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• Juan Carlos Sanchez

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Unidad 5: Sistemas de varios grados de libertad El análisis de vibración de sistemas continuos requiere la solución de ecuaciones diferenciales parciales, la cual es bastante difícil. Para muchas ecuaciones diferenciales parciales, de hecho, no existen soluciones analíticas. Por otra parte, el análisis de un sistema de varios grados de libertad, requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, la cual es relativamente simple. Por consiguiente, por sencillez del análisis, a menudo los sistemas continuos se representan como sistemas de varios grados de libertad. 5.1. Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad Los sistemas con dos grados de libertad presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1 grado; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con Números grados de libertad. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los sistemas con dos grados de libertad son idénticos a los de sistemas con números de dos l, tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos de dos grados de libertad cesibles. Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial. Figura 1 – Sistemas mecánicos. Se verá como si un sistema con dos grados de libertad sin amortiguamiento es desplazado de su posición de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas de perturbar el equilibrio. Sólo para dos tipos de perturbaciones el movimiento subsiguiente es armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación. Un sistema con dos grados de libertad tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una excitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias de excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modos naturales de vibración y análisis modal. La figura n. 1 sistemas con dos grados de libertad

5.2. Acoplamiento de coordenadas Un acoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos rígidos con ligamentos que forman una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Cada ligamento tiene uno o más ligas, y éstas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. Un acoplamiento mecánico es llamado mecanismo si dos o más ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los acoplamientos mecánicos son usualmente designados en tener una entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleración, y aplicando una ventaja mecánica. Los acoplamientos de coordenadas son una parte fundamental del diseño de máquinas, y los más simples acoplamientos no fueron ni inventados ni siquiera entendidos hasta el siglo XIX. Toma en cuenta un simple palo: tiene seis grados de libertad, tres de los cuales son las coordenadas de su centro en el espacio, los otros tres describen su rotación. Una vez unido entre un bloque de piedra y un punto de apoyo y es consignada a un movimiento particular, actuando como una palanca para mover el bloque. Cuando más uniones son añadidas en varios modos su movimiento colectivo se define mayor precisión. Movimientos muy complicados y precisos pueden ser diseñados en un acoplamiento con sólo unas partes. Dado un vector O_P y un sistema de de referencia definido en el espacio (incluyendo el origen y sus direcciones de referencia), el siguiente paso es definir un sistema de coordenadas para describir el vector. Para esto existen diversos métodos o sistemas alternativos. A veces resulta conveniente describir matemáticamente el vector O_P con distancias a los ejes o planos de referencia. Otras veces lo describiremos mediante algunos ángulos, o con una combinación de distancias y ’ángulos. En fin, lo importante es reconocer aquí que para describir un mismo vector tendremos a nuestra disposición una variedad de sistemas o métodos alternativos, algunos de los cuales presentaremos a continuación.

5.3. Propiedades ortogonales Una propiedad ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campo. Propiedades de las matrices ortogonales. 1. Si A y B son ortogonales entonces A.B y B.A son ortogonales. 2. En general si A y B son ortogonales entonces A +B no es ortogonal y k A no es Ortogonal. Matrices idempotentes, nilpotentes y unipotentes. Definiciones: Sea A una matriz cuadrada de orden n: 1. Diremos que A es idempotentes si y solo si A.A=A2=A 2. Diremos que A es unipotente si y solo si A.A=A2=In 3. Diremos que A es nilpotente si y solo si A.A=A2=0 (Matriz nula orden n)

5.4. Matriz modal La matriz modal es aquella cuyas columnas son los vectores característicos.para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos El objetivo la matriz modal en la mecánica es determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar de un objeto o estructura durante vibración libre. Es común utilizar el Método de los elementos finitos (MEF, o FEM por sus siglas en inglés) para desarrollar el análisis porque, como en otros cálculos usando el MEF, el objeto que se analiza puede tener formas arbitrarias y los resultados de los cálculos son aceptables. Los tipos de ecuaciones que surgen del análisis modal son vistas en Sistemas propios. La interpretación física de los valores propios y vectores propios, los cuales vienen de resolver el sistema, representa las frecuencias y modos de vibrar correspondientes. A veces, los únicos modos deseados son los correspondientes a las menores frecuencias porque pueden ser los modos predominantes en la vibración del objeto. También es posible determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar de un objeto mediante ensayos experimentales. En este caso, el procedimiento se denomina análisis modal experimental. Los resultados de las pruebas experimentales pueden usarse para calibrar un modelo de elementos finitos para determinar si las hipótesis subyacentes hechas fueron correctas (Por ejemplo, propiedades correctas de materiales y condiciones de borde consideradas en el modelo. 5.5. Vibración libre Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de

restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. u

T n = 2n

u· (0) b

u(0)

Amplitud u0 a

(a)

c

e t

 n d

u0

u0

(b) a

b

c

d

e

Vibración libre no amortiguada Figura 4.1 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

m  u  k  u  0

u   n2  u  0 Donde: wn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:

n 

k

m El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice I, y su solución es:

u (t )  A  cos  n t  B  sen n t u

Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u (0) y (0) , el desplazamiento y la velocidad inicial respectivamente. Obteniéndose por lo tanto: u ( t )  u ( 0 )  cos  n t 

 ( 0) u

n

sen n t

Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es: Éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste está en estado de vibración libre.

El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma: Imaginario u0 cos(nt-) u· (0) sennt n

u(0) cosnt n

nt 

Real u0

 nt u· (0) n

u (t )  u 0 cos  n t    Figura 4.2 Vibración libre, representación vectorial Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual está dada por: 2

2

u 0  u ( 0)  

 u (0)  

  n 

Y el ángulo de fase f está dado por: u (0)   artg  n u (0) En la Figura 4.2 está representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta está dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno. 5.6. Vibración forzada y absorción de vibraciones Vibración forzada Es un sistema en respuesta a una fuerza aplicada. Si el sistema es lineal, la vibración estará a la misma frecuencia que la fuerza pero si es no lineal, la vibración ocurrirá a otras frecuencias, especialmente en los armónicos de la frecuencia forzada. La vibración de máquinas es una vibración forzada, y las fuerzas son el resultado de fenómenos como el desbalanceo y la desalineación de partes rotativas y fallas en rodamientos etc.

Ejemplo de vibraciones forzadas:

Absorción de vibraciones Se utiliza cuando un sistema de 1 gdl mk está trabajando en situación próxima a la resonancia, lo supone desplazamientos de m muy grandes:

Consiste en añadir un sistema absorbente de 1gdl al sistema anterior, con características tales que: 

Se consigue que el desplazamiento de m sea nulo, ya que el absorbente ejerce una fuerza sobre el sistema igual y de sentido contrario de la fuerza aplicada externamente.

Esto supone que:   



Se construye un sistema de 2gdl, dos posibles resonancias w1 y w2. Existen varias soluciones, interesa elegir un absorbente que haga que Xa no sea muy grande. Interesa que la frecuencia de excitación esté alejada de las dos nuevas frecuencias propias. Cuanto mayor sea la masa del absorbente frente a la del sistema, las dos frecuencias propias están más alejadas. Es mejor, aumenta la robustez del sistema. Normalmente