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Universidad Nacional de Colombia Bioestad´ıstica fundamental - Taller de probabilidad Docente titular: Luis Fernando Grajales H. Docente auxiliar: J. David Ramos M. Marzo de 2015 1. En un centro de cuidado animal se seleccionan al azar cuatro perros de una jaula comunal y se clasifican como macho o hembra. a. Liste los elementos del espacio muestral S1 usando la letra M para ”macho”, y la H para ”hembra”. b. Defina un segundo espacio muestral S2 donde los elementos representen el n´ umero de hembras seleccionadas. 2. Lanzamiento de monedas y dados Un experimento consiste en lanzar un dado y despu´es lanzar una moneda una vez, si el n´ umero en el dado es par. Si el n´ umero en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Use la notaci´ on 4H, por ejemplo, para denotar el resultado de que el dado muestre 4 y despu´es la moneda salga cara, y 3HT para denotar el resultado de que el dado muestre 3 seguido por una cara y despu´es una cruz en la moneda; construya un diagrama de ´arbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S. 3. Sustitutos de medicamentos Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos de la medicaci´on para bajar la presi´ on sangu´ınea. Se utilizar´an tres grupos de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. El grupo uno es sedentario, mientras que el grupo dos camina, y el grupo tres nada una hora al d´ıa. La mitad de cada uno de los tres grupos de ejercicio tendr´a una dieta sin sal. Un grupo adicional de individuos no har´ a ejercicio ni restringir´a su consumo de sal, pero tomar´a la medicaci´on est´ andar. Use Z para sedentario, W para caminante, S para nadador, Y para sal, N para sin sal, M para medicaci´on, y F para sin medicamentos. a. Muestre todos los elementos del espacio muestral S. b. Dado que A es el conjunto de individuos sin medicamento y B es el conjunto de caminantes, liste los elementos de A ∪ B y A ∩ B . 4. Un espacio muestral S est´ a formado por cinco eventos sencillos con estas probabilidades: P (E1 ) = P (E2 ) = .15; P (E3 ) = 0.4; P (E4) = 2P (E5) Encuentre las probabilidades para los eventos sencillos E4 y E5 . 5. En una mano de p´ oquer que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jacks. 6. Moscas de la fruta En un experimento de gen´etica, el investigador apare´o dos moscas de la fruta Drosophila y observ´ o los rasgos de 100 descendientes. Los resultados se muestran en la tabla.

color de los ojos normal bermell´ on

tama˜ no de las alas normal 140 3

miniatura 6 151

a. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la mosca tenga color normal de ojos y tama˜ no normal de alas? b. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la mosca tenga ojos bermell´ on? c. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la mosca tenga ojos bermell´ on o alas miniatura, o ambos? 7. Demuestre que a. Si A y B son mutuamente excluyentes entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B). b. Si A y A′ son dos eventos complementarios entonces P (A) + P (A′ ) = 1. 8. Supervivencia celular De experiencias pasadas un bi´ologo considera que bajo condiciones normales cierto tipo de c´elulas sobrevivir´an 20 horas en una mezcla con nitratos con una probabilidad de 0.6, que sobrevirir´ an en una mezcla con nitritos el mismo tiempo con una probabilidad de 0.3 y que sobrevivir´an en una mezcla de ambos compuestos con una probabilidad de 0.15. Ahora, encuentre la probabilidad de que dichas c´elulas sobrevivan a. en una mezcla con nitratos o en una mezcla con nitritos b. en ninguna de estas mezclas. 9. En un grupo de 502 personas se determin´o que la distribuci´ on de los grupos sangu´ıneos era la siguiente Grupo sangu´ıneo O A B AB Total

N´ umero 226 206 50 20 502

Si se elige aleatoriamente una persona de este grupo, ¿Cu´al es la probabilidad de a. pertenecer al grupo A? b. pertenecer al grupo A o AB? c. no pertenecer al grupo O? 10. Si R es el evento donde el clonazepam alivia las convulsiones de un paciente, D es el evento de que dicho medicamento le genera sudor excesivo y F el evento donde le produce alucinaciones, exprese en palabras lo que en probabilidades se indica como a. P (R|D) b. P (R′ |D) c. P (F ′ |R′ ) d. P (F ∩ D|R′ ) 11. Considere que P (A) = 50 %, P (B) = 30 % y P (A ∩ B) = 15 %, verifique que a. P (A|B) = P (A) b. P (B|A) = P (B) c. P (A|B ′ ) = P (A)

12. Sean A y B dos eventos independientes, donde P (A) = 0.3 y P (B) = 0.4. Calcular el valor de P (A ∪ B) 13. Inoculaci´ on de virus Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay 5 tubos de ensayo con el virus A, 2 con el virus B y 4 tubos con el virus C. Las probabilidades de que cada virus produzca la enfermedad en los animales son 13 , 23 y 71 respectivamente (A, B y C). Se selecciona al azar uno de los animales inoculados y se encuentra que contrajo la enfermedad. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el virus inoculado haya sido el A?. 14. La probabilidad de que una semilla germine es de 0.98. Se siembran 5 semillas de manera independiente. Calcule la probabilidad de que: a. Al menos 3 semillas germinen. b. M´ aximo 2 semillas germinen. 15. Demostrar la regla de Bayes para B1 , B2 particiones del espacio muestral S. 16. Diagn´ ostico de c´ ancer En cierta regi´on del pa´ıs se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 a˜ nos de edad con c´ ancer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta que una persona con c´ancer tiene la enfermedad es 0.78, y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin c´ ancer tiene la enfermedad es 0.06, ¿cu´ al es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique c´ ancer? 17. Comida o descarga En un laberinto en forma de T, a una rata se le da alimento si da vuelta a la izquierda y si dobla a la derecha se le da una descarga el´ectrica. En la primera prueba, hay una posibilidad cincuenta-cincuenta de que la rata de vuelta a cualquier lado; luego, si recibe alimento en la primera prueba, la probabilidad de que en la segunda prueba d´e vuelta a la izquierda es de 0.68 y si en la primera prueba recibi´o una descarga, la probabilidad de en la segunda prueba gire a la izquierda es de 0.84 ¿De cu´anto es la probabilidad de que una rata d´e vuelta a la derecha en la segunda prueba? 18. La contaminaci´on de los r´ıos en colombia es un problema desde hace varios a˜ nos. Considere los siguientes eventos: A = El r´ıo est´ a contaminado, B = Una prueba en una muestra de agua detecta contaminaci´on y C = Se permite la pesca. Suponga P (A) = 0.3, P (B|A) = 0.75, P (B|A′ ) = 0.20, P (C|A ∩ B) = 0.20, P (C|A′ ∩ B) = 0.15, P (C|A ∩ B ′ ) = 0.80 y P (C|A′ ∩ B) = 0.90. Encuentre la probabilidad de que el r´ıo est´e contaminado, dado que se permite la pesca y que la prueba de la muestra no detecta contaminaci´on. 19. La siguiente tabla presenta los resultados de un nuevo m´etodo diagn´ostico aplicado en 300 pacientes. Calcule la sensibilidad del m´etodo. M´etodo + -

Enfermo 60 10

No enfermo 50 180

20. Prueba alternativa Se ha desarrollado una prueba de laboratorio nueva que mide la concentraci´on de una enzima particular en la sangre y queremos evaluar su valor en el diagn´ostico de un c´ ancer en particular. Esta prueba nueva se aplic´ o a 360 pacientes hospitalizados y los resultados se compararon con los de un examen anatomo?patol´ogico. Las concentraciones sangu´ıneas ≥ 40 VI se consideraron como valores positivos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

An´ alisis de sangre positivo negativo

Examen anamo positivo 190 0

Determine la sensibilidad y la especifidad de la nueva prueba.

-patol´ ogico negativo 80 90