• Author / Uploaded
• Manuel Tutacha ™

Citation preview

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIER´ IA FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA LUIS CARLOS BRAVO MELO

´ TALLER REPASO SOLUCION 1. ¿C´omo se construye y/o determina un modelo de probabilidad? 2. De una caja que contiene 4 monedas de $100 y 2 de $50, se seleccionan tres de ellas al azar sin reemplazo. Determine la distribuci´on de probabilidad y la distribuci´on de probabilidad acumulada para el total T de las tres monedas. Soluci´ on: T : Total de las tres monedas, A: Moneda de $100, B: Moneda de $50 Monedas AAA AAB ABA BAA ABB BAB BBA BBB t f (t)

150 1/8

t 300 250 250 250 200 200 200 150 200 3/8

250 3/8

300 1/8

3. De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes, se seleccionan tres de ellas en sucesi´ on con reemplazo. Encuentre la distribuci´on de probabilidad y la distribuci´on de probabilidad acumulada para el n´ umero de pelotas verdes. Soluci´ on: X: n´ umero de pelotas verdes, V : pelota verde, N : pelota negra Monedas VVV VVN VNV NVV VNN NVN NNV NNN x f (t)

0 1/8

x 3 2 2 2 1 1 1 0 1 3/8

2 3/8

3 1/8

4. Una variable aleatoria X continua tiene funci´on de densidad:   1 , si 2 < x < 3 f (x) = 2 0, en otro caso. Encuentre a. P (2 < x < 2, 5)

c. P (x ≤ 1, 6)

b. F (x)

Soluci´ on: a. P (2 < x < 2, 5) = 0, 25

b. F (x) =

x −1 2

c. P (x ≤ 1, 6) = 0

5. Una variable aleatoria Y continua tiene funci´on de densidad:   2(1 + y) , si 2 < y < 5 f (y) = 27 0, en otro caso. Encuentre a. F (y)

b. P (y < 4)

c. P (3 < y < 4)

Soluci´ on: a. F (y) =

y 2 + 2y − 8 27

b. P (y < 4) =

16 27

c. P (3 < y < 4) =

1 3

6. Por invertir en unas acciones en particular, una persona puede obtener ganancias de $4.000 con una probabilidad de 0,3; o una p´erdida de $1.000con una probabilidad de 0.7. ¿Cu´ al es la ganancia que espera esta persona? Soluci´ on: Esta persona espera una ganancia de $500. 7. Suponga que un distribuidor de joyas antiguas est´a interesado en comprar un collar de oro para el cual las probabilidades son 0,22; 0,36; 0,28 y 0,14 respectivamente, de que la poseedora estar´ıa dispuesta a venderla en $250.000, en $150.000, al costo ($100.000) o con una p´erdida de $150.000. ¿Cu´ al es la utilidad que ella espera? Soluci´ on: Espera una utilidad de $116.000 8. Si la utilidad de un distribuidor, en unidades de $1.000, en un nuevo autom´ovil puede considerarse como una variable aleatoria X con funci´on de densidad: ( 2(1 − x), si 0 < x < 1 f (x) = 0, en otro caso. Encuentre la utilidad promedio por autom´ovil. Soluci´ on: La utilidad promedio del autom´ovil es $333.3.

9. Si X representa el resultado cuando se lanza un dado balanceado. Encuentre la esperanza y la varianza de la variable g(X) = 3X 2 + 4 Soluci´ on: E[g(X)] =

99 2

V ar[g(X)] =

5369 4

10. Una variable aleatoria continua Z tiene funci´on de densidad: ( e−z , si z > 0, f (z) = 0, en otro caso. Encuentre el valor esperado y la varianza de h(Z) = 2Z − 3. Soluci´ on: E[h(Z)] = −1

V ar[h(Z)] = 4

11. La funci´ on de distribuci´ on para una variable aleatoria continua X es: ( 1 − e−2t , si t ≥ 0, F (t) = 0, si t < 0. Halle la funci´ on de densidad de f de X y P (−3 < X ≤ 4). Soluci´ on: ( 2e−2t , f (t) = 0,

si t > 0, si t < 0.

P (−3 < X ≤ 4) = 0, 9996. 12. La probabilidad de que una cierta clase de componente pase con ´exito una determinada prueba de impacto es 3/4. Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes cuatro componentes que se prueben pasen la prueba. Soluci´ on: Binomial. P (X = 2) = 0, 2109 13. Se sabe que 10 es el n´ umero promedio de camiones tanque de aceite que llegan por d´ıa a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones tanque en un d´ıa. ¿Cu´al es la probabilidad de que en un d´ıa determinado tengan que regresar los camiones tanque? Soluci´ on: Poisson. P (X > 15) = 0, 00487. 14. Una cierta ´ area de la ciudad XX es afectada en promedio por 6 huracanes al a˜ no. Encuentre la probabilidad de que en un determinado a˜ no esta ´area sea afectada por: a. menos de 4 huracanes. b. cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes. Soluci´ on: Poisson. a. P (X < 4) = 0, 15.

b. P (6 ≤ X ≤ 8) = 0, 4. 15. Al probar una cierta clase de neum´atico para cami´on en un terreno escabroso se encontr´ o que el 25 % de los camiones terminaban la prueba con los neum´aticos da˜ nados. De los siguientes 6 camiones probados, encuentre la probabilidad de que: a. de 3 a 6 tengan los neum´aticos da˜ nados. b. menos de 2 tengan los neum´aticos da˜ nados. c. m´ as de 5 tengan los neum´aticos da˜ nados. Soluci´ on: Binomial. a. P (3 ≤ X ≤ 6) = 0, 166. b. P (X < 2) = 0, 54. c. P (X > 5) = 0, 002. 16. Muestre que la distribuci´ on de Poisson efectivamente es una distribuci´on de probabilidad. 17. Cierta compa˜ n´ıa electr´ onica produce 15.000 unidades de un tipo especial de tubo al vac´ıo. Se ha observado que en promedio 3 tubos de 300 son defectuosos. La compa˜ n´ıa empaca los tubos en cajas de 600. ¿Cu´al es la probabilidad de que en una caja de 600 tubos haya a. 5 tubos defectuosos? b. por lo menos 3 defectuosos? c. a lo sumo 1 defectuoso? Soluci´ on: Aproximaci´ on de la Binomial a la Poisson a. P (X = 5) ≈ 0, 161. b. P (X ≥ 3) ≈ 0, 938. c. P (X ≤ 1) ≈ 0, 017. 18. Una compa˜ n´ıa fabrica focos cuya duraci´on es normalmente distribuida con una media de 800 horas y una desviaci´ on est´ andar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco dure entre las 778 y 834 horas de uso. Soluci´ on: P (778 ≤ X ≤ 834) = 0, 5111. 19. En una empresa las edades de los trabajadores se distribuye normalmente con media 50 a˜ nos y desviaci´ on est´ andar es de 5 a˜ nos. a. ¿Qu´e porcentaje de los trabajadores tiene entre 50 y 52,5 a˜ nos? b. ¿Cu´ al es la probabilidad que un trabajador cualquiera no sea mayor de 45 a˜ nos? c. ¿Cu´ al es la probabilidad que un trabajador tenga entre 41 y 58 a˜ nos? d. El 20 % de los trabajadores est´an bajo cierta edad ¿Cu´al es esa edad? Soluci´ on: a. P (50 < X < 52, 5) = 0, 1915. b. P (X ≤ 45) = 0, 1587.

c. P (41 < X < 58) = 0, 9093. d. 45,75 a˜ nos. 20. Un procesador de alimentos envasa caf´e en peque˜ nos tarros, los pesos de los tarros est´ an normalmente distribuidos con una desviaci´on est´andar de 0,3 onzas. Si el 5 % de los tarros pesa m´ as de 12,492 onzas. ¿Cu´al es el promedio de los tarros? Soluci´ on: El promedio de los tarros es 12 onzas. 21. Muestre que la distribuci´ on normal est´andar cumple con las condiciones de distribuci´ on de densidad. 22. El tiempo de atenci´ on al cliente en un servicio de informaci´on de una biblioteca sigue una distribuci´ on exponencial, con un tiempo de servicio medio de 5 minutos. ¿Cu´al es la probabilidad de que una consulta de un cliente dure m´as de 10 minutos? Soluci´ on: P (X > 10) = 0, 135335. 23. En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atendido en cajas al pagar la mercanc´ıa es de 7 minutos. Determine la probabilidad de que: a. Un cliente espere menos de 4 minutos. b. Un cliente espere mas de 9 minutos. 24. Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviaci´ on est´ andar de 90. ¿Cu´al es el percentil 25 de las puntuaciones? Soluci´ on: P (Z ≤ z) = 0, 25 ⇒ z = −0.67. Luego, como z=

x−µ ⇒ x ≈ 420. σ

Donde X representa las puntuaciones. As´ı, el percentil 25 de las puntuaciones es 420.