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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Facultad de Economía y Empresa Carrera: Ingeniería Comercial Asignatura: Estadísticas I

Segundo Semestre 20010 Profesora: Claudia Rojas Pavez

Estadística Descriptiva Ejercicios Resueltos 1. Suponga que el número de paquetes de 1000 acciones cada uno, que un corredor de Bolsa vende un día Viernes entre las 9:00 y 10:00 hrs , corresponde a una variable aleatoria X ,cuya función de probabilidad está dada por: X P(X=x)

4 1/12

5 1/12

6 1/4

7 1/4

8 1/6

9 1/6

a) ¿Cuál es la probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes? Desarrollo Sea la v.a X: “ N° de paquetes de acciones vendidas por el corredor de Bolsa el día y horario indicado”

2 P (5 < X ≤ 8) 3 4 P ( X ≤ 8 / X > 5) = = = = 0,8 5 5 P ( X > 5) 6 b) El monto de los honorarios que el corredor de Bolsa cobra a sus clientes por la venta de cada paquete de acciones está dado por g ( x ) = 2 ⋅ X −1 (diez miles de $). Determine el monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de dichos paquetes de acciones durante el día y período indicados. Desarrollo

E[ X ] = 4 ⋅ Luego

1 1 41 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +9 ⋅ = = 6,8333 (paquetes de acciones) 2 6 6

E [ g ( X )] = E [ 2 ⋅ X −1] = 2 ⋅ 6,8333 −1 = 12 ,6666 ( Diez miles $) = $ 126 .666

2.

Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas, pretende poner en el mercado cierto producto en tres sabores: Naranja (A), Frutilla (B) y Plátano (C) en la proporción 35%, 45% y 20% respectivamente. El departamento de investigación ha logrado establecer mediante pruebas que, el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivos productos, presentan problema en el sellado del sabor.

a) De la proporción total de productos sabor, ¿qué % corresponden al tipo B?

con problemas

de sellado

del

Desarrollo Sean los sucesos

Luego :

A: B: C: S:

“ “ “ “

El El El El

producto “ “ … “ producto

tiene “ “ tiene

sabor a Naranja” “ a Frutilla” a Plátano” problemas de sellado del sabor”

P ( A) = 0.35 ; P ( B ) = 0.45 ; P (C ) = 0.20 P ( S | A) = 0.045 ; P ( S | B ) = 0.065 ; P ( S | C ) = 0.07

P ( S | B) ⋅ P( B ) , con P(S ) P ( S ) = 0,045 ⋅ 0,35 + 0,065 ⋅ 0,45 + 0,07 ⋅ 0,20 = 0,059 P( B | S ) =

Por tanto: P ( S | B ) ⋅ P ( B ) 0,065 ⋅ 0,45 = ≈ 0,4958 P(S ) 0,059 Un 49 ,58 % aproximada mente de los productos P( B | S ) =

b) Si resultó un producto bien sellado, ¿cuál es la probabilidad de que no corresponda al tipo B ó C?.

[

]

P ( B  C ) c | S c = ???? pero esto es equivalente a que sea de A. P ( S c ) = 1 − P ( S ) = 1 − 0,059 = 0,941 Luego :

P ( S c | A) ⋅ P( A) 0,955 ⋅ 0,35 = = 0,3552 0.941 P( S c ) Aproximada mente un 35 ,52 %

P( A | S c ) =

3. Una empresa transnacional interesada en invertir en Chile, está evaluando adquirir una de las AFP que operan en el mercado nacional. Registros estadísticos indican que, el porcentaje de participación de

dicha AFP en el mercado nacional corresponde a una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:

 k ( x2 - 3x) , s i5 ≤ ≤ x2 3 f ( =x ) , ol t 0 a) ¿Con qué probabilidad, el porcentaje de participación de dicha el mercado nacional excede al 18 %.

AFP en

Desarrollo Sea la v.a X : “ Porcentaje de participación de la nacional ”

23

∫

5

23

k x (23 - x ) dx = 1 ⇒k ⋅ ∫ (23 x - x 2 ) dx = 1 ⇒ k = 5

P ( X > 18 ) =

AFP en el mercado

1 1782

23 1 ⋅ ∫ (23 x - x 2 ) dx = 0,1380 1782 18

b) Los estudios de factibilidad realizados por la transnacional, indican que la utilidad anual que obtendrá en función del porcentaje de participación en el mercado de la AFP, está dada por U(X) = 0,12 + 0,18 X (Millones de dólares). La empresa transnacional adquirirá la AFP, sólo si su utilidad anual esperada excede a 2,7 Millones de dólares. Determine si la transnacional realiza la inversión indicada. Desarrollo

E[ X ] =

23 1 ⋅ ∫ (23 x 2 - x 3 ) dx = 12 ,6364 ( % de participac ión de la AFP en el mercado nacional ) 5 1782

Luego

E [U ( X )] = E [ 0,12 + 0,18 ⋅ X ] = 0,12 + 0,18 ⋅12 ,6364 = 2,3946 ( Millones

US $ )

Por tanto, como la utilidad anual esperada de la AFP no excede a Millones de dólares, la empresa transnacional NO adquirirá la AFP.

2,7

4. Un estudio de mercado de una nueva marca de leche (envasada en cajas de 1 lt), realizado en una muestra aleatoria de hogares de la Región Metropolitana, entregó para el consumo diario de éste tipo de leche, los siguientes resultados: Nº de Cajas Nº de Hogares

0 1 2 3 4 5 40 120 190 240 150 40

6 20

a) Determine la función de probabilidad del consumo diario de éste tipo de leche en dichos hogares.

DESARROLLO Sea la v.a.

X

X: ” Consumo diario de leche ( en cajas de 1 lt ) “ 0 40 0,050

Nº de Hogares f(x) = P(X = x)

1 120 0,1500

2 190 0,2375

3 240 0,3000

4 150 0,1875

5 40 0,050

Total 800 1,000

6 20 0,0250

b) Si en la muestra en estudio, el consumo diario esperado excede las dos cajas,

la

mercado.

empresa Determine

productora si

dicho

lanzará producto

la

nueva

será

marca

de

comercializado

leche

al

por

la

empresa. DESARROLLO 6

E [ X ] = ∑ x ⋅ P( X = x) ⇒ E [ X ] = 0 ⋅ 0,05 + 1 ⋅ 0,15 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 6 ⋅ 0,025 =

2,675

X =0

(Cajas) Conclusión:

Como en la muestra en estudio, el consumo diario esperado

excede las dos cajas, el

producto será comercializado por la empresa.

La venta diaria (en decenas de kg) de una distribuidora de alimentos para mascotas, corresponde a una variable aleatoria X con función de probabilidad dada por :

f (x ) =

 k x (- 1x ), s i1 ≤ x≤ 1 0  0 , t.o .l

5. Un volumen de venta que exceda la venta media diaria de alimentos para mascotas, permite solventar los gastos operacionales diarios de la distribuidora. Si determinado día, la distribuidora vende menos de 85 kg de alimentos ¿ Cuál es la probabilidad que se hayan logrado cubrir los gastos operacionales diarios de la distribuidora? DESARROLLO Sea la v.a. mascotas “

X: ” Venta diaria (en decenas de kg) de alimentos para

Luego 10

∫kx(x 1

x 3 x2 −x)dx =1 ⇒ k  − 3 2  

10

−1)dx =1 ⇒ k ∫(x

2

1

Luego k =

10

1

  =1  

1 = 0,003527 . 283,5

Por otro lado : 10 x4 x3 E [ X ] = 0,003527 ⋅ ∫ (x 3 - x 2 )dx ⇒ E [ X ] = 0,003527 ⋅  − 4 3  1  Se pide :

P ( x > 7,6421 / x < 8,5 ) =

P ( 7,6421 < x < 8,5 P( x < 8,5 )

10

1

  = 7,6421  

)

8, 5

0.003527 ⋅

∫ (x

2

− x)dx

7 , 6421 8, 5

=

=

0.003527 ⋅ ∫ (x 2 − x)dx

0,1729 = 0,2905 0,5952

1

Conclusión: Por tanto, la probabilidad que se hayan logrado cubrir los gastos operacionales diarios de la distribuidora es del 29,05 %. 6.

Esperando una ganancia significativa, don Carlos Reyes invierte en acciones de las compañías “Lexer” e “Indus”. Las condiciones del mercado indican que la probabilidad que sólo una de éstas compañías satisfaga

las

expectativas

satisfaga Indus es

3 10

del

señor

Reyes,

es

3 , 5

que

no

y que ninguna de ellas las satisfaga es

las

1 . 10

Determine con cuál de éstas compañías el señor probabilidad de satisfacer sus expectativas.

Reyes tiene

mayor

DESARROLLO Sean los sucesos: L: “La compañía Lexer satisface las expectativas de inversión del señor Reyes“ I: “La compañía Indus satisface las expectativas de inversión del señor Reyes “

Datos :

[

]

P ( L ∩ I ' ) ∪ ( L' ∩ I ) =

3 3 ; P( I ' ) = 5 10

9 3 3 = + P( L ∩ I ) ⇒ P( L ∩ I ) = 10 5 10 4 ' ⇒ P ( L ∩I ) = 10

P ( L ∪ I ) = P ( L ∩ I ' ) + P ( L' ∩ I ) + P ( L ∩ I ) P ( I ) = P ( L' ∩I ) +

[

]

P( L ∩ I ' ) +

4 3 = 10 5

Así entonces:

Conclusión:

3 7 = 10 10

3 5

⇒

⇒ P( L ∩ I ' ) + P ( L' ∩ I ) =

⇒ P( L ∩ I ' ) =

P( I ) =

3 5

⇒

2 10

P ( L) = P ( L ∩ I ' ) + P ( L ∩ I )

Como

1 10

1 9 ⇒ P( L ∪ I ) = 10 10

P ( L' ∩ I ' ) = P ( L ∪ I ) ' =

P ( L ∩ I ' ) ∪ ( L' ∩ I ) =

; P ( L' ∩ I ' ) =

7 5 > = P ( L) , 10 10

⇒ P ( L) =

El

señor

2 3 5 + = 10 10 10

Reyes

tiene

mayor

probabilidad de satisfacer sus expectativas de inversión con la compañía

Indus.

7.

La velocidad a la cuál transitan los vehículos por determinada carretera, puede modelarse mediante una variable aleatoria X (en cientos de Km/hr ), cuya función de probabilidad está dada por:

 k (x + 2) , s i0 ,≤ 5x ≤ 1 , 2 f ( x) =  , t.o .l 0 a) En determinado tramo de la carretera, la velocidad máxima permitida es de 100 Km/hr Determine la probabilidad que un vehículo elegido al

azar que circula por dicho tramo, lo haga a exceso de velocidad.

DESARROLLO Sea X: “ Velocidad (en cientos de Km/hr) a la cuál transitan los vehículos por la carretera en estudio “ Luego 1, 2 1, 2 ∞ x 2  1  =1 ⇒k = f ( x )dx =1 ⇒k ∫ (x + 2)dx =1 ⇒ k  +2x =0,5013 ∫ 2 1,995  −∞ 0,5 0,5    1, 2

Por tanto : P ( X >1,0) = ∫ 0,5013 ⋅ ( x + 2) dx = 0,3108 1, 0

Conclusión:

La probabilidad que un vehículo elegido al azar que circula por dicho tramo de la carretera, lo haga a exceso de velocidad, es del 31,08 % b) Si las velocidades a las cuales se desplazan los vehículos por dicha carretera son independientes entre sí, y Carabineros controla la velocidad de 8 vehículos elegidos al azar, determine la probabilidad que a lo menos dos de ellos hayan excedido la velocidad máxima permitida en dicho tramo. DESARROLLO Sea el suceso E: “ El vehículo controlado por Carabineros, excede la velocidad máxima permitida en dicho tramo de la Carretera” y la v.a X: “ N° de vehículos controlados por Carabineros que exceden la velocidad máxima permitida en dicho tramo de la Carretera” Con

P ( E ) = p = 0,3108 y

8 n = 8 ⇒ , P( X = x ) =   ⋅ 0,3108 x ⋅ 0,6892 8−x ; X = 0,1, ..... , 8 x

Luego P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X < 2) = 1 − [ P ( X = 0) + PX = 1)] 0,7654

= 1 − [ 0,0509 + 0,1837 )] =

Conclusión :

La probabilidad que a lo menos dos de los 8 vehículos controlados en dicho tramo de la carretera, hayan excedido la velocidad máxima permitida, es del 76,54 % c) Suponga que, Carabineros cursa partes a 15 conductores por desplazarse a exceso de velocidad en dicho tramo de la Carretera , 9 de los cuales son varones. Determinado día y cancelando la multa respectiva, se encuentra un grupo de 4 de los conductores sancionados. Si éstos llegaron al azar a cancelar la multa, determine la probabilidad que en dicho grupo haya sólo una mujer. DESARROLLO

Sea el suceso E: “ El conductor sancionado por Carabineros que se encuentra cancelando la multa es mujer” y la v.a X: “ N° de conductores mujeres sancionados por Carabineros que se encuentra cancelando la multa”

N = 15 ;

Con

N1 = 6 y

P ( X =1) = 0,3692

Luego

 61   92   ⋅   x   4− x  , n = 4 P( X = x) =  15    4

X = 0,1, ..., 4

Conclusión:

La probabilidad que sea mujer sólo uno de los conductores sancionados que se encuentran cancelando la multa es del 36,92 % 8.

a)

Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad: Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?

DESARROLLO Sean los sucesos o eventos siguientes: NQ: PS: S: FI:

“El “El “El “El

visitante visitante visitante visitante

no se queje del servicio” haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol” haya sido hospedado en el hotel Sicómoro” haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn”

P (NQ) = P(PS) P(NQPS) + P(S) P(NQS) + P(FI) P(NQFI) = 0.185*0.972 + 0.32*0.99 + 0.495*0.96 = 0.17982 + 0.3168 + 0.4752 = 0.97182 Conclusión: Existe una probabilidad de 97,82 % de que no se haya dado un mal servicio. b) Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol? DESARROLLO P (PS/NQ)= = = = =

P(PS∩NQ)/p (NQ) (0.185*0.972)/(0.185*0.972+0.32*0.99+0.495*0.96) 0.17982/(0.17982 + 0.3168 + 0.4752) 0.17982/0.97182 0.1850342

Conclusión:

Existe una probabilidad del 18,50 % que un visitante se haya hospedado en el Palacio del Sol. 9. Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral

Ω(ε)

tales

que:

P( AC / B) =

2 3

;

P ( B / A) =

3 2 y P( AC ∩ B) = . 5 5

APLICANDO PROPIEDADES, desarrolle y obtenga el valor de: a) P ( A ∩ B C ) DESARROLLO :

2 P( A ∩ B ) P( A ∩ B) 5 2 3 3 P( AC / B) = ⇒ P(B) = = = ⋅ = 2 5 2 5 P( B ) P( AC / B) 3 C

C

P ( A ∩ B ) = P(B) - P ( A C ∩ B ) ⇒ P ( A ∩ B ) =

3 2 1 − = 5 5 5

1 P( A ∩ B ) 3 P ( A ∩ B) 5 1 5 1 P( B / A) = = ⇒ P(A) = = = ⋅ = 3 5 3 3 P ( A) 5 P ( B / A) 5 P ( A ∩B C ) = P(A) - P ( A ∩ B ) ⇒ P ( A ∩B C ) =

Luego:

1 3

−

1 5

=

2 15

P( AC ∩ B C )

b)

P ( A C ∩ B C ) = P(A ∪ B) C = 1 − P(A ∪ B) = 1 - [ P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ] 11 4 1 3 1  =1 −  + −  =1 − = 15 15 3 5 5  10.

De 20 postulantes que se presentaron a una empresa por un puesto de trabajo se sabe que: •

El 60% de ellos tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan.

•

El 10% de ellos tienen un curso de capacitación y no experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan.

•

El 75 % de los que tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan, no tienen un curso de capacitación.

a) Si se elige al azar probabilidad que tenga capacitación.

uno de dichos postulantes, experiencia previa, pero no

determine un curso

la de

DESARROLLO Definamos los sucesos: E : “ El postulante tiene experiencia previa en el tipo de trabajo al que postula “ y C : “ El postulante tiene un curso de capacitación “ Experiencia

C

E EC

Total

CC

Total

3 2

9 6

12 8

5

15

20

Se pide: P ( E ∩ C C ) = P ( E ) − P(C ∩ E ) =

12 3 9 − = = 0,45 = 45 % 20 20 20

Conclusión: Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado tenga experiencia previa, pero no un curso de capacitación es del 45%

b) Pasarán a una segunda etapa del proceso de selección, sólo aquellos postulantes que cumplan con a lo menos una de las dos características ya señaladas (experiencia previa, curso de capacitación). Determine la probabilidad que uno de dichos postulantes elegido al azar, no logre pasar a la segunda etapa del proceso de selección.

Se pide:

P ( E ∪ C ) C = 1 − P ( E ∪ C ) = 1 − [ P ( E ) + P (C ) - P ( E ∩ C )] 5 3 14 3 12 =1−  + −  =1− = = 0,30 = 30 % 20 10  20 20 20 

Conclusión: Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado no logre pasar a la segunda etapa del proceso de selección es del 30%

En un análisis de las perdidas registradas en las inversiones en los distintos fondos de pensiones, se observó que en el último trimestre el comportamiento fue el siguiente: un 28% para el fondo A, un 22% para el fondo B, un 5% para el fondo D y 0,5% para el fondo E. Además se sabe que la distribución de inversiones en los distintos fondos fue de un 16%, 18%, 28%, 24% y un 14% respectivamente. Sabiendo que la perdida acumulada en dicho período fue de un 15,85%, determine:

a) ¿Qué % de pérdida se observo en las inversiones provenientes del fondo C, en dicho período? DESARROLLO Sean los eventos: A: “Inversión en el fondo A”

B: “Inversión en el fondo B”

C: “Inversión en el fondo C”

D: “Inversión en el fondo D

E: “Inversión en el fondo E”

W: ”Perdida registrada en el último

trimestre Datos:

P(W/A) = 0,28

P(W/B) = 0,25

P(W/C) = ?? P(W/D) = 0,05

y

P(W/E) = 0,005 P(A) = 0,16;

P(B) = 0,18;

P(C) = 0,28;

P(D) = 0,24

y

P(E) = 0,14 Se pide: Obtener

P(W/C) = ??? P(W/C)

=

¿?

Se

sabe

que.

P(W)

=

0,1585,

entonces:

(probabilidad total)

P (W ) = P (W ∩ A) + P (W ∩ B ) + P (W ∩C ) + P (W ∩ D ) + P (W ∩ E ) = 0,1584 0,1885 = P (W / A) ⋅ P ( A) + P (W / B ) ⋅ P ( B ) + P (W / C ) ⋅ P (C ) + P (W / D ) ⋅ P ( D ) + P (W / E ) ⋅ P ( E ) 0,1585 = 0,28 * 0,16 + 0,25 * 0,18 + X * 0,28 + 0,05 * 0,24 + 0,005 * 0,14 ⇒ P (W / C ) = 0,20

Conclusión:

Luego, durante el período en estudio,

se observo un

20% de

pérdida en las inversiones provenientes del fondo C. b) De la pérdida observada en el período, ¿Qué % provienen de los dos fondos de inversión más riesgosos? DESARROLLO Los fondos mas riesgosos son A y B,

P (( A B ) / W ) =

Luego se pide:

P (( A B ) ∩W ) P (( A W )  ( B W )) P ( A W ) + P ( B W ) = = P (W ) P (W ) P (W ) =

(0,28 * 0,16 ) + (0,25 * 0,18 ) 0,0898 = ≈ 0,5666 0,1585 0,1585

Conclusión: Un 56,66% de la perdida observada en dicho período proviene de la inversión en los fondos A ó B.