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• JhonatanGuano

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1. SISTEMAS LINEALES DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD En edificios es usualmente aceptable supones que las masas están concentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes son solo laterales; por ellos lo que sigue se limita a tratar este caso, aunque varios conceptos son aplicables y otros sistemas estructurales con masas concentradas cuyos apoyos tengan todos el mismo movimiento. 2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO

Fig. 2.1 Sistema de tres grados de libertad dinámicos

Consideramos el sistema de tres grados de libertad mostrado en la figura 1.1, cuyos apoyos tienen un movimiento x(t) y cuyas masas m1, m2 ym3 tienen desplazamientos u1,u2 y u3, respectivamente. Las fuerzas de inercia en este caso son m1 (ü1 + 𝑠̈ ), m2 (ü2 + 𝑠̈ ), y m3 (ü3 + 𝑠̈ ), Las fuerzas en los elementos elásticos se calculan como el producto de la matriz rigidez K por los desplazamiento, es decir Fe=k*u Donde, para el caso de la figura 1.1 𝑘11 𝐾 = [𝑘21 𝑘31

𝑘12 𝑘22 𝑘32

Donde 𝑘𝐼𝐽 = 𝑘𝐽𝐼 𝐹𝑒1 𝐹𝑒 = {𝐹𝑒2 } 𝐹𝑒3

𝑘13 𝑘23 ] 𝑘33

𝑢1 𝑢 = {𝑢2 } 𝑢3 De análoga manera las fuerzas de amortiguación viscoso expresar como el producto de una matriz de amortiguamiento por las velocidades, o sea como 𝐹𝑒 = 𝐶𝑢̇ Donde el punto denota la derivación con respecto al tiempo. Veremos más adelante que en general no es necesario calcular C y que el efecto del amortiguamiento se toma en cuenta en los espectros de diseño. Para cada masa la suma de todas las fuerzas debe ser ceso. Así se llega a que las ecuaciones de equilibrio dinámico 𝑀𝑢̈ + 𝐶𝑢̇ + 𝐾𝑢 = −𝑀1𝑠̈

𝐸𝐶𝑈(2.1)

M se denomina matriz de masa y, para la estructura de la figura 2.1, es igual a 𝑘11 𝐾 = [𝑘21 𝑘31

𝑘12 𝑘22 𝑘32

𝑘13 𝑘23 ] 𝑘33

En la expresión de la ecuación de equilibrio hemos definido también: 1 1 𝑠̈ = {1} 1

𝑠̈ 𝑠̈ = {𝑠̈ } 𝑠̈

3. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS En lugar de resolver la ecuación de equilibrio 2.1, conviene considerar primero el caso más simple en el que no existe amortiguadores (sus efectos se incluyen después en forma aproximada) y no existe movimiento del terreno. Con lo cual dicha ecuación se convierta en 𝑀𝑢̈ + 𝐾𝑢 = 0

𝐸𝐶𝑈(3.1)

Ahora bien, toda estructura elástica puede vibrar libremente en forma tal que el desplazamiento de cada una de sus masa con respecto a su posición de equilibrio estático es igual al producto de una función dela posición dela masa considerada por una función de la posición de la masa considerada por una función del tiempo, que es la misma para todas las masa. En otras palabras, los desplazamientos se puede expresar como 𝑢(𝑡) = 𝑍𝑞(𝑡)

𝐸𝐶𝑈(3.2)

Donde para el caso de la figura 2.1 𝑢1 (𝑡) 𝑢 𝑢 = { 2 (𝑡)} ; 𝑢3 (𝑡)

𝑧1 𝑧 𝑍 = { 2} 𝑧3

Se dice que una estructura de esta manera vibra en sus modos naturales; eñ conjunto de valores 𝑧𝐽 (que son constantes independientes de t) se denomina forma del modo y el periodo de la función del tiempo 𝑞(𝑡), en caso de existir, se llama periodo natural Derivan la ecuación 3.2 se obtiene 𝑢̈ (𝑡) = 𝑍𝑞̈ (𝑡) y sustituyendo 3.1 llegamos a 𝑀𝑍𝑞̈ + 𝐾𝑍𝑞 = 0

𝐸𝐶𝑈(3.3)

Por sencillez se han omitido los (t). Para la masa i el desarrollo de la última expresión da 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑞̈ + (Σ𝑗 𝑘𝑖𝑗 𝑧𝑖 )𝑞 = 0

𝐸𝐶𝑈(3.4)

De donde Σ𝑗 𝑘𝑖𝑗 𝑧𝑖 𝑞̈ = 𝑞𝑖 𝑚𝑖 𝑧𝑖 El primer miembro de esta ecuación es función de t, mientras que el segundo no, por tanto ambos deben ser constantes para que la igualdad subsista. Si llamamos - −𝜔2 a este valor constante, obtenemos: 𝑞̈ + 𝜔2 𝑞 = 0 Cuya solución es 𝑞 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜔(𝑡 − 𝜏)

𝐸𝐶𝑈(3.5)

De acuerdo con lo anterior existe modos de vibración que satisfacen las condiciones de la expresión 3.2 Estos son tales que el movimiento de cada masa es armónico simple con periodo natural 𝑇 = 2𝜋/ 𝜔 ; 𝜔 se llama frecuencia natural circular. Derivando dos veces la ecuación 3.5 se tiene 𝑞̈ = 𝜔2 𝑠𝑒𝑛 𝜔(𝑡 − 𝜏) = −𝜔2 𝑞 Sustituyendo en Δ𝑎 = 𝑎1 − 𝑎 =

4(Δ𝑢−𝑣Δ𝑡) Δ𝑡 2

(𝐾 − 𝜔2 𝑀)𝑍 = 0

− 2𝑎 y considerando que 𝑞 ≠ 0, queda 𝐸𝐶𝑈(3.6)

Que es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Para que existan valores de Z distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule, esto es, que |𝐾 − 𝜔2 𝑀|) = 0

𝐸𝐶𝑈(3.7)

4. FRECUENCIA Y MODOS DE VIBRACION Matemáticamente, la expresión 3.7 constituye en problema de los valores característicos. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuación algebraica de grado n cuya incógnita es 𝜔2 , siendo n el número de grados de libertad (tres en el caso de la figura 2.1) cuya solución conduce a n valores de

𝜔2 , es decir a n frecuencias naturales de vibración 𝜔, que corresponden a otros tantos periodos naturales 2𝜋/ 𝜔. Para estructuras estables los valores de 𝜔2 son reales y positivos, y sus raíces cuadradas son las frecuencias naturales. Se acostumbran numerar a las 𝜔 en orden creciente; así la primera frecuencia 𝜔1 (llamado frecuencia fundamental) tiene el menor valor, y la última, 𝜔𝑛 el mayor. Remplazando cada valor de la frecuencia 𝜔𝑗 en 3.6 podemos obtener vectores 𝑍𝑗 diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibración. No resultan soluciones únicas para cada uno de ellos se llama modo de vibración. No resultan soluciones únicas para cada modo sino solamente valores entre las 𝑧𝑖𝑗 , es decir que no están definidas las amplitudes de las vibraciones, sino las relaciones entre todas ellas. Se demuestra que los modos de vibraciones tienen las siguientes propiedades: a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas, 𝑍𝑗𝑇 𝑀𝑍𝑟 = 0 𝑠𝑖 𝑗 ≠ 𝑟 b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigideces, 𝑍𝑗𝑇 𝐾𝑍𝑟 = 0

𝑠𝑖 𝑗 ≠ 𝑟

c) Los modos naturales constituyen un conjunto completo, lo que significa que cualquier configuración de desplazamiento u puede expresarse como una combinación lineal de las 𝑍𝑗 ,es decir: 𝑢 = Σ𝑗 𝑎𝑗 𝑍𝐽 = 0 Los productos 𝑚𝑗∗ = 𝑍𝑗𝑇 𝑀𝑍𝑟 y 𝑘𝑗∗ = 𝑍𝑗𝑇 𝐾𝑍𝑟 son cantidades escalares que se denominan masas y rigidez generalizadas del modo j, respectivamente. Sus valores dependen de la escala de cada modo, aunque el cociente del segundo sobre el primero se mantiene constante y es igual al cuadrado de las frecuencias del modo en cuestión. 5. EJEMPLO Considerando la estructura mostrada en la figura 5.1 (Rascon 1982). Las matrices masas y rigideces son:

Fig. 5.1 Sistema tratado en el ejemplo de la sección 5

𝑚1 𝑀=[ 0 0 𝑘1 + 𝑘2 𝐾 = [ −𝑘2 0

0 𝑚2 0

0 0] 𝑚3

−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3

0 −𝑘3 ] 𝑘3

El valor de cada masa es igual a 𝑊𝑖 /𝑔 (g es la aceleración de la gravedad), entonces: 𝑚1 = 𝑚2 = 400/981 = 0.407750 𝑡 − 𝑠𝑒𝑔2 /𝑐𝑚 𝑚3 = 200/981 = 0.203875 𝑡 − 𝑠𝑒𝑔2 /𝑐𝑚 Remplazando los valores de 𝑘𝑖 , dados en figura, obtenemos:

5.0 −2.5 0 𝐾 = 80 [−2.5 3.5 −1,0] 0.0 −1.0 1.0 Y la ecuación 3.7,|𝐾 − 𝜔2 𝑀|) = 0, se escribe:

[

5.0 − 0.407750𝜆 −2.5 0.0

−2.5 3.5 − 0.407750𝜆 −1.0

0 ]=0 −1,0 1.0 − 0.407750𝜆

Donde 𝜆 = 𝜔2 /80. El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente ecuación cubica: 𝜆3 − 25.751𝜆2 + 157.885𝜆 − 184.386 Cuyas soluciones 𝜆1 = 1.525, 𝜆2 = 7.030, 𝜆3 = 17.190. Como 𝜔2 = 80𝜆, recordando que el periodo es 𝑇 = 2𝜋/ 𝜔, se obtiene los siguientes resultados: 𝜔12 = 122.0,

𝜔1 = 11.05 𝑠𝑒𝑔−1 ,

𝑇1 = 0.5686 𝑠𝑒𝑔

𝜔22 = 562.4,

𝜔2 = 23.71 𝑠𝑒𝑔−1 ,

𝑇2 = 0.2650 𝑠𝑒𝑔

𝜔32 = 1375.2,

𝜔2 = 37.08 𝑠𝑒𝑔−1 ,

𝑇2 = 0.1694 𝑠𝑒𝑔

Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valores de 𝜔2 en la expresión 3.6. Procediendo así con 𝜔12, se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones.

Fig. 5.2 Modos de vibra de la estructura de la figura 5.1

𝑧11 (400 − 122𝑥0.407750) −200 0.0 0 𝑧 −200 (280 − 122𝑥0.407750 −80 [ ] { 21 } = {0} 0.0 −80 (80 − 122𝑥0.407750) 𝑧31 0

En el 𝑧𝑖𝑗 el índice i se refiere al nivel mientras que j identifica el modo. Podemos escoger arbitrariamente alguna 𝑧𝑖𝑗 , por ejemplo 𝑧11 = 1; entonces, de la primera

ecuación se calcula 𝑧21 = 1.751 y de la segunda o tercera ecuación encontramos 𝑧31 = 2.541; por tanto: 𝑧11 1.000 𝑧 𝑍1 = { 21 } = {1.751} 𝑧31 2.541

Análogamente, empleando los valores 𝜔22 y de 𝜔32, respectivamente, se obtienen: 𝑧12 1.000 𝑍2 = {𝑧22 } = { 0.853 } 𝑧32 −1.969 𝑧13 1.000 𝑍3 = {𝑧23 } = {0.804} 𝑧33 0.321

Las formas de estos tres modos de vibrar se aprecian en la figura 5.2. Recuérdese que cada uno de ellos puede multiplicarse por cualquier constante arbitraria. Podemos verificar la solución constando la ortogonalidad de los modos con respecto a las matrices de masas y de rigideces. Por ejemplo, con el primer y tercer modos se tiene: 0.40775 0 0

0 0.40775 0

0 ] 0 0.203875

{0.40775

0.71397

0.51805}

𝑍1𝑇 𝑀 = {1.00 1.751 2.541} [

𝑍1𝑇 𝑀𝑍3 = 0.40775 𝑋 1.0 − 0.71397 𝑋 0.804 + 0.51805 𝑋 0.321 = 0.00001 ≈ 0 Análogamente, con la matriz de rigideces tenemos 400 𝑍1𝑇 𝐾 = {1.00 1.751 2.541} [−200 0

−200 280 80

0 −80] 80

{49.8 87.0 63.2} 𝑍1𝑇 𝑀𝑍3 = 49.8 𝑋 1.0 − 87.0 𝑋 0.804 + 63.2 𝑋 0.321 = 0.139 ≈ 0 Los resultados no son exactamente cero por errores de redondeo.