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• Roberto Jesus Vera Leon

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c

  El 

 
o 

  de dos vectores y  en el espacio tridimensional se escribe  y se define como  = | | || cos g cuando   = cuando o aquí g (0 £ g £ P ) es el ángulo entre a y b (calculado cuando los vectores tienen sus puntos iniciales coincidentes).

El valor del 

 
 (escalar) es un escalar (un número real) y esto motiva el término 

  . El coseno del ángulo g puede ser positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al producto interior. Observamos que el coseno es cero cuando g 0.5 P = 90°. 
  

 . Dos vectores diferentes de cero son ortogonales sí, y sólo si, su producto interior (escalar) es cero. Se tienen las siguientes propiedades:

 

=



= cos g 

(q1 + q2)  

= q1  q2   Linealidad

. 

=  

Simetría

 



Ser positivo definido

 



sólo si 

( )

 

Distributividad

| |

£ | | ||

Desigualdad de Schwarz

| |

£ | | + ||

Desigualdad del Triángulo

| |2 + | |2

= 2(| |2 + ||2)

Igualdad del Paralelogramo

Si los vectores a y b se representan en términos de sus componentes: = a1 + a2 + a3

 = b1 + b2 + b3

su producto interior está dado por la siguiente fórmula = a1b1 + a2b2 + a3b3

c
 !  Consideremos dos vectores a y b diferentes de cero, denotando por g el ángulo entre ellos. El número real p = | | cos g se llama componente de a en la dirección de b o proyección de a en la dirección de b. Si a = 0 entonces g no está definido y se hace p = 0. |p| es la longitud de la proyección ortogonal de a sobre una recta l en la dirección de b. p puede ser positiva, cero o negativa.

A partir de lo anterior se ve que, en particular, las componentes de un vector en las direcciones de los vectores unitarios , ,  de la triada fundamental asociada con un sistema coordenado cartesiano son las componentes a1, a2, a3 de como se vio anteriormente. Esto indica que el término "componente" es simplemente una generalización.

c

"
 Ëarias aplicaciones sugieren la introducción de otro tipo de multiplicación vectorial en la que el producto de dos vectores sea nuevamente un vector. Este 

#
de los dos vectores y  se escribe $ y es un vector definido como sigue.



Si y  tienen la misma dirección, son opuestos o uno de ellos es el vector cero, entonces su producto vectorial es cero (#). En cualquier otro caso, # es el vector cuya longitud es igual al área del paralelogramo con y  como lados adyacentes y cuya dirección es perpendicular tanto a como a  y es tal que , , #, en ese orden, forman una terna derecha o triada derecha.

El término derecho se debe al hecho de que los vectores , , #, en ese orden, toman la misma orientación que los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha cuando se colocan como se muestra en la figura de al lado. También puede decirse qu si a se gira hacia la dirección de b , describiendo el ángulo a % c , entonces v avanza en la misma dirección que un tornillo de rosca derecha, si este se gira en el mismo sentido. El paralelogramo donde y  son los lados adyacentes tiene el área | | || sen g . Se obtiene |#| = | | || sen g El producto vectorial es anticonmutativo, si $# y $  &. Entonces |#| = |&| y para que , , & formen una terna derecha debe cumplirse que w = -v. De lo anterior se obtiene $ =  ( $)

La multiplicación vectorial de vectores no es conmutativa, sino anticonmutativa. El orden de los factores en un producto vectorial tiene gran importancia y debe observarse cuidadosamente. Propiedades: (k ) $ $ () ( ) x 

= = =

k( $) = $ (k) ( $)  ( $) ( $) + ($)

La multiplicación vectorial no es asociativa, es decir, $( $ '

¹

( $) $ 

Para calcular la longitud (magnitud) de un producto vectorial se puede emplear: | $|

=

c

"
 ( 
 )

  Considerando un sistema cartesiano derecho $

=

Respecto al primer renglón, debe tenerse presente que éste no es un determinante ordinario puesto que los elementos del primer renglón son vectores.

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Sean a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) y c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , entonces: a‡(b×c)=a1(b2c3±b3c2)+a2(b3c1±b1c3)+a3(b1c2±b 2c1) Teoremas

Sean a , b y c vectores, entonces: a‡(b×c)=b‡(c×a)=c‡(a×b) a‡(b×c)=(a×b)‡c | a ‡ ( b × c ) | = volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c. TRIPLE PRODUCTO ËECTORIAL A veces se define el producto mixto entre tres vectores , y como Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular también como el determinante de la matriz que se forma con las componentes de los vectores, es decir Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelepípedo formado con las aristas de los vectores , y , ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos que: donde no es sino el área de la base del paralelogramo (ver sección 4.3.4) y resulta ser la altura de dicho paralelepípedo. El área de la base por la altura nos da el volumen de este tipo de cuerpos geométricos.