• Author / Uploaded
• Mauricio Acosta

Citation preview

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

RECOMENDACIONES A TENER EN CUENTA PARA LEER Y TRABAJAR

PRESTAR ATENCIÓN

DEFINICIÓN IMPORTANTE

PARA RESOLVER

PARA EJERCITAR

Taller 2 - Página 1

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ¡Bienvenidas/os al Taller 2 presencial! Objetivos del taller 2

•

Resolver

situaciones

problemáticas

que

involucren

triángulos

rectángulos y oblicuángulos, lo que implica el uso de las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras para su resolución. Lo primero…. Es presentarles a la Trigonometría: Se llama Trigonometría a la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Posee dos ramas que las podemos expresar por medio del siguiente esquema:

Las dos ramas fundamentales

TRIGONOMETRÍA PLANA

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

¿Por qué es importante que estudie y aprenda trigonometría? Algunas cuestiones que les puede interesar. Taller 2 - Página 2

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Aplicaciones de la trigonometría se utilizan en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. La trigonometría se aplica en casi todas las ramas de la ingeniería y de la arquitectura, sobre todo en la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.

Nosotros estudiaremos dentro de la geometría plana, la solución de triángulos. También es importante que recuerden que existen diferentes tipos de triángulos: Rectángulos y Oblicuángulos. Taller 2 - Página 3

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

La pregunta ideal sería…..¿Qué diferencia existe entre uno y otro? Pues bien, para que nos quede bien en claro es necesario recurrir a sus respectivas definiciones:

Triángulo rectángulo: se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90° grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado Teorema de Pitágoras (del cual nos ocuparemos más adelante) ya conocido por los babilonios.

Hipotenusa Catetos

•Es uno de los lados del triángulo •Caraterística: es el lado que más longitud tiene. •Son los otros dos lados del triángulo •Caraterística: Pueden o no ser iguales.

Si nos queda claro hasta aquí, estamos en condiciones de definir el triángulo oblicuángulo: Triángulo Oblicuángulo: es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos (de las que nos ocuparemos más adelante).

Taller 2 - Página 4

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

En ambos triángulos se cumple el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. ¿Recuerdan lo que verifica?....”En todo triángulo la suma de los ángulos interiores suma 180°” Otra pregunta que estaría haciendo es ¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono pueden dividirse en triángulos por medio de rectas radiando desde un vértice hacia los otros. Hasta aquí, ¿todo claro? Pues bien, necesitamos incorporar otra herramienta de suma necesidad para la solución de los triángulos. El concepto de ángulo y con qué herramienta los medimos. Los ángulos son generados por una semirrecta móvil al girar alrededor de su origen, que es un punto fijo del plano. Sean O (punto fijo) y OX semirrecta móvil, la que al pasar de su posición inicial a otra OX’, describe el ángulo XOX’

X`



 O

X

X`

X

Para medir los ángulos existen tres sistemas; de los cuales son muy utilizados dos de ello;. recordando lo dado en el taller anterior: Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. Los tres sistemas de medidas angular son: •

Sistema sexagesimal

•

Sistema Centesimal

•

Sistema Circular Taller 2 - Página 5

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Cada uno de ellos tiene su unidad de medida. •

Sistema sexagesimal: Grados sexagesimales

•

Sistema Centesimal: Grados centesimales

•

Sistema Circular: Radianes

El sistema que vamos a utilizar en la resolución de triángulos es el SISTEMA SEXAGESIMAL, tiene una unidad de medida y submúltiplos: Unidad de medida: grado sexagesimal, que es la noventa ava parte del ángulo recto. Submúltiplos: minuto sexagesimal y segundo sexagesimal.

Con toda esta información presentada, podemos pasar a realizar algunas actividades. Les proponemos que lean los siguientes textos y realicen las actividades propuestas. Para resolverlas, organícense en grupos de no más de tres estudiantes. Actividad 1: Las diferentes rampas de patineta Para construir una rampa para patineta se hace una base de madera con un tablón de madera, con medidas que forman un ángulo recto, que llamaremos a y b.

Taller 2 - Página 6

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

En la colonia de Martín, quieren construir una rampa de patineta e hicieron la siguiente tabla para poder elegir cuál es la mejor.

Si la rampa oficial para andar en patineta tiene un ángulo de inclinación de 26° exactamente y el largo mide 6 m. ¿Cuánto tienen que medir a y b para que la rampa tenga esa inclinación? ¿Pudieron observar que se han realizado relaciones por medio de un cociente entre los diferentes lados del triángulo? Es importante que rescaten este concepto, ya que nos da pie para definir las razones trigonométricas.

Taller 2 - Página 7

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Las razones trigonométricas

se definen como los cocientes de dos de los

lados de un triángulo rectángulo. Las principales funciones trigonométricas son:

Actividad

2:

Te

presentamos

algunos

problemas

con

triángulos rectángulos Grafiquen para identificar el triángulo rectángulo y sus elementos, planteen y resuelvan la ecuación que corresponde a cada situación. Para resolver un problema de triángulos rectángulos, debemos tener en cuenta que siempre tendremos tres datos y deberemos encontrar los otros que indudablemente serán nuestras incógnitas. Podremos tener varias alternativas:

Taller 2 - Página 8

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

daots del triángulo rect+angulo

Dos catetos Un cateto y la hipotenusa Un ángulo que no sea el de 90° y la hipotenusa Un ángulo que no sea el de 90° y un cateto

El ángulo de 90° siempre está, es lo que generalmente llamamos el dato implícito. Según el análisis que realicemos de los datos con los que contamos, podremos proceder a resolver el triángulo. Un consejo más, siempre ocupar los datos brindados, ya que si calculamos una de las instancias mal y luego ocupamos ese resultado todo el resto del ejercicio estará mal. ¿Cómo procedemos a resolver un problema de triángulo rectángulo?, pues bien, es importante destacar que según los datos con los que contamos tendremos diferentes caminos a recorrer: Al tener tres datos siempre presentes, también podremos utilizar: •

El teorema del seno

•

El teorema del coseno.

Taller 2 - Página 9

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Teorema del seno: En trigonometría plana, el teorema de los senos o también conocido como ley de los senos es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

Teorema del coseno: El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema

del

coseno es

una

generalización

del teorema de

Pitágoras para cualquier triángulo.

Taller 2 - Página 10

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Antes de resolver el problema, recuerden analizar los datos brindados para saber qué camino tomar, de ello depende el éxito de nuestra respuesta.

¡¡¡Hasta

aquí……toda

la

información

que

necesitamos!!!

Ahora…a

entrenarnos.

Competencias a practicar: Usar modelos matemáticos y pensamiento crítico.

Problema 1: Operación rescate Unos rescatistas deben ayudar a salir a unos excursionistas que han quedado atrapados en el fondo de un barranco de 35 m de profundidad. Cuentan con una cuerda y saben que, para poder colgar una canastilla con seguridad, deben tener un ángulo con la vertical de 40°. ¿Qué largo debe tener la cuerda para llegar en canastilla hasta los excursionistas?

Les aconsejamos que lean con detenimiento la siguiente definición, en la mayoría de las veces que se intenta resolver un problema donde es necesario tener en claro cuál es el ángulo de elevación y cuál es el de depresión, existe mucha confusión.

Taller 2 - Página 11

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Un ángulo de elevación es el que se mide desde la horizontal hacia arriba y un ángulo de depresión es el que se mide desde la horizontal hacia abajo. Se puede presentar el siguiente esquema:

Problema 2: Desde lo alto de un edificio de 300 metros de altura se observan dos personas. ¿Cuál es la distancia entre ellas dos si sus ángulos de depresión medidos desde la punta del edificio son 42° y 27°, respectivamente? Problema 3: Estás situado en medio de dos árboles a una distancia de 5 metros de cada uno. Los ángulos de elevación son 20° y 80°, y la altura del árbol más pequeño es de 10 metros. ¿Cuánto mide la altura del árbol grande? Actividad 3: Retomamos el Problema 8 del pre taller En este gráfico se quiere calcular la longitud del diámetro de la semicircunferencia y la amplitud de los ángulos 𝛼 y 𝛽, sabiendo que ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚 y 𝛽1 = 55°. Anotá tus estrategias de cálculo y las propiedades que utilices.

Taller 2 - Página 12

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS Les recomendamos consultar en el apunte teórico el teorema del seno y del coseno, aunque también se los presentamos precedentemente, revisen estos conceptos que serán de suma utilidad para la solución de estos problemas. Para resolver un problema que involucra a los triángulos oblicuángulos también siempre se nos presentarán tres datos:

Datos triángulos oblicuángulos

Dos lados y el ángulo contenido Tres lados tres ángulos Dos lados y el ángulo opuesto a ellos

Antes de resolver el problema, recuerden analizar los datos brindados para saber qué camino tomar, de ello depende el éxito de nuestra respuesta.

Taller 2 - Página 13

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

Problema 1: Una torre inclinada 10° respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25°, calculá la longitud del cable y la altura de la torre.

Problema 2: Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas que forman entre si un ángulo de 80º. Si las velocidades son 60 km/h y 100 km/h, ¿qué distancia los separa después de una hora y media de recorrido? Problema 3: Se desea construir una autovía para unir en forma directa las localidades de Esperanza y Buena Vista, para eso se realiza un puente sobre la laguna Azul. En la actualidad, se llega a la ciudad de Buena Vista siguiendo el trayecto Esperanza – Costa Verde - Buena Vista. En el gráfico se muestran los datos existentes. Nos preguntamos, ¿en cuántos kilómetros se acortará el viaje con la nueva red vial?

Taller 2 - Página 14

Seminario Universitario Módulo de Matemática y Física

PARA SEGUIR PRACTICANDO Problema 4: Silvina se encuentra en la ventana de su departamento que está situada a 9 m del suelo y observa la parte inferior del edificio con un ángulo de depresión de 40º. ¿Cuál es el ancho de la calle que divide el edificio donde vive Silvina y el edificio de enfrente? Problema 5: Una persona observa un avión y un barco desde la cúpula de un faro, tal como muestra la figura. ¿Cuál es la distancia que hay del barco al avión y del barco al observador?

Taller 2 - Página 15