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• Kevin Cifuentes Thalliens

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EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

1. Suponga que A y B son dos eventos de un espacio maestral S, tales que: P(A) = 0.6 P(B) = 0.4 P(A Ո B) = 0.2 Calcular: a. P (A U B) P(A U B) = P(A)+ P(B) - P (A Ո B) P(A U B) = 0.6+0.4-0.2 = 0.8

b. P (A Ո B) La intersección está dada en el enunciado del ejercicio entonces el resultado es: P (A Ո B) = 0.2

2. El 30% de los habitantes de una gran ciudad presencian el noticiero de Tv de la Mañana, el 40% ve el noticiero de la noche y el 10% presencia ambos noticieros. Se escoge una persona al azar de esta ciudad; halle la probabilidad de que: a. Presencie el noticiero de la mañana o de la noche. P (A U B) = P(A) + P(B) - P (A Ո B) P (A U B) = 30% + 40% - 10% P (A U B) = 60%

b. No presente ninguno de los dos. 40% c. Presencie el noticiero de la mañana dado que presencia el de la noche P(A Ո B)=10%

. A= Noticiero en la mañana P(A)= 30%

N-mañana

N-noche B= Noticiero en la noche P(B)= 40%

20%

10%

30%

Ώ 40%

P (A Ո B)= 10%

3. Sea A y B dos sucesos tales que P(A) = 1 / 4, P(B) = 1 / 2 y P (A/B) = 1 / 4 Decir si es cierta o falsa la siguiente relación: A y B son independiente. R/ Si son independientes ya que P (A/B) = P(A) es decir, que la probabilidad de que se dé el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A. 4. Una caja contiene 10 bolas blancas, 5 negras y 5 rojas. Se extraen dos bolas consecutivamente de la caja. Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas si:  Antes de extraer la segunda bola se vuelve a meter la primera en la caja.



La segunda bola se extrae sin haber metido la primera en la caja.

5. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 3 de cobre, y otro contiene 4 de plata y 3 de cobre. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata?

6. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas a. ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?

B = suceso sacar bola blanca P(B1B2) = 4/6·3/5 = 12/30 = 6/15 b. Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? Puesto que se trata de probabilidad a posteriori, tenemos que utilizar el teorema de Bayes Sea N = suceso sacar bola negra P(N1 / N2) = P( N1 ∩ N2 ) / p( N2 ) = P( N1 ∩ N2 ) / P( N1 ∩ N1 ) + P( N1 ∩ N2 ) =

(2/6·1/5) / (4/6·2/5) + (2/6·1/5) = 2/10 = 1/5

7. En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un

20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos también hacen uso del comedor universitario. Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. Justificar la respuesta.

8. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar: a)

La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.

P (M U L) = P(M) + P(L) - P (M Ո L)

P (M U L) = 0,6 + 0,5 - 0,2 P (M U L) = 0.9

b)

La probabilidad de que no apruebe ninguna. ) = 1 - P (M U L) )= 1 - 0,9 = 0,1

c)

La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua =>0,4 DATOS: M

L

P(M)=0,6 P(L)=0,5

0,4

0,2

P(M ՈL)=0,2

0,3

0,1

9. Un almacén recibe pedidos de ciertos artículos de tres proveedores distintos P1, P2 y P3 . El 50% del total se le compra a P1 mientras que P2 y a P3 se le compra el 25% a cada uno. El porcentaje de artículos en mala condición que proviene de P1, P2 y P3 es de 5, 10 y 12% respectivamente. Si los artículos se almacenan sin Importar quien es el proveedor y se escoge uno al azar: a. Determine la probabilidad de que sea defectuoso b. Si es defectuoso ¿cual es la probabilidad de que haya sido despachado por el proveedor P3?

10. Si un conjunto A tiene cinco elementos ¿Cuántas duplas se puede formar con los Elementos de A?

Datos: x=5 a=2 Aplicando la ecuación:

11. La junta directiva de la compañía A, B y C consta de cinco miembros ¿De cuantas formas posibles se puede elegir presidente vicepresidente y secretario? R/ Si suponemos que en cada terna no se repite algún candidato y que cualquiera puede ocupar cualquier cargo se trata de un problema de combinaciones sin repetición. Sean m elementos (5) tomados de n (3) en n. La expresión es:

12. En una clase de Estadística hay 30 estudiantes. 24 hombres y 6 mujeres. ¿De cuantas formas distintas se pueden construir un comité de cuatro estudiantes? ¿De cuantas formas si debe haber dos mujeres en el comité?

Necesitas usar la fórmula de combinaciones:

Es el número de formas diferentes en que puedes elegir "r" elementos de un grupo de "n" elementos Comité formado por 4 estudiantes con 2 mujeres: Formas de elegir 2 hombres:

Formas de elegir 2 mujeres:

Formas de elegir el comité:

13. Un distribuidor de receptores de televisión acepta un embarque de 15 receptores si en una muestra de cuatro receptores no sale ninguno defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que acepte el embarque si contiene 3 receptores defectuosos? 

La probabilidad de sacar el primer elemento y este funcione es de :



La probabilidad de sacar el segundo elemento y este funcione es de:



El tercer intento la probabilidad de sacar un elemento que funcione es de:



En el cuarto y último intento Es de

Finalmente la probabilidad que buscas es la multiplicación de las probabilidades de los 4 sucesos anteriores:



La probabilidad de que acepte ese embarque es del 36%

14. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre estos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cual es la probabilidad de aceptar el embarque? Tenemos 20 automóviles de los que 2 tienen defectos por lo que 18 no tienen defectos, la probabilidad que el primer vehículo no tenga defectos es

Ahora tenemos 19 vehículos de los que 2 son defectuosos por lo que 17 no lo son, la probabilidad de que el segundo vehículo no tenga defectos es

Por lo que la probabilidad que ningún vehículo tenga defectos es



La probabilidad es de un 80.5% de que se acepte el embarque

15. De entre 20 tanque de combustibles fabricados para el trasbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques: A) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso? B) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos?

16. Se va escoger un comité de cinco alumnos entre siete alumnos de último año y seis de penúltimo año Calcular el número de tales comisiones, si debe contener: a. Exactamente tres alumnos de último año. b. Por lo menos tres alumnos de último año. 17. En un club hay 15 miembros, tres de ellos son mujeres y sus nombres son X, Y y Z. Ser elige al azar una junta de tres miembros. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres mujeres estén incluidas en la junta? Que estén en la junta las 3 mujeres

18. La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo en orbita, funcione de Manera adecuada es de 0.9, suponga que cinco de estos se colocan en órbita y operan de manera independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos, el 80% funcione adecuadamente?

19. Se sospecha que por un error humano se ha incluido en un embarque de 50 unidades dos o mas defectuosas. el fabricante admite el error y envía al cliente solo 48 unidades. antes de recibir el embarque, el cliente selecciona aleatoriamente cinco unidades y encuentra una defectuosa. ¿cuál es la probabilidad de sacar una unidad defectuosa en la muestra tomada?

20. Si A y B son dos sucesos tales que:

) = 1-

)

) = 1-1/4 ) = 0,75

21. Dos sucesos tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos. P(no suceda ninguno)= 1 – 0.9 = 0.1 22. Sea A y B dos sucesos tales que P(A) = 1 / 4, P (B) = 1 / 2 y P (A/B) = 1 / 4 Decir si es cierta o falsa la siguiente relación: A y B son independiente. A y B son independientes si sólo si P(A∩B)=P(A)P(B).

23. En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán, el 30% estudia francés y el 10% ambas materias. a. ¿Son independientes los sucesos estudiar alemán y estudiar francés? Si son independientes como se muestra en el diagrama b. Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie francés ni alemán. 65% que no estudie francés ni alemán

A

F 20 %

10

5

Ω 65

24. En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos también hacen uso del comedor universitario. Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. Justificar la respuesta.

25. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar: a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. P (M U L) = P(M) + P(L) - P (M Ո L) P (M U L) = 0,6 + 0,5 - 0,2 P (M U L) = 0.9 b) La probabilidad de que no apruebe ninguna. ) = 1- P (M U L) )= 1- 0,9 = 0,1

c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua. 0,4

L

M 0,4

0,2

0,3

Ω 0,1