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Aplicaciones del Cálculo y Estadística

Ejercicios Distribuc. Normal P.F.R 2017 - 02

Tema: Distribución Normal de Probabilidades

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1.- Un empresario tiene un proyecto de inversión en tres tipos de negocios, comida rápida, sala de juegos y venta de computadoras portátiles. Por averiguaciones pasadas sabe que la probabilidad de que la inversión tenga éxito en comida rápida es del 70%, en sala de juegos es del 60% y en venta de computadoras portátiles es del 50%. El empresario considera que el proyecto de inversión será exitoso si tiene éxito en los tres negocios. Si se considera independencia entre los tres negocios. a) Calcule la probabilidad de que tenga éxito en comida rápida o sala de juegos. b) Calcule la probabilidad que tenga éxito en sólo uno de los negocios. c) Calcule la probabilidad de que el proyecto no sea exitoso. 2.- Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. 3.- Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? 4.- El 60% de los empleados de una compañía internacional son peruanos, el 30 % son americanos y el resto europeos. El 25 % de los peruanos son hombres, el 50 % de los americanos también son hombres y el 15 % de los europeos son mujeres. Si se selecciona un empleado de esta compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) b) c) d) e)

¿Sea mujer? ¿Sea mujer si se sabe que es americano? ¿Sea europeo si se sabe que es hombre? ¿Sea una peruana? ¿Sea hombre o peruano?

5.- En una fábrica hay 3 máquinas que hacen calcetines. La producción en un día es la siguiente: N° unidades % producción Maquinas producidas por defectuosa en cada máquina máquina Máquina 1 200 3 Máquina 2 350 5 Máquina 3 450 2

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Del total de la producción de un día se saca un calcetín al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Si un calcetín resulta sin fallas, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina B?

6.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Se escoge a uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

7. En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori). Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05. Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa 8. Se presentan los trabajadores de una industria, clasificación según el cargo y el sexo. Cargo Obreros Empleados Directores Total

Sexo Hombres 80 30 4 114

Mujeres 113 17 6 136

Total 193 47 10 250

El dueño de la empresa desea otorgar un premio estimulo especial y para ello decide seleccionar al alzar uno de los trabajadores. a) Calcular la probabilidad de que sea mujer y empleado b) Calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es obrero c) Calcular la probabilidad que sea director

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13.

a) b) c) d) e)

18.

El 60% de los empleados de una compañía internacional son peruanos, el 30 % son americanos y el resto europeos. El 25 % de los peruanos son hombres, el 50 % de los americanos también son hombres y el 15 % de los europeos son mujeres. Si se selecciona un empleado de esta compañía. Dibuje el diagrama de árbol y la tabla de contingencia.¿Cuál es la probabilidad de que: ¿Sea mujer? ¿Sea mujer si se sabe que es americano? ¿Sea europeo si se sabe que es hombre? ¿Sea una peruana? ¿Sea hombre o peruano?

Se han clasificado 2000 estudiantes universitarios de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en el examen de admisión a la universidad. En la siguiente tabla también se muestra la calidad de los colegios en donde terminaron, según la clasificación que hizo un grupo de educadores. Puntaje

Clase de colegio Inferior Regular Superior

Bajo

200

100

100

Medio

150

350

300

Alto

50

150

600

Si un estudiante es elegido al azar, determine la probabilidad de que: a) Haya obtenido un puntaje alto en el examen. b) Haya terminado en un colegio de nivel regular c) Haya obtenido un puntaje medio en el examen o haya terminado en un colegio de nivel inferior. d) Haya obtenido un puntaje alto en el examen dado que haya terminado en un colegio de nivel regular.

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1. Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene cuatro líneas telefónicas. Sea la variable aleatoria X: Nº de líneas ocupadas en un momento determinado, cuya distribución de probabilidad esta dada por:

a. b. c.

x

0

1

2

3

4

f(x)

0,10

k

k+0.05

k+0.05

k

Halle el valor de la constante k para que f(x) sea función de probabilidad. Hallar el número promedio de líneas ocupadas en un momento determinado. También hallar la varianza y la desviación estándar de X Si la función pérdida (en soles) del negocio P por línea ocupada está dada por: P = 10X + 2. Calcule el valor esperado y la varianza de P.

2. Se tiene la siguiente variable aleatoria X: Nº de averías que un operario resuelve en una jornada de trabajo. Su distribución de probabilidad es la siguiente:

a. b. c.

x

0

1

2

3

f(x)

k

k/2

k/3

k/4

Halle el valor de la constante k para que f(x) sea función de probabilidad. Hallar el número promedio de averías que un operario podría resolver en una jornada de trabajo. También hallar la varianza y la desviación estándar de X. Si la utilidad U (en soles) que le genera al operario resolver averías en una jornada de trabajo está dado por: U = 3X + 2, determine la utilidad esperada, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la utilidad.

14. La ley de probabilidad de una variable aleatoria discreta es:

X

0

1 2 3 4

P(X) 0.1 A B C 0.2

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Ejercicios Distribuc. Normal P.F.R 2017 - 02 Sabiendo que: P( X  2)  0.7 y que P( X  2)  0.75 , hallar su esperanza matemática y su desviación estándar. 1. El número total de horas (en cientos) que una familia hace uso de internet durante medio año es una variable aleatoria continua X, que tiene la siguiente función de densidad:

X ; 0  X 1  f ( X )  2  X ; 1  X  K 0; en otros casos  a) Determine el valor de “K”, de tal manera que f(X) represente una función densidad de probabilidad.

b) Determine e interprete E(X) y desviación estándar de la variable aleatoria X. c) Determine la función de distribución f(X). 2. De acuerdo con las estadísticas del restaurante MIRADOR el 2% de sus clientes devuelven su plato por considerar que está mal condimentado. El restaurante debe atender a 100 clientes a) ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 clientes devuelvan su plato por estar mal condimentado?

6. De acuerdo a los datos del gobierno, el 30% de las mujeres que trabajan nunca han estado casadas. Se elige al azar una muestra de 11 mujeres trabajadoras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellas nunca hayan estado casadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 de ellas nunca hayan estado casadas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de ellas hayan estado casadas.

7. El porcentaje de familias que usan el jabón A en cierta ciudad es 20%. se toma una muestra aleatoria de tamaño n = 20 familias. Suponiendo independencia entre familias: a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 familias usen este jabón? b) ¿Cuál es el número esperado de familias que no usan este jabón?

8. En líneas generales, la probabilidad que un posible cliente efectúe una compra cuando el vendedor ESTRELLA se comunica con él es 0.6. Si el vendedor ESTRELLA selecciona aleatoriamente de su agenda 3 posibles clientes y se comunica con ellos. a) ¿Cuál es la probabilidad que los 3 clientes efectúen la compra? b) ¿Cuál es la probabilidad que sólo uno efectúe la compra?