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Dinámica lineal de sistemas de varios grados de libertad Francisco López Almansa Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE) Universidad Politécnica de Cataluña Campus Norte UPC, 08034 Barcelona e-mail: [email protected] En este capítulo se analizan las oscilaciones de estructuras modelizadas mediante sistemas espacialmente discretos de varios grados de libertad y con relaciones constitutivas elásticas y lineales. En el primer apartado se describe la representación del comportamiento dinámico de estructuras mediante modelos matemáticos discretos y se deduce la ecuación diferencial matricial del movimiento, en el segundo se estudian las características modales de la estructura (análisis modal), y en el tercero se comentan brevemente las técnicas numéricas de resolución de las ecuaciones del movimiento tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia.

1. Discretización En el capítulo anterior se describe la modelización de estructuras mediante sistemas de un grado de libertad y se indica que existen construcciones cuyo comportamiento dinámico difícilmente puede ser descrito por modelos de estas características debido especialmente a que la masa no se encuentra concentrada en torno a un único punto sino, o bien lo está en torno a varios, o bien está distribuida de manera más o menos uniforme. Un ejemplo del primer caso lo constituye un edi…cio de varias plantas (especialmente respecto de las oscilaciones horizontales, para las que puede suponerse con un grado razonable de exactitud que la masa se concentra en cada planta) y ejemplos del segundo son una chimenea, una jácena o un forjado (la primera respecto de las oscilaciones horizontales y los otros dos respecto de las verticales). En cada una de estas dos categorías se suelen utilizar distintos procedimientos de discretización, en el primer caso modelos de masas concentradas y en el segundo de elementos …nitos. Ambos se estudian, respectivamente, en los dos siguientes subapartados. 1.1. Modelos de masas concentradas En este subapartado se describe la representación de una estructura (la cual siempre es un sistema continuo) por un modelo discreto en que la masa se concentra en los puntos en que se de…nen grados de libertad. Como ejemplo introductorio se considera el pórtico ortogonal (de nudos rígidos) de edi…cación representado en la …gura 1.1.

N k , c mN N-1 N N mN-1 2 1

m2 k2, c2 m1 k1, c1

yN

fN fN-1 f2 f1

xN

xN

xN-1 x2 x1

xg

Figura 1.1: Edi…cio de cortante de N plantas En la …gura 1.1 (izquierda) se muestra un edi…cio de N plantas cuyo comportamiento dinámico se supone plano (2D); ello implica simetría en cada planta (de masa y de rigidez, tal como se discute más adelante). Por sencillez, se supone que la rigidez a ‡exión de los forjados es in…nitamente superior a la de los pilares; esta hipótesis es razonable para edi…cios de altura ba ja y media y las construcciones que cumplen esta condición se suelen denominar edi…cios de cortante (”shear buildings”). Concentrando las masas a la altura de cada piso, el comportamiento dinámico horizontal puede describirse por el modelo mecánico discreto representado a la derecha de la …gura 1.1. Los coe…cientes de rigidez

ki de cada planta vienen dados por la suma de las rigideces 12HE3 I de los pilares, los ci representan el amortiguamiento (en el siguiente apartado se describen procedimientos para identi…car sus valores) y las masas mi corresponden a las de cada forjado (incluyendo a los elementos que descansan sobre el mismo, expresados mediante un porcentaje de la sobrecarga de uso) más las masas de la mitad (aproximadamente) de cada tramo de los pilares adyacentes por encima y por debajo. En los dos esquemas de la derecha se representan las vibraciones del modelo causadas por, respectivamente, fuerzas horizontales actuando a la altura de cada piso (generadas, por ejemplo, por el viento) o por un desplazamiento horizontal x g de la base. En el primer caso las N ecuaciones diferenciales del movimiento de cada masa son f 1 + k2 (x2 ¡ x 1 ) ¡ k1 x 1 + c2 ( x_ 2 ¡ x_ 1 ) ¡ c1 x_ 1

=

fi + ki+1 (xi+1 ¡ x i) ¡ ki (x i ¡ xi¡1 ) + ci+ 1 (x_ i+ 1 ¡ x_ i ) ¡ ci (x_ i ¡ x_ i¡ 1 ) = f N ¡ kN (x N ¡ x N¡ 1 ) ¡ cN (x_ N ¡ x_ N¡ 1 ) =

m1 xÄ 1 ::: mi xÄ i ::: mN ÄxN

Estas relaciones escalares se pueden escribir conjuntamente en forma matricial: (1.1)

MÄ x(t) + C x(t) _ + K x(t) = f (t)

En donde los vectores x(t) y f (t) contienen, respectivamente, los desplazamientos de los grados de libertad y las fuerzas de excitación que actúan sobre éstos: T

T

x(t) = (x1 ; :::; x N )

(1.2)

f (t) = (f1 ; :::; f N )

Las matrices M y K se denominan matriz de masa y matriz de rigidez, respectivamente: 0 k1 + k2 ¡k2 0 B ¡k2 k + k ¡k 2 3 3 B B .. B . 0 ¡k3 k3 + k4 B M = diag (m1 ; :::; m N ) K=B . . .. .. .. B . B B . .. k @ N ¡1 + kN ¡kN

1

¡kN kN

C C C C C C C C C A

(1.3)

La matriz de amortiguamiento C tiene la misma forma que K. Es destacable que las matrices M y K son simétricas y de…nidas positivas (es decir sus valores propios son positivos y, por tanto, no son singulares) y que M es diagonal; más adelante se discute en qué casos se pueden generalizar estas propiedades. Si las oscilaciones horizontales de la estructura están producidas por un movimiento x g del terreno (por ejemplo, en el caso de acción sísmica), se consideran los desplazamientos absolutos yi y los relativos respecto de la base x i (esquema derecho de la …gura 1.1), los cuales están relacionados por x i = yi ¡ x g ; estas ecuaciones escalares se pueden escribir conjuntamente: T

x = y ¡ r xg

r = (1; :::; 1)

(1.4)

Es destacable que los desplazamientos relativos x i indican el nivel de solicitación a que está sometida la estructura (los desplazamientos relativos entre pisos adyacentes x i ¡ xi¡1 son particularmente indicativos y se conocen con el nombre de deriva de planta -”interstory drift”-) mientras que la aceleración absoluta yÄi corresponde a la percepción humana del terremoto y señala los posibles daños a las instalaciones y a los elementos no estructurales del edi…cio. Teniendo en cuenta 1.4 la ecuación matricial del movimiento se puede expresar de cualquiera de las dos formas siguientes MÄ y(t) + C x(t) _ + K x(t)

=

0

(1.5)

MÄ x(t) + C x(t) _ + K x(t)

=

¡M r xÄ g (t)

(1.6)

La relación 1.6 muestra que el efecto dinámico del movimiento sísmico horizontal equivale a una fuerza ¡m i xÄ g (t) aplicada a la altura de cada planta. Ello implica que una reducción (aumento) de la masa del edi…cio se traduce en una disminución (incremento) de la acción sísmica. 2

Es destacable que la fuerza horizontal de interacción fb (t) entre el edi…cio y el terreno (cortante en la base, ”base shear”) es fb (t) = m1 Äy1 + ¢ ¢ ¢ + m N yÄN = rT M Ä y. Esta propiedad es válida para edi…cios en general y no sólo para los pertenecientes al tipo descrito en la …gura 1.1. En oscilaciones horizontales de estructuras de edi…cación que no corresponden al esquema simpli…cado descrito en la …gura 1.1 (edi…cio plano de cortante) las ecuaciones 1.1 y 1.6 continúan siendo válidas pero las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez adoptan formas distintas. Deben distinguirse dos casos: edi…cios simétricos (el centro de gravedad de cada planta coincide con el de rigidez) y asimétricos (existe excentricidad entre ambos puntos). En los primeros el movimiento horizontal puede analizarse por separado en dos direcciones ortogonales mediante dos modelos planos (2D) similares al descrito previamente mientras que en los segundos no es posible efectuar esta separación y es necesario considerar modelos espaciales (3D) en que existen tres grados de libertad por planta (desplazamientos horizontales en dos direcciones y giro de torsión -respecto de un eje vertical-). En cualquier caso la matriz de masa es diagonal pero en modelos tridimensionales las magnitudes en la diagonal principal son :::; mi ; m i; Ii ; ::: en donde Ii es el momento de inercia de la planta i respecto del eje de giro -recta vertical que pasa por el centro de rigidez-. La matriz K puede obtenerse a partir de la matriz de rigidez de la estructura (es decir, tomando modelos de barras con 3 -2D- o 6 -3D- grados de libertad por nudo o modelos de elementos …nitos) condensando estática o cinemáticamente los grados de libertad no considerados en el modelo dinámico; alternativamente, si se dispone de un programa de análisis estático convencional, K puede hallarse fácilmente teniendo en cuenta que en modelos planos la relación estática f = K x indica que la i-ésima columna de K es igual a las fuerzas que deben aplicarse en cada planta para generar unos desplazamientos horizontales nulos en todas las plantas excepto xi = 1 (este procedimiento se puede generalizar fácilmente para modelos espaciales). Las matrices M y K así obtenidas gozan de las mismas propiedades que las contenidas en 1.3 (simétricas y de…nidas positivas). Es destacable que el hecho que K sea una matriz de…nida positiva (es decir, no singular) indica que la sustentación de la estructura la convierte en, al menos, isostática; en estructuras incompletas (con grados de movilidad) K tiene valores propios nulos siendo, por tanto, singular (semide…nida positiva). El vector r que de…ne la distribución espacial de las fuerzas sísmicas es el mismo que el indicado en 1.4 para modelos planos, pero en tres dimensiones sus 3 £ N componentes están formadas por N ternas 1; 0; 0 en donde el grado de libertad ordenado en primer lugar corresponde a la dirección en que actúa la excitación. Las oscilaciones verticales de forjados de edi…cación (o elementos estructurales similares) no suelen representarse adecuadamente por modelos de masas concentradas ya que la masa de cada piso se encuentra distribuida (de manera más o menos uniforme) sobre su super…cie. Es necesario emplear modelos de elementos …nitos o suponer una determinada con…guración geométrica de la deformación y tener así modelos de un sólo grado de libertad como los descritos en el capítulo anterior. 1.2. Modelos de elementos …nitos Los modelos de elementos …nitos pueden ser considerados como una generalización de los de masas concentradas (descritos en el subapartado anterior) para estructuras cuya masa no se encuentra concentrada en torno a ciertos puntos sino que está repartida de forma más o menos uniforme. Básicamente consisten en representar el comportamiento estructural de un medio continuo por el de unos recintos en que se descompone su dominio; ya que su tamaño es …nito (en contraposición a in…nitesimal), estos subdominios se denominan elementos …nitos. Los elementos …nitos continúan siendo medios continuos pero su comportamiento se representa por el de un conjunto discreto de sus puntos denominados nodos; los desplazamientos en el resto de puntos se interpolan según unas funciones que se conocen con el nombre de funciones de forma. Los elementos …nitos adyacentes se conectan a través de los nodos situados en su perímetro, ello implica que en los nodos compartidos por varios elementos los desplazamientos son iguales para todos éstos. Mediante modelos de elementos …nitos se puede analizar cualquier estructura independientemente de su geometría. En función del comportamiento estructural a analizar los elementos existentes pueden ser agrupados en tres categorías: unidimensionales (elementos de barra), bidimensionales (de elasticidad bidimensional, de placa, de lámina, de membrana) y tridimensionales (sólidos). En cualquier caso los elementos suelen tener con…guraciones geométricas sencillas; en dos dimensiones son triángulos o rectángulos y en tres dimensiones son tetraedros o paralelepípedos. En la …gura 1.2 se muestran los elementos …nitos más habituales de una, dos y tres dimensiones. Todos los elementos …nitos representados en la …gura 1.2 poseen nodos sólo en sus extremos, esquinas o vértices. Conviene indicar que también existen elementos …nitos con nodos en otros puntos; si éstos son interiores, obviamente los desplazamientos no tienen que ser iguales a los de los elementos adyacentes. A continuación se presenta un breve resumen de la formulación general del método de elementos …nitos para análisis estático lineal y acto seguido se describe su generalización para el caso dinámico. En ausencia de tensiones y deformaciones iniciales, el comportamiento estructural estático de cada elemento se describe mediante la siguiente ecuación de equilibrio

3

Figura 1.2: Elementos …nitos de barra, triangulares, rectangulares, tetraédricos y paralepipédicos

K e a e¡ f e = qe

e

(1.7)

e

En donde K es la matriz de rigidez del elemento, a es el vector de desplazamientos nodales (sus componentes son los desplazamientos de los nodos), f e es el vector de fuerzas nodales equivalentes y qe es el vector de fuerzas nodales de equilibrio (fuerzas …cticias que hay que añadir en los nodos para garantizar el equilibrio de cada elemento): Ke =

Z

V

NT LT D L N dV

u = N ae

fe=

e

Z

NT b dV + Ve

Z

NT t dS + Se

n X

pi

i=1

En estas expresiones N es la matriz de funciones de forma, L es el operador diferencial que relaciona en cada punto las deformaciones " con los movimientos u (" = L u), D es la matriz de constantes elásticas del material y b, t y p i son las fuerzas que actúan, respectivamente, en el interior V e , en el contorno S e y en puntos aislados del elemento. Las relaciones constitutivas entre tensiones ¾ y deformaciones " vienen dadas por ¾ = D ". Las ecuaciones 1.7 pueden ser ensambladas imponiendo las condiciones de equilibrio de cada nodo (la suma de las fuerzas nodales de equilibrio correspondientes a todos los elementos adyacentes es igual a cero –o a las cargas concentradas aplicadas en el nodo–). Después de eliminar los grados de libertad restringidos (suprimiendo las correspondientes …las -ecuaciones- y columnas -incógnitas-) se obtiene la ecuación de equilibrio de la estructura: (1.8)

Kx = f

K es la matriz de rigidez de la estructura, x es el vector que contiene los desplazamientos de los grados de libertad y f es el vector de las fuerzas exteriores expresadas por sus componentes equivalentes sobre los nodos (resulta de ensamblar los vectores f e ). Si la sustentación es su…ciente para garantizar el equilibrio de la estructura (es decir, ésta no es incompleta sino isostática o hiperestática) la matriz de rigidez es inversible (no singular) y la ecuación anterior puede ser resuelta para proporcionar x a partir de f (x = K¡1 f ). En el caso dinámico las ecuaciones de equilibrio deben ser reemplazadas por las del movimiento, en que se incluyen las fuerzas de inercia y de amortiguamiento. El vector de fuerzas nodales equivalentes viene ahora dado por f e (t)

=

Z

V

T

N b(t) dV + e

Z

T

N t(t) dS +

Se

n X i=1

pi (t) ¡

Z

V

T

e

N ½Ä u(t) dV ¡

Z

NT ¹ u(t) _ dV Ve

En donde ½ y ¹ representan la densidad y la viscosidad del material, respectivamente. La ecuación del movimiento del elemento es Me Ä ae + Ce a_ e + Ke a e ¡ f e = qe

(1.9)

En donde M e y Ce son, respectivamente, las matrices de masa y de amortiguamiento del elemento y vienen dadas por Me =

Z

V

NT ½ N dV

Ce =

e

Z

V

NT ¹ N dV

(1.10)

e

Ensamblando las relaciones 1.9 se obtiene la ecuación 1.1 que describe el movimiento de la estructura. En la práctica ¹ es desconocida y la matriz de viscosidad Ce suele obtenerse a partir de los procedimientos descritos en el apartado correspondiente al análisis modal. La matriz de masa obtenida ensamblando las indicadas en 1.10 se denomina consistente por haber sido generada utilizando las mismas funciones de forma que la matriz de rigidez. En la práctica, sin pérdida apreciable de precisión a 4

menudo se usan matrices de masa M e diagonales (concentrando la masa en los nodos) ya que los cálculos que resultan son más sencillos. En la …gura 1.3 se representan mallas de elementos …nitos útiles para analizar las situaciones descritas en el capítulo anterior.

Figura 1.3: Modelos de elementos …nitos En los esquemas izquierdo y derecho de la …gura 1.3 se muestran elementos de barra de dos nodos (modelo de Euler-Bernouilli) y en el esquema derecho se indican elementos cuadrangulares de cuatro nodos (modelo de Kirchho¤). En los textos de Bathe (1982), Cook, Malkus and Plesha (1989) y Zienkiewicz (1980) se describen las aplicaciones del método de elementos …nitos a la dinámica de estructuras.

2. Análisis modal En este apartado se estudian las características modales (frecuencias naturales y vectores modales) de una estructura representada por un modelo discreto de varios grados de libertad. Este proceso puede ser considerado como una generalización de la determinación de ! 0 (frecuencia natural de oscilación) y ³ (factor de amortiguamiento) para sistemas de un grado de libertad. Existen tres subapartados, en el primero se describen los conceptos generales del análisis modal, en el segundo se discuten los criterios para determinar el número de modos a incluir en el cálculo y en el tercero se presenta un ejemplo numérico. 2.1. Parámetros modales Se considera en primer lugar el movimiento de la estructura en ausencia de amortiguamiento y de excitación. En este caso las ecuaciones 1.1 o 1.6 se convierten en MÄ x +Kx = 0

(2.1)

En general, si la estructura vibra a partir de unas condiciones iniciales prescritas x (0) = Á, ésta no siempre oscilará según la misma con…guración inicial Á; para que ello ocurra esta con…guración debe satisfacer ciertas condiciones. Investigar si esta situación es posible equivale a comprobar si la ecuación anterior admite soluciones del tipo x (t) = Á exp i ! t. Reemplazando esta expresión en 2.1 se obtiene inmediatamente el siguiente problema de autovalores: ¡

¢ K¡! 2 M Á = 0 (2.2) q k Es notable la similitud entre esta ecuación y el resultado ! 0 = m obtenido en el capítulo anterior para sistemas de un grado de libertad. Esta semejanza permite generalizar la propiedad general de que un aumento de rigidez o una disminución de masa conducen a oscilaciones (libres) más rápidas. ¡ ¢ Los valores propios (autovalores) !i se obtienen a partir de la ecuación característica det K¡ ! 2 M = 0, la cual es un polinomio de grado N en la variable !2 . Ya que la matriz M es no singular y K es simétrica y (al menos) semide…nida positiva, existen N raíces reales ! i (suelen ordenarse de menor a mayor: ! 1 ¢ ¢¢ ! N ) a cada una de las cuales corresponde un vector propio (autovector) Ái. Es destacable que los vectores Ái han sido determinados resolviendo un sistema de ecuaciones homogéneo (es decir, cuyo segundo miembro es nulo) y, en consecuencia, pueden ser normalizados siguiendo cualquier criterio. Este resultado indica que la estructura tiende espontáneamente a oscilar según N con…guraciones Á 1 ; :::; ÁN (que se conocen con el nombre de modos propios o naturales de vibración, y los vectores Ái se llaman vectores modales) con frecuencias ! 1 ; ¢ ¢ ¢ ; ! N (que se denominan frecuencias naturales o propias). El primer modo tiene especial importancia (dado que in‡uye con más intensidad en la respuesta) y por dicha razón se llama modo fundamental ; ! 1 es la frecuencia fundamental de la estructura (T 1 = 2 ¼ = !1 es el período fundamental). El primer modo es el que tiene una frecuencia de oscilación menor y ello puede interpretarse como mayor ‡exibilidad, por tanto la estructura posee una cierta tendencia a vibrar según la con…guración Á1 y el modo fundamental es el que contribuye en mayor medida a la

5

respuesta. Al contrario, los modos superiores (para valores de i próximos a N ) son más ”rígidos” y su aportación es proporcionalmente menor. Es destacable que si K es singular (semi-de…nida positiva) existen tantos autovalores nulos como grados de movilidad tiene la estructura, los cuales corresponden a movimientos de sólido rígido (vectores modales Á i sin deformaciones). Por ejemplo, en dos dimensiones (2D) pueden existir como máximo tres grados de libertad sin coacción (desplazamientos en dos direcciones ortogonales y giro) mientras que en tres dimensiones (3D) puede haber hasta seis (tres desplazamientos y tres giros). En la …gura 2.1 se representan los cuatro primeros modos propios de oscilación no triviales (es decir, descontando los seis modos de sólido rígido) de una placa rectangular de sección constante que no posee ningún tipo de sustentación.

Modo 1 . Frecuencia = 465 Hz.

Modo 2 . Frecuencia = 1060 Hz.

Modo 3 . Frecuencia= 1288 Hz.

Modo 4 . Frecuencia = 1 719 Hz.

Figura 2.1: Modos propios de una placa La …gura 2.1 muestra que el primer y cuarto modos son doblemente simétricos y que los modos segundo y tercero son simétricos respecto de un eje y antisimétricos respecto del eje perpendicular. En general puede haber raíces múltiples del polinomio característico pero siempre se puede generar un conjunto de N vectores modales linealmente independientes (más adelante se demuestra esta propiedad para el caso en que todas las raíces son distintas, 2.6) y, por tanto, si dichos vectores se ordenan como columnas de una matriz ésta es no singular: (2.3)

© = (Á1 ¢ ¢ ¢ ÁN )

© se denomina matriz modal. Su no singularidad permite de…nir un cambio de base desde x hasta ´ (coordenadas modales o naturales): x(t) = © ´ (t) = Á1 ´ 1 (t) + ¢ ¢ ¢ + ÁN ´ N (t)

(2.4)

La suma anterior indica que la respuesta de la estructura corresponde a la superposición de las contribuciones de todos los modos. Normalmente basta con considerar tan sólo los primeros términos ya que las aportaciones de los modos superiores suelen ser despreciables. El principal interés de las coordenadas modales radica en que en este sistema de referencia las matrices de masa y de rigidez son diagonales; en efecto, teniendo en cuenta que 2.2 indica que K Áj = M Áj ! 2j y que, además, ÁTj K Á i y ÁTi M Á son valores escalares se tiene que ³ ´T ! 2i Á Tj M Á i = ÁTj K Ái = ÁTj K Ái = ÁTi KT Á j = ÁTi K Á j = ! 2j ÁTi M Áj = ¢ ¢ ¢ = ! 2j Á Tj M Ái

(2.5)

Si las frecuencias ! i y ! j son distintas, las igualdades anteriores implican que ÁTi M Áj = 0;

Á Ti K Á j = 0 6

i 6= j

(2.6)

Estas relaciones indican que los vectores modales son ortogonales respecto de M y de K y que, por tanto, las matrices ©T M © y ©T K © son diagonales. Premultiplicando 2.4 por Á Ti M y teniendo en cuenta las relaciones de ortogonalidad 2.6 se puede invertir dicha igualdad y obtener las coordenadas modales en función de x: ´ i (t) =

Á Ti M x (t)

(2.7)

Á Ti M Ái

Premultiplicando 1.1 y 1.6 por ©T y teniendo en cuenta 2.4 resultan las ecuaciones del movimiento en coordenadas modales T T T © M ©} Ä ´ (t) + © C ©} ´_ (t) + © K ©} ´ (t) = ©T f (t); | {z | {z | {z | {z } e e e M C K ef (t)

¡©T M r xÄg (t)

(2.8)

El cambio de base de…nido por © diagonaliza simultáneamente a las matrices de masa y de rigidez pero, en general, e = © T C © no es diagonal; sin embargo, en los casos particulares en que ello sucede, el amortiguamiento se la matriz C llama proporcional. En el texto de Clough y Penzien (1992) se describen las condiciones en que se da esta circunstancia. e los términos no diagonales la ecuación matricial anterior puede descomponerse en N No obstante, despreciando en C relaciones escalares independientes (desacoplamiento modal): ´Ä i(t) + 2 ³ i !i ´_ i(t) + ! 2i ´ i(t) =

Á Ti f (t)

ÁTi

M Ái

;

¡Li xÄ g (t) = ¡

Á Ti M r

Á Ti M Á i

xÄ g (t)

(2.9)

En donde !i es la frecuencia natural del modo i y ³ i se de…ne como su factor de amortiguamiento (factor de amortiguamiento modal): ! 2i =

e ki ÁT K Á i = Ti m ei Ái M Ái

³i =

cei ÁTi C Ái = 2m e i !i 2 ÁTi M Á i !i

Li =

Á Ti M r Á Ti M Ái

(2.10)

Para excitación sísmica, Li se denomina factor de participación modal, la ecuación 2.9 muestra que Li representa la ”cantidad” de excitación que actúa sobre el modo i; si Li = 0 se dice que la excitación es ortogonal al modo. No obstante, es importante destacar que (ver 2.10) L i depende del criterio de normalización de los vectores modales y por tanto no puede ser utilizado como baremo objetivo de comparación entre laP in‡uencia de distintos modos. N

Si la matriz de masa es diagonal y r viene dado por 1.4, entonces Li = Pj=1 N j=1

Á ji mj Á2 ji mj

.

Las ecuaciones 2.9 son similares a las deducidas en el capítulo anterior para sistemas de un grado de libertad y pueden ser resueltas por los procedimientos (analíticos o numéricos) allí descritos, tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. e = Para construir la matriz de amortiguamiento C, una opción es estimar los factores ³i e invertir la relación C ©T C ©. Los coe…cientes ³ i se pueden aproximar teniendo en cuenta la capacidad general de disipación de energía de la construcción; suelen elegirse los mismos valores para todos los modos siguiendo los mismos criterios generales expuestos en el capítulo anterior, es decir, en condiciones normales es ³i = 0; 5. Si se resuelven las ecuaciones del movimiento en coordenadas modales (2.9), basta con de…nir los valores de ³ i y no es necesario construir la matriz C. No obstante, e = ©T C © y que C e si no se utilizan coordenadas modales se precisa explicitar esta matriz; teniendo en cuenta que C es ahora diagonal siendo los elementos de la diagonal principal 2 ³ i !i , se obtiene inmediatamente (Clough y Penzien, 1992) que à ! N X 2 ³ i !i T C=M Ái Ái M (2.11) ÁTi M Ái i=1 Cada término del sumatorio anterior representa la contribución del factor de amortiguamiento del correspondiente modo. Otra manera alternativa de expresar la matriz de amortiguamiento C es como combinación lineal de las matrices de masa y de rigidez: C =® M+¯ K (amortiguamiento de Rayleigh). En este caso la matriz ©T C © es diagonal (por ser C combinación lineal de M y de K). Seleccionado los valores de los coe…cientes ® y ¯ es posible prescribir dos factores de amortiguamiento modal ³ i y ³ j (Clough y Penzien, 1992). Este procedimiento puede ser empleado en edi…cios de cortante (1.3) como los descritos en la …gura 1.1.

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Las ecuaciones representadas en 2.9 muestran que la excitación que actúa efectivamente sobre cada modo tiene el mismo contenido en frecuencias que f (t) o xÄ g (t), por tanto, si estas frecuencias se aproximan a alguna de las naturales ! i, el correspondiente modo propio entrará en resonancia (a menos que Li sea particularmente pequeño) y la amplitud ´ i sufrirá un importante aumento que repercutirá en la respuesta x(t) (2.4). Ello implica que si se conoce con una cierta precisión el contenido en frecuencias de la excitación, una regla elemental de diseño es proyectar la estructura de tal forma que ninguna de sus frecuencias naturales se aproxime a éstas (evitar la resonancia). Casi siempre se procura que la frecuencia más alta de la excitación sea inferior a la menor frecuencia de la estructura (! 1 ), lo cual se consigue básicamente incrementando la rigidez de la estructura. 2.2. Criterios de truncamiento modal El número de modos a tener en cuenta en el cálculo (es decir, el número de términos a retener en 2.4) depende del contenido en frecuencias y de la distribución espacial de la excitación (por ejemplo, la acción sísmica está uniformemente distribuida tal como indica la con…guración del vector r en 1.4), de la respuesta de interés (es decir, desplazamiento o aceleración) y, obviamente, del grado de precisión requerido. Respecto de la repercusión del contenido en frecuencias de la excitación en el número de modos a incluir en el cálculo, q las ecuaciones desacopladas 2.9 muestran que el factor de ampli…cación dinámica Di de cada modo es igual a ¡ ¢2 1= 1 ¡ ¯ 2i + (2 ³ i ¯ i) 2 en donde ¯ i = - = !i ; si los factores de amortiguamiento de los distintos modos son iguales, los espectros Di ¡ ¯ i para i = 1; :::; N corresponden a la misma curva. En la …gura 2.2 se representa dicho espectro D ¡ ¯.

D

1 β = Ω/ω β3

β2

β1

Figura 2.2: Factor D para todos los modos En la …gura 2.2 se muestran los valores de ¯ 1 , ¯ 2 y ¯ 3 que corresponden a una determinada frecuencia de excitación -. Si ésta es su…cientemente alta, el primer modo puede estar desampli…cado (Di < 1) mientras que algunos de los modos posteriores están ampli…cados. En general puede a…rmarse que es necesario tener en cuenta en el cálculo al menos todos los modos afectados por el pico de resonancia (situados o claramente a su derecha o a su izquierda). El análisis de la …gura 2.2 muestra además que los modos superiores tienden a producir una respuesta estática (es decir D se aproxima a 1). Respecto de la in‡uencia de la respuesta de interés (desplazamiento o aceleración) en el número de modos a considerar, debe tenerse en cuenta que, si se desprecia el efecto del amortiguamiento, el vector de desplazamientos para respuesta libre (en ausencia de excitación) o para régimen transitorio puede expresarse (según 2.4) como x(t) = Á1 ei ! 1 t + ¢ ¢ ¢ + ÁN ei ! N t; derivando dos veces respecto del tiempo resulta Ä x(t) = ¡Á 1 ! 21 ei ! 1 t ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ÁN ! 2N ei ! N t . Puesto que ! N > ! 1 , es evidente que la repercusión de los modos altos es mayor para la aceleración que para el desplazamiento. Esta a…rmación no puede generalizarse a respuesta permanente dado que su frecuencia es igual a la de la excitación siendo, por tanto, la misma para todos los modos. A continuación se presenta un estudio de la repercusión de la distribución espacial de la excitación en el número de modos a tener en cuenta, particularizado este análisis para el caso de acción sísmica (1.6). Las conclusiones obtenidas pueden ser fácilmente generalizadas a cualquier excitación con con…guración espacial constante, es decir, que pueda expresarse de la forma f (t) = f f0 (t) en donde f es un vector constante y f0 (t) es una función escalar del tiempo.

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Habitualmente en ingeniería sísmica suele especi…carse el número de modos a retener en función de la masa modal equivalente (efectiva) m¤i del modo i, de…nida como m ¤i = L2i Á Ti M Ái =

³

´2 ÁTi M r

Á Ti

M Ái

= Li ÁTi M r

(2.12)

Es destacable que m¤i tiene unidades de masa y que es independiente del criterio de normalización de los vectores modales. A continuación se demuestra que la suma de las masas modales equivalentes es igual a la masa total de la estructura. En primer lugar, se expresa el vector r en coordenadas modales: r = © ´; las relaciones 2.7 y 2.10 permiten escribir esta relación de la forma r = L1 Á 1 + ¢ ¢ ¢ +LN ÁN . Ya que la masa total es mT = r T M r, la sustitución del resultado anterior en esta expresión teniendo en cuenta las relaciones de ortogonalidad 2.6 muestra el resultado buscado: N X

m¤i =

i=1

N X

L2i ÁTi M Á i = rT M r =m T

(2.13)

i=1

El criterio recomendado habitualmente es que el número r de modos a incluir en el análisis es tal que la suma indicada en la relación anterior alcanza el 90% de la masa total de la estructura: m¤1 + ¢ ¢ ¢ + m ¤r = 0; 90 rT M r

(2.14)

Esta recomendación, a pesar de su carácter indudablemente empírico, se basa en que la fuerza horizontal de interacción entre el terreno y la estructura (cortante en la base, el cual representa la cantidad de excitación que ”sube” a la estructura) está directamente relacionada con las masas modales equivalentes. En efecto, despreciando las fuerzas de amortiguamiento (C x) _ frente a las de recuperación (K x), el cortante en la base f b (t) viene dado por la suma de las fuerzas elásticas en cada planta y, teniendo en cuenta 2.4, 2.2, 2.10, 2.12 y 2.9 (despreciando nuevamente los términos de amortiguamiento) se obtiene el resultado anunciado:

fb (t) =

rT K x = rT K

N X

Á i ´i =

i=1

=

N X i=1

m¤ ! 2i i Li

´i = ¡

N X

N X

! 2i rT M Á i ´ i =

i=1

m ¤i

i=1

µ

Ä´ i + xÄ g Li

N X

! 2i Á Ti M r ´ i =

i=1

¶

Esta igualdad muestra que las masas modales equivalentes indican la intensidad de la acción que excita a cada modo. 2.3. Ejemplo En este subapartado se determinan los parámetros modales del modelo de las oscilaciones horizontales del edi…cio de tres plantas representado en la …gura 2.3. El edi…cio se modela como un sistema plano discreto de tres grados de libertad (edi…cio de cortante).

k k k

m m m

φ1

φ2

φ3

Figura 2.3: Modos propios de un edi…cio de tres plantas En la …gura 2.3 se muestra que se ha supuesto por sencillez que las constantes de masa m, de amortiguamiento c y de rigidez k de todas las plantas son iguales. De acuerdo con 1.3 las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez vienen dadas por 0 1 0 1 2 ¡1 0 2 ¡1 0 M = mI K = k @ ¡1 2 ¡1 A C = c @ ¡1 2 ¡1 A 0 ¡1 1 0 ¡1 1 9

En donde I representa la matriz identidad. La resolución del problema de autovalores 2.2 proporciona las tres frecuencias naturales !1 , ! 2 y ! 3 y los correspondientes vectores modales Á 1 , Á2 y Á 3 . El polinomio característico ¡ ¢ det K¡ ! 2 M = 0 se puede escribir como a3 ¡ 5 a2 + 6 a ¡ 1 = 0 en donde a es un parámetro adimensional dado por 2 a = ! km , resolviendo dicha ecuación resulta ! 1 = 0; 445 Á T1

q

k m

= (0; 328; 0; 591; 0; 737)

! 2 = 1; 247 Á T2

q

k m

= (0; 737; 0; 328; ¡0; 591)

!3 = 1; 802 Á T3

q

k m

= (0; 591; ¡0; 737; 0; 328)

Los vectores Á 1 , Á2 y Á 3 han sido normalizados para que su norma sea igual a la unidad, es decir ©T © = I (2.3). Estas tres con…guraciones están representadas en la …gura 2.3. Es destacable que en el primer modo todas las amplitudes tienen el mismo signo, en el segundo existe un cambio de signo en la secuencia de las tres componentes del vector y en el tercero hay dos (es decir, los signos de las tres componentes son alternados). La observación de estas con…guraciones muestra que es más ”fácil” que la estructura se deforme según el primer modo que según los otros, lo cual es coherente con el hecho que ! 1 < ! 2 < !3 (el primer modo es más ”blando” que el segundo y este lo es más que el tercero). Estas propiedades pueden generalizarse a las oscilaciones horizontales de edi…cios simétricos (es decir, que pueden ser representados por modelos planos) de cualquier número de plantas. Para edi…cios de más de tres plantas los tres primeros modos son como los representados en la …gura 2.3 y los siguientes tienen cada ver un ”cruce” más. En modelos espaciales los vectores modales suelen implicar a la vez grados de libertad de desplazamiento y de giro. Para excitación sísmica (horizontal) los factores de participación modal Li son L1 =

Á T1 M r ÁT1 M Á1

= 1; 656

L2 =

ÁT2 M r Á T2 M Á 2

= 0; 474

L3 =

Á T3 M r ÁT3 M Á 3

= 0; 182

Estos valores muestran que la excitación afecta ”de lleno” al primer modo, menos al segundo y es prácticamente ortogonal al tercero. Las masas modales equivalentes de cada modo son m¤1 = L21 Á T1 M Á 1 = 2; 742 m

m¤2 = L22 Á T2 M Á 2 = 0; 225 m

m¤3 = L23 Á T3 M Á 3 = 0; 033 m

La suma de estos valores es igual a la masa total de la estructura rT M r = 3 m. De acuerdo con el criterio 2.14 sólo es necesario considerar el primer modo (r = 1) ya que m ¤1 > 0; 90 £ 3 m.

3. Resolución de las ecuaciones del movimiento Las ecuaciones del movimiento 1.1 o 1.6 carecen en general de solución analítica y deben ser resueltas mediante técnicas numéricas. Existen, a grandes rasgos, dos grupos de procedimientos: en primer lugar, descomponer las ecuaciones matriciales en ecuaciones escalares independientes (en coordenadas modales) y a continuación aplicar las técnicas descritas en el capítulo anterior para sistemas de un grado de libertad y, en segundo lugar, resolver directamente las ecuaciones 1.1 o 1.6. En el primer subapartado se comenta brevemente la segunda estrategia en el dominio del tiempo mientras que en el segundo se describe dicha alternativa en el dominio de la frecuencia. 3.1. Análisis en el dominio del tiempo Las técnicas de integración numérica en el tiempo de las ecuaciones diferenciales del movimiento consisten en efectuar una discretización del tiempo utilizando habitualmente un intervalo temporal constante ¢t y en aplicar algoritmos ordinarios paso a paso de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales considerando distintos criterios de interpolación de la excitación y de la respuesta en el interior de cada intervalo de discretización. Estos criterios de interpolación se basan en desarrollos en serie de Taylor de la respuesta; el orden del primer término despreciado indica la exactitud del algoritmo. Aunque el período de discretización ¢t sea normalmente constante a lo largo de todo el tiempo de cálculo, puede ser conveniente modi…carlo durante el análisis, tratando de a justar las exigencias de precisión con las características de la respuesta. Los procedimientos pueden agruparse en dos categorías: explícitos e implícitos. En los primeros la respuesta en un instante se obtiene en función de la excitación en dicho instante y de la respuesta en instantes anteriores mientras que en los segundos depende también de algunas magnitudes de la respuesta en el instante actual. Obviamente, la resolución de éstos tiene que ser iterativa. Otra clasi…cación de los algoritmos es en mono-etapa y multi-etapa. En los primeros la respuesta en cada instante se obtiene sólo a partir de la del instante anterior mientras que en los segundos depende también de la de otros instantes 10

previos. En los métodos multi-etapa en los instantes iniciales es necesario utilizar otros algoritmos hasta conocer la secuencia de respuestas previas requerida. Obviamente en este caso no es posible modi…car el período de muestreo ¢t durante el análisis. Estabilidad. Todos los algoritmos pueden formularse en espacio de estado como: qk+1 = A qk +B uk (el vector de estado q incluye la respuesta en el instante actual y en los anteriores, u es un vector relacionado con la excitación y A es la matriz del sistema). El algoritmo es, pues, estable (asintóticamente) si los valores propios de A (pueden ser complejos) tienen módulo menor que la unidad. Desde el punto de vista numérico ello implica que los errores no se ampli…can durante el proceso de cálculo. La estabilidad se denomina incondicional si no depende del período de discretización ¢t elegido. Si la estabilidad es condicional la condición para que el algoritmo sea estable suele ser del tipo ¢t < a ! r en donde a es un factor y ! r es la mayor frecuencia natural de interés. Precisión. Es la diferencia entre la solución exacta de las ecuaciones del movimiento y la proporcionada por el algoritmo. La precisión de cada algoritmo suele estudiarse en casos sencillos en que existe solución analítica, especialmente respuesta libre de sistemas amortiguados. Para cada algoritmo se determinan los valores de ¢t y de los otros parámetros que generan un cálculo preciso y estable. En cualquiera de los textos sobre dinámica de estructuras incluidos en las referencias se describen los procedimientos más comunes de integración numérica de las ecuaciones del movimiento; en Berg (1989) se presenta una descripción particularmente clara y completa. 3.2. Análisis en el dominio de la frecuencia Si la excitación es armónica, la solución de 1.1 viene dada por: f (t) = f0 ei - t

x (t) = H (-) f 0 ei - t = x0 ei - t

)

(3.1)

En donde H (-) es la función de transferencia (matriz de respuestas en frecuencias) dada por ¡ ¢¡1 H (!) = ¡! 2 M + i ! C + K

(3.2)

La inversión indicada en 3.2 no suele tener solución analítica (excepto para casos muy simples) y debe ser realizada numéricamente; para calcular la matriz H (!) obviando esta di…cultad pueden utilizarse coordenadas modales; la e (!) es diagonal y sus elementos H e i (!) son las funciones de respuesta función de transferencia en dichas coordenadas H en el dominio de la frecuencia del modo i: 1 e i (!) = 1 H m e i ¡!2 + 2 i ³ i ! !i + ! 2i

(3.3)

e (!) están relacionadas por la igualdad H e (!) = ©T H (!) ©. La ecuación 2.8 muestra que q las matrices H (!) y H Las raíces (¡i ³i ! i § ! i 1 ¡ ³ 2i ) del denominador de la función de transferencia 3.2 se denominan polos del sistema. Es destacable que para sistemas sin amortiguamiento existen N raíces dobles reales, las cuales coinciden con las frecuencias naturales (2.2). Para sistemas amortiguados, los polos son complejos.

References [1] Argyris J., Mlejnek H.P. Dynamics of Structures. North-Holland 1991. [2] Bachmann H., Ammann W. Vibrations in Structures induced by Man and Machines. IABSE 1987. [3] Barbat A.H., Miquel Canet J. Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador. CIMNE 1994. [4] Bathe K.J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall 1982. [5] Berg G.V. Elements of Structural Dynamics. Prentice-Hall 1989. [6] Biggs J.M. Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill 1964. [7] Chopra A.K. Dynamics of Structures. McGraw-Hill 1995. [8] Clark S.K. Dinámica de elementos continuos. Reverté 1975. [9] Clough R.W., Penzien J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill 1992. 11

[10] Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. John Wiley & Sons 1989. [11] Craig R. Structural Dynamics. An Introduction to Computer Methods. John Wiley & Sons 1982. [12] Den Hartog J.P. Mechanical Vibrations. Dover 1985. [13] Fertis D.G. Dynamics and Vibration of Structures. John Wiley & Sons 1972. [14] Gerardin M., Rixen D. Mechanical Vibrations. John Wiley & Sons 1997. [15] Greenwood T.J. Principles of Dynamics. Prentice-Hall 1988. [16] Henrych J. Finite Models and Methods of Dynamics in Structures. Elsevier 1990. [17] Humar J.L. Dynamics of Structures. Prentice-Hall 1990. [18] Hurty W.C., Rubinstein M.F. Dynamics of Structures. Prentice-Hall 1964. [19] Ivovich V.A., Pokrovskii L.N. Dynamic Analysis of Suspended Roof Systems. Balkema 1991. [20] Kaliski S., Solarz L. (editores) Vibrations and Waves. Elsevier 1992. [21] Kolsky H. Stress Waves in Solids. Dover 1963. [22] Krätzig W.B., Niemann H.J. Dynamics of Civil Engineering Structures Structures. Balkema 1996. [23] La…ta F., Mata H. Vibraciones mecánicas en ingeniería. INTA 1974. [24] Leung A.Y.T. Dynamic Sti¤ness and Substructures. Springer-Verlag 1993. [25] Levy S., Wilkinson J.P.D. The Component Element Method in Dynamics. With Application to Earthquake and Vehicle Engineering. McGraw-Hill 1986. [26] López Almansa F., Rodellar J., Barbat A.H. Procedimientos de espacio de estado en dinámica de estructuras. UPC 1988. [27] Mathey R. Physique des Vibrations Mecaniques. Dunod 1963. [28] Meirovitch L. Computational Methods in Structural Dynamics. Stijtho¤ & Noordho¤ 1980. [29] Meirovitch L. Elements of Vibration Analysis. McGraw-Hill 1986. [30] Paz M. Structural Dynamics. Van Nostrand Reinhold 1980. [31] Paz M. Dinámica estructural. Teoría y cálculo. Ed. Reverté 1992. [32] Rao S.S. Mechanical Vibrations. Addison-Wesley 1986. [33] Rao S.S. Advanced Theory of Vibration. J. Wiley & Sons 1992. [34] Shabana A.A. Theory of Vibration. Springer-Verlag. [35] Timoshenko S.P., Young D.H. Dynamique Supérieure. McGraw-Hill 1948. [36] Timoshenko S.P., Young D.H., Weaver W. Vibration Problems in Engineering. J. Wiley & Sons 1974. [37] Thomson W.T. Teoría de Vibraciones. Prentice-Hall 1982. [38] Tseitlin A.I., Kusainov A.A. Role of Internal Friction in Dynamic Analisis of Structures. Balkema 1990. [39] Warburton G.B. The Dynamical Behaviour of Structures. Pergamon Press 1976. [40] William W., Johnston P.R. Structural Dynamics by Finite Elements. Prentice-Hall 1987. [41] Zienkiewicz O.C. El método de los elementos …nitos. Ed. Reverté 1980.

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