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• Alberto García

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Producto vectorial

Esquema

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo forma- Relaciones entre los vectores. do entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

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Definición

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial R3 . El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c . El producto vectorial a y b se denota mediante a × b , por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:[1] a ∧ b,

a×b

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera: ˆ a × b = (|a||b| sin θ) n

Producto Vectorial según el ángulo entre vectores

ˆ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y donde n b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha 1.1 Precisiones y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del Se denomina producto vectorial del vector a por el vector b [2] al vector denotado por a × b y definido por las tres sacacorchos. 1

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PROPIEDADES

exigencias siguientes: • el módulo de a × b es igual al módulo de a por wx = uy vz − uz vy módulo de b por senϕ , en donde ϕ es el ángulo wy = uz vx − ux vz orientado formado por los vectores a y b wz = ux vy − uy vx • el vector a × b es perpendicular a cada uno de los Usando una notación más compacta, mediante el desavectores a y b rrollo por la primera fila de un determinante simbólico • la dirección del vector a × b respecto a los vectores de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera a y b es igual que la del eje coordenado Oz respecto fila no son escalares): a los ejes coordenados Ox y Oy, como si girase de Ox a Oy y avanzase en la dirección positiva de Oz. i j k uy uz ux uz ux ·j+ ·i− w = u×v = ux uy uz = vy vz vx vz vx 1.2 Producto vectorial de dos vectores vx vy vz Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de u × v es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

1.3 Ejemplo El producto vectorial de los vectores a = (2, 0, 1) y b = (1, −1, 3) se calcula del siguiente modo: i j k c = a × b = 2 0 1 1 −1 3 Expandiendo el determinante: 0 1 2 1 2 −j +k c = a×b = i −1 3 1 3 1

Producto vectorial.

0 = i−5j−2k −1

Sean los vectores concurrentes de R3 , el espacio afín tri- Dando como resultado: dimensional según la base anterior. Se define el producto:

u = ux i + uy j + uz k v = vx i + vy j + vz k w = wx i + wy j + wz k Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así: × : R3 × R3 (u, v)

−→ R3 −→ w = u × v

donde la última fórmula se interpreta como:

c = i − 5j − 2k Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal a los vectores a y b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

2 Propiedades 2.1 Identidades Cualesquiera que sean los vectores a , b y c :

w = u×v = (uy vz −uz vy )i+(uz vx −ux vz )j+(ux vy −uy vx )k 1. a × b = −(b × a) , (anticonmutatividad) esto es:

2. a · (a × b) = 0 , cancelación por ortogonalidad.

uy ·k vy

2.4

Dual de Hodge

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3. Si a × b = 0 con a ̸= 0 y b ̸= 0 , ⇒ a∥b ; esto 2.4 Dual de Hodge es, la anulación del producto vectorial proporciona En el formalismo de la geometría diferencial de las la condición de paralelismo entre dos direcciones. variedades riemannianas la noción de producto vectorial 4. (a + b) × c = a × c + b × c . se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente aso5. a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) , conocida como ciadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simregla de la expulsión. plemente: 6. a × (b × c) + c × (a × b) + b × (c × a) = 0 , conocida como identidad de Jacobi. a × b = ∗(ϕa ∧ ϕb ) 7. |a × b| = |a||b| sin θ , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b , Donde ϕa , ϕb denotan las 1-formas naturalmente asociasiendo θ , el ángulo menor entre los vectores a y b ; das a los dos vectores, y ∗ denota el operador estrella de esta expresión relaciona al producto vectorial con el Hodge. área del paralelogramo que definen ambos vectores. 8. El módulo o norma del producto vectorial puede cal- 3 Generalización a n dimensiones cularse fácilmente sin hacer el producto vectorial: ( )1/2 ∥a × b∥ = ∥a∥2 ∥b∥2 − (a · b)2 Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a n dimensioa×b ˆ = |a×b| es normal al plano que nes, con n ̸= 0, 1 y sólo tendrá sentido si se usan n − 1 9. El vector unitario n contiene a los vectores a y b . vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vecto[3] 10. a × a = 0 rial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal. 11. a × (b × c) ̸= (a × b) × c ( no es asociativo )[4] Desde un punto de vista tensorial el producto generaliza12. λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb) ( Asociatividad do de n vectores vendrá dado por: respecto del factor escalar ) a

2.2

Bases ortonormales y producto vectorial

n−1 V a = ϵaa1 ...an−1 V1a1 . . . Vn−1

4 Otros productos vectoriales

Sea un sistema de referencia S = {O; i, j, k} en el espacio vectorial R3 . Se dice que S es una base orto- Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemánormal derecha si cumple con las siguientes condiciones: ticas de tipo producto entre ellos: 1. i · j = j · k = k · i = 0 ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.

• producto escalar

2. |i| = |j| = |k| = 1 ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).

• producto tensorial

• producto vectorial

El producto escalar de vectores permite determinar án3. i × j = k , j × k = i , k × i = j ; es decir, cumplen gulos y distancias (véase operador norma) de una forma la regla de la mano derecha. fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permi2.3 Vectores axiales tirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoria- producto mixto de tres vectores. les, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

En el espacio afín bidimensional, R2 , el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, R3 , el producto vectorial es una operación interna.

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Véase también • base (álgebra) • base ortogonal • base ortonormal • combinación lineal • coordenadas cartesianas • doble producto vectorial • espacio vectorial • independencia lineal • producto escalar • producto mixto • producto tensorial • sistema generador

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Notas y referencias

[1] Spiegel, 1992, p. 96 [2] Únicamente, se define el producto vectorial para vectores del espacio R3 [3] un vector es paralelo a sí mismo [4] Según 5. son combinaciones lineales de parejas diferentes de vectores

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Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84604-4445-7.

• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. • Spiegel, M. & Abellanas, L. (1988). Fórmulas y tablas de matemática aplicada. McGraw-Hill. ISBN 84-7615-197-7.

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Enlaces externos

• Bogomolny, Alexander. «Real and Complex Products of Complex Numbers». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés). • Weisstein, Eric W. «Cross Product». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

NOTAS Y REFERENCIAS

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Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

7.1

Texto

• Producto vectorial Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial?oldid=98776110 Colaboradores: Dodo, Tano4595, Ramjar, Charlitos, RobotQuistnix, YurikBot, GermanX, Lobillo, Götz, Tuncket, ManuelMore, CEM-bot, JMCC1, Marianov, Davius, Fsd141, Thijs!bot, LPFR, Kved, Muro de Aguas, TXiKiBoT, Ignacioerrico, Algarabia, Idioma-bot, Pólux, Dusan, Jurock, Technopat, Matdrodes, SieBot, Loveless, Correogsk, Dnu72, Jorgeneo560, Estirabot, Botito777, Juan Mayordomo, Raulshc, MarceloPinoQuivira, Rakugan, UA31, Sophistical, AVBOT, Angel GN, Diegusjaimes, Dante93, Luckas-bot, Andres Rojas, AlexFBP, ArthurBot, Almabot, Kender00, Jkbw, SassoBot, Ricardogpn, D'ohBot, Gusbelluwiki, AlbertoCrakito, Fportales, Edgardo C, PatruBOT, Ripchip Bot, Chrisyagami, Savh, Grillitus, JackieBot, WikitanvirBot, Fitohira, Cristian.arbe, KLBot2, Invadibot, Jesus Castañeda Retiz, Rauletemunoz, FedeBosio, Coins, Oleg chmkv, Jarould, Ricoguapoybuenjugador y Anónimos: 116

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Imágenes

• Archivo:Cross_product_parallelogram.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4e/Cross_product_ parallelogram.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Self-made, based on Image:Cross_parallelogram.png Artista original: User:Acdx • Archivo:Crossproduct.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Crossproduct.png Licencia: FAL Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Producto_Vectorial_según_el_angulo_entre_vectores.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/ Producto_Vectorial_seg%C3%BAn_el_angulo_entre_vectores.gif Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Jesus Castañeda Retiz • Archivo:Producto_vectorial_2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Producto_vectorial_2.png Licencia: Public domain Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Artista original: No machine-readable author provided. M.Romero Schmidtke assumed (based on copyright claims).

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Licencia del contenido

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