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Nivelaci´on de Matem´atica

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Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ~ı, ~, ~k, cuyas componentes son: ~ı = (1, 0, 0) ~ = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1) y se llaman versores fundamentales. ~ = (a1 , a2 , a3 ) puede escribirse en la forma: Todo vector A ~ = a1~ı + a2~ + a3~k A Esta descomposici´on de un vector como suma de tres vectores en la direcci´on de los ejes coordenados es muy importante y u ´til. Se llama descomposici´ on can´ onica de un vector. Ejemplos: ~ con origen en P (−3, 5) y extremo en 1) Vectores en el plano: dado el vector A, Q(4, 7); podemos escribirlo en funci´on de sus componentes como: ~ = (7, 2) = 7~ı + 2~ A ~ con origen en R(3, −1, 4) y extremo 2) Vectores en el espacio: dado un vector C, en S(0, 3, −2); podemos escribirlo en funci´on de sus componentes como: ~ = (−3, 4, −6) = −3~ı + 4~ − 6~k C 3) 6y ~ = 2~ı + 6 B 6

  

6~

    

-

O 2~ı

1.

-

x

Producto escalar

~ = (a1 , a2 , a3 ) Se llama producto escalar o producto interno de dos vectores A ~ = (b1 , b2 , b3 ), al escalar: B ~·B ~ = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 A Observaci´ on importante: el producto escalar entre dos vectores es un n´ umero Ejemplos: ~1 y A ~ 2 son vectores de R2 con componentes A ~ 1 = (−1, 2) y A ~ 2 = (2, −9), 1) Si A entonces el producto escalar entre ellos es: ~1 · A ~ 2 = (−1)2 + 2(−9) = −20 A ~1 y B ~ 2 son vectores de R3 con componentes B ~ 1 = (−3, −1, 7) y B ~2 = 2) 1) Si B (−2, 0, 1), entonces el producto escalar entre ellos es:

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~1 · B ~ 2 = (−3)(−2) + (−1)0 + 7 1 = 13 B Propiedades: ~·B ~ =B ~ ·A ~ 1. A ~ · (B ~ + C) ~ =A ~·B ~ +A ~·C ~ 2. A ~ ·B ~ =A ~ · (λB) ~ = λ(A ~ · B) ~ 3. Si λ es un n´ umero real cualquiera: (λA) ~ es el vector nulo (A ~=O ~ = (0, 0, 0)), entonces A ~·A ~ = 0; si A ~ es cualquier 4. Si A ~·A ~ = |A| ~2 otro vector: A Todas estas propiedades son sencillas de demostrar usando la definici´on de producto escalar. Observaci´ on: Para los versores fundamentales ~ı, ~, ~k, resulta que: ~ı ·~ı = ~ · ~ = ~k · ~k = 1

~ı · ~ = ~ · ~k = ~k ·~ı = 0

~yB ~ son dos vectores perpendiculares, entonces: A ~·B ~ = 0. Teorema 1: Si A 6y

~

~

A+B  @  @    ~ A 

I 90◦  ~@ B @  @

O

-

x

~yB ~ son perpendiculares, A ~ +B ~ es la diagonal de un rect´angulo, cuyos lados Si A ~ y |B|. ~ miden |A| ~ ~ ~ 2 + |B| ~ 2 (teorema de Pit´agoras) Luego: |A + B|2 = |A| ~ + B| ~ 2 = (A ~ + B) ~ · (A ~ + B) ~ = |A| ~ 2 + |B| ~ 2 + 2A ~·B ~ Como: |A (por propiedades del producto escalar) ~·B ~ = 0 que es lo mismo que: Por lo tanto: 2A ~·B ~ =0 A

1.1.

´ Angulo entre dos vectores

~ = (a1 , a2 ) y B ~ = (b1 , b2 ). Y αA es el a´ngulo entre A ~ y el eje Dados dos vectores A ~ x y αB el ´angulo entre B y el eje x. ~ son: a1 = |A| ~ cos αA y a2 = |A|senα ~ ~ Las componentes de A A . Las componentes de B ~ cos αB y b2 = |B|senα ~ son: b1 = |B| B. ~ ~ El ´angulo entre A y B es θ = αB − αA

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6y

~ B

b2

 

a2

 

 

~ A

θ 

O



b1

a1

-

x

~·B ~ = a1 b1 + a2 b2 = |A| ~ cos αA |B| ~ cos αB + |A|senα ~ ~ A A |B|senαB ~ B|(cos ~ ~ B| ~ cos(αB − αA ) = |A|| αA cos αB + senαA senαB ) = |A|| ~ B| ~ cos θ = |A|| Luego: El ´angulo θ entre dos vectores, se calcula: cos θ =

~·B ~ A ~ B| ~ |A||

Ejemplo: ~ = (3, −2, 0) y B ~ = (−2, 1, 5) es: El coseno del a´ngulo entre los vectores A 8 3(−2) + (−2)1 + 0(5) q = −√ cos θ = q 390 32 + (−2)2 + 02 (−2)2 + 12 + 52 ~·B ~ A podemos deducir otra forma para ~ B| ~ |A|| calcular el producto escalar entre dos vectores: Observaci´ on 1: Puesto que cos θ =

~·B ~ = |A|| ~ B| ~ cos θ A Observaci´ on 2: Si cos θ = 0, entonces

~·B ~ A ~ >0y = 0. Pero puesto que |A| ~ ~ |A||B|

~ > 0, tiene que ser A ~·B ~ = 0 y luego θ = π/2, es decir, |B| ~ es perpendicular a B. ~ A Del Teorema 1 y de la observaci´on anterior se desprende el siguiente resultado que nos da una condici´on para saber cuando dos vectores son perpendiculares: ~ y B, ~ Propiedad importante: Dados dos vectores A ~·B ~ = 0 es equivalente a que A ~ es perpendicular a B ~ A Ejemplo: ~ = 3~ı + 2~ − ~k y B ~ = −~ı + 2~ + ~k. Dados los vectores: A ~ ~ ~ es perpendicular a B ~ Como A · B = 3(−1) + 2 2 + (−1)1 = 0 entonces A

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1.2.

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Trabajo efectuado por una fuerza

Si una fuerza F~ no cambia su sentido y mantiene su m´odulo constante y act´ ua sobre un objeto que se mueve desde el punto P al punto Q a lo largo del segmento P Q, el trabajo efectuado por F~ es el producto de la componente de la fuerza en la direcci´on del desplazamiento por el m´odulo de P~Q. −→ Trabajo efectuado porF~ = |F~ | cos θ|P~Q| = F~ · P Q 1 

 F~

 θ  q

P

2.

π/2 q

q

Q

|F~ | cos θ

Producto vectorial

Llamamos producto vectorial, a la operaci´on que asocia a cada par de vectores ~ ~ del espacio, al vector A ~×B ~ que cumple las condiciones: A, B ~ yB ~ son no nulos y no colineales, A ~×B ~ es ortogonal con A ~ y 1. Direcci´on: Si A ~ con B. ~ gira para que, 2. Sentido: se define como muestra la figura. El primer vector A ~ ~×B ~ describiendo el a´ngulo θ, quede paralelo al segundo vector B. Entonces A tiene el sentido de avance de un tornillo. 3. El m´odulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de los m´odulos por el seno del ´angulo que estos hacen: ~ × B| ~ = |A|| ~ B| ~ sen θ |A 6 ~

~ A×B

O r

Observaciones:

~  * B ........ ......  Y . .  ....... . ...  θ

... .....

~A

~ ×A ~ B ?

~×B ~ yB ~ ×A ~ tienen direcciones opuestas pero el mismo m´odulo. 1. A ~ ~ ~ ~ (se dice que el producto vectorial es anticonmutativo). A × B = −(B × A)

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~yB ~ son colineales A ~×B ~ = 0. 2. Si A ~ B ~ representa el a´rea del paralelogramo, que tiene a los vectores 3. El m´odulo de A× ~yB ~ como lados concurrentes. A ~ B| ~ sen θ = |A ~ × B|. ~ Area = base . altura = |A||



~ B

~ sen θ |B|

θ

-

~ A ~×B ~ =A ~ × λB ~ = λ(A ~ × B). ~ 4. λA ~ × (B ~ + C) ~ =A ~×B ~ +A ~×C ~ 5. A

2.1.

~×B ~ Componentes de A

Teniendo en cuenta que: ~ı × ~ = ~k ~ ×~ı = −~k

~ × ~k = ~ı ~k × ~ = −~ı

~k ×~ı = ~ ~ı × ~k = −~ ~k × ~k = 0

~ı ×~ı = 0 ~ × ~ = 0 ~ = a1~ı + a2~ + a3~k y B ~ = b1~ı + b2~ + b3~k, entonces, aplicando las propiedades Si A enunciadas se tiene: ~×B ~ = (a1~ı + a2~ + a3~k) × (b1~ı + b2~ + b3~k) = A = a1 b1~ı×~ı+a1 b2~ı×~+a1 b3~ı×~k+a2 b1~×~ı+a2 b2~×~+a2 b3~×~k+a3 b1~k×~ı+a3 b2~k×~+a3 b3~k×~k Finalmente: ~×B ~ = ~ı(a2 b3 − a3 b2 ) − ~(a1 b3 − a3 b1 ) + ~k(a1 b2 − a2 b1 ) A Otra forma de obtener este resultado es desarrollar por la primera fila el siguiente determinante: ~×B ~ = A

~ı a1 b1

~ a2 b2

~k a3 b3

Ejemplos: ~ = (−1, 3, 4) y B ~ = (8, 1, −2). 1) Hallar un vector perpendicular con A ~yB ~ es el que se obtiene calcuUn vector P~ , que es perpendicular con los vectores A lando el producto vectorial entre ellos. ~ı ~ ~ k ~×B ~ = −1 3 4 = 2~ı + 34~ − 25~k P~ = A 8 1 2

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2) Hallar las componentes de los dos vectores unitarios que son perpendiculares ~ = (−1, 3, 4) y B ~ = (8, 1, −2). con A ~ y B. ~ Los vectores que necesitamos tienen El vector P~ hallado en 1) es ortogonal con A la misma direcci´oq n que P~ , con sentidos opuestos y deben tener m´odulo1. √ Como |P~ | = 22 + 342 + (−25)2 = 1785, entonces: los vectores unitarios con ~yB ~ ser´an: direcci´on perpendicular con A  2 34 25  ,√ , −√ P~1 = √ 1785 1785 1785  2 34 25  P~2 = −P~1 = − √ , −√ ,√ 1785 1785 1785

3.

Ejercicios

~ = −2~ı + 3~, B ~ = 5~ı − ~ y C ~ = 3~ı + 2~, representarlos gr´aficamente y 1. Dados A calcular: ~·B ~ ~ · C) ~ B ~ ~ + C) ~ ·B ~ ~ · (B ~ + C) ~ a) A b) (A c) (A d) A ~ = 5~ı + 12~ y B ~ = ~ı + u~ donde u es un escalar, hallar u tal que el 2. Dados A ~ ~ a´ngulo entre A y B sea π/3. ~ = t~ı − 2~ y B ~ = t~ı + 6~ con t escalar, hallar t tal A ~ y B ~ sean 3. Dados A ortogonales. Graficar los dos vectores. ~yB ~ forman un a´ngulo de π/3. Sabiendo que |A| ~ = 3 y |B| ~ = 4, 4. Los vectores A ~ + B|. ~ (Recordar que |A ~ + B| ~ 2 = (A ~ + B) ~ · (A ~ + B)). ~ calcular |A ~ = 3 y |B| ~ = 5, determinar t tal que los vectores A ~ + tB ~ yA ~ − tB ~ sean 5. Si |A| ortogonales. 6. a) Demostrar el teorema del coseno, enunciado en el trabajo te´orico-pr´actico 7. Tener en cuenta que los lados pueden considerarse como vectores que cumplan ~=B ~ − C. ~ Luego realizar el producto escalar A ~·A ~ = (B ~ − C) ~ · (B ~ − C), ~ de A esta igualdad se obtiene la f´ormula buscada. ~ B 



*     

 

P

~ C



R

~=B ~ −C ~ A

 -

Q

b) Del teorema anterior obtenga el teorema de Pit´agoras como caso particular. c) Resolver el tri´angulo de la figura siguiente:

PR = 12 

P

   ◦  24  



 

Q

R

RQ = 5

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7

~ colineal (m´ ~ = −3~ı + 2~ que satisface la 7. Hallar el vector C ultiplo escalar) con A ~ ·A ~ = 3. condici´on C ~ = 3~ı − 4~ + 6~k, B ~ = 2~ı + ~ − 7~k y C ~ = 3~ı + 4~ − ~k, calcular: 8. Dados A ~·B ~ ~ · C) ~ B ~ ~ + C) ~ ·B ~ ~ · (B ~ + C) ~ a) A b) (A c) (A d) A ~·A ~ ~ ·B ~ ~ ·C ~ e) A f) B g) C 9. La fuerza F~ tiene componentes F~ = (2, 2). Calcular el trabajo realizado por F~ sobre un objeto que se desplaza sobre una recta desde P (0, 1) hasta Q(2, 2). Graficar. 10. Calcular el trabajo realizado por la fuerza −3~k sobre un objeto que se desplaza desde P (1, 1, 4) hasta Q(2, 0, 5). Graficar. ~yB ~ forman un a´ngulo α = 2π/3. Sabiendo que |A| ~ = 3 y |B| ~ = 4. 11. Los vectores A Calcular: ~·B ~ ~ + B| ~ 2 ~ − 2B) ~ · (A ~ + 2B). ~ a) A b) |A c) (3A ~ = 3 y |B| ~ = 5, determinar x tal que A ~ + xB ~ yA ~ − xB ~ sean 12. Sabiendo que |A| ortogonales. ~ y B, ~ para que los vectores A ~+B ~ yA ~−B ~ 13. ¿Qu´e condici´on deben satisfacer A sean ortogonales? ~ colineal con A ~ = 3~ı + 2~ + 2~k que satisface la condici´on 14. Hallar el vector B ~ ~ A · B = 3. 15. Representar en un gr´afico los siguientes vectores: ~ 1 = 3~ı + 2~ + 0~k, A ~ 2 = 2~ı + 5~ + 0~k, A ~1 × A ~ 2, a) A ~ 1 = 3~ı + 0~ + 2~k, B ~ 2 = 4~ı + 0~ + 6~k, B ~1 × B ~ 2, b) B ~ 1 = 3~ı + 2~ + 0~k, C ~ 2 = 4~ı + 5~ + 3~k, C ~1 × C ~ 2, b) C

~2 × A ~1 A ~2 × B ~1 B ~2 × C ~1 C

~ = 3~ı + 2~ + 6~k y 16. Hallar dos vectores unitarios ortogonales a los vectores: a) A ~ = 3~ı + 2~ + 5~k. b) A ~ = 3~ı + 0~ + 0~k y B ~ = 0~ı + 2~ + 0~k. B ~ que es ortogonal con los vectores A ~ = 2~ı + 3~ − 1~k y B ~ = 17. Hallar el vector D ~ ~ ~ ~ ~ 1~ı − 2~ + 3k y satisface la condici´on D · C = 3, siendo C = 2~ı − 1~ + 1k. ~ = ~ı + ~; B ~ = −~ı + 2~; C ~ = 2~ı + 3~ + ~k, calcular: 18. Dados A ~×B ~ ~ ×A ~ ~ + B) ~ ×C ~ a) A b) B c) (A ~ − B) ~ × (C ~ − A) ~ ~ · B) ~ C ~ × (B ~ · C) ~ A. ~ d) (A e) (A 19. a) Demostrar el teorema del seno, enunciado en el trabajo te´orico-pr´actico 7. Tener en cuenta que los lados pueden considerarse como vectores que cumplan ~ +C ~ = B, ~ graficar. Realizar el producto vectorial A ~ ×B ~ =A ~ × (A ~ + C), ~ calA culando el m´odulo de esta igualdad se obtiene una parte de la f´ormula buscada, completar. b) Resolver el tri´angulo de la figura:

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MTHA UNLP  R     P R = 20     ◦  RQ =  30  

P

8

15

Q

~ = 3~ı + 2~ y 20. Hallar los dos vectores unitarios, ortogonales a los vectores A ~ ~ B = 3~ı + 2~ + 5k. 21. Hallar el ´area del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores: ~ = (1, 2, 0) y B ~ = (3, 2, 1) A 22. Graficar y hallar el a´rea del tri´angulo de v´ertices: P (3, 2, 3), Q(0, 2, 1), R(5, 3, 0).