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• Adriano Alva Paredes

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UNIDAD V RESPUESTA SISMICA DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTADY CRITERIOS ESTRUCTURALES SISMORESISTENTES

INGENIERIA SISMORRESISTENTE

ING. GERSON QUISPE RODRIGUEZ

RESPUESTA SISMICA DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

1.0 INTRODUCCION:

Muchas veces es complejo elegir entre el análisis dinámico plano o tridimensional ya que análisis dinámico tridimensional, requerirá la evaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de métodos sofisticados como el de los elementos finitos. INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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Estos

métodos

nos

ayudan

a

resolver

las

ecuaciones

diferenciales de movimiento existentes por cada grado de

libertad,

es

una

herramienta

poderosa,

sin

embargo

su

modelación e interpretación de resultados no es sencilla y sólo se justificaría su uso en obras de gran magnitud.

En una estructura tridimensional xyz, tipo edificios, es útil y suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de piso, lo cual acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres grados de libertad por piso, dos traslaciones horizontales (ux,uy) y una rotación vertical (rz). INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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A estos grados de libertad se los conoce como desplazamientos maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se concentran en un nudo denominado maestro, al cual están conectados rígidamente los nudos restantes, a estos nudos se los denomina dependientes y tienen los grados de libertad opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones horizontales (rx, ry) y una traslación vertical (uy).

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2.0 ECUACION DEL MOVIMIENTO:

Una estructura de varios niveles (como la que se muestra a continuación), se puede idealizar como un pórtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica del sistema está representada por el desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de las vibraciones de cada masa. INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo. La Figura también nos muestra tres modos de un sistema aporticado de tres niveles. El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados modos armónicos (frecuencias altas). Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad considerar un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada una: INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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ESTRUCTURA DE VARIOS NIVELES

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Las fuerzas de inercia de la ecuación anterior son:

En su forma matricial tenemos:

O en su forma más simplificada:

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Donde:

Vector de fuerzas de inercia. Matriz de la masa Vector de aceleraciones.

Las

fuerzas

de

la

ecuación

anterior,

dependen

de

los

desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez pueden expresarse como:

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En su forma matricial tenemos:

O en su forma más simplificada:

Donde:

Vector de fuerzas elásticas Matriz de rigidez

Vector de desplazamientos INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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De manera similar , las fuerzas de amortiguamiento pueden expresarse como:

Donde: Vector de fuerzas de amortiguamiento Matriz de amortiguamiento Vector de velocidades

Sustituyendo estas ecuaciones en las de equilibrio dinámico tenemos:

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3.0 RESPUESTA DINAMICA: ANALISIS MODAL

Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal.

Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de un simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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4.0 METODO MATRICIAL:

Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la

frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzas externas y el amortiguamiento es considerado cero. Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio dinámico, la vibración resultante del sistema consiste de n de éstas ecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibración libre no amortiguada como: INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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La vibración libre descrita gráficamente por las Figuras siguientes consisten en un sistema no amortiguado en uno de sus modos de vibración natural puede describirse matemáticamente por:

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Donde

forma de la deformada o amplitud relativa de

movimiento, no varia con el tiempo es descrita por una función armónica: el tiempo, y la variación del desplazamiento con el tiempo es descrita por una función armónica:

Donde An y Bn son constantes de integración que pueden ser calculadas a partir de las condiciones iniciales. Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

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son desconocidos. Sustituyendo esta forma de

Donde

da:

en la ecuación

Esta

expresión

es

una

de la ecuación de no

representación

eigenvalores; la cual tiene una solución trivial sólo si el a determinante de los coeficientes es igual

las

cero, es decir

frecuencias naturales ωn (escalar) y los modos ϕn (vector) deben satisfacer la siguiente ecuación:

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El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (ωn)2, las raíces del cual son los eigenvalores. Sustituyendo éstos en la ecuación de eigenvalores se obtienen los eigenvalores para cada modo.

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A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectrales a partir de una curva de respuesta apropiada. 4.01. Matriz modal y espectral: Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial. El modo natural o eigenvector ϕn correspondiente a la frecuencia natural ωn

tiene elementos.. De este modo los N eigenvectores pueden presentarse o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:

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Donde [Φ] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores ωn2 pueden ser acoplados en una ,matriz diagonal Ω2, la cual es conocida como matriz espectral.

Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuación anterior, la cual puede ser reescrita como:

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Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar esta ecuación en una ecuación matricial simple:

Esta

ecuación

presenta

en

forma

compacta

las

ecuaciones

relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.

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4.02. Ortogonalidad de los nodos:

Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran a continuación para satisfacer la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando ωn≠ωr (entiéndase que ωr también es una frecuencia natural).

La demostración de esta propiedad es la siguiente: la enésima

frecuencia natural y el modo que satisfacen la ecuación anterior, multiplicados por ϕrT, la transpuesta de ϕr, da:

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Análogamente se realiza lo mismo con la erésima frecuencia natural y el modo que satisface la ecuación principal; de esta manera

La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuación, es igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho de la ecuación; de esta forma:

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Donde se ha utilizado la propiedad de simetría de la matriz de masa y rigidez. Restando las dos ecuaciones anteriores se tiene:

Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:

Donde los elementos de la diagonal son:

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Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la diagonal de K y M son positivos, y están relacionados por:

4.03. Normalización de los modos: Si el vector

{φn}

es un modo natural, cualquier vector proporcional es

en esencia el mismo modo natural porque satisface la ecuación:

Algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. A este proceso se le llama normalización.

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Algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras veces es más ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algún grado de libertad en particular sea la unidad.

En teoría y programas computacionales es común normalizar los modos de tal manera que mn tenga valores unitarios:

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Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:

ϕjn=

Componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n.

mjj =

Masa concentrada en el nudo j.

ujn =

Componente, para el nudo j, del eigenvector asociado con el

nudo n. INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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4.04. Factor de participación: Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad esta definida en forma matricial por:

[P] =

vector de coeficientes de

participación para todos los modos

considerados {1} =

vector unitario.

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Para un sistema en especifico, los factores de participación tienen las propiedades de:

Pn =

Factor de participación asociado con el modo n.

ϕ1n =

Componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector asociado con el modo n

La matriz de máximos desplazamientos esta definida por:

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donde [D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral. [V] = matriz diagonal de velocidad espectral. [A] = matriz diagonal de aceleración espectral. La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por la segunda ley de Newton:

El vector de fuerzas cortantes en la base esta dada por:

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5. METODO NUMERICO:

Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar métodos numéricos. Para un modo de vibración dado el factor de participación está definido por:

Mi = masa correspondiente al nivel i.

ϕi= componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado. M = masa modal = ΣMi· ϕi2 Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura. INGENIERIA SISMORRESISTENTE

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La masa efectiva está definida por:

De forma similar el peso efectivo es definido por:

donde Wi = peso correspondiente al nivel i

La aceleración pico en el nudo está definida por:

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El desplazamiento máximo en el nudo está definido por:

La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton:

La cortante basal esta dada por:

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La fuerza lateral en cada nudo puede también determinarse mediante la distribución de la cortante basal del modo siguiente:

Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a:

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5. METODO ITERATIVO:

Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el análisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre piso rígidas. Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los nudos. La rigidez de un nivel en particular esta dada por:

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La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso, utilizando estos supuestos se han desarrollado técnicas iterativas, a continuación se presenta una adaptación del método de Holzer. El modelo dinámico que cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral máximo

ui, la velocidad es cero y la fuerza de inercia en el nudo

está dada por:

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La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo. El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese nivel. El incremento de la fuerza cortante esta dado por:

Donde ki·Δi = fuerza cortante total en el nivel i. Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene:

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La solución de esta ecuación se puede obtener asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia natural, en cada nivel.

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Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso.

•

Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el desplazamiento (deriva) de cada piso.

•

Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.

•

Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva forma

modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la forma modal corregida con la inicial.

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