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Probabilidades EJERCICIOS ( LATEX) Ein Lehrer Artículos varios. Chile

August 27, 2014

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Probabilidades, Ejercicios

1.1

Ejercicio

En el cumpleaños de Gonzalo una piñata contiene 80 masticables, 20 bombones, 30 gomitas, y 70 caramelos. Si cuando Gonzalo rompe la piñata logras agarrar algo de ella, calcula la probabilidad de que sea: a) un caramelo

d) un caramelo o una gomita

g) un bombón

b) un masticable

e) una gomita o un masticable

h) un bombón o una gomita

c) una gomita

f) un dulce

i) un helado

Solución Hay un total de 200 elementos en la piñata. Esto es, el universo Ω es de cardinalidad 200. a) Hay 70 caramelos. Luego la probabilidad es: p(C) =

7 70 = = 0.35 200 20

(también puede verse como el 35%)

b) 80 masticables. p(M ) =

80 2 = = 0.4 200 5

(esto es un 40%)

c) 30 gomitas. p(G) =

30 3 = = 0.15 200 20

d) que salga caramelo o gomita son eventos disjuntos (también denominados como excluyentes). Entonces las probabilidades se suman. 70 30 100 p(C ∪ G) = p(C) + p(G) = + = = 0.5 200 200 200 e) lo propio ocurre con las gomitas o masticables. p(G ∪ M ) = p(G) + p(M ) =

80 110 11 30 + = = = 0.55 200 200 200 20

f) todos son dulces, excepto los bombones. p(D) = 1 − p(B) = 1 −

20 1 9 =1− = = 0.9 200 10 10

Otra forma de verlo, es sumar todas las probabilidades de aquellos elementos que son dulces (masticables, gomitas y caramelos). Esto es: p(D) = p(M ) + p(G) + p(C) =

80 30 70 180 9 + + = = = 0.9 200 200 200 200 10 1

g) hay 20 bombones p(B) =

20 1 = = 0.1 200 10

h) sumemos las probabilidades de bombones o gomitas p(B ∪ G) = p(B) + p(G) =

30 50 1 20 + = = = 0.25 200 200 200 4

i) No hay helados. Su probabilidad es nula. p(H) = 0

1.2

Ejercicio

Se lanzan tres monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad que: a) salgan 3 caras? b) salgan 3 sellos? c) no salgan caras? d) que salga al menos 1 cara? e) salgan 2 caras y 1 sello? Solución Enumeremos todas las posibilidades: CCC

CCS

CSC

CSS

SCC

SCS

SSC

SSS

Son un total de 8 posibilidades. a) Hay 1 única posibilidad de que salgan 3 caras. Luego, la probabilidad es: p(3C) =

1 = 0.125 8

b) Similarmente, hay 1 única posibilidad de que salgan 3 sellos. La probabilidad es: p(3S) =

1 = 0.125 8

c) Que no salgan caras, equivale a decir que sólo salgan sellos. Entonces, la probabilidad es: p(ninguna cara) = p(3S) = 0.125 d) Que salga al menos 1 cara equivale a que salga 1 cara, o que salgan 2 caras o que salgan 3 caras. Entonces, la probabilidad es: p(al menos 1C) = p(1C) + p(2C) + p(3C) 3 3 1 = + + 8 8 8 7 = = 0.875 8 Otra forma de resolverlo corresponde a lo siguiente: Que salga al menos 1 cara son todos los casos, menos aquellos en que sólo salen únicamente sellos (que es un único caso). p(al menos 1C) = 1 − p(3S) = 1 −

1 7 = = 0.875 8 8

e) Hay 3 casos con 2C y 1S. Luego, la probabilidad es: p(2C y 1S) =

2

3 = 0.375 8

1.3

Ejercicio

Se lanzan cinco monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad que: a) salgan 5 caras? b) salga al menos 1 cara? c) salgan 3 caras y 2 sellos? Solución Este ejercicio, aún cuando es similar al anterior, tiene un espacio muestral mucho mayor. Podemos resolver fácilmente las dos primeras preguntas, pero la tercera nos plantea la necesidad de tener un mecanismo más rápido para contar las combinaciones de resultados. Más adelante veremos un capítulo completo dedicado a las combinaciones y permutaciones y los principios de conteo involucrados. Por ahora, dado que son 5 monedas, y cada una tiene 2 resultados posibles, la cantidad total de resultados posibles es 25 (En general, si se lanzan n monedas, la cantidad de resultados posibles es 2n ). a) hay sólo 1 posibilidad de que salgan 5 caras. Luego, la probabilidad es: p(5C) =

1 1 = = 0.03125 5 2 32

b) Que salga al menos 1 cara, corresponde al complemento de que no salga ninguna cara (o sea, 5 sellos). Luego, la probabilidad es: p(al menos 1C) = 1 − p(5S) = 1 −

1 = 1 − 0.03125 = 0.96875 25

c) Esta pregunta requiere técnicas de conteo, que veremos más adelante (intente resolverla contando todos los casos favorables !)

1.4

Ejercicio

De la producción de tornillos de cierta magnitud resulta que el 5% de ellos no tienen el largo especificado, el 7% no tienen el diámetro especificado y el 2% tiene ambos defectos. Se elige un tornillo al azar de la producción de estas magnitudes. ¿Cuál es la probabilidad que: a) tenga al menos uno de los dos defectos? b) tenga sólo el defecto del largo? c) tenga sólo uno de los dos defectos? d) no tenga defectos? Solución Sean

Veamos gráficamente estos conjuntos:

A =

{tornillos con defecto del largo}

B

{tornillos con defecto del diámetro}

=

𝛀 A

B 0.03

3

0.02

0.05

a) La probabilidad de que tenga al menos uno de los dos defectos es p(A ∪ B) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0.05 + 0.07 − 0.02 = 0.10 b) "sólo el defecto del largo" equivale a los que tienen el defecto de largo, descontando los que además tienen defectos de diámetro. p(A − B) = p(A) − p(A ∩ B) = 0.05 − 0.02 = 0.03 c) "sólo uno de los dos defectos" corresponde a los que tienen el defecto de largo, descontando los que además tienen defectos de diámetro, más los que tienen defectos de diámetro descontando los que además tienen defecto de largo. p(A − B) + p(B − A) = (0.03) + (p(B) − p(A ∩ B)) = 0.03 + (0.07 − 0.02) = 0.08 Esto también puede verse como la unión de todos los que tienen algún defecto, descontando los que tienen ambos defectos. p(A ∪ B) − p(A ∩ B) = 0.10 − 0.02 = 0.08 d) "sin defectos" corresponde a que no esté ni en A ni en B (es decir, que no pertenece a A ∪ B). p((A ∪ B)c ) = 1 − p(A ∪ B) = 1 − 0.10 = 0.90

References [1] Paredes Núñez, Pamela - Ramírez Panatt, Manuel - Apuntes PSU 2009 (2009) [2] Estuardo Morales, Aaron - Estadística y Probabilidades (2012)

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