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MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

Trabajo Práctico No. 4: Probabilidades I Contenido: Experimento. Concepto de probabilidad. Probabilidad de un suceso. Sucesos simples y compuestos. Relaciones entre sucesos: sucesos mutuamente excluyentes, sucesos independientes, probabilidad condicional. Ley de aditividad y ley multiplicativa de probabilidad. Probabilidad total y marginal. Cálculo e interpretación.

Lecturas recomendadas: Chou, Cap.4: 72-109. Mendenhall,Cap.4: 73-123. Santaló, 1970. Cap.1:1-12; Cap.2: 13-32. Tulcanaza, Cap.1: 1-17. Santaló, Cap. 1 y 2: 1-32.

Idea principal La probabilidad permite utilizar la información de una muestra para hacer inferencias de la población . Las condiciones geológicas que determinan un fenómeno geológico por ejemplo, la presencia de un afloramiento, la ocurrencia de los minerales en una región, la composición mineralógica y química de una roca o las características de un paisaje, impiden definir con precisión estos “productos” en cuanto a sus características internas y a su ocurrencia espacial. Esto sucede porque son el resultado de fenómenos geológicos que se superponen en el tiempo y que desarrollan interacciones muy difíciles de identificar. Con todo, la experiencia muestra que en diversas circunstancias, por ejemplo bajo condiciones tectónicas similares, existe cierta regularidad. De este modo, las sucesivas frecuencias de ocurrencia de un determinado fenómeno son, en términos generales, parecidos. Esta regularidad es tanto más grande cuanto mayor es la cantidad de observaciones. Es esta constatación experimental la que lleva a interpretar la probabilidad como el límite de la frecuencia relativa que resultaría de considerar una serie infinita de experiencias. Se puede extrapolar el concepto desde las observaciones particulares hasta el caso en que el número de observaciones crece indefinidamente. Cuando esto sucede, la frecuencia de ocurrencia, expresada como frecuencia relativa, se transforma en probabilidad de ocurrencia. El análisis de probabilidades asociada a los eventos junto con modelos matemáticos teóricos hace posible desarrollar métodos estadístico que permiten “predecir” el comportamiento pasado y/o futuro de los objetos o fenómenos geológicos bajo estudio.

4.1) Se realizan los siguientes experimentos aleatorios: I) Se lanza un dado. a) Indicar los puntos que componen el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? A: se observa un 5; B: se observa un número impar; C: se observa un número menor que 5. Justifique las siguientes respuestas usando los axiomas. c) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso simple y cuál compuesto? d) ¿Son A y C sucesos mutuamente excluyentes? e) ¿Son A y C sucesos independientes? f) ¿Son A y B sucesos independientes? II) Se lanzan dos dados simultáneamente: a) Indicar los puntos que componen el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de ambas caras superiores sea: 2, 3; 10 y 14? c) Si en un dado se obtuvo un 6 ¿cuál es la probabilidad de obtener un 6 en el segundo dado? III) En el juego de generala se lanzan 5 dados simultáneamente: a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar generala servida? b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar escalera servida? 4.2) Un estudiante tiene un despertador que logra despertarlo en un 80% de los días. Un día tiene un examen a las 8.00 de la mañana. Si oye el despertador, la probabilidad de que realice el examen es 0,9 y, si no lo escucha de 0,5. a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

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4.3) A un puesto aduanero llega periódicamente misiones diplomáticas procedentes de un determinado país y que están constituidas por 10 miembros. El citado país es un gran productor de marihuana, circunstancias, que de vez en cuando, es aprovechada por sus misiones diplomáticas para introducir algún que otro cargamento en el país que visitan, siendo la forma de hacerlo el que dos de cada diez miembros lleven en sus maletas la hierba. Los aduaneros tienen ya información del truco, pero, para no producir incidentes diplomáticos, se limitan a inspeccionar dos de cada diez maletas dejando pasar a la misión si en las maletas inspeccionadas no encuentran droga. Su experiencia les dice además que el 10% de las misiones portan drogas. Si una misión inspeccionada no arroja resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente dicha misión no lleve droga alguna? 4.4) Una empresa petrolera conoce que en un bloque sus pozos tendrán 2% de posibilidad de obtener gas y petróleo, 3 % solo gas y 95% agua. La empresa realizará solamente 2 perforaciones. Gana 500 millones de dólares si encuentra gas y petróleo en un pozo y 100 millones de dólares si encuentra solo gas. Perforar un pozo cuesta 2 millones de dólares. a) Describa el espacio muestral. b) Calcule las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral c) ¿Cuál es la ganancia esperada? 4.5) El arsénico es usualmente un componente del agua subterránea que es toxico para la salud humana cuando alcanza determinados tenores. Puede producir cáncer de piel, de vejiga, riñón, hígado y pulmón. Una de las zonas afectadas en Argentina es la llanura chacopampeana. Allí, el origen del arsénico se adjudica a la presencia de cenizas y vidrios volcánicos en los sedimentos loéssicos de la región. La Dirección de Medio Ambiente realiza una campaña de monitoreo de agua en la región. Se muestrea el agua de 3 pozos y se analiza por arsénico. Si el agua presenta concentraciones de nivel de arsénico por debajo del permitido por la OMS es apta para consumo domestico y se registra “A”, si el contenido de arsénico supera el nivel no es apta para el consumo y se registra “N”. Grafique los puntos del espacio muestral. Calcule la probabilidad de obtener un pozo con arsénico por debajo del nivel permitido en dos de las tres observaciones, sabiendo que el 15% de los pozos tienen arsénico por encima del valor permitido. 4.6) El INTA tiene dos estaciones meteorológicas en la provincia de Santa Cruz: Don Neno, ubicada en Los Antiguos, y El Calafate localizada en la ciudad homónima. Representamos con N cuando llueve en Don Neno y por C cuando llueve en El Calafate durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio. Se observa que la probabilidad que P(N) = P(C) = 0,40 y P(N∩C) = 0,28. a) ¿Cuál es la probabilidad que llueva en N sabiendo que llueve en C (P(N│C)? b) ¿Cuál es la probabilidad que llueva en C sabiendo que llueve en N (P(C│N)? c) ¿Cuál es la probabilidad que llueva en N y C (P(NUC)) d) ¿Son independientes N y C? 4.7) Investigadores de la Unidad de Geomorfología del Instituto Argentino de Nivología, Glaciología y Ciencias Ambientales (IANIGLA) analizaron las variables que condicionan la inestabilidad de las laderas en los valles de los ríos Las Cuevas y Mendoza mediante la aplicación de un modelo probabilístico. Para ello, superpusieron en el entorno de un SIG el mapa inventario de los procesos de remoción en masa y diferentes mapas temáticos de las principales variables condicionantes de la inestabilidad. Se estudiaron 200 procesos de remoción en masa. Las variables que mejor predicen el comportamiento de las laderas a escala regional son la litología y la pendiente. Pendiente menor a 10° o mayor a 60°

Pendiente entre 10° y 60°

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Basamento pre-jurásico constituido por depósitos altamente deformados y parcialmente metamorfizados de la Formación Alto Tupungato de edad carbonífera media a pérmica inferior.

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MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA Rocas sedimentarías de las formaciones jurásicas La Manga, Auquilco y Vaca Muerta, compuestas respectivamente por calizas, yeso y lutitas.

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Se analiza la ocurrencia de un deslizamiento cualquiera, a) Representar mediante un árbol de probabilidades las diversas alternativas de ocurrencia de procesos de remoción en masa (espacio muestral). b) ¿Cuál es la probabilidad que ocurra un deslizamiento en rocas jurasicas en terrens con pendientes entre 10° y 60°? c) Si la pendiente está entre 10° y 60° ¿cuál es la probabilidad de que un deslizamiento se produzca en cualquiera de las dos litologías? d) Calcule la probabilidad de que se produzca un deslizamiento en una roca sedimentaria jurasica sabiendo que la pendiente del terreno es de 45°. e) Calcule la probabilidad de que se produzca un deslizamiento en un terreno con pendiente de 5° sabiendo que es en el basamento pre-jurasico. 4.8) Una empresa minera debe decidir si invierte dinero en explorar con métodos geofísicos un distrito, solicita un informe a tres geólogos especialistas para que se pronuncien de forma favorable o desfavorable a la perforación a la exploración. Por experiencias anteriores en circunstancias similares, se sabe que los tres geólogos tienen actitudes diferentes e independientes ante el riesgo. Esta situación se refleja en las probabilidades de aconsejar a compra de este tipo de operaciones que son respectivamente 0,8; 0,5 y 0,3. Con esta información a priori calcule: a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje realizar las campañas. b) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje realizar las campañas. Ejercicios Suplementarios 4.9) Una empresa dedicada a la búsqueda de petróleo y gas tiene éxito en el 10% de sus perforaciones. Si la empresa perfora sólo 2 pozos: a) ¿cuál es la probabilidad de que la empresa encuentre petróleo o gas en la primera perforación y falle en la segunda? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa encuentre petróleo o gas en al menos una de las perforaciones? 4.10) La ciudad A es afectada por 2 tipos de contaminación: aire y agua, mientras que la ciudad B sólo presenta contaminación del aire. Se ha puesto en marcha un plan para controlar estas fuentes de contaminación. Se estima que la probabilidad de que la contaminación del aire sea controlada exitosamente en la ciudad A es el cuádruple de dicha probabilidad en la ciudad B, y que si la contaminación del aire es controlada en la ciudad B, la contaminación del aire en la ciudad A será controlada con un 90% de probabilidad. El control de la contaminación del agua en la ciudad A es independiente del control de la contaminación del aire en ambas ciudades. En la ciudad A, la probabilidad de que la contaminación sea controlada totalmente (es decir, ambas fuentes) es de 32%. Controlar la contaminación del agua en la ciudad A es sólo la mitad de probable que hacerlo con la contaminación del aire en esa misma ciudad. Determinar: a) La probabilidad de que la contaminación del aire sea controlada en ambas ciudades. b) La probabilidad de que la contaminación (en sus dos formas, en ambas ciudades) sea completamente controlada. c) La probabilidad de que por lo menos una ciudad se encuentre libre de toda fuente de de contaminación.

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Trabajo Práctico No. 5: Probabilidades II Contenido: Variables aleatorias continuas y discretas. Distribuciones de probabilidades simples y acumuladas. Cálculo e interpretación. Lecturas recomendadas: Chou, 1990. Cap.4: 113-143. Santaló, 1970. Cap.3:33-12. Spiegel, 1991. Cap. 6: 129-158; Cap.7: 159-185. Sokal & Rohlf, 1979. Cap. 5: 77-114; Cap. 6: 115-143.

Idea principal En la aplicación de la teoría de probabilidades a situaciones geológicas prácticas es más conveniente trabajar con números que con resultados cualitativos porque los números reales se adaptan mejor a la descripción y análisis matemáticos que los objetos. Por otra parte, en muchos experimentos no se puede identificar todos los posibles puntos de muestra, aunque sea posible determinar si un hecho elemental corresponde o no a cierto conjunto de hechos del espacio de muestra. Por consiguiente, generalmente se puede descomponer el espacio de muestra en conjuntos mutuamente excluyentes, cada uno de los cuales pueden representar un hecho de interés que puede ser asociado a un valor numérico. Estas observaciones nos inducen a considerar lo que se conoce como variable aleatoria y funciones de probabilidad.

5.1) En el experimento que consiste en lanzar dos dados, describa la distribución de probabilidades simples y acumuladas. Realice un gráfico para cada distribución. Repita la operación para la suma de la cara superior de ambos dados. 5.2) Cuando se producen olas mayores a 3 metros de altura en Puerto Quequén hay peligro de desastres con los barcos apostados allí y se deben implementar medidas de contingencia. Describir el espacio muestral asociado al experimento: “monitorear la altura de las olas de tormenta hasta que aparezca una ola mayor de 3 metros de altura”. Si la ola tiene una altura menor a 3 m se indica con OB, por ola baja, y si la altura sobrepasa los 3 m OA, por ola alta. Considere que la probabilidad que una ola supere los 3 m durante una tormenta es 0,02. a) ¿Contiene este espacio un número finito o infinito numerable de elementos? b) ¿Qué variable aleatoria se puede definir sobre el mismo? Caracterizarla. c) Grafique la distribución. 5.3) Retome los datos del ejercicio 4.5, de los pozos de agua con arsénico. a) Calcule la distribución de probabilidades simples y acumuladas de la variable “número de pozos contaminados con As”. b) ¿Se trata de una variable aleatoria continua o discreta? c) Calcule la Esperanza, Varianza, Desvío estándar y Coeficiente de variación de la distribución. 5.4) En la cátedra de Matemática y estadística se ha comprobado que el 36% de sus alumnos abandonan la cursada antes de rendir el primer parcial y el 74% restante permanecen todo el año. Supongamos que este año se inscribieron 150 alumnos. a) Explique con brevedad qué es una variable aleatoria. Identifique la variable aleatoria del problema. b) ¿Cuál es la probabilidad de que 20 o menos alumnos abandonen la cursada antes del primer parcial? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solamente abandonen la cursada exactamente 12 alumnos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que abandonen la cursada más de 80 alumnos? 5.5) En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de sabiendo que la duración media de un átomo de esa materia es de 140 días. Si Las probabilidades se pueden calcular con donde a) ¿Cuántos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% del material?

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b) ¿Qué porcentaje de materia se habrá transformado en el día 1, 10 y 100? c) Grafique la distribución de probabilidades para esta variable continua. d) De un nombre a esta distribución (nota: observar bien la función y el gráfico) 5.6) Se ha observado que un termómetro sometido a condiciones meteorológicas adversas da una medición de entre dos grados más y dos menos de la temperatura real. El error cometido sigue una variable aleatoria continua con densidad

a) Calcular el valor de k. b) Calcular la función de distribución. c) Calcular la probabilidad de que el termómetro dé la temperatura exacta. d) Probabilidad de que el termómetro cometa un error de entre -1 y 1 grado. e) Probabilidad de que el error sea menor que 1 sabiendo que es mayor que -1. f) Estima el error esperado.

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