑖=1,2,3

Redefinimos la matriz

5 ̃ 𝐴𝑜 = [1 0

−2 0 2 2 −1 3] −3 7 2

i=2,3

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖1 𝑎11

𝑘21 = −

1 0 1 𝐴̃1 = 𝑘1 ∗ 𝐴̃𝑜 = [− 1 5 0 0

𝑎21 𝑎11

=−

1 5

𝑘31 = −

0

𝑎31 𝑎11

0

=− =0 5

5 −2 0 2 5 −2 0 2 12 13 ] 0] ∗ [1 2 −1 3] = [0 −1 5 5 0 −3 7 2 1 0 −3 7 2

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟐 Selección del pivoting 𝐦𝐚𝐱 ||𝒂𝟏𝒊𝟐 || = 𝟑 𝒊=𝟐,𝟑

Redefinimos la matriz

5 −2 0 2 0 −3 7 2 𝐴̃1 = [ 12 13] 0 −1 5 5 i=3

𝑎𝑖2 𝑘𝑖2 = − 𝑎22 1 0 0 1 𝐴̃2 = 𝑘2 ∗ 𝐴̃1 = [ 4 0 5

𝑘21

12 𝑎32 4 =− =− 5 = 𝑎22 −3 5

0 0

5 −2 0 2 5 0 −3 7 2 0 ]∗[ 12 13] = [ 1 0 −1 0 5 5

−2 −3 0

0 2 7 2 23 21] 5 5

Formando ecuaciones con la matriz 𝐴̃2 tenemos:

5𝑥1 − 2𝑥2 = 2 −3𝑥2 + 7𝑥3 = 2 23 21 𝑥3 = 5 5 Resolviendo las ecuaciones tenemos:

68 69 101 𝑥2 = 69 21 𝑥3 = 23 𝑥1 =

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

b) Sustituya sus resultados en las ecuaciones originales para efectos de comprobación. −3𝑥2 − 7𝑥3 = 2 101

21

−3 ( 69 ) + 7 ∗ (23) = 2

𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 3 68

101

21

(69) + 2 ( 69 ) − (23) = 3

2=2 4. Dado el sistema siguiente de ecuaciones:

3=3

5𝑥1 − 2𝑥2 = 2 68

101

5 (69) + 2 ( 69 ) = 2 2=2

a) Emplee la eliminación de Gauss con pivoteo parcial. Efectúe todos los pasos del cálculo.

2 ̃ 𝐴𝑜 = [−3 −8

−6 −1 −1 7 1 −2

−38 −34] −20

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟏 Selección del pivoting 𝐦𝐚𝐱 ||𝒂𝟎𝒊𝟏 || = 𝟖

𝒊=𝟏,𝟐,𝟑

Redefinimos la matriz

−8 ̃ 𝐴𝑜 = [−3 2

1 −2 −1 7 −6 −1

−20 −34] −38

i=2,3

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖1

𝑘21 = −

𝑎11

𝑎21 𝑎11

1 0 0 3 −8 − 1 0 ̃ ̃ 𝐴1 = 𝑘1 ∗ 𝐴𝑜 = ∗ [−3 8 1 2 [ 4 0 1]

=−

3 8

𝑘31 = −

1 −2 −20 −1 7 −34] = −6 −1 −38

Selección del pivoting 𝐦𝐚𝐱 ||𝒂𝟏𝒊𝟐 || = 𝒊=𝟐,𝟑

−8 0 𝐴̃1 = [0 i=3

1

−2

−20

11 8

31 4

−

23 3 − − −43 4 2 −

53 2]

𝑎11

−8

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟐

Redefinimos la matriz

𝑎31

𝟐𝟑 𝟒

0 [0

=−

2 −8

=

1 4

1 −2 −20 11 31 53 − − 8 4 2 23 3 − − −43 ] 4 2

𝑎𝑖2 𝑘𝑖2 = − 𝑎22

1 0 𝐴̃2 = 𝑘2 ∗ 𝐴̃1 = [ 0

0 1 11 − 46

0 0 1

𝑘21

−8 ]∗

0 [0

11 − 8 𝑎32 11 =− =− =− 23 𝑎22 46 − 4

1

−2

−20

11 8

31 4

−

−8

23 3 0 − − −43 = 4 2 −

53 2]

[0

1 23 − 4 0

−2 −20 3 − −43 2 373 373 − 46 23 ]

Formando ecuaciones con la matriz 𝐴̃4 tenemos:

−8𝑥1 + 1𝑥2 − 2𝑥3 = −20 23 3 − 𝑥2 − 𝑥3 = −43 4 2 373 373 𝑥3 = − 46 23 Resolviendo las ecuaciones tenemos:

𝑥1 = 4 𝑥2 = 8 𝑥3 = −2

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

b) Sustituya sus resultados en las ecuaciones originales para comprobar sus respuestas. −8𝑥1 + 1𝑥2 − 2𝑥3 = −20 −8(4) + 1(8) − 2(−2) = −20 −20 = −20

−3𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 = −34 −3(4) − (8) + 7(−2) = −34 −34 = −34

2𝑥1 − 6𝑥2 − 𝑥3 = −38 2(4) − 6(8) + 2 − 38 −38 = −38

5. Emplee la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema siguiente:

2 1 −1 ̃ 𝐴0 = [5 2 2 3 1 1

1 −4] 5

Etapa 1

𝑎11 ≠ 0 𝑘21 = −

𝑘𝑖1 = − 𝑎21 𝑎11

=−

5 2

𝑎𝑖1 𝑎11

𝑖 = 2, … , 𝑛

𝑘31 = −

𝑎31 𝑎11

=−

1 5 𝑘1 = [− 2 3 −

3 2

2

1 5 − 𝐴̃1 = 𝑘1 ∗ 𝐴̃0 = 2 3 − [ 2

0 0

0 1

0 0]

0

1

2

1 0 0 1]

2 ∗ [5 3

1 −1 1 0 2 2 −4] = 1 1 5 [0

1 −1 1 1 9 13 − − 2 2 2 1 5 7 − 2 2 2 ]

Etapa 2 𝑎

𝑘𝑖2 = − 𝑎 𝑖2

𝑎22 ≠ 0

𝑖 = 3, … , 𝑛

22

1 𝑘2 = [0 0

1

𝑎

𝑘32 = − 𝑎32 = − 22

−2

1 = −1

−2

2 1 0 0 0 𝐴̃2 = 𝑘2 ∗ 𝐴̃1 = [0 1 0] ∗ 0 −1 1 [0

0 0 1 0] −1 1

1 −1 1 2 1 9 13 − − 2 2 2 = [0 1 5 7 0 − 2 2 2 ]

1 −1 1 1 9 13 − − ] 2 2 2 0 −2 10

Etapa 3

𝑎33 ≠ 0

𝑘23 = −

𝑘13 = −

𝑘𝑖1 = − 𝑎31 𝑎33

𝑎31 𝑎33

=−

=−

−2

−2

=

9

𝑘3 = [ 0 1 0 0

4

=−

0 1 [0 0

1 2

9

]

4

1

1 2

1 2 1 −1 1 2 2 1 9 13 9 ∗ [0 − − ] = [0 2 2 2 4 0 0 −2 10 0 1 ]

1 0 − 𝐴̃3 = 𝑘3 ∗ 𝐴̃2 =

𝑖 = 𝑛, … , 1

𝑎33

1 0 −

9 2

−1

𝑎𝑖2

1 1 − 2 0

0

−4

0

16 ]

−2

10

Etapa 4

𝑎22 ≠ 0

𝑘𝑖1 = −

𝑎𝑖2 𝑎22

𝑖 = 𝑛 − 1, … , 1

𝑎12

𝑘12 = −

𝑎22

=−

1 −

1 2

1 𝑘4 = [0 0

=2

1 2 ̃ ̃ 𝐴4 = 𝑘4 ∗ 𝐴3 = [0 1 0 0

2 1 0 0 1 0] ∗ [0 − 0 2 1 0 0 −2

−4

2 0 1 0] 0 1 2

0 0 28 1 16 ] = [0 − 0 16] 2 10 0 0 −2 10

Formando ecuaciones con la matriz 𝐴̃4 tenemos:

2𝑥1 = 28 1 − 𝑥2 = 16 2 −2𝑥3 = 10 Resolviendo las ecuaciones tenemos: 𝑥1 = 14 𝑥2 = −32 𝑥3 = −5

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

6. Resuelva el sistema:

a) Por eliminación de Gauss simple

1 ̃ 𝐴0 = [ 6 −3

1 −1 −3 2 2 2] 4 1 1

Etapa 1 𝑎

𝑘𝑖1 = − 𝑎 𝑖1

𝑎11 ≠ 0

𝑖 = 2, … , 𝑛

11

𝑎

6

𝑘21 = − 𝑎21 = − 1 = −6 11

𝑎

𝑘31 = − 𝑎31 = − 11

−3 1

=3

1 𝑘1 = [−6 3

1 0 0 1 1 −1 𝐴̃1 = 𝑘1 ∗ 𝐴̃0 = [−6 1 0] ∗ [ 6 2 2 3 0 1 −3 4 1

0 0 1 0] 0 1 −3 1 1 −1 −3 2 ] = [0 −4 8 20 ] 1 0 7 −2 −8

Etapa 2 𝑎

𝑘𝑖2 = − 𝑎 𝑖2

𝑎22 ≠ 0

𝑖 = 3, … , 𝑛

22

𝑎32

7

1 𝑘2 = [0 0

7

𝑘32 = − 𝑎 = − −4 = 4 22

1 0 0 1 𝐴̃2 = 𝑘2 ∗ 𝐴̃1 = [ 7 0 4

0 1 1 −1 −3 1 0 ] ∗ [0 −4 8 20 ] = [0 1 0 7 −2 −8 0

0 0 1 0] 7 1 4

1 −1 −3 −4 8 20 ] 0 12 27

Formando ecuaciones con la matriz 𝐴̃2 tenemos: 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −3 −4𝑥2 + 8𝑥3 = 20 12𝑥3 = 27 Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 4 1 𝑥2 = − 2 9 𝑥3 = 4

𝑆𝑜𝑙.

𝑥1 = −

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

b) Por eliminación de Gauss con pivoteo parcial

1 1 −1 −3 ̃ 𝐴0 = [ 6 2 2 2] −3 4 1 1

6 2 2 2 ′ ̃ 𝐴0 = [ 1 1 −1 −3] −3 4 1 1

Etapa 1 𝑎

𝑘 ′ 𝑖1 = − 𝑎 𝑖1

𝑎′11 ≠ 0

𝑖 = 2, … , 𝑛

11

𝑎′

1

𝑘′21 = − 𝑎′21 = − 6 11

𝑎′31

𝑘′31 = − 𝑎′ = − 11

−3 6

1

=2

1 1 𝑘′1 = [− 6 1 2

0 0 1 0] 0 1

1 1 − ̃ ̃ 𝐴′1 = 𝑘′1 ∗ 𝐴′0 = 6 1 [ 2

0

0

1

0

6 6 2 2 2 ∗ [ 1 1 −1 −3] = [0 −3 4 1 1 0 1]

0

2 2 2 2 4 10 − − ] 3 3 3 5 2 2

Etapa 2 6 ̃ 𝐴′1 = [0 0

2 3

2 4 −3

2 10 − 3]

5

2

2

2

6 ̃ ′1= [0 𝐴′ 0

2 5 2 3

2 2 2 2 ] 4 10 −3 − 3

𝑎𝑖2

𝑎′′22 ≠ 0

𝑘′′𝑖2 = − 𝑎

𝑖=

22

3, … , 𝑛 𝑎32

2 3

1 0 0 1 0] 𝑘′2 = [0 2 0 − 15 1

2

𝑘′′32 = − 𝑎 = − 5 = − 15 22

1 ̃ 2 = 𝑘′′2 ∗ 𝐴′′ ̃ 1 = [0 𝐴′′ 0

0 1 2 − 15

0 6 0 0 ]∗[ 1 0

2 2 5 2 2 4 − 3 3

2 6 2 0 10] = [ − 0 3

̃ 2 tenemos: Formando ecuaciones con la matriz𝐴′′ 6𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 2 5𝑥2 + 2𝑥3 = 2 8 18 − 𝑥3 = − 5 5 Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 4 1 𝑥2 = − 2 9 𝑥3 = 4 𝑥1 = −

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

c) Por el método de Gauss-Jordan

1 1 𝐴̃0 = [ 6 2 −3 4

−1 −3 2 2] 1 1

2 5

2 2 2 2 8 18] 0 − − 5 5

Etapa 1 𝑎

𝑘𝑖1 = − 𝑎 𝑖1

𝑎11 ≠ 0

𝑖 = 2, … , 𝑛

11

𝑎

6

𝑘21 = − 𝑎21 = − 1 = −6 11

𝑎31

𝑘31 = − 𝑎 = −

−3

11

1

1 𝑘1 = [−6 3

=3

1 0 0 1 1 𝐴̃1 = 𝑘1 ∗ 𝐴̃0 = [−6 1 0] ∗ [ 6 2 3 0 1 −3 4

0 0 1 0] 0 1

−1 −3 1 1 −1 −3 2 2 ] = [0 −4 8 20 ] 1 1 0 7 −2 10

Etapa 2 𝑎

𝑘𝑖2 = − 𝑎 𝑖2

𝑎22 ≠ 0

𝑖=

22

3, … , 𝑛 𝑎32

7

1 𝑘2 = [0 0

7

𝑘32 = − 𝑎 = − −4 = 4 22

1 0 0 1 𝐴̃2 = 𝑘2 ∗ 𝐴̃1 = [ 7 0 4

0 1 1 −1 −3 1 0 ] ∗ [0 −4 8 20 ] = [0 1 0 −7 −2 −8 0

0 0 1 0] 7 1 4

1 −1 −3 −4 8 20 ] 0 12 27

Etapa 3 𝑎

𝑘𝑖1 = − 𝑎 𝑖2

𝑎33 ≠ 0

𝑖=

33

𝑛, … , 1 𝑎

−1

1

𝑘13 = − 𝑎31 = − 12 = 12 33

𝑎

8

1 𝑘3 = [0

0

0

0

2

33

𝐴̃3 = 𝑘3 ∗ 𝐴̃2 =

0 [0

1 1 1 −1 −3 1 12 2 ∗ [0 −4 8 20 ] = [ 0 1 − 0 0 12 27 3 0 0 1 ] 0

1

0

−4 0 0 12

12 2

1 −3 ]

𝑘23 = − 𝑎31 = − 12 = − 3 1

1

3 4] 2 27

−

1

Etapa 4 𝑎

𝑘𝑖1 = − 𝑎 𝑖2

𝑎22 ≠ 0

𝑖 = 𝑛 − 1, … , 1

22

1

𝑎12

1

1 4 𝑘4 = [0 1 0 0

1

𝑘12 = − 𝑎 = − −4 = 4 22

1 𝐴̃4 = 𝑘4 ∗ 𝐴̃3 = [ 0 0

1 0 1 4 ]∗[ 1 0 0 0 1 0

1

0

−4 0 0 12

0 0] 1

3 1 0 0 4] = [ 2 0 −4 0 27 0 0 12

−

1 4] 2 27

−

Formando ecuaciones con la matriz 𝐴̃4 tenemos: 1 4 −4𝑥2 = 2 12𝑥3 = 27 1𝑥1 = −

Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 4 1 𝑥2 = − 2 9 𝑥3 = 4

𝑆𝑜𝑙.

𝑥1 = −

𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑜𝑙.

7. Resuelva los sistemas de ecuaciones por medio de la descomposición LU (Crout y

Doolittle).



MÉTODO DE CROUT

8 𝐴 = [−2 2

4 −1 5 1] −1 6

11 𝑏=[4] 7

𝐿11 𝐿 = [𝐿21 𝐿31

0 𝐿22 𝐿32

0 0 ] 𝐿33

𝐿11 = 𝑎11 𝐿 ∗ 𝑈 = [𝐿21 = 𝑎21 𝐿31 = 𝑎31

1 𝑈 = [0 0

𝑈12 1 0

𝐿11 𝑈12 = 𝑎12 𝐿21 𝑈12 + 𝐿22 = 𝑎22 𝐿31 𝑈12 + 𝐿32

𝑈13 𝑈23 ] 1 𝐿11 𝑈13 = 𝑎13 𝐿21 𝑈13 + 𝐿22 𝑈23 = 𝑎23 ] 𝐿31 𝑈13 + 𝐿32 𝑈23 + 𝐿33 = 𝑎33

Resolvemos las ecuaciones planteadas en 𝐿 ∗ 𝑈. 𝐿∗𝑈 𝐿11 = 8

8𝑈12 = 4 → 𝑈12 =

= 𝐿21 = −2 [ 𝐿31 = 2

1 2

8𝑈13 = −1 → 𝑈13 = −

1 −2 ( ) + 𝐿22 = 5 → 𝐿22 = 6 2 1 2 ( ) + 𝐿32= − 1 → 𝐿32= − 2 2

8 0 −2 6 𝐿=[ 2 −2

0 0]

13

1

1 2

1 1 −2 (− ) + 6𝑈23 = 1 → 𝑈23 = 8 8 1 1 13 2 (− ) + (−2) ( ) + 𝐿33 = 6 → 𝐿33 = ] 8 8 2 1

−8

𝑈 = [0 1

1

0 0

1

2

]

8

[𝐿] ∗ [𝑦] = [𝑏] 8 0 𝐿 = [−2 6 2 −2 𝑦1 =

0 𝑦1 11 0 ] ∗ [𝑦2 ] = [ 4 ] 13 𝑦3 7 2

11 8 11

𝑦2 =

11 4+2( ) 8

6

8

9

=8

𝑦 =[9] 8

1 𝑦3 =

11 8 13 2

9 8

7−2( )+2( )

[𝑈] ∗ [𝑥] = [𝑦]

=1

1 8

1

1 𝑈 = [0 0 𝑥1 =

1

11

−8 𝑥1 8 1 ] ∗ [𝑥1 ] = [ 9 ] 1 8 8 𝑥1 0 1 1 2

11

1

1

−2+8=1

8 9

1

𝑥2 = 8 − 8 = 1 𝑥3 = 1 1 𝑥 = [1] 1

Sol.



MÉTODO DE DOOLITTLE. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 8 4 −1 𝑎 𝑎 𝑎 𝐴 = [ 21 22 23 ] = [−2 5 1] 𝑎31 𝑎32 𝑎33 2 −1 6 1 𝐿 𝐿 = [ 21 𝐿31

0 1 𝐿32

0 0] 1

𝑈11 = 𝑎11 𝐿 𝐿 ∗ 𝑈 = [ 21 𝑈11 = 𝑎21 𝐿31 𝑈11 = 𝑎31

𝑈11 𝑈=[ 0 0

11 𝑏=[4] 7 𝑈12 𝑈22 0

𝑈12 = 𝑎12 𝐿21 𝑈12 + 𝑈22 = 𝑎22 𝐿31 𝑈12 + 𝐿32 𝑈22 = 𝑎32

𝑈13 𝑈23 ] 𝑈33 𝑈13 = 𝑎13 𝐿21 𝑈13 + 𝑈23 = 𝑎23 ] 𝐿31 𝑈13 + 𝐿32 𝑈23 + 𝑈33 = 𝑎33

Resolvemos las ecuaciones planteadas en 𝐿 ∗ 𝑈.

𝐿∗𝑈 𝑈11 = 8 =

𝑈12 = 4

8𝐿21 = −2 [ 8𝐿31 = 2

1 1 𝐿 = [− 4

1 4

0 1 1

1 1 3 (− ) (4) + 𝑈22 = 5 → 𝑈22 = 6 (− ) (−1) + 𝑈23 = 1 → 𝑈23 = 2 4 4 1 1 1 1 3 13 ( ) (4) + 6𝐿32= − 1 → 𝐿32= − ( ) (−1) + (− ) ( ) + 𝑈33 = 6 → 𝐿33 = ] 4 3 4 3 4 2 0 0]

−3 1

[𝐿] ∗ [𝑦] = [𝑏]

𝑈13 = −1

8 𝑈 = [0 0

4 −1 3 6 4 ] 13 0 2

1 1 𝐿 = [− 4

0 1

1

0 𝑦1 11 0] ∗ [𝑦2 ] = [ 4 ] 𝑦3 7 1

1

−3

4

𝑦1 = 11 11 1

𝑦2 = 4 + 4 (11) =

27

27

𝑦=[

4

4 ] 13 2

1

1 27

𝑦3 = 7 − 4 (11) + 3 ( 4 ) =

13 2

[𝑈] ∗ [𝑥] = [𝑦] 8 𝑈 = [0 0 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 =

4 −1 11 𝑥1 3 27 6 4 ] ∗ [𝑥1 ] = [ 4 ] 13 13 𝑥1 0 2 2

11+1(1)−4(1) 8 27 3 −( )(1) 4 4

6 13 2 13 2

=1

=1

1 𝑥 = [1] 1



=1

Sol.

MÉTODO DE CROUT.

2 𝐴 = [−3 −8

−6 −1 −1 7 ] 1 −2

−38 𝑏 = [−34] −20

𝐿11 𝐿 = [𝐿21 𝐿31

0 𝐿22 𝐿32

1 𝑈 = [0 0

0 0 ] 𝐿33

𝑈12 1 0

𝑈13 𝑈23 ] 1

𝐿11 = 𝑎11 𝐿 ∗ 𝑈 = [𝐿21 = 𝑎21 𝐿31 = 𝑎31

𝐿11 𝑈12 = 𝑎12 𝐿21 𝑈12 + 𝐿22 = 𝑎22 𝐿31 𝑘12 + 𝐿32

𝐿11 𝑈13 = 𝑎13 𝐿21 𝑈13 + 𝐿22 𝑈23 = 𝑎23 ] 𝐿31 𝑈13 + 𝐿32 𝑈23 + 𝐿33 = 𝑎33

Resolvemos las ecuaciones planteadas en 𝐿 ∗ 𝑈. 𝐿11 = 2 𝐿 ∗ 𝑈 = [𝐿21 𝐿31

82 = −6 → 𝑈12 = −3 ⤓ 1 = −3 −2 ( ) + 𝐿22 = −1 − 9 → 𝐿22 = −10 ⤓] 2 = −8 −3(−8) + 𝐿32= 1 − 24 → 𝐿32= − 23 ⤓ 1

2𝑈13 = −1 → 𝑈13 = − 2 1

11

11

373

−3 (− 2) − 10𝑈23 = 7 → 𝑈23 = − 20 1

−8 (− 2) + (−23) (− 20) + 𝐿33 = −2 → 𝐿33 = − 2 0 −3 −10

0 0 𝐿=[ 373] −8 −23 − 20

1 −3 𝑈=

0

1

[0

0

1 2 11 − 20 1 ] −

[𝐿] ∗ [𝑦] = [𝑏]

2 0 −3 −10 𝐿=[ −8 −23

0 𝑦1 −38 0 ] ∗ [𝑦2 ] = [−34] 373 𝑦3 − 20 −20

𝑦1 = −19 𝑦2 =

𝑦3 =

−34+3(−19) −10

−19 91 𝑦 = [ 10 ] −2

91

= 10

91 10

−20+23( )+8(−19) −373/20

= −2

[𝑈] ∗ [𝑥] = [𝑦] 1 𝑈 = [0 0

1

−3

−2 11]

1 0

− 20 1

−19 𝑥1 91 𝑥 ∗ [ 1 ] = [ 10 ] 𝑥1 −2

1

𝑥1 = −19 + 2 (−2) + 3(8) = 4 91

11

𝑥2 = 10 + 20 (−2) = 8

20

𝑥3 = −2 4 𝑥=[ 8] −2 

Sol.

MÉTODO DE DOOLITTLE

𝑎11 𝐴 = [𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 2 −6 −1 𝑎23 ] = [−3 −1 7 ] 𝑎33 −8 1 −2

1 𝐿 = [𝐿21 𝐿31

0 1 𝐿32

0 0] 1

𝑈11 𝑈=[ 0 0

𝑈11 = 𝑎11 𝐿 𝐿 ∗ 𝑈 = [ 21 𝑈11 = 𝑎21 𝐿31 𝑈11 = 𝑎31

−38 𝑏 = [−34] −20 𝑈12 𝑈22 0

𝑈13 𝑈23 ] 𝑈33

𝑈12 = 𝑎12 𝐿21 𝑈12 + 𝑈22 = 𝑎22 𝐿31 𝑈12 + 𝐿32 𝑈22 = 𝑎32

𝑈13 = 𝑎13 𝐿21 𝑈13 + 𝑈23 = 𝑎23 ] 𝐿31 𝑈13 + 𝐿32 𝑈23 + 𝑈33 = 𝑎33

Resolvemos las ecuaciones planteadas en 𝐿 ∗ 𝑈.

𝑈11 = 2

𝑈12 = −6

⤓

3 2𝐿21 = −3 (− ) (−6) + 𝑈22 = −1 → 𝑈22 = −10 ⤓ 𝐿∗𝑈 = 2 23 (−4)(−6) 2𝐿 = −8 − 10𝐿 1 → 𝐿 ⤓] 31 32= 32= [ 10 𝑈13 = −1 3

(− 2) (−1) + 𝑈23 = 7 → 𝑈23 = 23

11

11 2

(−4)(−1) + ( ) ( ) + 𝑈33 = −2 → 𝐿33 = − 10 2 1 3 𝐿 = [− 2 −4

0 1 23 10

0 0]

2 −6 𝑈 = [0 −10

1

0

[𝐿] ∗ [𝑦] = [𝑏] 1 3 − 𝐿=[ 2 −4 𝑦1 = −38

0 1 23 10

0 𝑦1 −38 0] ∗ [𝑦2 ] = [−34] 𝑦3 −20 1

0

−1 11

−

2 ] 373 20

373 20

−38 𝑦 = [−91 ] 373

3

𝑦2 = −34 + 2 (−38) = −91

10 23

𝑦3 = −20 − 10 (−91) + 4(−38) =

373 10

[𝑈] ∗ [𝑥] = [𝑦] 2 𝑈 = [0 0 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 =

−6 −10 0

−1

−38 𝑥1 2 ] ∗ [𝑥1 ] = [−91] 373 373 𝑥1 − 11

20

−38+1(−2)+6(8) 2 11 2

−91−( )(−2) −10 373 10 373 20

10

=4

=8

= −2

4 𝑥=[ 8] −2

Sol.

8. Las ecuaciones algebraicas lineales pueden surgir al resolver ecuaciones

diferenciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial siguiente proviene de un balance de calor para una barra larga y delgada (véase la figura):

Dónde T = temperatura (°C), x = distancia a lo largo de la barra (m), h’ = coeficiente de transferencia de calor entre la barra y el aire del ambiente (m-2), y Tα= temperatura del aire circundante (°C). Esta ecuación se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales por medio del uso de una aproximación en diferencias finitas divididas para la segunda derivada,

Donde Ti denota la temperatura en el nodo i. Esta aproximación se sustituye en la ecuación (1) y se obtiene:

Se puede plantear esta ecuación para cada uno de los nodos interiores de la barra, lo que resulta en un sistema tridiagonal de ecuaciones. Los nodos primero y último en los extremos de la barra están fijos por las condiciones de frontera. a) Para una barra de 10 m con Tα = 20, T(x = 0) = 40, T(x = 10) = 200 y h’= 0,02. Desarrolle una solución numérica, con el uso de una solución en diferencias finitas con cuatro nodos interiores según se muestra en la figura (∆x = 2 m). Método de Crout A=

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟏 (𝐣 = 𝟏)

𝐿11=𝑎11=-8 𝐿12=𝑎12=-3 𝐿13=𝑎13=2 𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟏 (𝐢 = 𝟏)

𝑎1𝑗=𝐿11 𝑈1𝑗

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟐 (𝐣 = 𝟐)

𝑎𝑖2=𝐿𝑖1 𝑈12 + 𝐿𝑖2 𝐿𝑖2 =𝑎𝑖2-𝐿𝑖1 𝑈12 𝐿22 =𝑎22-𝐿21 𝑈12=-1+3(-0.125)=-1.375 𝐿32 =𝑎32-𝐿31 𝑈12=-6-2(-0.125)=-5.75 𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟐 (𝐢 = 𝟐)

(𝑗 = 3)

𝐄𝐭𝐚𝐩𝐚 𝟑 (𝐣 = 𝟑)

(𝑖 = 3) 𝐿33 = 𝑎33 − 𝐿31 𝑈13 − 𝐿32 𝑈23=-1-2(0,25)+5.75(-5.6363)= -33.9090 Solución

Y=

9. Determinar las corrientes de malla en el circuito de la figura, utilice uno de los

métodos vistos.

Se utilizara el método de eliminación gaussiana simple Las ecuaciones serán: 𝑖4 = 10 𝐴

(1)

60𝑖1 − 40𝑖2 = 200

(2)

−40𝑖1 + 150𝑖2 − 100𝑖3 = 0

(3)

−100𝑖2 + 130𝑖3 − 30𝑖4 = −100𝑖2 + 130𝑖3 = 380

(4)

Todo será dividido para 10; la matriz aumentada será: 6 −4 0 20 𝐴 = (−4 15 −10 0 ) 0 −10 13 38 𝑘(𝑖, 1) = − ( 1 2 (3 0

𝐴(𝑖,1) 6

)

6 −4 0 20 𝐴 = (−4 15 −10 0 ) ∗ 0 −10 13 38

𝑖 = 2,3

6 0 0 −4 0 20 37 40 1 0) = (0 −10 3 ) 3 0 1 0 −10 13 38 𝑘(𝑖, 2) = − (

6 𝐴 = (0 0

𝐴(𝑖, 1) ) 37 3

𝑖=3

1 0 0 −4 0 20 37 40 1 0 ) ∗ (0 30 )= −10 3 3 1 0 −10 13 38 37

6

−4 0 20 37 40 −10 0 3 3 181 1806 0 0 ( 37 37 )

Se aplica el método para resolver una ecuación triangular superior:

𝑖3 =

1806 37 181 37

𝑖2 =

40 −(−10)(9.978) 3 37 3

𝑖1 =

Sol.

= 9.978 𝐴

Sol.

= 9.171 𝐴

20−(0)(9.978)−(−4)(9.171) 6

= 9.447 𝐴

Sol.

10. Use el método de Cholesky para resolver los sistemas lineales siguientes:

4 −2 0 A= [−2 4 −1] 0 −1 4

𝐿11 𝐿 [ 21 𝐿31

ETAPA 1 j=1, i=1 𝐿11 = √𝑎11 = √4 = 2 i=2,3 𝐿21 =

𝑎21 2 = − = −1 𝐿11 2

𝐿31 =

𝑎31 0 = =0 𝐿11 2

ETAPA 2 j=2, i=2 𝐿22 = √𝑎22 − 𝐿21 2 = √3 i=3 𝐿32 =

𝑎32 − 𝐿31 . 𝐿21 1 √3 =− =− 𝐿22 3 √3

ETAPA 3

𝐿33 = √𝑎33 − (𝐿31 2 + 𝐿32 2 ) =

Ly=b

√33 3

0 𝐿22 𝐿32

𝐿11 0 0 ].[ 0 𝐿33 0

𝐿12 𝐿22 0

𝐿13 𝐿23 ] 𝐿33

2 −1

0 √3 √3 − 3

[0

0 𝑦1 0 0 . [𝑦2] = [0.5] √33 𝑦3 1 3 ]

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: Y1=0 √3

Y2= 6 Y3=

7√33 66

Ahora utilizamos la otra matriz, U o lo que es lo mismo 𝐿𝑇 : 𝐿𝑇 𝑥 = 𝑦

2 −1 0

√3

[0

0

0 0 √3 𝑥1 √3 − 3 . [𝑥2] = 6 7√33 √33 𝑥3 [ 66 ] 3 ]

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: X1=𝟐𝟐

𝟑

Sol.

X2=𝟏𝟏

𝟑

Sol.

𝟕

Sol.

X3=𝟐𝟐

5 1

2 −1

1 7

0

3

2 0

5

1

−1 3

1

8

𝐿11

0

0

0

𝐿11

𝐿12

𝐿13

𝐿14

𝐿21 𝐿22

0

0

0

𝐿22

𝐿23

𝐿24

𝐿31 𝐿32

𝐿33

0

0

0

𝐿33

𝐿34

𝐿41 𝐿42

𝐿43

𝐿44

0

0

0

𝐿44

.

ETAPA 1 j=1, i=1 𝐿11 = √𝑎11 = √5 i=2,3,4 𝐿21 =

𝑎21 √5 = 𝐿11 5

𝐿31 =

𝑎31 2√5 = 𝐿11 5

𝐿41 =

𝑎41 √5 =− 𝐿11 5

ETAPA 2 j=2, i=2 𝐿22 = √𝑎22 − 𝐿21 2 =

√170 5

i=3,4 𝐿32 =

𝑎32 − 𝐿31 . 𝐿21 √170 =− 𝐿22 85

𝐿42 =

𝑎42 − 𝐿41 . 𝐿21 8√170 =− 𝐿22 85

ETAPA 3 j=3, i=3 𝐿33 = √𝑎33 − (𝐿31 2 + 𝐿32 2 ) = 2.043 i=4 𝐿43 =

𝑎43 − (𝐿41 . 𝐿31 + 𝐿42 . 𝐿32 ) 3000 = 𝐿33 3859

𝐿44 = √𝑎44 − (𝐿41 2 + 𝐿42 2 + 𝐿43 2 ) = 2.385 Ly=b

√5

0

0

√5 5

√170 5

0

2√5

−

5

−

0

√170 85

2.043

8√170

3000

85

3859

√5 5 √5

Y1= 5

Y2=0.6903

𝑌1

1

0

𝑌2

2

0

𝑌3

2.385

3

=

𝑌4

Y3=1.3241

4

Y4=1.3113

𝐿𝑇 𝑥 = 𝑦 2√5

√5

√5 5

0

√170 5

0

0

0

5

0

−

√170 85

2.043 0

−

√5 5

8√170 85 3000 3859

2.385

√5 5

𝑋1 .

𝑋2 𝑋3 𝑋4

0.6903 =

1.3241 1.3113

Resolviendo las ecuaciones, tenemos: X1=0.064

Sol.

X2=0.102

Sol.

X3=0.493

Sol.

X4=0.408

Sol.

11. Use el método de Crout y Doolittle para resolver los sistemas lineales siguientes:

a)



MÉTODO DE CROUT

4 = [2 3

𝑙11 1 −1 5 0 ] = [ 𝑙21 𝑙31 8 9

ETAPA 1 𝑙11 = 𝑎11 = 4 𝑙21 = 𝑎21 = 2 𝑙31 = 𝑎31 = 3 𝑈𝑖𝑖 = 1 𝑈12 = 𝑈13 =

𝑎12 𝑙11

0 𝑙22 𝑙32

0 𝑈11 0 ]𝑥[ 0 0 𝑙33

𝑈12 𝑈22 0

𝑈13 8 𝑈23 ] 𝐵 = [5] 𝑈33 0 ETAPA 2 L) j = 2 ; i = 2,3 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21 𝑈12 = 4.5 𝑙32 = 𝑎32 − 𝑙31 𝑈13 = 7.25 𝑈𝑖𝑖 = 1 j=3 ; i=2

j=1 ; i=1,2,3

j=2,3 ; i=1

1

=4

𝑈23 =

𝑎13 1 =− 𝑙11 4

ETAPA 3 161 L) 𝑙33 = 𝑎33 − (𝑙31 𝑈13 + 𝑙32 𝑈23 ) = 18 Ly = b 𝑦1 4 0 0 8 0 ] 𝑥 [𝑦2 ] = [5] [2 4.5 𝑦3 3 7.25 161/18 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: 2 137 𝑦1 = 2 𝑦2 = 𝑦3 = − 9 161 Ux = b 𝑥1 2 1 1/4 −1/4 𝑥 [0 ] 1 1/9 ] 𝑥 [ 2 ] = [ 2/9 𝑥 −137/161 3 0 0 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: 𝑥1 = 275/161 𝑥2 = 51/161 𝑥3 = −137/161 

Sol.

MÉTODO DE DOOLITTLE

𝑎11 𝑎 𝐴 = [ 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 4 1 𝑎23 ] = [2 5 𝑎33 3 8

−1 0] 9

8 𝑏 = [5] 0

𝑎12 −𝑙21 𝑈13 𝑙22

1

=9

1 𝐿 = [𝐿21 𝐿31

0 1 𝐿32

𝑈11 𝑈=[ 0 0

0 0] 1

𝑈11 = 𝑎11 𝐿 ∗ 𝑈 = [𝐿21 𝑈11 = 𝑎21 𝐿31 𝑈11 = 𝑎31

𝑈12 𝑈22 0

𝑈12 = 𝑎12 𝐿21 𝑈12 + 𝑈22 = 𝑎22 𝐿31 𝑈12 + 𝐿32 𝑈22 = 𝑎32

𝑈13 𝑈23 ] 𝑈33 𝑈13 = 𝑎13 𝐿21 𝑈13 + 𝑈23 = 𝑎23 ] 𝐿31 𝑈13 + 𝐿32 𝑈23 + 𝑈33 = 𝑎33

Resolvemos las ecuaciones planteadas en 𝐿 ∗ 𝑈.

𝑈11 = 4 1 𝐿 = 21 𝐿∗𝑈 = 2 3 [ 𝐿31 = 4

𝑈12 = 1 ⤓ 9 9 𝑈22 = → 𝑈22 = ⤓ 2 2 29 29 𝐿32= → 𝐿32= ⤓] 18 18 𝑈13 = −1 1

𝑈23 = 2 𝑈33 = 1 1

𝐿 = [2

0 1

3

23

4

18

0 0]

4 1 9 𝑈 = [0 2

1

0 0

−1 1

2 ] 161 18

[𝐿] ∗ [𝑦] = [𝑏] 1 1

𝐿 = [2

0 1

3

23

4

18

0 𝑦1 8 0] ∗ [𝑦2 ] = [5] 𝑦3 0 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: 𝑦1 = 8 8 𝑦 = [ 1137] − 18

𝑦2 = 1 𝑦3 = −

137 18

[𝑈] ∗ [𝑥] = [𝑦]

161 18

4 𝑈 = [0 0

1 −1 9

2

0

8 𝑥1 2 ] ∗ [𝑥1 ] = [ 1 ] 137 161 𝑥1 − 18 1

18

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: 275 161 51

𝑥=

Sol.

161 137

[− 161]



MÉTODO DE CROUT 4

5

2

−1

5

8

7

6

3

7 −4 −2

−1 6 − 2

𝐿=

5

𝐿11

0

0

0

𝑈11

𝐿21

𝐿22

0

0

0

𝑈22

𝑈23

𝑈24

𝐿31

𝐿32

𝐿33

0

0

0

𝑈33

𝑈34

𝐿41

𝐿42

𝐿43

𝐿44

0

𝑈44

ETAPA 1 𝑙11 = 𝑎11 = 4 𝑙21 = 𝑎21 = 5

j=1 ; i=1,2,3

𝑙31 = 𝑎31 = 3 𝑙41 = 𝑎41 = −1 𝑈𝑖𝑖 = 1 𝑈12 = 𝑈13 = 𝑈14

𝑎12 𝑙11 𝑎13 𝑙11

j=2,3 ; i=1 5

=4 1

=2

𝑎14 1 = =− 𝑙11 4

𝑈=

𝑈12

0

𝑈13

0

𝑈14

ETAPA 2 L) j = 2 ; i = 2,3 7 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21 𝑈12 = 4 13 𝑙32 = 𝑎32 − 𝑙31 𝑈12 = 4 29 𝑙42 = 𝑎42 − 𝑙41 𝑈12 = 4 𝑈𝑖𝑖 = 1 𝑈23 = 𝑈24 =

j=3 ; i=2

𝑎23 −𝑙21 𝑈13 𝑙22 𝑎24 −𝑙21 𝑈14 𝑙22

= =

18 7 29 7

ETAPA 3 j=3 ; i=3,..,4 97 7 141 𝑙43 = 𝑎43 − (𝑙41 𝑈13 + 𝑙42 𝑈23 ) = − 7 i=3 ; j=4 𝑙33 = 𝑎33 − (𝑙31 𝑈13 + 𝑙32 𝑈23 ) = −

𝑎34 − (𝑙31 . 𝑈14+ 𝑙32 . 𝑈24 ) 103 = 𝑙22 97 ETAPA 4 j=4 ; i=4 𝑈34 =

𝑙44 = 𝑎44 − (𝑙41 𝑈14 + 𝑙42 𝑈24 + 𝑙43 𝑈34 ) = −

378 97

Ly = b 4

0

0

0

0

0

𝑦1

5

7

4

4

3

13

4

7

1

29

141

378

7

7

97

−4

−

97 7

x

0

𝑦2

3 =

2

𝑦3

0

𝑦4

1

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: 3 −4

𝑦 = −1 7 − 97 −

122 63

Ux = b

1

5

1

4

2

−

1 4

18

29

7

7

0

1

0

0

1

0

0

0

103

3

𝑥1 x

𝑥2

4

=

-1 7

97

𝑥3

− 97

1

𝑥4

−

122 63

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

− 𝑥=

63 121

Sol.

63 125

− 

197

63 122 63

MÉTODO DE DOOLITTLE 4

5

2

−1

5

8

7

6

3

7 −4 −2

−1

6 −2

𝐿=

5

𝐿11

0

0

0

𝑈11

𝐿21

𝐿22

0

0

0

𝑈22

𝑈23

𝑈24

𝐿31

𝐿32

𝐿33

0

0

0

𝑈33

𝑈34

𝐿41

𝐿42

𝐿43

𝐿44

0

𝑈44

ETAPA 1 𝑈11 = 𝑎11 = 4 𝑈12 = 𝑎21 = 5

j=1 ; i=1,2,3

𝑈13 = 𝑎31 = 2 𝑈14 = 𝑎41 = −1 𝐿𝑖𝑖 = 1

j=2,3 ; i=1

𝑎21

5

𝐿21 = 𝑈 = 4 11 𝑎31

3

𝐿31 = 𝑈 = 4 11

𝐿41

𝑎41 1 = =− 𝑈11 4

ETAPA 3 i=3 ; j=3,..,4

𝑈=

𝑈12

0

𝑈13

0

𝑈14

ETAPA 2 L) i = 2 ; j = 2,3 7 𝑈22 = 𝑎22 − 𝑙21 𝑈12 = 4 9 𝑈23 = 𝑎23 − 𝑙21 𝑈13 = 2 29 𝑈24 = 𝑎24 − 𝑙21 𝑈14 = 4 𝐿𝑖𝑖 = 1 𝑙32 = 𝐿42 =

i=3 ; j=2

𝑎32 −𝑙31 𝑈12 𝑈22 𝑎42 −𝑙41 𝑈12 𝑈22

= =

13 7 29 7

97 7 103 𝑙34 = 𝑎34 − (𝑙31 𝑈14 + 𝑙32 𝑈24 ) = − 7 j=3 ; i=4 𝑈33 = 𝑎33 − (𝑙31 𝑈13 + 𝑙32 𝑈23 ) = −

𝑎43 − (𝑙41 . 𝑈13+ 𝑙42 . 𝑈23 ) 141 = 𝑈33 97 ETAPA 4 i=4 ; j=4 𝐿43 =

𝑈44 = 𝑎44 − (𝑙41 𝑈14 + 𝑙42 𝑈24 + 𝑙43 𝑈34 ) = −

378 97

Ly = b 1 5 4

0

0

0

1

0

0

1

0

𝑦3

0

1

𝑦4

1

3

13

4

7

1

29

141

7

7

−4

𝑦1 x

𝑦2

3 =

2

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: 3 7

𝑦 = −4 1 732 97

Ux = b 4 0 0 0

5

2

−1

7

9

29

4

2

4

0 − 0

97 7

0

− −

103 7 378 97

𝑥1 x

𝑥2 𝑥3 𝑥4

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: − 𝑥=

197 63 121 63 125

−

63 122 63

Sol.

3 =

−

7 4

1 732 97

12. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de

Gauss-Seidel y de Jacobi:

a) 

MÉTODO DE JACOBI 3+𝑥2+𝑥3 𝑥1 = 5 𝑥2 = 𝑥3 =

0+𝑥1+2𝑥3 1 4−3𝑥1+𝑥2 2

X 1k 0 0.6 1 1.74 1.8 2.27

k 0 1 2 3 4 5

X 2k 0 0 4.6 3.2 7.34 3.78

X 3k 0 2 1.1 2.8 0.99 2.97

||xk – xk-1||