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Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación: Sentido Antihorario

Sentido Horario

Vértice O

Lado Final

Lado Inicial



 Lado Inicial

O

Lado Final

Vértice NOTA: 

Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo.  es positivo



Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo.  es negativo

OBSERVACIONES 1. Ángulo de una vuelta Es aquel ángulo generado, cuando la posición inicial y final coinciden por primera vez, luego de cierta rotación lo denotaremos como: 1v.

1 V 2

1v 3 V 4

1 V 4

-1-

2. Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría.

O Medida del ángulo trigonométrico 

< -; + >

3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido.

G

B Cambio de Sentido Cambio de Signo 



O

O

-

A

A

PRACTICA DE ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 1.

Señale la relación correcta entre

 y .

5.

a)  +  = 90º b)  -  = 90º c)  +  = -90º d)  +  = 0 e)  -  = 90º 2.

a) 15º b) 35º c) 55º d) 30º e) 60º

  6.

Del gráfico determine x.

a) 10º 10º - x x + 50º

Calcular “x” b) -100 c) -200 d) -180 e) -90

7.

8.

 a) 90º  2  b) 90º  2

 2  d) 180º  2

x

10º + x



 2

-2-

20º+x

es bisectriz. A C

(5x-3)º O

Hallar la relación entre a)  -  -  = 90º b)  +  -  = 90º c)  -  +  = 90º  d)  -  = 90º 2   e) -= 90º 2 2

-x

c) 180º 

50º - 2x

Del gráfico hallar “x”; si OC a) 2 b) 4 c) 6 d) 12 e) 18

(20 – x)º

(x + 40)º

Hallar “x”

e) 270º 

Del gráfico hallar “x” b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

a) -50

4.

x + 10º

30º- x

a) 10º

b) 15º c) 25º d) 30º e) 35º 3.

Del gráfico hallar “x”

(9-6x)º B

,  y 



 

(Conversión entre Sistemas) SISTEMA DE MEDICIÓN Son las distintas formas o medios para medir ángulos cada una con sus propias reglas y unidades.

Las unidades de medida en cada sistema se crean en forma arbitraria, tal es así que se le puede tomar como unidad de medida un ángulo cuyo arco es equivalente a

1 1 , , etc. parte de un ángulo de una vuelta. 360 400

Por lo expuesto se entiende que existen muchos sistemas para medir ángulos, pero los más usuales o conocidos son tres: Sistema Sexagesimal

Sistema Centesimal

Sistema Radial

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

Llamado Sistema Inglés, es aquel que tiene como unidad a: Un Grado Sexagesimal  1º Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1º por lo tanto: 1 vuelta = 360º Sus unidades: 

1 minuto sexagesimal



1’



1 segundo sexagesimal



1”

Equivalencia:

1º = 60’ 1’ = 60’’

1º = 3600”

-3-

SISTEMA CENTESIMAL (C)

Llamado también francés, es aquel que tiene como unidad a: Un Grado Centesimal  1g Dicho sistema divida al ángulo de una vuelta (1 v) en 400 partes iguales y a cada parte se le denomina 1g por lo tanto: 1 vuelta = 400g Sus unidades: 

1 minuto centesimal



1

m



1 segundo centesimal



1

s

Equivalencia:

1g = 100m m

1 = 100

1g = 10 000s

s

SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)

También llamado circular o internacional es aquel que tiene como unidad a un radian (1 rad). 1 Radian (1 Rad).- Se define así a la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.

R 1 Radian

O

L

R=L

R

Si: L = R   = 1 Rad

Luego:

Observación.

1 vuelta = 2rad

 (Pi) = 3,141592654…… Pero el valor de  se le atribuye valores aproximados como:  = 3,14 ó  =

22 7

-4-

EQUIVALENCIAS ENTRE LOS 3 SISTEMAS

9º = 10

g

rad = 200

rad = 180º

g

1 vuelta = 360º = 400g = 2 rad

NOTA: g

Lo correcto seria 90 equivale 10g pero por comodidad para operar diremos que 90 = 10 .

Consideraciones:

1.

1 rad > 1º > 1g

2.

180º < > 200g < > rad

3.

9º < > 10 g

4.

 = xº y’ z” = xº + y’ + z”

5.

g

m

27’ < > 50m s

g

m

 = x y z = x + y + z”

81” < > 250s ( = 3º50’27” = 3º + 50’ + 27”) ( = 4g50m20s = 4g + 50m + 20s)

Conversión Entre Sistemas: Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la primera. Aplicaciones: 1.

Convertir 15º a radianes. Observamos que vamos a relacionar el sistema (S) y (R) entonces utilizaremos una equivalencia donde aparezcan ambos sistemas.

rad = 180º 2.

15º x

rad 180º



 rad 12

Convertir 80g a sexagesimales. Utilizaremos la equivalencia.

9º = 10g

3.

Convertir

80 g .

9º

10g

 72º

3 rad a sexagesimales. 2

Ahora utilizaremos 180º = rad

180º 3 rad  2

3 x 180º 2

-5-

 270 º

PRACTICA DE SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR 1.

Expresar el complemento de 30º en el Sistema Circular.  a) rad 3  d) rad 5

2.

3.

 rad 6  e) rad 8 b)

Determine:

abc

5.

b) 9 e) 15

Convertir

12.

13.

7.

c) 52 15.

Si:

16.

17.

Calcular el complemento de (x + y - z)º

9.

b) 81º e) 54º

 rad 6 5 rad e) 4

b)

c) 11

abc4 b) 2 e) 5

c) 3

50 g  25 º  rad  5º 36

a) 3

b) 5

d) 8

e) 9

c) 7

c) 85º

Del gráfico calcular: 10x – 9y a) 240 b) 2 400 c) 24 000 d) 180 e) 1 800

Radial.  rad 3 2 rad d) 3

c) 63º

b) 10 e) 27

Simplificar: E 

Expresar el suplemento de 60º en el Sistema a)

b) 62º e) 65º

c) 3

 rad  xº y'z" 64

a) 80º d) 82º

7 rad al Sistema Sexagesimal. 20

a) 1 d) 4

c) 120º

c) 30g

Si: aºb’c” = 5º48’23” + 6º25’40” Calcular:

 rad 3 Calcular: E   64 º 40 g  rad 6 b) 2 e) 5

b) 20g e) 50g

Determine “x” si: (x + 7)º = (x + 9)g

25 º 50 g 

a) 1 d) 4 8.

Convertir

c) 266g

 rad al Sistema Centesimal. 10

a) 9 d) 13

 rad determine el mayor de ellos. 3

b) 100º e) 130º

b) 264g e) 300g

a) 60º d) 64º

La diferencia de dos ángulos suplementarios es

a) 90º d) 160º

Convertir

c) 82º

33 rad al Sistema Centesimal. 25

a) 10g d) 40g

c) 11

Determine a + b + c.

b) 72º e) 74º

a) 260g d) 270g

14.

Si: aºb’c” = 3º25’42” + 4º45’38” a) 25 b) 39 d) 63 e) 120 6.

11.

c) 3

3 rad Calcular el valor de x: (4x  10)º  20

a) 7 d) 13

a) 70º d) 56º

Si: 140g  abc º

b) 2 e) 5

Expresar el complemento de 20g al sistema Sexagesimal.

 rad 4

Expresar el suplemento de 100g al Sistema Radial.    a) rad b) rad c) rad 3 6 8   d) rad e) rad 2 4

a) 1 d) 4 4.

c)

10.

c)

 rad 4

-6-

xº yg 2 rad 3

Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico tenemos:

Sº Cg R rad

 Recordar:

180º = 200g = rad

Entonces:

S C R   …………. Fórmula General 180 200 

De donde podemos establecer las siguientes consideraciones:

1

2

S C  9 10

S

3

180R 

C

200R 

Observación:



De

1

S C  K 9 10



S  9K  20R  K C  10K  

Muchas veces conviene utilizar dicha observación por ejemplo: Reducir: E 

2S  C 2(9K)  10K 8K  E   E8 C S 10K  9K K

SISTEMA

NÚMERO DE GRADO

NÚMERO DE MINUTO

NÚMERO DE SEGUNDO

Sexagesimal

S

60 S

3 600 S

Centesimal

C

100 C

10 000 C

-7-

APLICACIONES 1.

Expresar en Radianes: 3S – 2C = 7 Reemplazando:

S

180R 

3 .

200R 

180R 200R 2 . 7  

140R = 7 2.

C



 20R = 1



R=

1 20

Expresar en radianes si se cumple: C – S = 4 200R 180R  4  



20R 4 



5R 1 

R=



 5

PRACTICA DE CONVERSION DE SISTEMAS

1.

Determine un ángulo en radianes si se cumple:  S  1   C  1   15    9   10 

 rad 3  rad e) 10

a)  rad d) 2.

b)

 rad 6

6. c)

 rad 20  rad e) 50

3.

b)

CS  CS

a) 2 d) 5 Simplificar:

Simplificar:

C  2S  CS

 rad 30

b) 2 e) 5

E

c) (1, 8)g

Siendo S, C y R lo convencional.

a) 100 d) 150

2S  0,5C  40R 5R b) 200 c) 250 e) 50

Determine un ángulo en radianes si se cumple: C  S  10R C  S 80R   C  S  10R C  S     rad a) rad b) rad c) 4 3 16   d) rad e) rad 8 2

C  6S CS

c) 4 9.

2S  3C  10R E 190R

b) (1, 9)g e) 2g

Simplificar: E 

8.

b) 3 e) 6

a) 1 d) 7

5.

7.

Siendo S, C y R lo conocido, calcular: E

4.

c)

c) 30

S  S  S  ...........  C a) (1, 2)g d) 1,7g

cumple: C + S = (C2 – S2)  rad 10  rad d) 40

b) 20 e) 50

Expresar el ángulo en centesimal si se cumple:

 rad 5

Hallar la medida de un ángulo en radianes si se

a)

a) 10 d) 40

Siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo.

c) 3

Reducir: a) 1 d) 20

C  2S  40R (C  S) 

-8-

C  S  20R C  S  20R b) 5 e) 30

c) 10

ARCO Se denomina Arco a la figura que se parte de la circunferencia limitada en sus extremos.

Arco AB = AB

Notación:

El arco no puede ser menos que un punto ni más que una

B

circunferencia.

O A LONGITUD DE ARCO

La Longitud de un Arco se calcula multiplicando el número de radianes del ángulo central al cual subtiende por la Longitud de Radio. Notación:

0    2

Longitud de Arco AB = LAB = L

r  rad

O

L

r

APLICACIÓN

1

Del gráfico mostrado calcular la Longitud de Arco AB.

A O

10 m 10 m

36º B -9-

L=r

Como el ángulo central debe estar expresado en radianes lo pasaremos al Sistema Radial. 36º .

L

AB

=

 5

. 10 m

rad   rad 180º 5

 L



 5

( rad suele escribirse también como

 ) 5

= 2m

AB

En el ejercicio anterior no es necesario dibujar toda la circunferencia hasta dibujar solamente. 10 m O

B

36º 10 m A

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

h



b

a 

ab h

h APLICACIÓN

2 

4 m

Aparentemente  = 8 (8 radianes) resultado que no puede ser ya que: 0    2

¡Cuidado!

2 m 

20m  4m 8 2m

aprox. 0    6.28

20m

2 m

Por lo tanto el método es correcto pero el problema estaría mal propuesto.

- 10 -

PRACTICA DE LONGITUD DE ARCO

1.

Calcular la longitud de arco correspondiente a

7.

un ángulo central de 75º en un circunferencia

Del grafico, calcular : E = -1 -  A C

de 24 m de radio. a) 5 m d) 20 2.

b) 10 e) 25

O

 D

En un sector circular la longitud del arco es 4

B

cm y el ángulo central mide 50g. ¿Cuánto mide

a) 1

su radio?

d)

a) 14 cm d) 12 3.

c) 15

b) 15 e) 8

c) 16

8.

b) 2

5 /2

c) 5

e) 1/2

En el grafico, calcular “L” , si : L1 + L2 = 8

En un sector circular el ángulo central mide 70g y el radio 1 m. ¿Cuánto mide el arco? a) 35 cm d) 14

4.

b) 5 e) 7

L

L2

Calcular la longitud de arco, correspondiente a un ángulo central de 60º en una circunferencia

a) 8 d) 

de 48 m de diámetro. a) 6 m d) 5 5.

L1

O

c) 15

b) 7 e) 10

c) 8

9.

b) 4 e) /2

c) 2

Siendo A, B y C los centros de los arcos mostrados. Determine el perímetro de la

En un sector circular la medida del arco y el radio están representados por dos números

región sombreada, si ABC: equilátero de lado B igual a 15 cm.

enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 20 m. ¿Cuál es la medida del ánodo central? a) 4/3 rad d) 3/2 6.

9cm b) 3/4 e) ½

c) 2/3

En el triángulo rectángulo, calcular la suma de las longitudes de los dos arcos dibujados tomando centro en A y C respectivamente. B

A

a) 15 cm d) 30

b) 20 e) 21

c) 25

10. Del grafico, calcular “” 2 4

E  A

45º

D



b) 4 e) 12

5

C 24

16 a) 2 d) 16

C

c) 8

a) 15º d) 30º

- 11 -

b) 12º e) 36º

c) 18º

SECTOR CIRCULAR Se denomina Sector Circular a la figura que es parte del círculo limitado por dos radios y un arco.

B

B

O

El Sector Circular no puede ser menos que un radio ni mas que un

Sector Circular

O

círculo.

AOB

A

Notación:

A

Sector Circular AOB =

AOB

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR El área de un Sector Circular es igual a la mitad del cuadrado del valor de su radio multiplicado por el número de radianes de su ángulo central.

B r O

S

 rad r

Notación:

A APLICACIÓN

r2 . 2

1

Calcular el área del Sector Circular mostrado.

B

6m O

30º 6m

rad   rad Convertimos 30º a radianes: 30º . 180º 6

Aplicamos la fórmula: S 

A

(6 m)2   3 m2 2 6

- 12 -

S

AOB

= Área del Sector Circular AOB



Otras fórmulas para calcular el área de un Sector Circular.

S

L.r

S

2

L2 2

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR h

S

b

S

a

( a  b) . h 2

PRACTICA DE ÁREA DE SECTOR CIRCULAR 1.

En un sector circular el arco mide 2 cm y el ángulo central mide 20º. ¿Cuál es su área? a) 12 cm2 d) 6

2.

b) 9 e) 24

5.

Si: OA = 4 CB

c) 18

El ángulo central de un sector circular de radio

b) 1/3

R es igual a 24º y se desea disminuir en 18º de

c) 2/9

radio una longitud “x”. Determine “x”. a) R d) 3R

b) 2R e) 3R/2

a)



b)

2

c)

3

d)

4

e)

6

A

O

D

Determine el área de la región sombreada : A a 2 C a) 2a c) 3a2

C

O

5a

a

d) 3a2/2 e) 3a2/4

D B

7.

45º A

B

Calcular el área de la región sombreada a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

S1

b) a2

Del grafico, calcular el área de C la región sombreada, si : AC = 4 2

4.

6.

c) R/2

36º

e) 2/3

S2

C

S2

d) 4/9

S1

B

a) 4/3

tal manera que el área no varia, aumentamos el

3.

De acuerdo al grafico, calcular : E =

O

x2+1 A

C

2 3

En el grafico mostrado, señale el área del A sector circular AOB

30º

a) 25 b) 40 c) 45 d) 50 e) 75

O

x rad

8+x x2+1 B

6

D B

- 13 -

DEFINICIÓN La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Elementos:

C b

a

Cateto opuesto (C.O.)  Cateto adyacente (C.A.)

Catetos

(con respecto a )



A



B

c



Hipotenusa (H) 



m ∢ CAB 

b

 (agudo)

Cumpliéndose: (Teorema de Pitágoras) b2 = a2 + c2 Definimos con respecto a : Seno de  

sen  

CO a  H b

Coseno de 

cos  

CA c  H b

Tangente de 

tg  

Cotangente de 

CA c ctg    CO a

Secante de 

sec  

H b  CA c

Cosecante de 

csc  

H b  CO a

1 3



Por ejemplo:

sen  

I N V

CO a  CA c

E R S

A csc = 3

S

tg  

Inversa s

- 14 -

5 3



ctg  

3 5

a c

NOTA: 1.

En un triángulo rectángulo Entonces 0 < sen < 1 sec > 1

2. 3.

hipotenusa > catetos 0 < cos < 1



csc > 1



sen2  Sen2 sen    sen  

APLICACIÓN En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = senA secC + cosC cscA Solución:

C

Del gráfico:

b

a E

A

B

c

Si:  es un ángulo agudo tal que cos  

a b a b x  x b a b a

E=1+1  E=2

1 . Calcular tg. 3

Solución: Del dato:

cos  

1 3

cateto hipotenusa adyacent

e

 debe estar dentro de un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: 32  12  BC

C

2

3

BC  2 2

A

Piden: tg  

2 2



B 1

- 15 -

2 2 1

 2 2

PRACTICA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS

1.

En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . ctgA – c . senB a) 0 d) b

2.

b) 1/3 e) 1/2

3.

c) a a) a d) 2a

En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)ctgA - cosC a) 1 d) 3

b) 2 e) -1

9.

4.

a) 7 d) 13

10. Si: sen  

3 2

5.

4x + 2 A

6.

12.

5

b) 2 5

d)

5 5

e)

ctg 

13.

2

m

d) 2 3

2m 



En un triángulo ABC recto en A se cumple tgB = 0,75; además: a – b = 6 m

Hallar su perímetro. a) 12 m d) 42 m

b) 24 m c) 36 m e) 45 m

7 4

5 2

2 5 3

Calcular: E  3 sec   7 tg  b) 2/3 e) 1

c) 5/3

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) tgA

a) 16 cm2 d) 8

a) 2 b) 3 c) 5



Si: sen 

c)

= 4tgC. Si el mayor lado mide 8 5 m. ¿Cuál es el área del triángulo? c) 14

Del gráfico hallar: E  3 (tg   tg )

e) 15 7.

b) 12 e) 20

2 donde “” es agudo. Calcule: 3

a) 1/3 d) 7/3

2 Calcular: E  tg x  42 senx

a) 10 d) 18

11.

C

7x + 1

Si: sec x  7

c) 11

a)

B a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

b) 9 e) 15

ctg

c) 3

Del gráfico calcular “x”. Si: tgB 

c) c

3senA = 2senB. Calcular: E  13senA  6tgB

Calcular: E  2senA  3tgC b) 2 e) 5

b) b e) 2c

En un triángulo ABC recto en C se cumple

c) 0

En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC

a) 1 d) 4

ˆ  90º ). Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( A Calcular: E = btgC + ctgB - c

8.

b) 32 e) 128

Del gráfico calcular: E = ctg - tg

E

a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 3 e) 4/3 14.

c) 64

3

 2  A

B

C

Del gráfico, calcular ctg2

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

- 16 -

D

x+y

x-y

 6xy

Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Como por ejemplo: Triángulo Notable de 45º y 45º a

45º

45º a

a

a

2

a

45º

45º

a

a

Triángulo Notable de 30º y 60º

30º 30º

30º

2a

2a 60º

2a

60º

a

a 3 60º

a

a

TRIÁNGULOS APROXIMADOS

5a

82º

74º

53º 3a

25a

7a

16º

37º 4a

24a

APLICACIÓN 1. Calcular: E = sen230º + tg37º

- 17 -

5 2a

a

8º 7a

1 2 3 Reemplazando valores: E     2

2. Evaluar: E 

1 3  4 4



4

 E1

sen 2 45º cos 60º csc 30º 2

 2 2 1   1   2  2 1   Reemplazando:  4 2  2 2 2

PRACTICA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 1.

2.

Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º

cos 2x 

3.

d) 3 e) 4 11. Indicar el valor de “x” en:

a) 1 b) 2 c) 1/4 d) 3/4 e) 4/3 Determine el valor de “m” para que “x” sea 30º.

tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º a) 15º d) 30º

m1 m1

b) 1 e) 4

a) 1 d) 5/2

b) 2 c) 3 e) 3/2 sec60º tg45º 2cos 60º 13. Calcular: E  sec37º tg37º

c) 2

3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º

a) 25/12 d) 49/24

b) 25/24 e) 7/18

6. Calcular: E 

b)

11 3 5

d)

5 3 3

e)

2 3 5

c)

b)

3 3

c)

3 2

E  (sec60º tg45º ) sec53º  6tg60º. sec 45º

d)

a) 0

b) 1

b) 2 e) 2/3

c) 1/2

a) 2-1 d) 5-1

b) 3-1 e) 6-1

c) 4-1

e)

3 3 2

x  3tg53º sec2 45º x

 2tg37º sen30º

a) 0 d) 2

b) 3 c) 1 e) -1 x  3ctg37º 19. Resolver:  csc2 45º x 2tg37º  cos 60º a) 0 d) 2

9. Calcular: E  6tg30º. sec 45º 3sec53º a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 10. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º

c) 10

a) 1 d) 1/3

18. Resolver:

3 6

b) 9 e) 13

17. Determinar “x” en: 5xsen37º + cos30º = 2ctg53º - x

c) 3

 3

c) 3

a) 24 b) 21 c) 36 d) 25 e) 12 16. Resolver: 5xsen37º - csc30º = 2tg45º - x

3 3 5

30º

a)

b) 2 e) 1/3

15. Calcular: E = (tg260º + sec60º) (4tg37º + sec245)

7. CaResolver: 5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º a) 1 b) 2 d) 1/2 e) 1/4 8. Determine tg en el gráfico.

a) 1 d) 1/2 Calcular:

a) 7 d) 11

sen2 45º

3 5

14.

c) 49/12

tg30º sec 60ºsen37º cos 30º

a)

c) 25º

12. Calcular: E  4sen30º 5sen37º  3tg60º

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º

a) 0 d) 3 4. Calcular: “x”

b) 20º e) 35º

b) 3 e) -1

c) 1

20.Calcular el valor de “x”. Si: tg(2x  1)º  sen2 60º  a) 11º d) 44º

c) 2

- 18 -

b) 22º e) 65º

c) 33º

1 4



c

a  b RECÍPROCAS

sen . csc = 1

Siempre y cuando:

cos . sec = 1

 = 

tg . ctg = 1

COMPLEMENTARIO

sen = cos

Siempre y cuando:

tg = ctg

 +  = 90º (Complementarios)

sec = csc

APLICACIÓN

Si:

1

sen 2x = cos 80º.

Calcular: “x”

90º (P. Complementarios) 2x + 80º = 90º  x = 5º

- 19 -

PRACTICA DE LAS PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1.

Si : tg 3x . ctg(x + 40º) = 1. Calcular : Cos 3x a) 1 d) 2.

b) 1/2

3 /2

c) 30º

b) 3 e) 6

c) 4 11.

c) 30º

Si : tg x . tg 2x = 1. sen x cos 2x sen tg 37 º ctg

a)

2 /2

b)

d)

5 /5

e) 1

3x 2

3x . tg x 2

3 /3

c)

6 /6

Determine el valor de “x” : sen(3x – 42º) csc(18º - 2x) = 1

Determine “x” : sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º + a) 17º d) 30º

b) 20º e) 60º

Calcular: E =

Si : sen 7x sec 2x = 1. Calcular : E = tg2 6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8º)

a) 1 d) 5 4.

10.

Hallar “x” si : cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1 b) 20º e) 50º

Determine “x” : tg(2x + 10º) = ctg(x – 40º) a) 10º d) 40º

3

e) 3/5

a) 10º d) 40º 3.

c)

9.

b) 20º e) 34º

tg 15º

a) 6º d) 20º

ctg 75º

c) 28º 12.

Sabiendo que : tg 5x . ctg (x + 40º) = 1.

a) 1

180

b) 30

c) 15º

Calcular : cos 3x

5. Si en el gráfico se cumple tg  tg 4 = 1. Calcular: “x”

a) 90

b) 12º e) 24º

d)

b) 1/2

3

c)

2 /2

e) 2/3

c) 90 3 d) 30 3

+12º

e) 10 3 6.

EJERCICIOS II 1.

Calcular : E = (5 tg 10º + 10 ctg 80º) tg 80º a) 10 d) 14

7.

3+6º x

b) 12 e) 15

Calcular :

E = (tg 20º + ctg 70º) (ctg 20º + tg 70º)

c) 13

a) 1 d) 4

Si : sec(x + y + 5º) – csc(2y – x + 40º) = 0 tg(3x - y) . ctg(2x + y) = 1

2.

b) 2 e) 8

c) 3

Reducir : E = (3 sen 40º + 4 cos 50º) csc 40º

donde “x” e “y” son agudos. a) 1 d) 4

Hallar: E = sec 2x + tg(x + y) – 2 sen 2y a) 0 d) 3 8.

b) 1 e) 4

c) 2

3.

x y Se sabe que : tg   = ctg   . Calcular : m   m x y x y  ctg    2m   3m 

AB AB Calcular: E = 2 sen   + tg    3   2 

b) 2 e) 5

c) 3

E = tg 

Si : sen(A - C) = cos (B + C).

a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

a) d) 1

c) 3

- 20 -

3 /3

b)

3

e) 2 3

c) 1/2

Si se conoce un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y uno de sus lados se puede calcular con facilidad los otros dos lados para ello aplican las siguientes observaciones o casos: Caso 1

(Si el lado conocido es la hipotenusa)

m

m



m sen

 m cos

Caso 2

(Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido)

m csc

m 

m

 m ctg

Caso 3

(Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido)

m sec 

m tg

 m

m OBSERVACIÓN

1

OBSERVACIÓN

2

OBSERVACIÓN

 a

a 

a

a

 2acos

a

S 

2a sen

b

 2

S

- 21 -

ab sen  2

3

PRACTICA DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7.

NIVEL I 1.

2.

3.

4.

Del gráfico, hallar : AC a)

m sen x + n sen y

b)

m cos x + n sen y

c)

n sen x + m cos y

d)

m cos x + n cos y

e)

m sen y + n cos x

n

e) m sen tg y

x

C

8.

Hallar “x” a)

m sen  sen 

b)

m sen  cos 

c)

m cos  cos 

d)

m cos  sen 

e)

m tg  ctg 

Del gráfico hallar “x” en función de n,  y  a) n sen cos B b) n sen sen C

e) n tg tg

m 9. 

e)

1 – tg 

x

B

C B



m

C

D x

a) m sen cos

D

d) m (2sen + cos) m e) (sen + cos) 2

b) 2m (sen + cos)

C

c) m (sen + cos) 11. Calcular “x” C

Si: ctg   ctg  

D A

m sen  cos 

45º A Determinar el área del triángulo mostrado

B

a) 0,5 m tg b) 0,5 m ctg m

2

d) 0,5 m ctg 

- 22 -

C 6 5

x



m(cos  + 2 sen )

e) 0,5 m2

A

E

m

c) 0,5 m2 tg



E

D



m(sen  - cos )



10. Determine “x” en función de  y m A (ABCD es un cuadrado)

Del gráfico, hallar CD en función de m y  m(cos  - sen )

D m

e) m(ctg - ctg)

C

A Hallar tg , si : BD = a , CD = b b a) B asenx  b cos x b cos x  b) a  bsenx bsenx c) a  b cos x asenx x d) a  b cos x A

D

b) m(ctg - ctg)

x

d) m(tg - tg)

ctg  + 1

x

 A Determine AB en el gráfico: a) m(tg - tg)

Si ABCD es un cuadrado a) tg  - 1 B  b) tg  + 1 d)



n

d) n sen cos

c) m(ctg - tg)

ctg  - 1



c) n cos cos 

m(cos  + sen )

6.



Del gráfico, hallar tgx en función de 

c)

x

m

c) m cos sec d) m cos csc

m

e) a sen x + b cos x 5.

b) m sen csc

B

A

Del gráfico determine x. a) m sen sec

 18

a) 11

b) 13

d) 15

e) 18

D

B c) 14

Introductorio En el presente capítulo veremos problemas donde es necesario graficar el enunciado de un texto en forma precisa. Para ello es necesario tener presente los siguientes conceptos u observaciones analizando las distintas posibilidades que se nos pueden presentar. LÍNEA VISUAL Es la línea recta que une el ojo de un observador (generalmente una persona) con un objeto que se observa. LÍNEA HORIZONTAL Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial que pasa por el ojo del observador.

Línea Visual



Línea Horizontal

 Observador Línea Visual

ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos obtenidos en un plano vertical formados por la línea visual y línea horizontal que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser: A)

ÁNGULO DE ELEVACIÓN Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto a observar se encuentra por encima de la línea horizontal.

Línea Visual  Línea Horizontal Observador

: Ángulo de Elevación

- 23 -

B) ÁNGULO DE DEPRESIÓN Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. Línea Horizontal 

Línea Visual

: Ángulo de Depresión.

EJEMPLO DE ÁNGULOS VERTICALES

 15 pies

10 pies

6 pies

100 pies

pies 25º

40º

25º

500 65º

- 24 -

PRACTICA DE ÁNGULOS VERTICALES

 y  respectivamente. Cuando está sobre A es

NIVEL I 1. Si a 20 m de un poste se observa su parte más alta

visto desde B con un ángulo de elevación

con un ángulo de elevación de 37º y luego nos

si tg  =3 y tg

acercamos al poste una distancia igual a su altura, el nuevo ángulo de elevación es Rpta: tg

9. Un avión que se encuentra a 4500 m sobre un

 =3

objetivo, va cayendo con un ángulo de inclinación

2. Desde el punto medio de la distancia entre los pies superiores

son

30°

y



por debajo de la horizontal. Luego de recorrer 1300

de dos torres, los ángulos de elevación de sus extremos

 = 2, calcular tg  .

 =6

Rpta: tg

 . Calcular tg  .

;

m, toma la posición horizontal y recorre una distancia

60°

x, al cabo de lo cual el piloto observa al objeto con un

respectivamente. Calcula el cociente entre las

ángulo de depresión de 53°. Calcula el valor de "x ", si

alturas de dichas torres (la menor entre la mayor).

sen

h 1  Rpta: H 3



= 5/13.

Rpta: 1800m 10. Un hombre observa la parte más alta de una torre

3. Desde la base y la parte superior de una torre se

con un ángulo de elevación de 18°. Camina 1 km y

observa la parte superior de un edificio con

ahora la observa con un ángulo de 54°. ¿A qué

ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente.

distancia (en km), quedó del pie de la torre?

Si la torre mide 36 m, calcula la altura del edificio.

Rpta: (sen18º)km

Rpta: 54m

11. Una persona colocada en el extremo superior de un

4. A 20 m de la base de una torre un hombre observa la

muro de 2 m de altura sobre el nivel de un lago,

parte superior de la torre con' un ángulo de elevación

observa a un globo con un ángulo elevación de 30° y

"  ". En línea recta se aleja otros 20 m y ahora la ve

a su imagen con un ángulo de depresión de 45º ¿A

con un ángulo "  ".

qué altura sobre el nivel del lago se encuentra el

Si tg  + tg  = 0,75 y el hombre mide 1,7 m, calcula

globo?. Rpta: 7,46m

la altura de la torre.

12. Desde la base de un edificio "A" se observa la

Rpta: 11,7

parte superior de un edificio "B" con un ángulo de

5. José se encuentra a 20 m de un poste y observa su y

elevación "  " y desde la parte superior del primer

alejándose 10 m más el ángulo de elevación es e!

y segundo piso se observa la parte superior del

parte más alta con un ángulo de elevación 

edificio "B" con ángulos de elevación "  " y "  "

complemento de  . Calcula tg  Rpta: tg =

respectivamente. Calcula el número de pisos que

6 2

tiene el edificio B si sus pisos son de igual altura y además: tg

6. Dos personas de alturas h y H desde un mismo punto observan el extremo superior de un edificio con ángulos de elevación  y  respectivamente.

inclinada un ángulo de 30° sobre la horizontal. Desde un punto situado a 20 2 m de la base de la torre, se observa la parte superior de ésta con un ángulo de elevación de 60°. Calcula su altura

7. Un niño y dos árboles se encuentran alineados. El niño que está entre los árboles observa las partes

 y 2 . Si sus respectivas visuales miden 30 y 25

 = 0,2 y tg  =1,6

13. Una avenida recta que conduce a una torre está

H  tg  h  tg tg  tg

superiores de dichos árboles con ángulos de elevación

- tg

Rpta: 10

Si: H > h, calcular la altura del edificio Rpta:



Rpta: 20 2 m 14. Un niño observa los ojos de su padre con ángulo de elevación "  " y su padre observa los pies de su

m, calcula la altura del mayor árbol, si la distancia a

hijo con un ángulo de depresión (90° -

la que se encuentra e! niño de uno de ellos, es igual a

Determina la relación entre sus tamaños.

la altura de! otro, siendo este último el que se opone a

Rpta:

2 . (Usar: sen 2 == 2 sen  . cos  ) Rpta: 24 8. Un avión que vuela horizontalmente, observa dos puntos en tierra "A" y "B", con ángulos de depresión

- 25 -

h  1  tg2 H

 ).

PAR ORDENADO Intuitivamente, un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo, si los elementos son (a, b) el par ordenado se simboliza por :

(a , b) = { {a} , {a , b} } donde :

(a , b) Segundo elemento, componente o coordenada Primer elemento, componente ó coordenada

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES Es aquel sistema de referencia usado con más frecuencia para representar un par ordenado como un punto en el plano. Representándose mediante la intersección de dos rectas (numéricas) en forma perpendicular llamadas Eje de Coordenadas. Y Eje de ordenadas

(a, b)

b

(0, 0)

a origen



La recta horizontal se llama eje X ó eje de abscisas.



La recta vertical se llama eje Y ó eje de ordenadas.



El punto de intersección se llama origen de coordenadas.

- 26 -

X Eje de abscisas

Observaciones : 

Debemos tener en cuenta que tanto a la derecha como hacia arriba del origen de coordenadas se encuentran números reales positivos, a la izquierda y hacia abajo de los mismos números reales negativos. Y

(+) X Origen de coordenadas

(-)



Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro zonas ó regiones llamadas CUADRANTES (primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante). Y

II

I Origen de coordenadas X Coordenadas

III

IV

Ejemplo :

Y 5

(-3, 5)

-1

(2, 1)

1

2

-3

(-1, -4)

5

X

-4 -5

(-5, -5)

(2, 1)  IC , (-3, 5)  IIC , (-1, -4)  IIIC y (5, -5)  IVC

- 27 -

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dado los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) la distancia entre ellos se calcula de la siguiente manera: d =

(x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2

d>0 siempre es positiva

Y B(x2, y2) d

A(x1, y1)

X

Ejemplo : Y

Calculando la distancia : (3, 4)

4 d

(-3, 1)

1

-3

3

d =

(3  ( 3))2  ( 4  1)2

d =

62  32

d =

45

ó

d = 3

5

X

CASO PARTICULAR Radio Vector.- Es la distancia que existe entre el origen de coordenadas y punto cualquiera del plano, dicho radio vector se representa por r, siendo siempre positivo.

Y

Calculando el radio vector : (x, y)

r =

( x  0 )2  ( y  0 ) 2

r =

x2  y 2

r

(0, 0)

X origen

- 28 -

Ejemplo :

Y (-1, 2 )

Calculando el radio vector :

2

r

r =

( 1)2  ( 2 )2

r =

3

X

1

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Dado el segmento AB ubicamos el punto M tal que : AM a = MB b

Y Se cumple:

B b

M = a

M

Ab  Ba ab

A X

Ejemplo : Calcular las coordenadas del punto P si

(-3, 7)

AP

B

PB

3 P

=

2 3

2 (12, 2) A

Calculando “P” :

P =

(12,2)3  ( 3,7 )2 5

=

(36,6)  ( 6,14) 5

- 29 -

 30 20  , =   = (6, 4) 5   5

CASO PARTICULAR Punto Medio.- Dado el segmento AB mostrado en el gráfico adjunto su punto medio M se halla así : Y

B M M =

AB 2

A X

Ejemplo : Y (5, 11)

11 M 5

(3,5)  (5,11)

M =

2

 8 16  M =  ,  2 2 

(3, 5)

M = (4, 8)

3

X

5

BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO Dado el triángulo ABC su baricentro G se halla de esta manera. Y

B

G

G =

A C X

- 30 -

ABC 3

PRACTICA DE SISTEMA CARTESIANO

NIVEL I 1.

Señale la alternativa incorrecta : a)

b) (2, 3)

d) (1, 4)

e) (1, 1)

c) (2, 4)

(5, 3)  IC

b) (3, 0) esta ubicado en el semi eje positivo

7.

c)

Si dos vértices de un cuadrado son (1, 3) y (-1, 2) el perímetro de cuadrado sería :

de las abscisas (-2, -1)  IIIC

d) (0, 6)  IC ó IIC e) (2, -5)  IV 2.

a) (1, 2)

Halle la distancia del punto (1, -2) al punto (4, 2)

8.

a) 4

3

b) 8

d) 4

5

e) 4

c) 12

6

Calcular el perímetro del rectángulo ABCD

Y

3.

a) 5

b) 12

d) 4

e) 8

c) 13

Determine el radio vector del punto medio del segmento que se forma al unir los puntos (-8, 7) y (6, 3)

4.

9.

a)

13

b)

d)

26

e) 5

Determine

3

c)

b  a del gráfico :

a)

10

b)

20

c)

12

d)

24

e)

36

D

(a, 9)

a)

5

b)

6

c)

7

d)

8

e)

9

Y

5.

D(5,y) X

Si en un triángulo dos de sus vértices son A(1, 3) y B(7, 1) además su baricentro es C(5, 0) ¿Cuál es

b) 3 e) 2

c)

la suma de coordenadas del tercer vértice C?

5

3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

(4, 2) es el punto del segmento formado al unir los puntos A(a, -3) y B(5, b). Determinar :

11.

Del gráfico, calcular la distancia entre A y C.

ba

E=

2

a) d) 3

b)

3

b)

e) 5

2

Señale el punto P que divide el segmento de

d)

extremos A(-5, 1) y B(3, 5), si se sabe que : AP PB

e)

=3

- 31 -

31 61

2

B(3,7)

Y

31

a)

c) 2

c) 6.

C(7,9)

B(x,5)

A

(-7, 4a+1)

7

X

(ABCD es un paralelogramo)

20

10.

d)

C

Del gráfico, hallar “x + y”

(-3, b+3)

a) 2

B(7,3)

A(-2,3)

A

5

6

X

61 37

C

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también canónico ó estándar, es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas rectangulares, su lado inicial se encuentra sobre el semi eje positivo de las abscisas y su lado final se ubica en cualquier parte del plano.

 : 

  :

o

Observa los siguientes gráficos e indica si los ángulo están en posición normal y si es así diga usted a que cuadrante pertenecen. Y

Y

 

X

 : ________

X

 : ________

Y

Y





X

X

 : ________

- 32 -

 : ________

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y a : abscisa (a, b) b : ordenada

r

r : radio vector 

X

O

Se define:

Sen   Tg   Sec  

ordenada b  radio vector r

Cos  

abscisa a  radio vector r

ordenada b  abscisa a

Ctg  

abscisa a  ordenada b

radio vector r  abscisa a

Csc  

radio vector r  ordenada b

Ejemplo : Si el punto pertenece al lado final del ángulo en posición standar “”. Calcular Sen  Sol. : 

Calculando “r” :

x r =

x2  y 2

r =

( 4)2  ( 3)2

r = 5

(-4,-3)

Me piden : Sen  =

y

3 3 =  5 5

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 90º

Solo seno y

+

Los signos :

Todas las R. T. son positivas

cosecante son ( )

II C

I C

180º

0º ; 360º III C

o

Sen 100º

=

o

Cos 200º

=

o

Tg 250º

=

o

Cos 290º

=

IV C

Solo Tangente y

Solo coseno y

+

+

cotangente son ( )

secante son ( )

270º

- 33 -

Las razones trigonométricas que no se encuentren mencionadas en los cuadrantes se consideran

o

negativas.

Ejemplo : Determine el signo de E =

Cos 200 ºSen 300 º Csc 100º

PRACTICA DE .R. T. DE UN ÁNGULO EN POSICION NORMAL 1.

Si “” es un ángulo en posición normal cuyo lado final

pasa

por

(-2,

-3).

Determinar

5.

:

13 Sen  + 6 Tg 

2.

a) -1

b) 1

d) 4

e) 6

c) 2

Si el punto Q(5, -12) pertenece al lado final del ángulo en posición normal

6.

“”. Calcular :

E = Sec  + Tg 

3.

a) 0,5

b) -0,5

d) -0,2

e) 1

Si : Ctg  = -2. Calcular “m”

c) 0,2

Del gráfico, determine : E = Tg  + Tg  Y

7.

a)

-5

b)

-4

c)

-3

d)

-2

e)

3

Y (m-5,m-2)



X

Del gráfico. Hallar “k” a)

-5

b)

-7

c)

-9

d)

-4

e)

-6

 X (k+3,-2)

(k+1,-3)

Del gráfico, hallar Cos 

5



-3

X

-4

a) -0,5

b) -0,25

d) 0,5

e) 8,25

Calcular : A = a)

3

b)

4

c)

5

d)

6

e)

7

0,6

b)

-0,6

c)

0,8

d)

-0,8

e)

-0,3

Y

(x,8) 10



 8.

-3

4.

a)

Y

c) 0,25

5 csc  - ctg 

Y

(-2,1)

9.

De la figura, hallar : 5 Sen  + 13 Cos  Y a)

1

b)

-1

c)

7

d)

-7

e)

8

 

X

(12,-5) (-3,-4)

Determine a que cuadrante pertenece “”, si : Sen  > 0  Tg  > 0

X



- 34 -

a) I

b) II

d) IV

e) Ninguno

c) III

ÁNGULO CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posición normal que su lado final coincide con los semi ejes coordenados. Los ángulos cuadrantales son múltiplos de 90º. Ángulo cuadrantal = 90º K ó

 2

K

;

K  ℤ

OBSERVACIÓN Verificar si son ángulos cuadrantales:

 

Los ángulos  y  a que cuadrantes pertenecen: NOTA: A los ángulos cuadrantales se le considera que no pertenecen a ningún cuadrante

0 ; 2

/2



3/2

0º ; 360º

90º

180º

270º

Sen

0

1

0

-1

Cos

1

0

-1

0

Tg

0

Nd

0

Nd

Ctg

Nd

0

Nd

0

Sec

0

Nd

-1

Nd

Csc

Nd

1

Nd

-1

ÁNGULOS

- 35 -

PRACTICA DE .ÁNGULOS CUADRANTALES 1.

Del gráfico, calcular :

a) 3

b)  3

E = 5(Sen  + Cos ) + 6 . Ctg 

d)  2

e) 5

c) 2

Y 6

5.

(-3,4) 6.

 5



2.

a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

6 Sec180º  11 Csc270º  Cos 0º

Calcular : D =

3 Sen90º  Cos 360º

a) -1/2

b) -3/2

d) -9/2

e) -11/2

c) -5/2

Si : Sen  . Cos  > 0. ¿En qué cuadrante está ? a) I

b) II

c) III

d) I  IV

e) I y III

c) 5 7.

signo de : R =

5 . Csc  + Ctg 

Del gráfico, hallar : E =

Sabiendo que Csc  < 0 y Ctg  < 0. Indicar el

Ctg   Tg  Sec   Cos 

-

Cos  Sen 

Y

8.

30º

3.

b) 1

d) 3

e) 4

b) +

d) + y -

e) No tiene signo

3 Cos 0º  4 Sen 270 º  Sec 360 º Cos 180º  Csc 270 º

X

c) 2

Del gráfico, calcular : E = 3 Tg  + 1

9.

c) + ó –

Calcular : E=

 a) 0

a) -

a) 2

b) -2

d) 4

e) -4

Calcular : E =

Y

c) 1

Sec 2  Cos   Sen Tg

 3  Sen 4 2

a) 1

b) -1

d) -1,5

e) 1,5

 2

c) 0

10. Calcular el valor de la siguiente expresión :

53º

 Sen   Cos  3 

3 2

3     Csc  2  

Sec

 3

X 

4.

a) 0

b) 1

d) 2

e) -2

c) -1

a) 1/2

b) 1

d) 2

e) 3

c) 3/2

11. Reducir : A=

Sen 30º

Calcular: D = (Sec 360º + Ctg 90º - 8 Sen 3/2)

- 36 -

( a  b)2 Cos 360 º  ( a  b)2 Csc 270 º a Sen 180º  ab Sen 270 º  b Sen 360 º

a) -4

c) -2

d) 2

e) 4

c) 1

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ARCOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA Consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (agudo). Para poder entender mejor daremos las siguientes observaciones: I.

Razones trigonométricas de ángulos negativos Sen (-) =

-Sen 

Cos (-) =

Cos 

Tg (-)

-Tg 

=

Ctg (-) =

-Ctg 

Sec (-) =

Sec 

Csc (-) =

-Csc 

II. Cofunción ó Co -razón Sen

Cos

Tg

Ctg

Sec

Csc

III.

Permanece igual

º    =  R.T. () R.T.  180   360 º   

Depende del cuadrante

Ejemplo :

Tg 300º

(300º  IV)

Tg 300º = Tg (360º - 60º) = -Tg 60º = -

3

(en el IVC la Tg es -)  Tg 300º = -

3

- 37 -

Cambia

90 º    =  Co. R.T. () R.T.  270 º    

Depende del cuadrante

Ejemplo :

Sen 120º

(120º  IIC)

Cambia por su co - razón Sen 120º = Sen (90º + 30º) = +Cos 30º =

3 2

(en el IIC el Sen es +)  Sen 120º =

3 2

PRACTICA DE .REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 1.

2.

3.

4.

Reducir : E =

+

Sen x

a) -1

c) -2

d) 1

e) 3

Cos ( x)

 3   x  = -Sen x III. Cos   2 

 Cos x c) 0

Reducir : E = Sen (-x) Csc (-x) + Tg x Ctg (-x) a) 0

b) -1

d) 2

e) -2

Simplificar :

Sen ( x) Sen x

a) 1

b) 2

d) -1

e) 0

8.

c) 1

3 /4

+

d) 3/4

b)

Tg ( y  x)

9.

c) -2

3 /2

c) 1/4

E = Sen 150º - Cos 120º + Tg 135º

6.

7.

b) -1 e) 2

Simplificar :

d) 4

e) 5

c) 3

Tg ( - x) = -Tg x

II.

Csc (2 - x) = Csc x

Tg ( x)

2

Simplificar : E =

-

c) FVV

Cos (x  ) Cos (2  x)

b) -3

c) 1

e) 5

Csc (270º  x)  Sec (90º  x) Sec (360º  x)  Csc (180º  x)

a) -1

b) 0

d) 2

e) 2 Tg x

c) 1

a) 1

b) 2

d) -2

e) 3

c) -1

Sen (90 º  x) Tg (270 º  x) +   3  Tg   x  Sen   x 2   2 

a) -2

b) -1

d) 1

e) 2

c) 0

12. Simplificar : E = Cos10º + Cos20º + Cos30º + … + Cos170º + Cos180º

Afirmar si es “V” ó “F” : I.

Tg (   x)

11. Simplificar : E =

Cos 70º b) 2

Reducir :

c) 0

3 Sen 20º  2 Cos 110º

a) 1

e) VVF

 Sen (   x) Tg   x  2   10. Reducir : E = Ctg (2  x) Sen (2  x)

Calcular el valor de :

d) 1

b) VFV

d) VFF

d) 2

Tg (x  y)

e) 1

a) -2

a) FVF

a)

Calcular el valor de Sen 120º . Cos 330º a)

5.

Sen ( x)

- 38 -

a) 1

b) 0

d) 1/2

e) -1/2

c) -1

REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA

Para este caso bastará con dividir a la variable angular por 360º o su equivalente 2 rad, para finalmente trabajar con el residuo. Si el residuo no pertenece al primer cuadrante, deberá utilizarse la reducción explicada en el capítulo anterior. 

360º

___

K



 = 360º K + 



APLICACIONES: Reducir al primer cuadrante: 1.

Sen 1985º

Residuo

1985º

360º

1800º

5

185º

Luego : Sen 1985º = Sen 185º = Sen (180º + 5º) …… (*) = -Sen 5º  Sen 1985º = -Sen 5º

2.

Tg 5535º

Residuo

5535º

360º

5400º

15

135º

Luego : Tg 5535º = Tg 135º = Tg (90º + 45º) …… (*) = -Ctg 45º  Tg 5535º = -1

- 39 -



R.T. () = R.T.()

¡NO TE OLVIDES! Los pasos (*), pertenecientes al capítulo anterior. 3.

Sen (-2400º) Sen (-2400º) = -Sen 2400º 2400º

360º

2160º

6

Residuo

240º

Luego: -Sen 2400º = -Sen 240º = -Sen (180º + 60º) …… (*) = -(-Sen 60º) = Sen 60º  Sen (-2400º) =

3 2

PRACTICA DE .REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE MAYORES DE UNA VUELTA 1.

2.

Calcular Sen 7290º a) 1

b) 0

d) 1/2

e) -1/2

a) 1/2

c) -1

d) 8.

Calcular el valor de :

3.

a) 0

b) -1

d) 1/2

e) -1/2

d)

3 /3

b) -

3 /3

9.

e)

3

c) 1

5.

6.

Calcular :

Sen 1170º  Cos 3780 º 2

Sen 990 º

a) -1

b) 2

d) 1

e) 0

b)

3 /2

11.

a) -2

b) 2

3

d) 1

e) -

3 /3

c) -

3

12.

a) 1/2

b)

d) 1

e) 0

7.

c)

3 /2

2 /2

2 /2

a) 1/2

b) -1/2

d) -1/3

e) 1/4

c) 1/3

Calcular : Tg 2933º a) 3/4

b) -3/4

d) -4/3

e) -3/5

c) 3

13.

Calcular : Cos 750º

- 40 -

c) 4/3

Calcular : E = Csc 690º Tg 600º b)

3

E = 2 Tg (1485) + 6 Cos 2200º - 2 Sen 750º e) 5

3 /2

Calcular : Cos 5380º

d) -2

d) 4

c)

Calcular : Sen 2610º

a) -1

Simplificar : b) 2

e) -

2 /2

c) -2

 70    91   Calcular el valor de : E = Ctg    - Tg  12    3 

a) 1

3 /2

3 10.

4.

e)

c) 3/4

Calcular : Sen 4020º

d) -

c) 1

Calcular el valor de : E = Tg 1920º Ctg 36135º a) -

3

a) 1/2

E = Sen 36270º Cos 36180º

3 /2

b) -

Simplificar : E =

e) -

3 3

Sen 500 º Sen 400 º

a) 1

b) 2

d) -1

e) 0

c) 1

+

Cos 740 º Cos 520 º c) -2

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA es una Igualdad de expresiones trigonométricas que se verifica para todo valor admisible de la variable

Las notables son: POR COCIENTE

RECIPROCAS

Sen.Csc = 1

Tg =

Cos.Sec = 1 Ctg =

Tg.Ctg = 1

PITAGÓRICAS

Sen2 + Cos2 = 1

Sen Cos

1 + Tg2 = Sec2

Cos Sen

1+ Ctg2 = Csc2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES En trigonometría se presentan gran cantidad de formulas que muestran la variada forma en que se interrelacionan las Razones Trigonométricas. De estas, las más importantes son las Identidades Trigonométricas llamadas fundamentales o básicas, que se clasifican así: a) Identidades Reciprocas

Sen =

1 Csc

Sen.Csc = 1

Cos =

1 Sec

Sec =

1 Cos

Cos.Sec = 1

Csc =

1 Sen

Tg =

1 Ctg

Ctg =

1 Tg

Tg.Ctg = 1

- 41 -

b) Identidades de cociente

Tg =

Sen Cos

Ctg =

c) Identidades Pitagóricas Sen2 = 1 - Cos2 Sen2 + Cos2 = 1 Cos2 = 1 - Sen2

Sec2 - Tg2 = 1 1 + Tg2 = Sec2 Sec2 - 1 = Tg2

Csc2 - Ctg2 = 1 1 + Ctg2 = Csc2 Csc2 - 1 = Ctg2 d) Identidades Auxiliares  Sen4 + Cos4 = 1 - 2Sen2 . Cos2 

Sen6 + Cos6 = 1 - 3Sen2 . Cos2

 Tg + Ctg = Sec . Csc  Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2 

(1+ sen + cos )2 = 2(1 + sen )(1 + cos )

 Sen4 - Cos4 = Sen2 - Cos2 

Sen 1  Cos  1  Cos Sen



Cos 1  Sen  1  Sen Cos

 Tg2 - Sen2

= Tg2 . Sen2

- 42 -

Cos Sen

Sugerencias para demostrar identidades Las siguientes son sugerencias que nos permiten transformar expresiones trigonométricas y a través de estos procedimientos demostrar las identidades planteadas. 1ra. Transformar el miembro más complejo utilizando las identidades básicas. 2da. Si las condiciones lo favorecen, escribir la expresión trigonométrica de un miembro de la igualdad en términos de seno y coseno. 3ra. Si un miembro de la igualdad es una fracción con un solo término en el denominador, escribir la fracción como una suma o diferencia de fracciones homogéneas, así: a b a b   c c c 4ta. Si uno de los miembros está formado por la suma o diferencia de varias fracciones, calcular el mínimo común denominador y escribir como una sola fracción. Sta. Descomponer en factores y/o desarrollar las expresiones. 6ta. Evitar introducir expresiones con radicales. EJERCICIOS 1)

Demuestra que: sen x . sec x = tg x

2)

Demuestra que: csc x - ctg x . cos x = sen x

sen 1  cos   1  cos  sen

3)

Demuestra que:

4)

Demuestra que: ctg2x - cos2x = ctg2x . cos2x

- 43 -

5)

Demuestra que:

tg sec   1  tg sec   1

8)

6)

Demuestra que:

sec   cos   tg3 csc   sen

9)

7)

Demuestra que:

1 1   2ctg sec   1 sec   1

Demuestra que: tg2 x - sen2 x = tg2 x . sen2 x

Demuestra que: (1 + sen x+ cos x) 2 = 2(1 + sen x) (1 + cos x)

Demuestra que,:

10) 2

sen .tg+cos2.ctg+2sen.cos = tg+ctg

11) Demuestra que,: sen(1+tg)+cos(1+ctg) = sec+csc

- 44 -

PRACTICA DE .REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE MAYORES DE UNA VUELTA

1.

Si   ]0;

 [ , simplificar: 4

EJERCICIOS Nº 2

A  1  2SenCos  1  2SenCos

a) 2Cos d) 2Csc 2. Reducir: E  a) Sen d) 2Cosx

4. Si:

b) 2Cscx e) 2Tgx

b) 3 e) 6

5. Simplificar:

CosTg  SenCtg Sen  Cos

a) 1 d) Cos

b) Sen e) 2

b) 1 e) 4

b) Cos e) Cos2

c) Sen2x

Sen Cos  Csc Sec c) 2Sec2.

a) 1 d) 2Tg

b) 2 e) 2Ctg

4. Reducir: M 

Senx 1  Cosx  1  Cosx Senx

a) 2 d) Secx

b) 2Secx e) Cscx

c) 2Secx

c) 4

5. A qué es igual la expresión: c) Tg

a) Senx d) Ctgx

b) Cosx e) Secx

c) 2Cscx

Cosx  Tgx 1  Senx c) Tgx

6. Simplificar: P = SenCosTgSec

c) 2

7. Reducir: E = Tg (Csc - Sen) a) Sen d) Sen22

c) Cosx

b) Senx e) Cos2x

3. Simplificar: N 

6. Reduciendo la expresión: (Sen + Cos)2 + (Sen - Cos)2 se obtiene: a) 1/2 d) 3

a) 1 d) Secx

c) 2Secx

2  Sen  25 calcular: Tg + 2Ctg 1  Cos

a) 2 d) 5

b) Senx e) Cos2x

2. Reducir: M = (Secx-Cosx)Ctgx

Sen  Ctg 1  Cos b) 2Cscx e) 2Tgx

Reducir: M = (Cscx – Ctgx) (1 +Cosx) a) 1 d) Sen2x

b) 2Sec c) 2Sen e) 2SenCos

1  Senx Cosx 3. Reducir:  Cosx 1  Senx a) 2Secx d) 2Cosx

1.

a) 1 d) Sec

b) Sen e) Csc

c) Cos

7. Si: Tg + Ctg = 4 Calcular: Tg2 + Ctg2 c) Tg

a) 16 d) 10

- 45 -

b) 14 e) 8

c) 12

F.T. de la suma de dos ángulos: Sen       Sen  Cos   Cos  Sen 

Cos       Cos  Cos   Sen  Sen  1)

Tg      

Cotg      

Tg   Tg  1  Tg  Tg  2)

Cotg   Cotg   1 Cotg   Cotg 

F.T. de la diferencia de dos ángulos:

Sen       Sen  Cos   Cos  Sen  Cos       Cos  Cos   Sen  Sen 

Tg      

Cotg      

Tg   Tg  1  Tg  Tg 

Cotg   Cotg   1 Cotg   Cotg 

- 46 -

El factorial de n es el producto de los n primeros números naturales no nulos. Se simboliza por n ! ó

n = n! = 1 x 2 x 3 x 4 x .... x(n – 1) x n

Ejemplos: 2! = 1 x 2 = 2

POR DEFINICIÓN

3! = 1 x 2 x 3 = 6

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

PROPIEDAD n! = n ( n – 1 )!

0!  1

Ejemplo: 

5! = 5 x 4!



8! = 8 x 7 x 6!

Ejemplo: Resolución.-

E=

8! 6!



6! 5!

Ejemplo: Simplificar R  Resolución.

- 47 -

n!  n(2  n) (n  2)!

n.

 8! 7 ! 25  ! Ejemplo: Simplificar P     (7!)2  (6!)2 6   

PRACTICA DE FACTORIAL DE UN NÚMERO

 Simplificar

cada

una

de

las

siguiente

expresiones: 1. E =

5!  6!  7!

b) n-1

d) 2n + 1

e) 2n – 1

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

5. Calcular la suma de los valores que toma “x” en: (x – 5)! = 1

15!  16!

a) 5

b) 6

d) 10

e) 11

15!  16!  17!

6. Si se sabe que: a)

1

b)

17

1 d) 3

1 15

 4! x 15!    7! x 13! 

1 16

b) 64

d) 32

e) 128

V

c) 16

a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

7. Reducir:

n!(n  1)! (n  1)!

- 48 -

E=

c) 7

n n!  k (n  k)!

Hallar el valor de: E =

3!

a) 1

M=

c)

1 e) 2

3. B = 

4.

c) n - 1

5!  6!

a) 5

2. F =

a) n + 1

V

10 8 xV 2 3 7 V 5

c) 12

a!(a  1)!(a  1)! a!  (a  2)!  a(a  1)! . (a  2)!

a) a

b) 1/2

d) a!

e) a – 1

c) 1/a

8. Hallar “x” en:

(x  6)! x (x  8)! (x  6)! x (x  7)!

 12

14. Simplificar: a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

9. Resolver:

(x  5)!

c) 4

a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

d) 5040

e) 5!

c) 6

a) 5

b) 6

d) 8

e) 6 ó 7

16. Calcular:

16!  17!

E=

16!  17!  18!

a) 1/15

b) 1/18

d) 15

e) 31

17. Calcular:

4!  0!

c) 7

c) 17

20!  21!  22!

E=

20!  21!

E = (a . b)b – a

Calcular el valor de E:

a) 20

b) 9

d) 4

e) 16

2! 0!

(x  6)! = 1

c) 3

11. Sabiendo que: a = 2 x 2! y b =

-

c) 15

2!

a) -32

b) -24

d) -42

e) 8

2

b) 0

15. Hallar “x”

c) 8

10. Hallar “n” si: [ (n! + 2)! – 4]! = 20!

13. Simplificar:

a) 1

 156

(x  3)!

12. Efectuar: 3!

 1!  1 !  1 !  1 !  0!  0 !  0 !  0 !

a) 12

b) 14

d) 22

e) 20

18. Reducir:R = 3! 1!

c) 16

8 ( 4 7 )2 8! x 8

a) 2

b) 4

d) 7

e) 32

c) 8

c) -28 19. Expresar “E” como factorial: E = 3 x 6 x 9 x 12 x … x (3n)

( a  1)!  a! ( a  1)!  ( a  2)!

2

a) a +2a+1

b) a -3a+2

d) a2+a-2

e) a2-a+2

c) a

- 49 -

a) 3n x n!

b) 3! x n

d) n! x 3n

e)

n! 3

c) 3! x n!

20.Simplificar: E =

2! (3! )! ((4! )! )! (((5! )! )! )!

a) 1

b) 2

d) 16

e) 64

(n  3)! x (n  5)!

25. Resolver:

6! (24! )! ((120! )! )!

c) 3

(n  3)!  (n  4)!

a) 0

b) 1

d) 3

e) N.A.

 120

c) 2

26. Si: (n + 3)! = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n (n!  1)!  (n! )!

21. Hallar “n”:

(n! )!  (n!  1)! x (n!  1)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

22. Simplificar:

E=

Calcule los valores de “n”:

= 6(n!)

c) 3

a) 1 ; 5

b) 1 ; 3

d) 2 ; 3

e) N.A.

27. Simplifique:

1! 2! 3! 4! 5!

n!  (n  1)!  (n  2)! n!  (n  1)!

6!  5!

a) 64

b) 64/5

d) 192/5

e) N.A.

c) 24/5

a) n

b) n + 1

d) n – 1

e) n + 3

c) 2 ; 1

,nN

c) n + 2

28. Calcular (m + n): (120!  1)!  ((5! )! )!

23. Simplificar: E=

(120!  1)!

n x (n  2)!  (n  2)! n

 ((n! )! )m

(n  1)!

a) 1

b) n2

d) n

e) N.A.

c) n!

a) 7

b) 5

d) 14

e) N.A.

c) 25

29. Simplificar: E=

24. Hallar: A + B A=

10! 12! 9! 11!

B=

1! 2! 3! 4! 5!

a) 72

b) 168

d) 158

e) N.A.

2! 3! 4! 5! .... 79! 80! 279 x 378 x 477....792 x 80

6!

c) 480

- 50 -

a) 1/2

b) 1/4

d) 1

e)N.A

c) 280