Problemas de Varios Grados de Libertad
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD PROBLEMA 1 Para el marco rígido de acer
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- Juan Carlos Vargas Leon
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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD PROBLEMA 1 Para el marco rígido de acero de la figura determinar: a) Las frecuencias naturales b) Los modos naturales de vibrar Los pesos de los pisos están indicados en la figura y se supone que incluyen el peso de la estructura. El edificio consiste de una serie de marcos espaciados a 4.5 m. se supone que las propiedades estructurales son uniformes a lo largo de la longitud del edificio y, por consiguiente, el análisis será hecho para un marco interior que representa la respuesta del edificio completo. W2 = 50 lib/ft x2 20 psf 10 WF 21 10 ft
W1 = 100 lib/ft x1 20 psf
10 WF 45 15 ft
30 ft
x1 k2
k1 m1
DINAMICA ESTRUCTURAL
x2
m2
Página 1
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
m1 x1
k1 x1
m2 x2
k2 (x2-x1)
SOLUCION: Este edificio cortante puede representar por medio del sistema masa-resorte. Las masas concentradas debidas al peso total de los pisos y los muros tributarios se calculan de la siguiente manera: (
)(
)( (
(
)(
)( (
)
(
)(
)
)
( )(
)(
)(
)( )(
)( )
)( )
)
Debido a que se supone que las trabes son rígidas, la rigidez de cada piso está dada por: ( )
Y los valores individuales para las secciones de las columnas de acero indicadas son: (
)( (
(
) )
)( (
) )
Las ecuaciones de movimiento para este sistema en vibraciones se obtienen con la ayuda de la figura mostrada como: ̈ ̈
(
)
(
)
(a)
Y la solución para estas ecuaciones se supone de la forma: ( (
)
(b)
)
Sustituyendo las ecuaciones (b) y sus derivadas en la ec. (a) y colocando los resultados obtenidos en forma matricial: DINAMICA ESTRUCTURAL
Página 2
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN [
][
]
[ ]
(c)
a) Para obtener un solución no trivial, haremos el determinante de la matriz de coeficientes igual a cero, es decir:
[
]
El desarrollo de este determinante da una ecuación cuadrática en (
)
((
)
(d) ,
)
(e)
Introduciendo valores numéricos: (
)
(f)
Aplicando la formula general, obtenemos las raíces de esta ecuación como:
Por consiguiente, las frecuencias naturales de la estructura son:
O en ciclos por segundo.
Y los correspondientes periodos naturales son:
DINAMICA ESTRUCTURAL
Página 3
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN b) Al igualar el determinante a cero el número de ecuaciones independientes del sistema (c) es una menos, es decir, el sistema se reduce a una ecuación independiente. Considerando la primera ecuación del sistemas (c) y sustituyendo la primera frecuencia natural, , obtenemos.
El segundo subíndice en y indica que se uso . Debido a que tenemos dos incógnitas y una sola ecuación independiente, la ec. (g) se resuelve solo para el valor relativo de a .
Este valor relativo es el modo natural correspondiente a la primera frecuencia. Es costumbre darle un valor unitario a una de las amplitudes; así, para el primer modo haremos =1 y obtenemos:
En forma similar, sustituyendo la segunda frecuencia natural segundo modo natural como:
en (c), obtenemos el
Ilustrando gráficamente los modos naturales de vibración tenemos:
1.263
1
Primer Modo
DINAMICA ESTRUCTURAL
-1.629
1
Segundo Modo
Página 4
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN PROBLEMA 2 Para el edificio de cortante del problema resuelto anteriormente. Determinar las formas normalizadas y verificar la condición de ortogonalidad entre modos. SOLUCION: Primeramente, calcularemos el factor de normalización dado por la ec.
)
√∑(
Sustituyendo los valores numéricos de las masas y los modos naturales de vibración calculados en el Problema anterior, obtenemos: √
( )
√
( )
( (
) )
Ahora, aplicando la ecuación se obtiene las formas modales normalizadas .
Por lo tanto la matriz modal normalizada para este caso es,
[
DINAMICA ESTRUCTURAL
]
Página 5
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN Para verificar la condición de ortoganalidad entre los modos aplicaremos la ecuación.
[
DINAMICA ESTRUCTURAL
][
][
]
[
]
Página 6
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN EXITACION EN LA BASE
PROBLEMA 1 El pórtico de dos pisos del ejemplo anterior es sometido, a nivel de los pisos, a las fuerzas impulsivas triangulares representadas en la figura. Para este pórtico determinar los desplazamientos máximos de los pisos y las fuerzas cortantes máximas en las columnas. SOLUCION: Los resultados obtenidos, dan para este pórtico los siguientes valores para las frecuencias naturales y modos normales.
m
2
x2
F2 (t) 10 WF 21 10 ft
m
1
F1(t)
x1
10 WF 45 15 ft
30 ft
Las fuerzas aplicadas a este pórtico, los cuales se muestran en la figura pueden expresarse como: ( ) ( ) DINAMICA ESTRUCTURAL
( (
) ) Página 7
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN Donde
y ( )
( )
La aplicación de estos valores en las ecuaciones desacopladas del movimiento, ecuaciones, da ̈ ̈
( ) ( )
Reemplazando: ̈
( )
̈
( )
Los valores máximos para y pueden, entonces obtenerse de diagramas espectrales disponibles. Para este ejercicio.
De la figura obtenemos (
)
(
)
Donde las deformaciones estáticas se calculas como:
Por consiguiente la respuesta máxima modal será:
Como se ha indicado anteriormente, estos valores modales máximos no ocurren simultáneamente y, por lo tanto, no pueden simplemente ser superpuestos para obtener la DINAMICA ESTRUCTURAL
Página 8
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN respuesta máxima del sistema. Sin embargo, un límite superior para el desplazamiento máximo absoluto, puede calcularse con las siguientes ecuaciones: |
|
|
|
|
|
|
|
Reemplazando: | | La fuerza cortante máxima,
|
|
|
|
| |
en las columnas está dada por
En la que k es la rigidez de las columnas del piso y la diferencia de los desplazamientos en los dos extremos de las columnas. Puesto que estos desplazamientos pueden ser positivos o negativos, el desplazamiento relativo no puede calcularse por la diferencia de valores máximos absolutos. El valor máximo posible para podría estimarse como la suma de los desplazamientos máximos (valores absolutos) en los extremos de las columnas. Sin embargo, este procedimiento, en la mayoría de los casos sobre estima enormemente la fuerza presente en las columnas.
La fuerza cortante máxima, dado por:
en las columnas del piso i correspondiente al modo j esta
( Donde piso i y
)
es la respuesta modal máxima, ( la rigidez del piso.
) el desplazamiento relativo del
Para este ejercicio la columna del primer piso, tenemos: (
)( (
√
) )
(
)
Y para la columna del segundo piso
DINAMICA ESTRUCTURAL
Página 9
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN (
)( (
√
DINAMICA ESTRUCTURAL
) )
(
)
Página 10