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• Sergio Daniel Cardona

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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER UNIFICADO SEGUNDO CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2016-II

MOVIMIENTO ONDULATORIO

4. Una cuerda con densidad lineal de 0.500 g/m se mantiene bajo tensi´on de 20,0N . A medida que una onda sinusoidal transversal se propaga en la cuerda, los elementos de la cuerda se mueven con m´axima rapidez v(y,max) .

1. Dos puntos A y B en la superficie de la Tierra est´an a la misma longitud y 60,0◦ separados en latitud. Suponga que un terremoto en el punto A crea una onda P que llega al punto B al viajar recta a trav´es del cuerpo de la Tierra con una rapidez constante de 7,80kms. El terremoto tambi´en radia una onda Rayleigh que viaja a lo largo de la superficie de la Tierra a 4,50kms.

a. Determine la potencia transmitida por la onda como funci´on de v(y,max) . b. Establezca c´omo la potencia depende de v(y,max) .

a. ¿Cu´ al de estas dos ondas s´ısmicas llega primero a B?

c. Encuentre la energ´ıa contenida en una secci´ on de cuerda de 3,00m de largo. Expr´esela como funci´on de v(y,max) . y la masa m3 de esta secci´ on.

b. ¿Cu´ al es la diferencia de tiempo entre las llegadas de estas dos ondas a B? Considere que el radio de la Tierra es de 6 370 km.

d. Encuentre la energ´ıa que la onda porta al pasar por un punto en 6,00s.

2. Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un periodo T = 25,0ms y viaja en la direcci´on x negativa con una rapidez de 30,0 m s . En t = 0, un elemento de la cuerda en x = 0 tiene una posici´ on transversal de 2,00cm y viaja hacia abajo con una rapidez de 2,00m.

5. Un alambre de densidad S se afila de modo que su ´ area de secci´on transversal var´ıa con x de acuerdo con A = 1,0 × 10−3 x + 0,01cm2 a. La tensi´on en el alambre es T. Deduzca una relaci´on para la rapidez de una onda como funci´ on de la posici´on.

a. ¿Cu´ al es la amplitud de la onda? b. ¿Cu´ al es el ´ angulo de fase inicial? c. ¿Cu´ al es la m´ axima rapidez transversal de un elemento de la cuerda?

b. ¿Qu´e pasar´ıa si? Suponga que el alambre es de aluminio y est´a bajo una tensi´on de 24,0N . Determine la rapidez de onda en el origen y en x = 10,0m.

d. Escriba la funci´ on de onda para la onda. 3. Una cuerda ligera, con una masa por unidad de long gitud de 8,00 m , tiene sus extremos amarrados a dos paredes separadas por una distancia igual a tres cuartos la longitud de la cuerda. Un objeto de masa m se suspende del centro de la cuerda y pone tensi´on en la cuerda.

6. En el mar abierto, un tsunami por lo general tiene una amplitud de menos de 30cm y una longitud de onda m´as larga de 80km. Suponga que la velocidad del tsuales son la velocidad vertical nami es de 740 Km h . ¿Cu´ m´axima y aceleraci´on que un tsunami dar´ a a un barco flotando en el agua? ¿La tripulaci´on de la nave notara el paso del tsunami?.

a. Encuentre una expresi´ on para la rapidez de onda transversal en la cuerda como funci´ on de la masa del objeto colgante.

7. Las olas del oc´eano de longitud de onda de 100m tienen una velocidad de 6, 2 m s ; las olas del mar de longitud de onda de 20m tienen una velocidad de 2, 8 m s . Supongamos que una repentina tormenta en el mar genera ondas de todas las longitudes de onda. Las ondas de longitud de onda larga viajan mas r´apido y llegan a la costa primero. Un pescador de pie en la costa primero se da cuenta de la llegada de las olas de 100m; 10 horas m´as tarde se da cuenta de la llegada de las olas de 20m. ¿A qu´e distancia est´a la tormenta de la costa?

b. ¿Cu´ al debe ser la masa del objeto suspendido de la cuerda si la rapidez de onda es de 60,0 m s ?

8. La cuerda re de un viol´ın vibra en su modo fundamental con una frecuencia de 294Hz y una amplitud de 2, 0mm. ¿cuales son la velocidad m´axima y la aceleraci´on m´axima del punto medio de la cuerda? 1

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9. Muchos hombres disfrutan cantando en la ducha, ya que su voz resuena en la cavidad de la ducha. Considere una ducha mida 1, 0m×1, 0m×2, 5m. ¿Cu´ales son las cuatro frecuencias de resonancia m´ as bajas de ondas estacionarias en la ducha? La velocidad del sonido es 331 m s .

as´ı que vamos a suponer que la velocidad de Superman ´ es de 800 m al el Angulo medio s . A esta velocidad, ¿cu´ del cono de Mach que produce Superman?. 14. Cuando 50 personas est´an hablando a la vez en una fiesta, el nivel de intensidad es de 70dB. ¿Cu´ anto el cambio de nivel de intensidad cuando 25 personas est´an hablando? Cuando 140 est´an hablando? Cuando 35 personas est´an hablando? ¿Qu´e puede concluir acerca de esto?

10. La tensi´ on de tracci´ on m´ axima que puede ser tolerada N sin rotura por el acero es 5, 0 × 108 m 2 , y la densidad Kg del acero es 7800 m3 . Si se aplica una tensi´on a una varilla de acero fino apenas menor que la tensi´on de ruptura, ¿cu´ al es la velocidad de las ondas transversales en la barra? ¿La respuesta depende del di´ametro de la varilla?.

15. La rapidez del sonido en aire a 20◦ C es de 344 m s . a) Calcule la longitud de onda de una onda sonora con frecuencia de 784Hz, que corresponde a la nota sol de la quinta octava de un piano, y cu´antos milisegundos dura cada vibraci´on. b) Calcule la longitud de onda de una onda sonora una octava m´as alta que la nota del inciso a).

11. Una patrulla viaja hacia el este a 40,0 m s a lo largo de un camino recto, y rebasa a un autom´ ovil adelante de ella que se mueve al este a 30,0 m s . A la patrulla se le descompone la sirena, que se pega a 1000Hz.

16. El 26 de diciembre de 2004 ocurri´o un intenso terremoto en las costas de Sumatra, y desencaden´ o olas inmensas (un tsunami) que provocaron la muerte de 200,000 personas. Gracias a los sat´elites que observaron esas olas desde el espacio, se pudo establecer que hab´ıa 800km de la cresta de una ola a la siguiente, y que el periodo entre una y otra fue de 1,0hora. ¿Cu´ al fue la rapidez de esas olas en m/s y en km/h? ¿Su respuesta le ayudar´ıa a comprender por qu´e las olas causaron tal devastaci´on?

a. Bosqueje la apariencia de los frentes de onda del sonido producido por la sirena. Muestre los frentes de onda tanto al este como al oeste de la patrulla. b. ¿Cu´ al ser´ıa la longitud de onda en aire del sonido de la sirena si la patrulla estuviera en reposo? c. ¿Cu´ al es la longitud de onda enfrente de la patrulla? d. ¿Cu´ al es detr´ as de la patrulla?

17. Se llama ultrasonido a las frecuencias m´ as arriba de la gama que puede detectar el o´ıdo humano, esto es, aproximadamente mayores que 20, 000Hz. Se pueden usar ondas de ultrasonido para penetrar en el cuerpo y producir im´agenes al reflejarse en las superficies. En una exploraci´on t´ıpica con ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1500 m s . Para obtener una imagen detallada, la longitud de onda no deber´ıa ser mayor que 1,0mm. ¿Qu´e frecuencia se requiere entonces?

e. ¿Cu´ al es la frecuencia que escucha el conductor que es perseguido? 12. Un avi´ on supers´ onico que viaja a Mach 3,00 a una altura de 20000m est´ a directamente arriba de una persona en el tiempo t = 0, como se muestra en la figura.

18. Ciertas ondas transversales en una cuerda tienen rapidez de 8,00m/s, amplitud de 0,0700m y longitud de onda de 0,320m. Las ondas viajan en la direcci´ on −x, y en t = 0 el extremo x = 0 de la cuerda tiene su m´ aximo desplazamiento hacia arriba. a) Calcule la frecuencia, el periodo y el n´ umero de onda de estas ondas. b) Escriba una funci´on de onda que describa la onda. c) Calcule el desplazamiento transversal de una part´ıcula en x = 0,360m en el tiempo t = 0,150s. d) ¿Cu´ anto tiempo debe pasar despu´es de t = 0,150s para que la part´ıcula en x = 0,360m vuelva a tener su desplazamiento m´aximo hacia arriba?

a. ¿En qu´e tiempo la persona encontrar´ a la onda de choque? b. ¿D´ onde estar´ a el avi´ on cuando finalmente se escuche el ?estallido?? Suponga que la rapidez del sonido en el aire es de 335 m s . 13. Seg´ un la tradici´ on, Superman vuela m´ as r´apido que una bala. La velocidad de una bala t´ıpica es de 700 m s , 2

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19. Una onda transversal que viaja en una cuerda tiene amplitud de 0,300cm, longitud de onda de 12,0cm y rapidez de 6,00cm/s y se representa con:   2π y(x, t) = A cos (x − vt) λ

26. Una cuerda de 5m de longitud que est´a fija solo por un extremo est´a vibrando en su quinto arm´onico con una frecuencia de 400Hz. ¿Cu´al es su longitud de onda, vector de onda y frecuencia angular? Escribir la funci´on de onda correspondiente a esta onda estacionaria. 27. Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0, 7m entre si y se ajusta la tensi´on hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 440Hz ¿Cu´ al es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?

a. En el tiempo t = 0, calcule y a intervalos de x de 1,5cm (es decir, en x = 0, x = 1,5cm, x = 3,0cm, etc´etera) de x = 0 a x = 12,0cm. Muestre los ´ resultados en una gr´ afica. Esta es la forma de la cuerda en el tiempo t = 0.

28. Una cuerda de 3m de longitud y densidad m´ asica 0, 0025kg/m est´a sujeta por ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336Hz. ¿Qu´e arm´ onico corresponde a los 252Hz? Determinar la frecuencia fundamental y la tensi´on de la cuerda.

b. Repita los c´ alculos para los mismos valores de x en t = 0,400s y t = 0,800s. Muestre gr´ aficamente la forma de la cuerda en esos instantes. ¿En qu´e direcci´ on viaja la onda? 20. La funci´ on de onda de una onda arm´ onica que se mueve sobre una cuerda es:

29. Una onda estacionaria sobre una cuerda fija por sus dos extremos viene dada por y(x, t) = 0, 024 sen(52, 3x) cos(480t) En unidades del SI. Determinar la velocidad de las ondas sobre la cuerda y la distancia entre los nodos.

y(x, t) = 0, 03 sen(2, 2x − 3, 5t) En unidades del SI. Determinar la direcci´ on del movimiento, velocidad, longitud de onda, frecuencia y periodo de esta onda. ¿Cu´ al es el desplazamiento y velocidad m´ aximos de cualquier segmento de la cuerda?

30. Las funciones de onda para dos ondas de igual amplitud, pero que se propagan en sentidos opuestos, vienen dadas por:

21. Demostrar expl´ıcitamente que la funci´ on y(x, t) = A sen(kx−wt) satisface la ecuaci´ on diferencial del movimiento ondulatorio.

y1 = y0 sen(kx − wt) y2 = y0 sen(kx + wt) Demostrar que la suma de estas dos ondas es una onda estacionaria.

22. Ondas de longitud de onda 35cm y amplitud 1, 2cm se mueven a lo largo de una cuerda de 15m que tiene una masa de 80g y est´ a sometida a una tensi´on de 12N . Determinar la velocidad y frecuencia angular de las ondas. Calcular la energ´ıa total media de las ondas en la cuerda.

31. Una cuerda de viol´ın de L = 31, 6cm de longitud y µ = 0, 065g/m de densidad lineal, se coloca pr´ oxima a un altavoz alimentado por un oscilador de frecuencia variable. Observamos que cuando la frecuencia del oscilador se hace variar continuamente entre 500 y 1500Hz, la cuerda solo oscila apreciablemente a las frecuencias de 880 y 1320Hz. Determinar la tensi´ on a la que est´a sometida la cuerda.

23. Una cuerda de 1, 5m de longitud posee una densidad lineal de 0, 03kg/m y est´ a sometida a una tensi´on de 500N . Si oscila en su modo fundamental con una amplitud m´ axima de 6cm, ¿cu´ al es su energ´ıa?

32. Se golpea un extremo de una varilla de cobre de 180,00m. Una persona en el otro extremo escucha dos sonidos causados por dos ondas longitudinales, una que viaja por la varilla y otra que viaja por el aire. Calcule el intervalo de tiempo entre los sonidos. Para el cobre Y = 1,1 × 1011 P a y p = 8900kg/m3 . La rapidez del sonido en el aire es de 344m/s.

24. Una fuente oscila con una amplitud de 0, 3m y una frecuencia de 10Hz unida la extremo de una cuerda de densidad lineal 0, 08kg/m. Si la longitud de onda de las ondas que genera es de 1m, ¿cu´ anto tiempo ha de estar funcionando para transmitir una energ´ıa 100,000J?. 25. Una cuerda de 3m de longitud cuelga del techo libremente. Demostrar que la velocidad de las ondas transversales depende de la distancia y desde el extremo inferior. Si se genera un pulso de onda en el extremo inferior, ¿cu´ anto tardar´ a en subir al techo, reflejarse y regresar al punto inferior de la cuerda?

33. Una barra met´alica de 60,0m tiene una densidad de 5000kg/m3 . Las ondas longitudinales tardan 1 × 10−2 en llegar de un extremo al otro. Calcule el m´ odulo de Young del metal. 3

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34. Considere una barra de longitud L, cuya velocidad de las ondas es v. Determine las ondas las frecuencias de resonancia en la barra (se propagan ondas longitudinales) a) si la barra est´ a sujeta en su punto medio b) si la barra est´ a sujeta a una distancia de L/4 de un extremo.

donde y y x se expresan en metros y t en segundos. ¿Cu´anto tiempo tarda la perturbaci´on en recorrer una distancia de 8m? 40. La intensidad de una onda arm´onica esf´erica es 6, 0 × 10−8 W/cm2 a 20m del foco emisor. Si no hay absorci´on, calcula: a) la energ´ıa emitida por el foco emisor en un minuto; b) la amplitud de la onda a los 40m, si a los 20m es de 4, 0mm.

35. Una barra se alarga el 2 %¸ al someterla, dentro del campo el´ astico, a un esfuerzo de tracci´ on de 103 atm, y pierde el 20 %¸ de su peso al sumergirla en agua. Determinar la velocidad de propagaci´ on del sonido en dicha barra.

41. Una onda de 10m de amplitud se propaga de izquierda a derecha y su periodo es de 12s. Supuesta de tipo sinusoidal, halla la elongaci´on en el origen al cabo de 1, 0s de iniciarse el movimiento desde la posici´ on de equilibrio. Sabiendo que en ese instante (t = 1, 0s) la elongaci´on de un punto que dista 4, 0cm del origen, hacia la derecha, es nula, establece la longitud de onda.

36. Un rollo de metal de 1kg de peso en el aire, pesa dentro del agua 886g. De este alambre tomamos un metro y colgamos de uno de sus extremos un peso de 20kg, observ´ andose un alargamiento de 2mm. El alambre es de 1mm2 de secci´ on. Con estos datos, calcule la velocidad de propagaci´ on de una onda longitudinal en el metal.

42. Una onda arm´onica se propaga por un medio el´ astico siguiendo la ecuaci´on, en unidades del SI:

37. El sonido se propaga a 340 m=s en el aire y a 1500 m=s en el agua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua. En el aire la frecuencia de la onda ser´ıa: (a) la misma, pero λ ser´ıa m´ as corta, (b) mas elevada, pero λ ser´ıa la misma, (c) mas baja, pero λ ser´ıa mas larga, (d) mas baja, y λ ser´ıa mas corta, (e) la misma, y tambi´en λ ser´ıa la misma.

y(x, t) = 24 sin(2000t − 5x) Determina: a. La amplitud, la frecuencia y la longitud de onda de la misma. b. El desfase que existir´a entre dos puntos separados 0,2 m entre s´ı a lo largo de la direcci´ on de propagaci´on de la onda.

38. El extremo libre de un tubo de goma se desplaza peri´ odicamente a un lado y a otro de su posici´ on normal. La distancia entre las posiciones extremas es de 8cm y la duraci´ on de una oscilaci´ on es de 0, 50s. Al cabo de 0, 20s, la perturbaci´ on ha avanzado en el tubo 16cm. Halla:

c. La ecuaci´on de otra onda id´entica a la anterior que se propague en sentido contrario a la dada. 43. En el centro de una piscina circular de 6, 0m de radio se produce una perturbaci´on que origina un movimiento ondulatorio en la superficie del agua; la longitud de onda es 0, 75m y tarda 12s en llegar a la orilla. Calcula:

a. La amplitud del movimiento. b. Su frecuencia. c. La velocidad de propagaci´ on.

a. la frecuencia del movimiento;

d. La longitud de onda.

b. la amplitud, si al cabo de 0, 25s la elongaci´ on en el origen es de 4, 0cm;

39. En una cuerda colocada a lo largo del eje X se propaga una onda, determinada por la funci´ on:

c. la elongaci´on en el instante t = 12s en un punto situado a 6, 0cm del foco emisor.

y(x, t) = 0, 02 sin(4x − 8t)

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