• Author / Uploaded
• Camilo José Rueda Tello

Citation preview

Universidad Industrial de Santander Escuela de Matem´ aticas Taller 2: Funciones

10 de marzo de 2019 C´ alculo I Profesor: A. Fabi´an Leal

Taller 2 Instrucciones para entrega: El taller debe entregarse en parejas el jueves 21 de marzo durante la hora de clase. Tenga en cuenta que cada punto debe justificarse plenamente. I. Resuelva 1. Defina una funci´on que tenga dominio R y rango Q. 2. Muestre una funci´on que tenga dominio R y rango R \ Z ¿C´omo luce su gr´afica? 1 3. Sean f (x) = 5 − x2 y g(x) = . Encuentre una f´ormula y el dominio para las funciones x−1   g f 1 c) f ◦ g, d) g ◦ f, b) , a) , , f ) f ◦ (2f ) . e) g ◦ f g g 4. Un contenedor que transporta desechos peligrosos se fabrica de pl´astico pesado y se forma al unir dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular cuya altura h mide el doble del radio r como se muestra en la figura. (a) Exprese el volumen del contenedor como una funci´on del radio r del cilindro. (b) Exprese el ´area superficial del contenedor como una funci´on del radio r del cilindro. 4 3 πr y su ´area superficial es 4πr 2 3 5. Una recta tangente a un c´ırculo en un punto P del c´ırculo es una recta que pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y el centro del c´ırculo. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente L indicada en siguiente figura. Sugerencia: El volumen de una esfera es

y

(x − 3)2 + (y − 4)2 = 4

L b

P

x 6. La profundidad del agua d a la entrada de un puerto peque˜no en el instante t est´a modelada por una funci´on de la forma  π d(t) = D + A sin B t − 2 donde A es la mitad de la diferencia entre las profundidades de la marea alta y la marea baja, 2π , B > 0 es el periodo de mareas y D es la profundidad media. Suponga que el periodo de B mareas es 12 horas, la profundidad media en la marea alta es 18 pies y que la profundidad en la marea baja es 6 pies. Dibuje dos ciclos de la gr´afica de d.

1 7. Grafique detalladamente y = −3f (5x − 1) + , a partir de la gr´afica de la funci´on f dada en 7 la siguiente figura.

f −1

1

8. ¿C´omo se relaciona la gr´afica de y = f (|x|) con la gr´afica de f ? Dibuje y = cos |x|. 9. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblaci´on de bacterias se duplica cada hora. Suponga que al principio hay 500 bacterias. (a) Establezca una expresi´on para la poblaci´on de bacterias despu´es de t horas. (b) ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 80000 bacterias? II. Preguntas de falso y verdadero Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Recuerde que para la soluci´on de cada ´ıtem debe expresar un contraejemplo si la afirmaci´on es falsa o una demostraci´on si la afirmaci´on es verdadera. 1. Si (a, b), (c, d) y (e, f ) est´an sobre la misma recta y los tres puntos son distintos, entonces a−c a−e e−c = = . b−d b−f f −d ln x 2. La funci´on f (x) = x no tiene as´ıntotas verticales. e 3. Si f, g y h son funciones, entonces f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h. 4. Si f es una funci´on, entonces f (s + t) = f (s) + f (t). 5. La recta y = x−2 es una as´ıntota inclinada para la gr´afica de la funci´on racional f (x) = 6. Existe una funci´on tal que su funci´on inversa es peri´odica.

Page 2

x2 . x+2