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• Ivanna Bedoya Montenegro

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TALLER 10 – DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS 1 1. Sea x una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es: x f(x)

0 0,1

1 0,2

2 0,1

3 0,4

4 0,1

5 0,1

a) Calcule y represente gráficamente la función de distribución acumulada. b). Calcule las siguientes probabilidades p(x 1, encontrar la ganancia esperada del vendedor para cualquier día especificado.

5 Una variable aleatoria continua X tiene la siguiente función de densidad 1

UNIVERSIDAD DEL VALLE. ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y ESTADÍSTICA

Profesores: Patricia Carvajal Olaya – Alvaro Trejos C

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0 f ( x)  1

si  0 x  a, para 0  x  4 12 si x  4 0, en otro lado

a) Calcule a para que f(x) sea una función de densidad. b) Construya la función de distribución acumulada.

Distribuciones de probabilidad con nombre propio. 6. En una clase de ciencias naturales de 12 estudiantes se elegirá un representante de grupo tomando como base el lugar en la lista, para lo cual se anotan 12 papelitos con números de 1 a 12 y se colocan en una bolsa para luego extraer al azar el representante. Determine la probabilidad de que salga un número: a) menor que 5; b) mayor que 3, pero menor que 7. Binomial: 7. Un estudio determinó que 40% de los estudiantes de una universidad se desayunan en las cafeterías del campus. Si una tarde se escogen al azar 8 estudiantes del campus, determine la probabilidad de que hayan tomado su desayuno en la U: a)exactamente 2 de ellos, b) Por lo menos uno de ellos, c) ninguno de ellos, d) no más tres de ellos 8. Si una moneda ordinaria se lanza 8 veces consecutivas, calcule la probabilidad de que resulten; a) todas caras, b) cuatro caras y cuatro sellos. R/ a)0.0039, b) 0.2734 Hipergeométrica: 9. Un embarque de 80 alarmas contra robo contiene cuatro que son defectuosas. Si del embarque se seleccionan al azar tres y se envían a un cliente, encuentre la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una unidad mala. R/0.1387 10. Se recibieron 30 facturas en el mes, de las cuales cinco tienen equivocado el valor facturado. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar 10 facturas, aparezcan las cinco facturas que tienen error? R/0.0017. 11. De un grupo de 12 personas, que se realizan un análisis de colesterol, cuatro tienen niveles elevados. Si el médico selecciona siete personas al azar para realizar un análisis ¿Cuál es la probabilidad de que a) al menos uno tenga nivel alto de colesterol, b) ninguno tenga nivel de colesterol elevado, c)exactamente tres tengan altos niveles de colesterol. R/ 0.9898 ; 0.0101 ; 0.3535 Poisson: 12. El número de camiones que llegan en un día cualquiera a una Terminal, en cierta ciudad, es de 12. Si las llegadas de camiones son aleatorias e independientes ¿cuál es la probabilidad de que en un día dado lleguen menos de nueve camiones a ese Terminal? R/0.155. 13. El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos 3 pacientes? R/0,323 14. Durante la época de lluvias el suministro de energía eléctrica en la ciudad se interrumpe con mucha frecuencia, causando con ello bastante molestia a la gente. Suponga que las interrupciones del suministro de energía eléctrica (apagones) en la ciudad y durante la época mencionada, siguen una distribución de Poisson con promedio de 0.8 apagones al día. Si una persona necesita de sólo tres horas para terminar un trabajo en el PC (se encuentra en un día lluvioso), calcule la probabilidad de que pueda lograrlo antes de que un apagón interrumpa abruptamente su trabajo. 15. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho,a) ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?, b). ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?, c) ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? 16. Un dispositivo electrónico de conmutación ocasionalmente funciona mal y puede ser necesario reemplazarlo. Se sabe que el dispositivo es satisfactorio si, en promedio, no comete más de 0.2 errores por hora. Se selecciona un periodo de 5 horas Profesores: Patricia Carvajal Olaya – Alvaro Trejos C

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como una “prueba” del dispositivo. Si no ocurre más de un malfuncionamiento, el dispositivo se considera satisfactorio. ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo satisfactorio se considere insatisfactorio de acuerdo a la prueba? Exponencial:

f ( x)  e  x para x  0 y

la F.D.A.

distribución exponencial son: E(x) y V(X) son respectivamente:  

es

F ( x)  1  e  x Donde los parámetros de la

1 1 , 2  2  

17. El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos. a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos, b) El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000 pts.?, c) Para efectuar una programación, ¿Cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1? 18. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25% años? Multinomial 19. Suponga que de todas las personas que le llaman a usted por teléfono, 30% desean pedirle un favor, 50% desean saludarlo (charlar) y 20% tratar algún tema importante para usted. Calcule la probabilidad de que en las 12 próximas llamadas telefónicas que usted reciba, cuatro sean para pedirle un favor, 6 para saludarlo y dos para tratar un asunto realmente importante.R/0.702 20. La probabilidad de que un ciudadano cualquiera se enferme durante un año de padecimientos comunes es la siguiente: de la garganta 0.2, del estómago 0.4, de gripe 0.3 y de que no se enferme durante el año es 0.1. Si se seleccionan 10 ciudadanos al azar ¿cuál es la probabilidad de que cuatro se hayan enfermado de la garganta, dos del estómago, uno de gripe y tres no se hayan enfermado? R/ 0.00097 Hipergeométrica multivariada 21. De los 120 empleados de una empresa de consultoría, 80 estudiaron una carrera universitaria relacionada con sistemas, 28 de ellos son técnicos, y el resto una carrera administrativa. Si se seleccionan 25 empleados para asistir a una convención. ¿Cuál es la probabilidad de que asistan 18 empleados con carrera de sistemas, tres técnicos y cuatro administradores? R/0.0115 22. Una caja contiene ocho bolas blancas; cinco rojas y tres azules. Una bola se selecciona aleatoriamente se anota el color y no se devuelve a la caja, así ocurre 6 veces. Halle la probabilidad de que entre las 6 bolas seleccionadas, 3 sean rojas, 2 blancas y 1 azul. R/ 15/77 Normal 23. Un estudiante ingeniería, toma la clase de probabilidad a partir de las siete de la mañana. Su profesor siempre empieza la clase en punto de las siete, pero pasa asistencia a las 7:07. Todo estudiante que llegue después de esa hora registra retardo, y tres retardos contabilizan una falta. Suponga que dicho estudiante realiza en promedio 28 minutos desde que sale de su casa hasta que entra al salón de clases, con una desviación estándar de σ=6 minutos, y que la distribución tiempos de viaje es aproximadamente normal. a)Si siempre sale de su casa a las 6:40 de la mañana ¿Qué porcentaje de veces registra retardo?. b)¿Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome menos de 20 minutos?, c) ¿A partir de que tiempo de viaje (en minutos) se encuentran 10% de los viajes más demorados?. 24. Control de calidad y confiabilidad. El mecanismo interno de un refrigerador de cierto tipo tiene una vida cuya distribución es aproximadamente normal, con media μ=12 años y desviación estándar σ=4.863 años. El fabricante asume la responsabilidad de reponer (o, en su caso reparar gratuitamente) aquellos refrigeradores que estén dentro de la garantía. Si piensa reponer sólo 5% de las unidades, ¿Por cuánto tiempo debe estipular la garantía? Profesores: Patricia Carvajal Olaya – Alvaro Trejos C

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25. En un estudio de un gran número de personas adultas sanas, se encontró que 30% dormían menos de 7.2 horas diarias, mientras que 40% dormían menos de 7.5. Si se supone una distribución normal, ¿cuáles son los valores de la media y la desviación típica para el número de horas de sueño diarias de un adulto?. 26. Suponga que la vida útil de cierta marca de refrigeradores es una variable aleatoria con media igual a 12 años y con una desviación estándar de 2 años. Asuma que la distribución de dicha variable aleatoria es aproximadamente normal. Si el fabricante piensa reponer solo el 3% de los refrigeradores que falle (dentro del uso ordinario), ¿Por cuánto tiempo debe estipular la garantía?. 27. Una fábrica produce objetos circulares cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm. y una desviación estándar de 0,001 cm. Para que un objeto pase el control de calidad su diámetro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro es menor que 4,998 cm. Se desecha; si es mayor que 5,002 cm. puede reprocesarse. a. ¿Qué porcentaje de objetos servirá? b. ¿Qué porcentaje será desechado? c. ¿Qué porcentaje será reprocesado? d. Si la empresa tiene un pedido de 1000 objetos y no tiene tiempo para realizar ninguna clase de reprocesamiento, cuantos debe objetos en total debe producir. VARIOS 28. Un examen de estadística consta de 10 preguntas cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es correcta. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las 10 preguntas). ¿Cuál es la probabilidad de que resuelva bien a más de 6 preguntas? 29. Un camarógrafo desea filmar para un reportaje una o más escenas de pleitos a puñetazos y patadas entre los diputados de un país cualquiera, Se estima que el 8% de las sesiones en la cámara de diputados termina con semejantes escenas. ¿A cuántas sesiones deberá asistir el camarógrafo para tener una probabilidad de por lo menos ½ de filmar lo que se propone?. 30. Una caja con 24 calculadoras contiene cuatro que están defectuosas. Si se eligen cuatro al azar, cuál es la probabilidad de que a) tres estén defectuosas?, b)a lo mucho una resulte con defecto?, c) Las cuatro estén defectuosas?. 31. Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competencia y tira 25 veces. ¿Cuál es la probabilidad que acierte más de 10 tiros? R/0.9998 Aplique corrección por continuidad y recuerde que E[x]=np y V[x]=npq. 32. Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive. corrección por continuidad. 33. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15. a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? c). En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

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