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• Paolita Sarchi

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Producto vectorial

Relaciones entre los vectores. Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección: 

El módulo de

está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b. 

La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b. El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho. Producto vectorial de dos vectores

Sean y , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto

dos vectores concurrentes de

, y se escribe

, como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2. O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección. La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]

Ejemplo El producto vectorial de los vectores siguiente modo:

y

se calcula del

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

Producto escalar Dados 2 vectores v y v’ no nulos, el producto escalar se define como un escalar tal que:v.v’ = xx’ + yy’ + zz’ v.v’ = v.v’ cos a

Aplicaciones en física. Una fuerza tiene una magnitud y dirección. Si 2 fuerzas u y v actúan sobre un punto, la fuerza resultante sobre el punto, es la suma vectorial de las 2 fuerzas. Ejemplo Un peso de 200 newtons es soportado por 2 cables, uno a 33 Grad. y otro a 50 Grad. determine la magnitud de la tensión en cada cable. El peso w y las 2 tensiones u y v son fuerzas que se comportan como vectores. Cada uno de estos vectores se puede expresar como la suma de un componente horizontal y otro vertical. Para alcanzar el equilibrio, (1) la magnitud de la fuerza izquierda debe ser igual a la magnitud de la fuerza derecha y (2) la magnitud de fuerza hacia arriba debe ser igual a la magnitud de fuerza hacia abajo. Así ,

(1) |u| cos 33 = |v| cos 50 (2) |u| sen 33 + |v| sen 50 = |w| = 200 al despejar v en (1) y sustituir en (2), obtenemos |u| = 200/sen 33 + (cos 33)(tan 50) = 129.52 newtons

entonces |v| = 129.52 cos 33 / cos 50 = 168.99 newtons

“”--------------------------------------------”“ StrongAPLICACIONES GEOMETRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL CALCULAR EL AREA DEL SIGUIENTE PARALELOGRAMO CON VERTICES: A=(5,2,0), , B=(2,6,1) C=(2,4,7) D=(5,0,6) SOLUCION: CALCULAMOS LAS COMPONENTES DEL VECTOR AB=B-A=(2–5,6–2,1–0)=←3,4,1> AD=D-A=(5–5,0–2,6–0)= VECTORES AB=−3i+4j+k AD=0i-2j+6k

Producto cruz El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos

Calcular el producto cruz de los vectores

Dados los vectores

y

= (1, 2, 3) y

= (−1, 1, 2).

, hallar el producto cruz de

dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a

y

.

El producto vectorial de

es ortogonal a los vectores

y

.

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo

Dados los vectores que tiene por lados los vectores

y y

, hallar el área del paralelogramo ·

Área de un triángulo

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Propiedades del producto cruz 1. Anticonmutativa

x

=−

x

2. Homogénea λ(

x

) = (λ

)x

=

x (λ )

x

+

x

3. Distributiva x(

+

)=

·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo. x

=

5. El producto vectorial

x

es perpendicular a

ya

.