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Sistema de varios grados de libertad

INDICE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. ............................... Error! Bookmark not defined. INDICE ..................................................................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................................2 OBJETIVOS ...........................................................................................................................................................2 JUSTIFICACIÓN.....................................................................................................................................................3 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ....................................................................................................4 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad. ..........................................................4 Ejemplo ..........................................................................................................................................................4 Vibración libre.................................................................................................................................................5 Frecuencias naturales .....................................................................................................................................5 Acoplamiento de coordenadas. .........................................................................................................................6 Coordenadas principales. ...................................................................................................................................6 Vibración forzada y absorción de vibraciones ...............................................................................................7 Absorbedor de vibración ................................................................................................................................8 Absorbedor dinámico de vibraciones sin amortiguamiento ...................................................................... 10 Absorbedor dinámico de vibraciones con amortiguamiento..................................................................... 11

INTRODUCCIÓN El planteamiento de las ecuaciones del movimiento de los sistemas de N grados de libertad se puede realizar empleando las mismas técnicas que se han aplicado para los sistemas de un grado de libertad. En los casos más simples es fácil la obtención de las ecuaciones del movimiento a partir de las ecuaciones de equilibrio de los distintos cuerpos. En otros casos es más conveniente el uso de los métodos basados en la dinámica analítica. Estos procedimientos y otros derivados de ellos se emplearán para plantear las ecuaciones en diferentes sistemas. Se ha comprobado que muchos sistemas reales se pueden modelar con buena aproximación mediante sistemas de un sólo grado de libertad. Sin embargo, hay casos en que esto no es posible. Por ejemplo, en los sistemas formados por varios sólidos rígidos unidos por elementos elásticos. En esos casos, excepto en condiciones de movimiento muy concretas, el estudio del comportamiento de los sistemas no puede hacerse con modelos tan simples como los de un grado de libertad utilizada hasta ahora.

OBJETIVOS Estudiar y analizar el los grados de libertad, así como sus ecuaciones y matrices.  Analizar que es un sistema de dos grados de libertad.  Comprender las ecuaciones diferenciales de movimiento para un sistema de dos grados de libertad masa-resorte-amortiguador, con amortiguamiento viscoso y excitación externa.  Discutir el análisis de vibración libre para un sistema de dos grados de libertad no amortiguado

JUSTIFICACIÓN Como base del parcial se debe realizar una investigación complementaria de los temas vistos en clase, esta retroalimentación ayuda a que, como parte del programa estudiantil este sea un apoyo para que recordemos y sepamos que formulas aplicar en un futuro para proyectos integradores posteriores

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad. Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento Se puede demostrar que las ecuaciones lineales del movimiento de un sistema discreto de N grados de libertad sometido a pequeños desplazamientos, con coordenadas generalizadas representadas por el vector q de dimensión N ×1, se pueden escribir como: Donde M, C y K son matrices de tamaño N × N y se denominan matrices de inercia, amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Las matriz M es simétrica y positivo definida. La matriz K también es simétrica pero puede ser positivo definida o positivo semidefinida. La matriz C no goza, en general, de ninguna de las propiedades anteriores. Ejemplo Obtener las ecuaciones del movimiento e identificar las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento para el sistema de dos grados de libertad de la Figura 10.1.

Para hallar las ecuaciones de este sistema, basta con aplicar las ecuaciones de equilibrio a cada una de las dos masas. La Figura muestra los diagramas de sólido libre, con todas las fuerzas actuantes. Sumando las fuerzas e igualando a cero se llega a

Reordenando términos, estas dos ecuaciones se pueden poner de forma matricial Como:

Identificando con la ecuación (9.124), las matrices M, C y K resultan ser:

Vibración libre Para el análisis de vibración libre del sistema que se muestra en la figura 5.3, establecemosF1 (t) = F2 (t) =0. Además, si se omite el amortiguamiento, la ecuación de movimiento (5.1) se reduce a

m1 x1 (t)   k1  k2  x1 (t)  k2 x2 (t)  0 m2 x2 (t)  k2 x1 (t)   k2  k3  x2 (t)  0 Nos interesa saber si y pueden oscilar armónicamente con la misma frecuencia y ángulo de fase pero con diferentes amplitudes. Suponiendo que sea posible tener movimiento armónico de y a la misma frecuencia y al mismo ángulo de fase, consideremos las soluciones del sistema (5.28) como

x1 (t)  X1 cos( t  ) x2 (t)  X 2 cos( t  ) Donde X1 y

X 2 son constantes que indican las amplitudes máximas

 es el ángulo de fase.

Sustituyendo (5.29)

en las ecuaciones (5.28),

obtenemos

Frecuencias naturales Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación (9.128), que representa un problema de valores y vectores propios generalizado. Como es sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz de coeficientes es singular o, lo que es lo mismo, si su determinante es nulo. Se puede demostrar que si la matriz M es positivo definida y K es positivo definida o positivo semidefinida, todos los valores propios s2 son reales y negativos o nulos. Por ello, para manejar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de variables Que equivale a

Acoplamiento de coordenadas. Coordenadas principales. Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un sistema de coordenadas, qi, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas coordenadas principales. Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios. Consideremos dos modos cualquiera i y j. De ecuación (2-3)

- Para i ≠ j, si i j ω ≠ω; se obtiene las siguientes relaciones de ortogonalidad:

Es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [M]y [K]. Estas relaciones son importantes, como veremos a continuación, porque ellas permiten desacoplar las ecuaciones del movimiento. - Para i = j: se obtiene:

Vibración forzada y absorción de vibraciones Los sistemas mecánicos al ser sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo, principalmente periódicas, responden variando sus estados de equilibrio y, Como consecuencia, presentan cambios de configuración que perturban su normal funcionamiento. Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores Directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente Aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos Internos. Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, En:  Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema.  Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, es: m x' ' + kx=F=f 0 cos wt Donde F0 es la amplitud y ω la frecuencia de la fuerza excitadora. La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la solución general de la homogénea una solución particular de la completa ( x=xh+ xp ). La ecuación característica es mr^2+k+=0, las raíces de esta Ecuación son imaginarias conjugadas (wnt +ϕ )

y la solución general de la homogénea es Xh =asen

La solución particular de la complete es x p= Acos wt

Así, la solución general tiene por expresión: En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente, el movimiento resultante se compone de la suma de dos armónicos, uno de frecuencia natural ωn y otro de 6 frecuencia de la fuerza exterior ω. La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se

anula para unos valores particulares, la amplitud del segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a través de la expresión denominada factor de resonancia:

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico F=F0 sen wt, es de la forma:

mx''+cx'+kx=F La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea es mr2+cr+k=0. Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa ( x=xh+xp ), resultando

Absorbedor de vibración Cuando una máquina elásticamente unida a su base mediante resortes, opera a una frecuencia cercana a la frecuencia natural del sistema, la fuerza transmitida a la fundación es excesiva. Con el fin de minimizar este efecto, se emplea un amortiguador dinámico, el cual consiste de un sistema vibratorio acoplado a la máquina que tiende a cancelar la fuerza de excitación. La figura 5.8 ilustra un posible montaje del amortiguador y su sistema equivalente*

Las ecuaciones del movimiento serán:

m1x1

(k1

k2 )x1

k2 x2

m2 x2 k2 x1

Fesen t

k2 x2

o sea en forma matricial:

Fesen t

Para obtener la solución permanente emplearemos el método de los vectores complejos, reemplazando: X1 por X1 x2 por X2 y Fe sen wt por F Obteniéndose:

o sea, cuando el sistema amortiguador se diseña de forma que 2 22 0 km se verifica que la masa 1 m no se desplaza, siendo nula la fuerza transmitida a la fundación. Por otro lado la fuerza transmitida a través del resorte 2 k es:

Físicamente esto significa que el movimiento del amortiguador 2 m está 180o fuera de fase respecto a la fuerza de excitación, y la fuerza, debido a la deformación del resorte 2 k , es igual y opuesta a la fuerza de excitación.

Absorbedor dinámico de vibraciones sin amortiguamiento Sea un sistema (Fig. 37) de masa m1 sujeto a la acción de una fuerza excitadora de carácter armónico F=F0 eiwt en el caso más general (senoidal en el ejemplo de la figura 38). Si añadimos una masa auxiliar m2, el resultado es un sistema de dos grados de libertad. Planteando las ecuaciones del movimiento, suponiendo una solución armónica:

x (t ) x ∗eiwt , x (t )=x ∗eiwt 1

1

2

2

El objetivo es reducir X1, amplitud de la vibración correspondiente al sistema inicial de masa m1, por lo que interesará que el numerador correspondiente sea nulo. Si, además, inicialmente el sistema estaba operando cerca de la resonancia, es decir w2=k 1/ m 1=w1 , se deduce que el absorbedor deber

Así, la amplitud de vibración de la máquina o sistema original operando en su frecuencia de resonancia original será cero (anti resonancia). Es decir, no es que se haya reducido la amplitud de la vibración desde un valor infinito a un valor finito, como ocurriría si lo que hiciésemos fuera introducir amortiguamiento, sino que la hemos reducido a cero (Fig. 38).

Absorbedor dinámico de vibraciones con amortiguamiento El absorbedor dinámico de vibraciones descrito en el apartado anterior elimina el pico de resonancia original en la curva de respuesta del sistema, pero introduce dos nuevos picos de resonancia (Fig. 38) provocando amplitudes de vibración importantes durante los procesos de arranque y parada del sistema. No obstante, este problema puede reducirse considerando la introducción de un absorbedor dinámico de vibraciones que incluya, asimismo (Fig. 40), un determinado amortiguamiento (c2). En tal caso, hay que constatar: A diseñarse de forma que su masa y rigidez cumplan

Si el amortiguamiento introducido es nulo (c2=ξ2=0) estaríamos en la situación anterior con dos frecuencias de resonancia no amortiguadas Ω1 y Ω2. Si el amortiguamiento tiende a infinito (ξ2→∞), las dos masas m1 y m2 resultan rígidamente unidas y el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de 1 grado de libertad de masa (m1+m2) y rigidez k1 que presenta una resonancia en la que X1 → ∞ para un valor

Por lo tanto, la amplitud de vibración del sistema X1 se puede hacer infinita (resonancia) tanto para ξ2=0 como para ξ2=∞; sin embargo, entre ambos límites existe un punto en el que X1 se hace mínimo (Fig. 41). En tal caso, se dice que el absorbedor de vibraciones está sintonizado de forma óptima.

Puede comprobarse que un absorbedor de vibraciones está óptimamente sintonizado cuando el diseño de su masa (m2) y rigidez (k2) es tal que cumple la condición:

A la vez que un valor óptimo para la relación de amortiguamiento utilizada en el diseño de este tipo de absorbedores es:

En este tipo de absorbedores cabe constatar dos aspectos a considerar en su diseño: La amplitud del movimiento vibratorio de la masa del absorbedor (X2) siempre será mucho mayor que la de la masa principal del sistema (X1). Por lo tanto, el diseño deberá de tener esta cuestión en cuenta de cara a posibilitar la amplitud de vibración del absorbedor.

CONCLUSION El análisis de sistemas de varios grados de libertad requería de cálculos algebraicos muy tediosos, así como de ecuaciones diferenciales las cuales fueron aplicadas constantemente en ejercicios. Para simplificar las ciertas ecuaciones que casi eran difíciles de entender hasta cierto punto se podía utilizar la representación matricial. Derivamos las ecuaciones de movimiento por medio de tres métodos diferentes: la segunda ley del movimiento de Newton, los coeficientes de influencia y las ecuaciones de Lagrange. Presentamos el cálculo de las frecuencias naturales con la solución del problema de valor eigen. Se utilizó el procedimiento de análisis modal para la vibración libre y forzada de sistemas no amortiguados y sistemas proporcionalmente amortiguados. Para concluir, la solución de vibración libre y forzada de problemas de varios grados de libertad podía ser representado utilizando MATLAB enseñando sus códigos, graficas e inclusive comprobando con simulink variaciones de códigos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICA Ortega, D. G. (30 de Noviembre de 2014). Sistemas de varios grados de libertad. Obtenido de Scribd: https://es.scribd.com/doc/248673451/Sistemas-de-varios-grados-de-libertad POMPA, G. A. (1 de Junio de 2016). SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. Obtenido de Edoc.site: https://edoc.site/unidad-5-sistemas-de-varios-grados-pdf-free.html