• Author / Uploaded
• ULISES KINIL

Citation preview

Propiedades del producto vectorial El producto vectorial presenta las siguientes propiedades algebraicas. Sean u, v y w vectores en el espacio y c un escalar. 1. u × v = −(v × u) 2. u × (v + w) = (u × v) + (u × w) 3. c(u × v) = (cu) × v 4. u × 0 = 0 × u = 0 5. u × u = 0 6. u · (v × w) = (u × v) · w triple producto vectorial. El producto vectorial presenta las siguientes propiedades geom´ etricas. Sean u y v dos vectores no nulos en el espacio y sea θ el ´angulo entre ellos. 1. u × v es ortogonal a u y a v. 2. ku × vk = kuk kvk senθ Demostraci´ on: kuk kvk senθ

=

p 1 − cos2 θ s (u · v)2 1− kuk kvk kuk2 kvk2 p kuk2 kvk2 − (u · v)2 q (u21 + u22 + u23 )(v12 + v22 + v32 ) − (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )2 p (u2 v3 − u3 v2 )2 + (u1 v3 − u3 v1 )2 + (u1 v2 − u2 v1 )2

=

ku × vk

= kuk kvk = = =

3. u × u = 0 4. |u × v| = a´rea del paralelogramo con u y v como lados adyacentes. Demostraci´ on: Como se muestra en la figura, los vectores u y v son lados adyacentes de un paralelogramo.

1

La altura del paralelogramo es kuk sen θ, el ´area es area

=

(base)(altura)

= kvk kuk sen θ Aplicaci´ on del triple producto vectorial El volumen de un paralelep´ıpedo es la magnitud de un tripe producto escalar |(u × v) · w|, donde los tres vectores son aristas con un v´ertice com´ un (falta la figura). Demostraci´ on: Primero se va a determinar una ecuaci´ on para la magnitud del producto cruz de tres vectores. Considerar Si los vectores u, v y w representan las aristas de un paralelep´ıpedo como se muestra en la figura y θ es el ´angulo entre los vectores w y u × v. Con la ecuaci´ on del coseno del ´angulo entre vectores es cos θ =

(u × v) · w |u × v| |w|

y despejando (u × v) · w = |u × v| |w| cos θ el valor absoluto es |(u × v) · w| = |u × v| |w| |cos θ| Ahora, demostrar que la magnitud del triple producto escalar es el volumen del paralelep´ıpedo. El ´ area de la base es |u × v|, como ya se vio anteriormente Si u y v est´ an en el plano que corresponde a la base del paralelep´ıpedo, el producto u × v es un vector perpendicular a ambos y en la direcci´ on en la que se mide la altura. La altura es el valor absoluto de la componente de w en la direcci´ on de u × v, la componente es: (u × v) · w = |w| cos θ |u × v| donde θ es el ´ angulo entre w y |u × v|. La altura es |w| |cos θ| El volumen: ´ area de la base por la altura |u × v| |w| |cos θ|

2