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• Gabriel Alarcon

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Taller probabilidad Ejercicio 10 Un sistema de aspersión automático especial tiene dos tipos diferentes de dispositivos de activación para cada regadera. Un tipo tiene una confiabilidad de 0.9; es decir, la probabilidad de que se active cuando debe el aspersor es de 0.9. El otro tipo, que opera independientemente del primero, tiene una confiabilidad del 0.8. Si se dispara cualquier dispositivo, el aspersor se activará. Suponga que empieza un fuego cerca de una regadera. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la regadera se active? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la regadera no se active? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos dispositivos de activación trabajen adecuadamente? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo el dispositivo con 0.9 de confiabilidad trabaje adecuadamente?

Solución: P (D1) = 0.9 y P (D2) = 0.8. a) P (D1∪D2) = P (D1) + P (D2) −P (D1∩D2) = P (D1) + P (D2) −P (D1) P (D2) = 0.9 + 0.8− (0.9) (0.8) = 0.98 Con una probabilidad del 98% la regadera se activará al dispararse cualquiera de los dispositivos b) P (D1'∩D2') = P (D1') P (D2') = (1−0.9) (1−0.8) = 0.02 con una probabilidad del 2% la regadera no se activará al dispararse alguno de los dispositivos c) P (T1∩T2) = P (T1) P (T2) = (0.9) (0.8) = 0.72 Con una probabilidad del 72% ambos dispositivos trabajarán adecuadamente d) P (T1 ∩T2 ') = P (T1) P (T2') = (0.9) (1−0.8) = 0.18 Con una probabilidad del 18% el dispositivo con 0.9 de confiabilidad trabajara adecuadamente

Ejercicio 12 Un sistema contiene dos componentes, A y B, conectados en serie, como se muestra en el diagrama: A B Suponga que A y B funcionan de manera independiente. Para que el sistema funciones, ambos componentes deben funcionar. 1. Si la probabilidad de que A falle es de 0.05 y la probabilidad de que B falle es de 0.03, determine la probabilidad de que el sistema funcione.

2. Si tanto A como B tienen probabilidad p de fallar, ¿cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea 0.90? 3. Si tres componentes están conectados en serie y cada tiene probabilidad p de fallar, ¿cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea 0.90? Solución: 1) P(A') = 0.05 P(B') = 0.03 P(A) = 1 - P(A') = 0.95 P(B) = 1 - P(B') = 0.97 P (A∩B) = P (A) P (B) = (0.95)(0.97) = 0.9215 Con una probabilidad del 92.15% el sistema funcionara correctamente 2) P(A') = p P(B') = p P(A) = 1 - P(A') = 1 - p P(B) = 1 - P(B') = 1 - p P (A∩B) = P (A) P (B) = (1 - p) (1 - p) = (1 - p)^2 (1- p)^2 = 0.90 p = 1- √ ❑ p = 0.0513 Con una probabilidad del 5.13% para p en el componente A y B el sistema funcionara con una probabilidad del 90% 3) P(A') = p P(B') = p P(C') = p P(A) = 1 - P(A') = 1 - p P(B) = 1 - P(B') = 1 - p P(C) = 1 - P(C') = 1 - p P (A∩B∩C) = P (A) P (B) P (C) = (1 - p) (1 - p) (1 - p) = (1 - p)^3 (1- p)^3 = 0.90 3 p = 1- √ 0.90 p = 0.0345 Con una probabilidad de 3.45% para p en los componentes A,B Y C el sistema funcionara con una probabilidad del 90% Ejercicio 13 Se perfora un hueco en un componente de una hoja de metal y después se inserta un eje a

través del hueco. La holgura del eje es igual a la diferencia entre el radio del hueco y el radio del eje. Sea X la variable aleatoria que denota a la holgura, en milímetros. La función de densidad de X es f(X)= 1.25(1 – x^4), si 0 < x < 1. Los componentes con holguras superiores a 0.8 mm se deben desechar. ¿Cuál es la proporción de componentes que serán desechados? Solución: 1

P( X > 0.8) = ∫ f (x) dx 0.8

1

=∫ ❑ 1.25 (1 - x^4) dx 0.8

= 1.25 ( x - x^5/5) = 0.0819 Con una probabilidad del 8.19% serán desechados los componentes con holguras superiores a 0.8 mm Ejercicio 15 Determine si cada una de las siguientes variables aleatorias es discreta o continua: - El número de caras en 100 lanzamientos de una moneda; - la longitud de una varilla elegida aleatoriamente de la producción de un día; - el puntaje del examen final de un estudiante elegido aleatoriamente de la clase de estadística de ingeniería de último semestre; - la edad de un estudiante elegido aleatoriamente de una universidad. Solución: a) b) c) d)

Discreta ya que tiene valores contables Continua ya que tiene valores no contables Discreta ya que tiene valores contables Continua ya que tiene valores no contables

TALLER VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS EN PROBABILIDAD

Ejercicio 3 Para establecer el precio a pagar por cada litro de leche, se ha tenido en cuenta el contenido de materia grasa por litro de leche. Se consideraron 3 categorías:

Categoría 1: contenido en materia grasa inferior al 4%. Categoría 2: contenido en materia grasa entre el 4% y el 5%. Categoría 3: contenido en materia grasa superior al 5%. Por estudios anteriores, se sabe que el porcentaje de materia grasa por litro de leche procesado por esta empresa es una variable aleatoria X con función de densidad: f(x) = 2/9 (6-x) ; si 3 < x < 6 0 en otro caso Solución: 4

P(C1) = P(grasa