• Author / Uploaded
• chuy70

• Categories
• Oscilación
• Modo normal
• Ecuaciones
• Matriz (Matemáticas)
• Sistema coordinado

Citation preview

Vibraciones mecánicas 5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad El número de grados de libertad de un sistema es igual al número de coordenadas independientes necesarias para describir su movimiento Por ejemplo el sistema que se muestra en la Figura 10.1 corresponde a un sistema oscilatorio armónico libre de dos grados de libertad y es necesario definir dos coordenadas absolutas x1 y x2 para poder determinar el comportamiento de cada una de las masas oscilantes. Como primera característica a resaltar, estos sistemas poseen dos frecuencias naturales de oscilación y cuando el sistema está oscilando a una de ellas, la relación entre las amplitudes de las dos coordenadas dependerá de las condiciones iniciales del movimiento que pueden ser combinaciones de desplazamientos iniciales y velocidades iniciales de cada masa.

Por ejemplo una de ellas es apartar solo una de ellas de su posición de equilibrio manteniendo fija la otra y liberando el sistema bajo esas condiciones o si desde la posición de equilibrio se inicia el movimiento solo con velocidad inicial. Estos casos particulares de iniciar el movimiento presentarán oscilaciones libre del sistema a una de estas frecuencias naturales, existiendo una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuración correspondiente a cada modo normal de vibración. El sistema de dos grados de libertad tendrá entonces dos modos normales de vibración cada uno de los cuales corresponderá a una de las frecuencias naturales. Cuando el movimiento se origine bajo condiciones generales, las vibraciones libres de las masas ocurrirán como la superposición de los modos

normales de vibración. Esto quiere decir que el movimiento de cada masa será la suma o superposición de dos movimientos armónicos, cada uno de los cuales tendrá una frecuencia igual a la frecuencia natural. Si el sistema está sometido a una fuerza forzadora, la vibración ocurrirá a la frecuencia de dicha fuerza forzadora y las amplitudes tenderán a un máximo cuando esa frecuencia coincida con las frecuencias naturales del sistema. Sea el sistema discreto con 2 grados de libertad de la Figura 24.a. En este caso tan sencillo, las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las masas el Principio de D’Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento.

Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de la posición y velocidad, relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección x (Fig.24.b) resulta:

Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya que ambas incógnitas 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente:

Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez, son simétricas, como se puede observar.

Se observa, además, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es una característica de los sistemas de parámetros discretos que no se presenta en muchas otras ocasiones. Si en la expresión las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, las dos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas, siendo en tal caso, resolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para los sistemas con 1 grado de libertad. Modos normales de vibración La resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la determinación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de libertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración. Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a (𝑘11 = 𝑘1 + 𝑘2 𝑘22 = 𝑘2 + 𝑘3 )

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento armónico síncrono, se supondrán, análogamente a como se hacía con sistemas de 1 grado de libertad, soluciones de la forma: 𝑥1 (𝑡) = 𝑥1 ∙ 𝑒 𝑖𝑤𝑡 , 𝑥2 (𝑡) = 𝑥2 ∙ 𝑒 𝑖𝑤𝑡 Sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrán dos ecuaciones:

Lo que constituye un sistema de ecuaciones en 𝑥1 y 𝑥2 . Para que dicho sistema tenga solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación bi-cuadrática cuyas raíces son:

Si 𝜔1 2 y 𝜔2 2 son las dos soluciones de la ecuación, sólo podrá tener lugar movimiento armónico en estas dos frecuencias 𝜔1 y 𝜔2 que son las frecuencias naturales del sistema. El sistema de dos ecuaciones en𝑥1 y 𝑥2 puede ponerse, a su vez, en la forma:

Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de 𝜔1 2 y 𝜔2 2 se determina la relación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Los movimientos síncronos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y reciben el nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, (𝑥11 , 𝑥21 ) y 𝑥1 2 , 𝑥2 2 ), uno para cada frecuencia, 𝜔1 2 , 𝜔2 2 . Al desplazar el sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a la frecuencia del modo. Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre sí respecto a las matrices de inercia y rigidez; es decir:

Como las dos amplitudes de un modo no están determinadas más que en la relación existente entre ellas, es una práctica habitual el normalizar los modos de forma que:

Estos modos normales de vibración se producen para condiciones iniciales particulares. Si el movimiento se inicia con condiciones iniciales diferentes de las de los modos normales, las oscilaciones contienen a los modos normales simultáneamente (superposición de armónicas de distintas frecuencias). Para determinar las ecuaciones correspondientes, será necesaria la resolución de un sistema de ecuaciones formadas por las dos ecuaciones de movimiento y las relaciones de amplitudes.

5.2 Acoplamiento de coordenadas y coordenadas principales Usualmente, estas coordenadas son cantidades geométricas independientes medidas desde la posición de equilibrio para el cuerpo vibrante. Sin embargo, es posible seleccionar algún otro conjunto de 𝑛 coordenadas para describir la

configuración del sistema, y cada conjunto de 𝑛 coordenadas constituye un conjunto de coordenadas generalizadas. Como se observa en las siguientes figuras, cualquiera de estos conjuntos de coordenadas puede ser usado para describir el movimiento de este sistema de dos grados de libertad.

Consecuentemente, cualquiera de estos conjuntos: (𝑥1, 𝑥2) ,( 𝑥, 𝜃) , (𝑥1, 𝜃) , y (𝑦, 𝜃) ; representan las coordenadas generalizadas del sistema. Ahora bien, para discutir el acoplamiento de las ecuaciones diferenciales de movimiento en los sistemas de dos grados de libertad, considere el caso más general, de un sistema de dos grados de libertad con amortiguamiento viscoso sujeto a vibración libre:

Se dice entonces que: 

Sí la matriz de rigidez no es diagonal, el sistema presenta acoplamiento elástico o estático.



Sí la matriz de amortiguamiento no es diagonal, se dice que el sistema tiene acoplamiento de amortiguamiento o de velocidad.



Sí la matriz de masa no es diagonal, el sistema tiene acoplamiento de masa o inercial. Ha de decirse de igual forma, que el sistema en vibración libre siempre vibrará de forma natural con independencia de las coordenadas generalizadas seleccionadas.

También ha de comentarse que el acoplamiento depende de las coordenadas generalizadas empleadas y este no es una propiedad inherente del sistema. Por lo tanto siempre pudiese seleccionarse algún conjunto de coordenadas en donde no exista acoplamiento estático ni dinámico (de masa y/o de

amortiguamiento). A tales coordenadas se les conoce como coordenadas principales o naturales. 5.3 Propiedades ortogonales Las coordenadas x1, x2 elegidas para definir el movimiento del sistema de figura 2.16 están acopladas, en el sentido en que ambas coordenadas aparecen en cada ecuación y por lo tanto si varía x1, varía también x2.

Las ecuaciones del movimiento son:

Coordenadas principales Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un sistema de coordenadas, qi, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas coordenadas principales. Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios

es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [ ][ ] M y K . Estas relaciones son importantes, como veremos a continuación, porque ellas permiten desacoplar las ecuaciones del movimiento.

Matriz modal Para eficiencia operacional se define la matriz modal [X ], como la matriz cuyas columnas son los vectores propios de los diferentes modos, o sea como:

Ecuaciones del movimiento en coordenadas principales. Introduciendo la siguiente transformación lineal de coordenadas:

Las coordenadas qi (t), se llaman coordenadas principales y generalmente no tienen significado físico. Es una herramienta de cálculo útil para desacoplar las ecuaciones del movimiento. El sistema de ecuación (2-12) son N ecuaciones desacopladas de la forma:

5.4 Matriz modal

Cuando en un sistema de varios grados de libertad actúan fuerzas externas, el sistema experimenta vibración forzada. Para un sistema con n coordenadas o grados de libertad, las ecuaciones que rigen el movimiento son un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden. La solución de estas ecuaciones se complica cuando el grado de libertad (n) del sistema es grande y/o cuando las funciones forzadas son no periódicas En tales casos, se puede utilizar un método más conveniente conocido como “análisis modal” para resolver el problema. En este método se utiliza el teorema de expansión, y los desplazamientos de las masas se expresan como combinaciones lineales de los modos normales del sistema. Esta transformación lineal desacopla las ecuaciones de movimiento de modo que obtenemos un sistema de n ecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden. La solución de estas ecuaciones, la cual equivale a la solución de las ecuaciones de n sistemas de un solo grado de libertad, es fácil de obtener. Análisis modal. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad sometido a fuerzas externas está dado por:

donde 𝐹⃗ es el vector de fuerzas externas arbitrarias. Para resolver la ecuación mediante análisis modal primero se tiene que resolver el problema de valor eigen.

Y encontrar las frecuencias naturales 𝜔1 , 𝜔2 …..𝜔𝑛 ,y los modos normales correspondientes 𝑥 (1) , 𝑥 (2) ,….., 𝑥 (𝑛) . De acuerdo con el teorema de expansión, el vector de solución de la ecuación se expresa como una combinación lineal de los modos normales

Donde 𝑞1 (𝑡), 𝑞2 (𝑡)…..𝑞𝑛 (𝑡) son coordenadas generalizadas dependientes del tiempo, también conocidas como coordenadas principales o coeficientes de participación modal. Si definimos una matriz modal [X] en la cual la columna jésima es el vector 𝑥⃗ , es decir,

la ecuación anterior a esta se puede reescribir como

donde

Dado que [X] no es una función del tiempo, de la ecuación (6 .1 0 4) obtenemos

Utilizando las ecuaciones (6.104) y (6.100) se escribe como:

Pre multiplicando la ecuación (6.107) por [𝑥]𝑇 obtenemos

Si los modos normales se normalizan de acuerdo con las ecuaciones (6 .7 4) y (6 .75), tenemos

⃗⃗ (𝑡) asociado con las Si definimos el vector de fuerzas generalizadas 𝑄 coordenadas generalizadas 𝑞⃗(𝑡) como

La ecuación (6.108) se expresa, utilizando las ecuaciones (6.109) y (6.110), como:

La ecuación (6.112) denota un sistema de ecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden:

Se ve que la forma de las ecuaciones de (6.113) es precisamente la ecuación diferencial que describe el movimiento de un sistema no amortiguado de solo un grado de libertad: la solución de las ecuaciones (6.113), se expresa como:

Los desplazamientos generalizados iniciales 𝑞𝑖 (0) y las velocidades generalizadas iniciales 𝑞𝑖̇ (0) se obtienen con los valores iniciales de los desplazamientos físicos 𝑥𝑖 (0) y las velocidades físicas 𝑥𝑖̇ (0)

Donde

Una vez que se determinan los desplazamientos generalizados 𝑞𝑖 (𝑡), con las ecuaciones (6.114) a (6.116), se determinan los desplazamientos físicos 𝑥𝑖 (𝑡) con la ayuda de la ecuación (6.104). 5.5 Vibración libre Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. Vibración libre no amortiguada

El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el sistema entra en vibración.

Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las deformaciones axiales y se supone una viga de gran rigidez.

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibración del sistema libre y es igual a

De acuerdo a la teoría de las ecuaciones diferenciales la ecuación anterior es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y su solución es

Donde A y B son hallan a partir de las desplazamiento y

constantes que se condiciones iniciales de velocidad

Obteniéndose por lo tanto

El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra el tiempo

A partir de la figura se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración

Si se hace una representación vectorial del movimiento, puede obtenerse una ecuación alterna para la solución de la ecuación diferencial homogénea

Auxiliándose de un ángulo de fase o desfase es

Que tiene como soluciones de sus constantes uo y Φ

La de

ecuación

movimiento para la vibración libre de un sistema no amortiguado se puede expresar de forma matricial como

La solución más común de la ecuación se expresa como una combinación lineal de todas las posibles soluciones dadas como

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑖) es el vector modal i-ésimo y ωi es la frecuencia natural Donde 𝑋 correspondiente, Ai y Φi son constantes. Las constantes Ai y Φi (i=1,2,…, n) se evalúan a partir de las condiciones iniciales sistema. Si especificadas del

Indican los desplazamientos y velocidades iniciales impartidos al sistema, las ecuaciones (6.96) dan

Las ecuaciones (6.98) y (6.99) representan, en forma escalar, 2n ecuaciones simultaneas las cuales se pueden resolver para determinar los n valores de A i

(i=1,2,…, n) y lo n valores de Φi (i=1,2,…, n).

Vibración libre amortiguada En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica disminuyen con el tiempo. La ecuación diferencial que describe el movimiento es ecuación característica es

la

cuyas raíces son

Se presentan tres casos posibles: a) Amortiguamiento supercrítico; donde sus raíces son reales y distintas. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio. b) Amortiguamiento critico; el sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. Separa los movimientos no oscilatorios de los oscilatorios amortiguados. El valor crítico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. c) Amortiguamiento sub crítico; las raíces son imaginarias conjugadas e iguales. Es la solución aproximadamente armónica, es decir, existe una cierta periodicidad en el movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T’.

5.6 Vibración forzada y absorción de vibraciones. Una vibración forzada ocurre con la aplicación de fuerzas externas al sistema, que le imponen una respuesta. Las vibraciones forzadas pueden ser periódicas o no. El movimiento periódico se repite a sí mismo en todas sus características después de un determinado intervalo de tiempo, denominado período. El período es entonces el intervalo mínimo de tiempo para el cual la vibración se repite a sí misma. En los movimientos aperiódicos no existen esos intervalos regulares. Si la excitación que actúa sobre el sistema es periódica y continua, la oscilación es un estado estacionario, en el que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración vibratoria del sistema son cantidades periódicas continuas. Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden ser amortiguadas, que es el término usado para indicar que se produce una disipación de energía en el medio. La vibración forzada amortiguada es un

movimiento forzado exteriormente en tanto que se disipa su energía. Cuando parte del movimiento desaparece después de un período de tiempo, se conoce a esa parte como transitoria. La parte que permanece después que ha desaparecido la transitoria, se llama vibración de estado estacionario. Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo. La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, es

La solución general tiene por expresión:

En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente, el movimiento resultante se compone de la suma de dos armónicos, uno de frecuencia natural ω n y otro de frecuencia de la fuerza exterior ω. La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se anula para unos valores particulares, la amplitud del segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a través de la expresión denominada resonancia: factor de

BATIMIENTO. Fenómeno producido cuando la frecuencia natural del sistema (ωn) toma un valor muy próximo a la frecuencia de la fuerza exterior (ω). Se trata de un movimiento armónico de frecuencia ωn y de amplitud también

armónica, ésta crece hasta un máximo y disminuye hasta que se anula, repitiendo este ciclo de forma periódica. RESONANCIA. Una característica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, produciéndose cambios de configuración de los sistemas mecánicos que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas ya que depende de las características del material sometido a vibración. Vibraciones forzadas con amortiguamiento. La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, F = F0 sen ωt, es de la forma mx’’+cx’+kx = F L a ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea es mr2+ cr+ k = 0. Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa (x=xh+xp), resultando

Esta solución consta de dos partes, una solución transitoria, en la que el primer término (xh), al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, y la solución estacionaria (Xp) , en la que el sistema oscila con frecuencia ω, amplitud A constante y desfase Θ cuyas expresiones son: