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29 DE DICIEMBRE DEL 2017

AREA DE SECCION TRANSVERSAL APLICACION DE METODOS NUMERICOS. INTEGRANTES:    

YARIB ALEJANDRO ALARCON RUBIO JOEL RUBEN MORAN ARMENDARIZ DANIEL FERNANDO LUDEÑA MOREIRA JOSE LUIS PAZ AVELINO

GRUPO 1 P.24.17

MARCO TEÓRICO La cartografía es la manera de representar las dimensiones de ciertas regiones de tierra en formas de expresión gráfica, cuando hablamos de la superficie marinas un método para recolectar las dimensiones del medio marino es por la Batimetría, este se encarga de medir profundidades marinas para poder realizar un estudio topográfico que es el estudio del relieve marino. Las mediciones de profundidad se hacen con respecto a la superficie del agua como referencia y cada profundidad que mida lo hará en forma de puntos o coordenadas en las tres dimensiones. Estas alturas se miden por que algún sonar envía una onda acústica con velocidad contrala y se mide el tiempo, en el que la onda va y regresa. .

La figura muestra cómo se realiza la batimetría

Se ve envuelto la hidrometría encarga de calcular las fuerzas, velocidades y otras características de los líquidos cuando estos se encuentran en movimiento. Enfocándose a su vez en las mediciones de concentraciones de sedimentos del mar, niveles del agua. Muy aparte de las mediciones que se ve en encargada, la hidrometría trata también de proyectar, aplicar y encausar toda la información que se escudriña de un sistema de riego entre otros sistemas. De esta forma la hidrometría tiene dos propósitos que son fundamentales, el saber la cantidad disponible de volumen y el grado de eficiencia de esta fuente. ¿Qué es Caudal? Un caudal es cuando se tiene un sistema por el cual fluye un fluido a cierta velocidad en la unidad de tiempo, ahora para encontrar este caudal del sistema, sabemos que el caudal es igual al volumen del fluido por el área del sistema. Teniendo la siguiente fórmula: 𝑄=

𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 𝐷𝐸𝐿 𝐹𝐿𝑈𝐼𝐷𝑂 =𝑉×𝐴 𝑈𝑁𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂

Q: Caudal del sistema (m3/s). V: Velocidad que tiene el fluido (m/s). A: Área de la sección transversal (m2).

Aforo y sección de aforo Los aforos son estudios que se realizan a las fuentes para conocer el nivel del caudal de los cuerpos de agua, para ello se realizan monitoreos para saber si existe un aumento o disminución en los caudales para tomar las medidas correspondientes, en caso de veranos extensos y eso pueda causar desvastecieminto. La sección de aforo es la sección transversal a la cual se quiere aforar respectivamente.

Sección Transversal que se quiere aforar

Características de una sección de aforo  

 

No puede encontrarse cerca de estribos de puentes, presas u construcciones, tanto aguas arriba como aguas abajo. Para no obstaculizar en la medición del caudal, la profundidad del rio debe estar libre de plantas acuáticas, desechos, entre otros. El flujo sea calmado y libre de turbulencias, donde la velocidad este dentro de un rango que pueda ser registrado(Correntómetro). Debe abarcar un segmento uniforme y recto, considerando que la longitud que se abarca debe ser menor a 7 veces el ancho del río mínimo. Lo más importante es que la sección de aforo debe encontrarse en un lugar de fácil acceso para poder realizar las mediciones necesarias.

¿Qué es un correntómetro? Es un dispositivo tecnológico que sirve para medir las velocidades de las corrientes de agua marina, existen varios modelos de correntómetros, pero los que más suelen usarse para las mediciones son los correntómetros de hélice. El tamaño de este aparato varía según el tamaño de los caudales que requieran medir o incluso de si las velocidades son muy altas.

Clasificación de instrumentos hidrométricos Los instrumentos hidrométricos permiten realizar mediciones en función del tiempo relacionadas con las corrientes de agua, entre lo más usados para realizar las investigaciones encontramos: limnímetros, limnígrafos, maxímetros, sondas, ecosondas, secciones y tramos artificiales de control, diques y vertederos para aforos volumétricos, puentes hidrométricos, cables, tarabitas o canastillas, flotadores, correntómetros, barcas, lanchas botes, instrumentos para aforos con trazadores y trampas de sedimentos. Limnímetros Los limnímetros son escalas graduadas de cm en cm, y permiten medir el nivel de agua para un instante determinado; se los debe colocar en los márgenes de corrientes de agua, principalmente sobre la orilla más cercana al sector más profundo del cauce, estas instalaciones deberán ser de tal forma que no obstruyan los perfiles transversales de las corrientes y además que el nivel de referencia “cero” del plano establecido a un punto invariable cercano a la estación.

Limnígrafos Dispositivos mecánicos los cuales permiten establecer un registro continuo acerca del nivel del agua, y son de diferentes tipos: de eje vertical, de eje horizontal y los limnígrafos de presión. Conformados por un flotador incorporado a un tubo, a un pozo. El flotador registra el nivel de agua mientras que se encuentra conectado a un sistema de relojería, el cual está provisto de un tambor giratorio sobre el cual va colocada una hoja de papel; ésta presenta graduaciones en unidades de tiempo sobre las abscisas, y alturas en las ordenadas. Sobre esta hoja, una plantilla va registrando los niveles en función del tiempo, así el resultado obtenido será una gráfica de los niveles del agua en función del tiempo.

Sondas Son cintas flexibles cuyo extremo inferior posee un dispositivo de emisión-detección para cualquier señal sonora o luminosa, y al estar sumergidas en una masa de agua, permiten registrar su profundidad. Existe algunos tipos de sondas como: las ecosondas electrónicas que emiten varias pulsaciones dirigidas hacia un sensor-receptor ubicado en la superficie, para luego recibir el eco después de transcurrido un tiempo de ida y regreso; además se encuentran las sondas luminosas constituidas por un sensor que, al tocar una superficie de agua, enciende un aparato receptor e ilumina una lámpara, lo que permite medir instantáneamente el nivel del agua en pozos, tubos de observación y de perforación, y en cualquier otro sistema de sondeo. El nivel de agua se mide directamente desde la cinta, cuyas unidades son de m y cm, y una precisión menor de 1 cm.

Ecosondas El principio de funcionamiento de la ecosonda es igual que el principio del sonar, el cual transmite fuertes impulsos sonoros con el fin de captar y clasificar los diferentes ecos que servirán para determinar la ubicación del objeto que los está produciendo. La principal diferencia está en que el sonar mantiene la cara radiante del transductor siempre en posición vertical fija, dirigida hacia el fondo del mar; mientras que el transductor de la ecosonda puede operar horizontal y lateralmente a voluntad.

Puente hidrométrico Un puente de carácter temporal construido para funciones hidrométricas, o también como un viaducto permanente construido con una estructura se utiliza para realizar las operaciones de sumersión del correntómetro y de los limnímetros, y otros instrumentos hidrométricos. Estos puentes se los encuentran como rígidos o colgantes, se los coloca principalmente para corrientes profundas y de alta velocidad, donde es casi imposible o de mucho riesgo el acceso directo a la corriente.

¿QUE ES UNA INTEGRAL? Para saber que es una integral es necesario saber que es una derivada ya que estas están relacionadas. Una derivada significa un cambio de una variable con respecto a otra y en la naturaleza existen muchas entidades físicas que varían o cambian con respecto a otra entidad por ejemplo la posición de una partícula y como esta posición cambia a medida que el tiempo corre, esto se conoce como velocidad y como la velocidad cambia a media que el tiempo corre la denominamos aceleración. Para cada valor de tiempo le corresponde un valor de posición, velocidad y aceleración es decir la derivada nos indica momento a momento conocer valores de estas entidades de forma instantánea, geométricamente se representa como la pendiente de la curva en un punto dado.

figura 1: En cada punto de la función (x, f(x)) se traza una recta tangente. Los valores de la pendiente (m) para cada valor de f(x), formarán un nuevo conjunto de punto (x, m) estos puntos darán origen a una nueva función g(x) y esta función será conocida como la derivada de f(x)

En el caso de ser un polinomio su derivada será de menor grado, el objetivo de la pendiente es limitar el análisis a un solo punto y no a un intervalo de esta manera podemos obtener valores instantáneos y no promedios. Por otro lado, la integral es el proceso inverso a la derivada es decir con la derivada nosotros podemos ir desde la posición hacia la velocidad y llegar a la aceleración, con la integral partimos de la aceleración y vamos a la y con este a la posición ¡EL PROCESO INVERSO! La integral representa el área bajo la velocidad curva si hablamos geométricamente, es decir si tenemos una función la región limitada por esa función y uno de los ejes coordenado tendrá cierto valor de área, la integral me permite conocer ese valor. Gráficamente lo que se busca hacer es dividir el intervalo de interés en un numero infinito de partes para cada parte le corresponde un rectángulo, cada rectángulo tendrá una área que podemos calcular multiplicando su altura y su ancho para luego poder sumar el área de cada rectángulo y así obtener el área total , pero calcular el área de un numero infinitos de rectángulos no es nada productivo, la integral nos permite obtener una expresión analítica precisa para obtener el valor total del área.

En física se requiere conocer el valor ponderado de un número infinito de elementos como los cuerpos sólidos y el cálculo de su centro de masa es decir un cuerpo ya sea una varilla o un objeto con geometría conocida o desconocida está formado por un conjunto infinito de elementos cada elemento con una determinada cantidad de masa y que cada elemento este a cierta distancia de su eje de rotación , el centro de masa es un elemento en especial donde se puede considerar que toda la masa del cuerpo se encuentra concentrada en un solo punto, dicho análisis se lo realiza con el fin de trabajar un elemento representativo de todo el cuerpo y no con cada elemento del cuerpo para esto usamos una integral con el fin de sumar una cantidad infinita de elementos , aquellos que conforman el cuerpo. Esta integral se conoce como espaciales por que relacionan la masa de cada elemento y la distancia que cada uno tiene con respecto a la distancia de su eje de rotación.

Figura 2: el grafico muestra que cuando se tiene una cantidad infinita de rectángulos y su ancho disminuye considerablemente se procede a realizar una integra en otras palabras la integral es la suma de infinitos elemento que se consideran muy pequeños

Figura 3: el objetivo de tener infinitos rectángulos es para poder aproximar de mejor manera el área

INTEGRACIÓN NUMÉRICA. En la vida real nos encontramos con expresiones que modelan algún fenómeno, en la mayoría de las veces estas expresiones no son fáciles de trabajar o incluso no podemos determinar dicha expresión motivo por el cual realizar las operaciones de derivación e integración por lo métodos analíticos resulta verdaderamente difíciles o casi imposibles. Los métodos numéricos buscan una solución a dicho problemas que, si bien no calculan los valores exactos, pero si se obtienen aproximaciones muy buenas. En el caso de conocer la función a estudiar se procede a reemplazar dicha expresión por otra relativamente más fácil por medio de tabulación de datos e interpolación, y en aquella donde no se conoce la expresión se utilizan datos tabulados y en base a estos datos se interpola un polinomio esto lo podemos hacer por un teorema que dice que dada una función continua definida en un intervalo cerrado existirá un polinomio lo suficientemente cercano a dicha función en todos los puntos del intervalo , además de que para la derivación e integración de un polinomio se proceden a realizar de una manera sumamente fácil Los métodos numéricos se explican mediante algoritmos computacionales. Métodos cerrados de Newton Cotes aquí debemos de conocer datos al principio y al final del intervalo a estudiar.

Método del Trapecio: Habíamos dicho que usábamos rectángulos para integrar, pero si queremos mejorar dicha aproximación usamos trapecios siendo el resultado más exacto cuando tenemos dos puntos es decir el polinomio de interpolante es lineal

Método de Simpson: para este caso el polinomio interpolante es de segundo o inclusive de tercer grado según el método que se utilice el de 1/3 y el de 3/8 respectivamente, a continuación, se presenta su debida formula y su error

1/3

3/8

Figura 4: para la función cos(x) se aplican los dos métodos hablados, teniendo en cuenta que el valor real es 1.682942 se tiene que el método mas eficaz es el de Simpson

También se tienen expresiones para estos métodos cuando se tienen n puntos, la única condición es que el número de puntos sean pares, en el caso de tener un número de puntos impares se hace una combinación de los métodos vistos, a medida que más particiones tengamos más eficaz será el método.

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO: Para el proyecto buscamos una pecera de las siguientes dimensiones: 80 de largo, 60 de alto y 30 de profundidad.

Como se muestra en la figura se colocará cintas métricas o reglas para poder medir las profundidades a simple vista además de los puntos en la superficie las cuales se representan con boyas, en la base de la pecera se colocará arena y piedras para generar una superficie irregular (la que queremos medir). Recordemos que las profundidades son los valores de y, las boyas estarán equidistantes es decir se tendrá un h constante. Se colocará un barco para que represente el medio por el cual se realizara la barimetría Por medio de una piola se unirán las boyas con un punto en la superficie irregular (representado por las líneas verdes)

CÁLCULOS: Las áreas (A) de la sección transversal de una corriente se requieren para varias tareas de la ingeniería de recursos hidráulicos, como el pronóstico del escurrimiento y el diseño de presas. A menos que se disponga de dispositivos electrónicos muy avanzados para obtener perfiles continuos del fondo del canal, el ingeniero debe basarse en mediciones discretas de la profundidad para calcular A. En la figura P24.17 se representa un ejemplo de sección transversal común de una corriente. Los puntos de los datos representan ubicaciones en las que ancló un barco y se hicieron mediciones de la profundidad. Utilice aplicaciones (h = 4 y 2 m) de la regla del trapecio y de la de Simpson 1/3 (h = 2 m) para estimar el área de la sección transversal 0,

X Y

0 0

2 1.8

4 2

6 4

8 4

10 6

12 4

14 3.6

16 3.4

18 2.8

20 0

SE REALIZA UN POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE YA QUE DE AQUÍ SE REALIZA LA INTEGRACION NUMERICA, ES VERDAD QUE SOLO NOS INTERESAN LOS PUNTOS DE MEDICION PERO SE HARA EL POLINOMIO SOLO PARA TENERLO DE REFERENCIA.

Trapecio para h=2 20

𝐼 = ∫ 65.55019840𝑥 − 1.472056017 ∗ 10−7 𝑥 10 + 45.43399953𝑥 3 − 12.86103116𝑥 4 0

+ 2.178991301𝑥 5 + 0.01556719422𝑥 7 − 0.2315837491𝑥 6 − 0.0006424644502𝑥 8 + 0.00001485242625𝑥 9 − 85.93437998𝑥 2 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) = 65.55019840𝑥 − 1.472056017 ∗ 10−7 𝑥 10 + 45.43399953𝑥 3 − 12.86103116𝑥 4 + 2.178991301𝑥 5 + 0.01556719422𝑥 7 − 0.2315837491𝑥 6 − 0.0006424644502𝑥 8 + 0.00001485242625𝑥 9 − 85.93437998𝑥 2

𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 𝐼 = (20)

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛−1 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 2𝑛

𝑓(𝑥0 ) + 2(𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 ) + 𝑓(𝑥5 ) + 𝑓(𝑥6 ) + 𝑓(𝑥7 ) + 𝑓(𝑥8 )) + 𝑓(𝑥9 ) 2(10)

𝐼 = (20)

0 + 2(1.8 + 2 + 4 + 4 + 6 + 4 + 3.6 + 3.4 + 2.8) + 0 = 63.2954078 2(10)

Trapecio para h=4 𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛−1 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 2𝑛

0 0

4 2

8 4

12 4

16 3.4

20 0

𝑓(𝑥) = −0.0000569661459𝑥 5 + 0.00283203125𝑥 4 − 0.0503906250𝑥 3 + 0.342187500𝑥 2 − 0.229166666𝑥 20

𝐼 = ∫ −0.0000569661459𝑥 5 + 0.00283203125𝑥 4 − 0.0503906250𝑥 3 0

+ 0.342187500𝑥 2 − 0.229166666𝑥 𝑑𝑥

𝐼 = (20 − 0)

𝑓(0) + 2(𝑓(4) + 𝑓(8) + 𝑓(12) + 𝑓(16)) + 𝑓(20) 2(5)

𝐼 = (20)

0 + 2(2 + 4 + 4 + 3.6) + 0 = 53.59999935 2(5)

Simpson con h=2 20

𝐼 = ∫ 65.55019840𝑥 − 1.472056017 ∗ 10−7 𝑥 10 + 45.43399953𝑥 3 − 12.86103116𝑥 4 0

+ 2.178991301𝑥 5 + 0.01556719422𝑥 7 − 0.2315837491𝑥 6 − 0.0006424644502𝑥 8 + 0.00001485242625𝑥 9 − 85.93437998𝑥 2 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) = 65.55019840𝑥 − 1.472056017 ∗ 10−7 𝑥 10 + 45.43399953𝑥 3 − 12.86103116𝑥 4 + 2.178991301𝑥 5 + 0.01556719422𝑥 7 − 0.2315837491𝑥 6 − 0.0006424644502𝑥 8 + 0.00001485242625𝑥 9 − 85.93437998𝑥 2 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝐼 = (20 − 0)

𝑛−2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛−1 𝑖=𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓(𝑥𝑖 ) + ∑𝑗=𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )

3(𝑛)

0 + 4(1.8 + 4 + 6 + 3.6 + 2.8) + 2(2 + 4 + 4 + 3.4) + 0 = 66.4 3(10)

PARTE DOS Como se dijo en el problema 24.17, el área de la sección transversal de un canal se calcula con:

Donde B = ancho total del canal (m), H = profundidad (m), y y = distancia desde uno de los márgenes (m). En forma similar, el flujo promedio Q (m3 /s) se calcula por medio de:

Donde U = velocidad del agua (m/s). Use estas relaciones y algún método numérico para determinar Ac y Q, para los datos siguientes:

PARA H(Y)=

USANDO SIMPSON 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛−1 𝑖=𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 3(2)

𝐼 = (4 − 0) 𝐼 = (6 − 4)

0.5 + 4(1.3) + 1.25 = 4.63 3(2)

1.25 + 4(1.7) + 1 = 3.016666666 3(2)

USANDO TRAPECIO 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 1.25 = (9 − 6) ( ) = 1.875 2 2

SUMANDO TODOS LOS VALORES 9.521666

Y U*H

0 0.015

2 0.078

4 0.0625

5 0.204

6 0.11

PARA U*H

USANDO SIMPSON 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝐼 = (4 − 0)

𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛−1 𝑖=𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 3(2)

0.015 + 4(0.078) + 0.0625 = 0.259666666667 3(2)

𝐼 = (6 − 4)

0.0625 + 4(0.204) + 0.11 = 0.3295 3(2)

USANDO TRAPECIO 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 0.115 = (9 − 6) ( ) = 0.1725 2 2

SUMANDO TODOS LOS VALORES 0.82166666667

9 0.005

CALCULO DE ERROR: Para el problema # 1. Tenemos esta función que ha sido evaluada para Regla de Trapecio con h=2, h=4 y también ha sido evaluada para Regla de Simpson con h=2. Para determinar el error de cada una de las Reglas que han sido evaluadas, tomaremos la ecuación del Valor exacto de la integral menos el Valor aproximado. 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐼 − 𝐼̂|

𝑓(𝑥) = 65.55019840𝑥 − 1.472056017 ∗ 10−7 𝑥 10 + 45.43399953𝑥 3 − 12.86103116𝑥 4 + 2.178991301𝑥 5 + 0.01556719422𝑥 7 − 0.2315837491𝑥 6 − 0.0006424644502𝑥 8 + 0.00001485242625𝑥 9 − 85.93437998𝑥 2 Valor exacto de la integral 20

𝐼 = ∫ 65.55019840𝑥 − 1.472056017 ∗ 10−7 𝑥 10 + 45.43399953𝑥 3 − 12.86103116𝑥 4 0

+ 2.178991301𝑥 5 + 0.01556719422𝑥 7 − 0.2315837491𝑥 6 − 0.0006424644502𝑥 8 + 0.00001485242625𝑥 9 − 85.93437998𝑥 2 𝑑𝑥 𝐼 = 199.521034224

Valor Aproximado usando Regla de trapecio con h=2 𝐼̂ = (20)

𝑓(𝑥0 ) + 2(𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 ) + 𝑓(𝑥5 ) + 𝑓(𝑥6 ) + 𝑓(𝑥7 ) + 𝑓(𝑥8 )) + 𝑓(𝑥9 ) 2(10)

𝐼̂ = (20)

0 + 2(1.8 + 2 + 4 + 4 + 6 + 4 + 3.6 + 3.4 + 2.8) + 0 = 63.2954078 2(10)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐼 − 𝐼̂| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |199.521034224 − 63.2954078| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 136.225626424

Valor Aproximado usando Regla de trapecio con h=4 𝐼̂ = (20 − 0)

𝑓(0) + 2(𝑓(4) + 𝑓(8) + 𝑓(12) + 𝑓(16)) + 𝑓(20) 2(5)

𝐼̂ = (20)

0 + 2(2 + 4 + 4 + 3.6) + 0 = 53.59999935 2(5)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐼 − 𝐼̂| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |199.521034224 − 53.59999935| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 145.921034874 Valor Aproximado usando Regla de Simpson con h=2

𝐼̂ = (20 − 0)

0 + 4(1.8 + 4 + 6 + 3.6 + 2.8) + 2(2 + 4 + 4 + 3.4) + 0 = 66.4 3(10)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐼 − 𝐼̂| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |199.521034224 − 66.4| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 133.121034225

Para el problema # 2. Tenemos esta función que ha sido evaluada para Regla de Trapecio y también ha sido evaluada para Regla de Simpson. Para determinar el error de cada una de las Reglas que han sido evaluadas, tomaremos la ecuación del Valor exacto de la integral menos el Valor aproximado. 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐼 − 𝐼̂|

𝐻(𝑌) = 0.5000000000 + 4.883055556𝑥 + 1.470671296 𝑥 3 − 0.2003240739𝑥 4 + 0.009467592592𝑥 5 − 4.457314815𝑥 2

𝑏

𝐻(𝑌) = ∫ 0.5000000000 + 4.883055556𝑥 + 1.470671296 𝑥 3 − 0.2003240739𝑥 4 𝑎

+ 0.009467592592𝑥 5 − 4.457314815𝑥 2 𝑑𝑥

Valor Aproximado usando Regla de Simpson. 4

𝐻(𝑌) = ∫ 0.5000000000 + 4.883055556𝑥 + 1.470671296 𝑥 3 − 0.2003240739𝑥 4 0

+ 0.009467592592𝑥 5 − 4.457314815𝑥 2 𝑑𝑥 𝐻(𝑌) = 5.534864215

𝐼 = (4 − 0)

0.5 + 4(1.3) + 1.25 = 4.63 3(2)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐻 − 𝐼| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |5.534864215 − 4.63| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.904864315

6

𝐻(𝑌) = ∫ 0.5000000000 + 4.883055556𝑥 + 1.470671296 𝑥 3 − 0.2003240739𝑥 4 4

+ 0.009467592592𝑥 5 − 4.457314815𝑥 2 𝑑𝑥 𝐻(𝑌) = 3.006969285

𝐼 = (6 − 4)

1.25 + 4(1.7) + 1 = 3.016666666 3(2)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐻 − 𝐼| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |3.006969285 − 3.01666666| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 9.69738107𝑥10−3

Valor Aproximado usando Regla de Trapecio. 9

𝐻(𝑌) = ∫ 0.5000000000 + 4.883055556𝑥 + 1.470671296 𝑥 3 − 0.2003240739𝑥 4 6

+ 0.009467592592𝑥 5 − 4.457314815𝑥 2 𝑑𝑥 𝐻(𝑌) = 4.3464257558

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 1.25 = (9 − 6) ( ) = 1.875 2 2

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝐻 − 𝐼| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |4.3464257558 − 1.875| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 2.471425758

Luego la segunda función Q(U* H(Y)) seria: 𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = 0.0150000000 + 1.004540079𝑥 + 0.3269866732𝑥 3 − 0.04434808200𝑥 4 + 0.002081382275𝑥 5

𝑏

𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = ∫ 0.0150000000 + 1.004540079𝑥 + 0.3269866732𝑥 3 𝑎

− 0.04434808200𝑥 4 + 0.002081382275𝑥 5 𝑑𝑥 Valor Aproximado usando Regla de Simpson. 4

𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = ∫ 0.0150000000 + 1.004540079𝑥 + 0.3269866732𝑥 3 0

− 0.04434808200𝑥 4 + 0.002081382275𝑥 5 𝑑𝑥

𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = 2.136187083

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝐼 = (4 − 0)

𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛−1 𝑖=𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 3(2)

0.015 + 4(0.078) + 0.0625 = 0.259666666667 3(2)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝑄 − 𝐼| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |2.136187083 − 0.25966666667| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1.876520416

6

𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = ∫ 0.0150000000 + 1.004540079𝑥 + 0.3269866732𝑥 3 4

− 0.04434808200𝑥 4 + 0.002081382275𝑥 5 𝑑𝑥 𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = 4.996822416

𝐼 = (6 − 4)

0.0625 + 4(0.204) + 0.11 = 0.3295 3(2)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝑄 − 𝐼| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |4.996822416 − 0.3295| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4.667322416 Valor Aproximado usando Regla de Trapecio. 6

𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = ∫ 0.0150000000 + 1.004540079𝑥 + 0.3269866732𝑥 3 4

− 0.04434808200𝑥 4 + 0.002081382275𝑥 5 𝑑𝑥 𝑄(𝑈 ∗ 𝐻(𝑌)) = 1.664420031 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 0.115 = (9 − 6) ( ) = 0.1725 2 2

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |𝑄 − 𝐼| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = |1.664420031 − 0.1725| 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1.491920031

CONCLUSIONES: El uso de la batimetría como hemos aprendido por medio de este proyecto didáctico, que nos hemos dado cuenta que ha venido ayudando por bastante tiempo a embarcaciones a entrar a pequeños brazos de mar sin dificultad alguna. Podemos decir que por los métodos aplicados durante este proyecto y con la ayuda de nuestra maqueta simulando como si fuera en la vida real el funcionamiento de la batimetría en los barcos, comprobamos que es margen de error es casi mínimo en los métodos de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, y también en el método de Trapecio.

REFERENCIA: https://tecnoceano.wordpress.com/2012/10/19/la-importancia-y-aplicacion-de-la-batimetria/ https://www.arquigrafico.com/que-es-la-batimetria/ http://detopografia.blogspot.com/2013/02/que-es-una-batimetria.html https://es.slideshare.net/lalam.q/simpson-13 https://es.slideshare.net/LuisAguilarCruz/regla-de-simpson-tres-octavos

ANEXOS:

Fig. 5 pecera de medidas de 80x50x60 cm largo, ancho y alto respectivamente.

Fig. 5.1 Piedras decorativas para la pecera.

Fig 5.2 Pecera con las piedras decorativas.