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CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS VICERRECTORÍA REGIONAL ORINOQUIA

TALLER DE FUNCIONES

1. Elabore la gráfica de las siguientes funciones e indique el dominio de cada una de ellas: a) f(x) = 2x + 5 𝐷𝑓 : 𝑥𝜖𝑅 b) g(x) = 3x – 7 𝐷𝑔 : 𝑥𝜖𝑅 c) f(x) = x2 + 1 𝐷𝑓 : 𝑥𝜖𝑅 d) f(t) = t2 – 3t + 5 𝐷𝑓 : 𝑡𝜖𝑅 e) g(t) = √𝑡 − 2 𝑔(𝑡) = √𝑡 − 2 𝑡−2≥0 𝑡≥2 𝐷𝑔 : 𝑡𝜖𝑅 / 𝑡 ≥ 2 𝐷𝑔 : 𝑡𝜖𝑅 / 𝑡𝜖[2, ∞)

2. Si el costo de fabricación de un bolígrafo es de $250 por unidad y se venden por $800, calcular: a) La función de beneficios en función del número de bolígrafos vendidos. Representar su gráfica. 𝐵 (𝑥 ) = 𝐼 (𝑥 ) − 𝐶(𝑥) 𝐼 (𝑥 ) = 800𝑥 𝐶 (𝑥 ) = 250𝑥

𝐵(𝑥 ) = 800𝑥 − 250𝑥 = 550𝑥 𝐵(𝑥 ) = 550𝑥

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𝐵(𝑥 ) = 550𝑥 b) Calcular los beneficios si se venden 5.000 bolígrafos. 𝐵(𝑥 ) = 550𝑥 𝐵(5000) = 550 ∗ 5000 𝐵(5000) = 275000

c) Calcular cuántos bolígrafos deben venderse para generar unos beneficios de $2.350.000. 𝐵(𝑥 ) = 550𝑥 = 2350000 550𝑥 = 2350000 2350000 𝑥= 550 𝑥 = 4272,73 𝑥 = 4273

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3. Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas. Realiza una tabla para la anterior función y grafícala. Para 𝑥 = 1 𝑦 = 30 ∗ 1 − 15 = 30 − 15 𝑦 = 15 Para 𝑥 = 2 𝑦 = 30 ∗ 2 − 15 = 60 − 15 𝑦 = 45 Para 𝑥 = 3 𝑦 = 30 ∗ 3 − 15 = 90 − 15 𝑦 = 75 Para 𝑥 = 4 𝑦 = 30 ∗ 4 − 15 = 120 − 15 𝑦 = 105 Para 𝑥 = 5 𝑦 = 30 ∗ 5 − 15 = 150 − 15 𝑦 = 135 Para 𝑥 = 6 𝑦 = 30 ∗ 6 − 15 = 180 − 15 𝑦 = 165 Para 𝑥 = 7 𝑦 = 30 ∗ 7 − 15 = 210 − 15 𝑦 = 195 Para 𝑥 = 8 𝑦 = 30 ∗ 8 − 15 = 240 − 15 𝑦 = 225

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Hora 1 2 3 4 5 6 7 8

Recolectado (kg) 15 45 75 105 135 165 195 225

¿Cuántos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas? En 8 horas se recogerán 225 kg de algodón. 4. Una empresa que fabrica radios tiene costos fijos de $3000 y el costo de la mano de obra y del material es de $15 por radio. Determine la función de costo, es decir, el costo total como una función del número de radios producidos. Si cada radio se vende por $25, encuentre la función de ingresos y la función de utilidades. 𝐶 (𝑥 ) = 3000 + 15𝑥 𝐼 (𝑥 ) = 25𝑥 𝑈(𝑥 ) = 𝐼(𝑥) − 𝐶 (𝑥 ) 𝑈 (𝑥 ) = 25𝑥 − (3000 + 15𝑥) 𝑈 (𝑥) = 25𝑥 − 3000 − 15𝑥 𝑈(𝑥 ) = 10𝑥 − 3000

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5. Una compañía ha determinado que el costo de producir x unidades de su producto por semana está dado por: C(x) = 5000 + 6x + 0.002x2 . Evalúe el costo de producir: a) 1000 unidades por semana. 𝐶 (𝑥 ) = 5000 + 6𝑥 + 0.002𝑥 2 𝐶 (1000) = 5000 + 6 ∗ 1000 + 0.002 ∗ 10002 𝐶 (1000) = 5000 + 6000 + 0.002 ∗ 1000000 𝐶 (1000) = 5000 + 6000 + 2000 𝐶 (1000) = 13000

b) 2500 unidades por semana. 𝐶 (2500) = 5000 + 6 ∗ 2500 + 0.002 ∗ 25002 𝐶 (2500) = 5000 + 15000 + 0.002 ∗ 6250000 𝐶 (2500) = 5000 + 15000 + 12500 𝐶 (2500) = 32500

c) Ninguna unidad. 𝐶 (0) = 5000 + 6 ∗ 0 + 0.002 ∗ 02 𝐶 (0) = 5000 + 0 + 0 𝐶 (0) = 5000

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6. Por el alquiler de un coche cobran una cuota fija de 20.000 pesos y adicionalmente 3.000 pesos por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica que representa esta función y grafícala, ¿cuánto dinero hay que pagar para hacer un recorrido de 125 Km? y si page un valor de 65.000 pesos ¿cuantos kilómetros recorrí? 𝐶 (𝑥 ) = 20000 + 3000𝑥 𝐶 (125) = 20000 + 3000 ∗ 125 𝐶 (125) = 20000 + 375000 𝐶 (125) = 395000 𝐶 (𝑥 ) = 20000 + 3000𝑥 65000 = 20000 + 3000𝑥 65000 − 20000 = 3000𝑥 45000 = 3000𝑥 45000 =𝑥 3000 15 = 𝑥 Rta: recorrió 15 kilometro al pagar $ 65 000.

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7. Mensualmente una compañía puede vender x unidades de cierto artículo a p soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x ¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12,000 soles?

𝑃 = 1400 − 40𝑥 𝐼 =𝑃∗𝑥 𝐼 = (1400 − 40𝑥)𝑥 𝐼 = 1400𝑥 − 40𝑥 2 12000 = 1400𝑥 − 40𝑥 2 40𝑥 2 − 1400𝑥 + 12000 = 0 40𝑥 2 − 1400𝑥 + 12000 0 = 40 40 𝑥 2 − 35𝑥 + 300 = 0 (𝑥 − 15)(𝑥 − 25) = 0 𝑥 − 15 = 0 𝑜 𝑥 − 25 = 0 𝑥 = 15 𝑜 𝑥 = 25 Se debe vender 15 o 25 artículos para que obtener ingresos de 12 000 soles.

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8. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra $20 por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en $0,5. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para maximizar los ingresos de la empresa?

Cobro por persona para cuando ahí x personas adicionales: 𝑐 = 20 − 0,5𝑥 Cantidad de personas: 𝑝 = 30 + 𝑥 Cobro total: 𝑖 =𝑝∗𝑐 𝑖 = (30 + 𝑥)(20 − 0,5𝑥) 𝑖 = 600 − 15𝑥 + 20𝑥 − 0,5𝑥 2 𝑖 = 600 + 5𝑥 − 0,5𝑥 2 Para el mínimo o el máximo se utiliza la ecuación: 𝑥𝑚 = −

𝑏 2𝑎

𝑖 = −0,5𝑥 2 + 5𝑥 + 600 Con 𝑎 = −0,5 𝑦 𝑏 = 5 𝑥𝑚 = −

5 2 ∗ (−0,5)

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5 =5 −1 Como a es negativa, entonces la función tiene un máximo, por lo que los ingresos máximos para la empresa de turismo se dan para 𝑥 = 5 o para 35 pasajeros. 𝑥𝑚 = −

𝑝 = 30 + 𝑥 𝑝 = 30 + 5 𝑝 = 35

9. Una empresa discográfica realiza una inversión inicial de $ 50.000.000 para preparar las canciones de un álbum musical. El costo de fabricación y grabación de cada disco es de $4.000. Además, la discográfica debe pagar al cantante $1.000 por cada disco por derechos de autor. Se decide que el precio de venta del disco sea $15.000. Se pide: a) La función de beneficios (ganancias menos gastos) de la empresa en función del número de discos vendidos. Representar su gráfica. 𝑔(𝑥 ) = 50000000 + 4000𝑥 + 1000𝑥 𝑔(𝑥 ) = 50000000 + 5000𝑥 𝑖 (𝑥 ) = 15000𝑥 𝐵 (𝑥) = 15000𝑥 − (50000000 + 5000𝑥) 𝐵(𝑥 ) = 15000𝑥 − 50000000 − 4000𝑥 𝐵 (𝑥) = 11000𝑥 − 50000000

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b) El número de discos que deben venderse para que la empresa tenga unas ganancias de 100.000$. 𝐵 (𝑥) = 11000𝑥 − 50000000 100000 = 11000𝑥 − 50000000 100000 + 50000000 = 11000𝑥 50100000 = 11000𝑥 50100000 =𝑥 11000 𝑥 = 4554,54 𝑥 = 4555 c) ¿Cuáles son los beneficios si se venden sólo 200 discos? 𝐵(𝑥 ) = 11000𝑥 − 50000000 𝐵(200) = 11000 ∗ 200 − 50000000 𝐵(200) = 2200000 − 50000000 𝐵(200) = −47800000 Con 200 discos vendidos no ahí ganancias, ahí una pérdida de 47 800 000