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• Gustavo Talán González

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PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO PUNTO DE 2 VECTORES Y PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES CALCULO VECTORIAL

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES El producto escalar de u = (𝑢1 , 𝑢2 ) y v = (𝑣1 𝑣2 ) es: 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑣1 𝑢1 + 𝑣2 𝑢2

El producto escalar de u = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑣3 ), v = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) es: 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑣1 𝑢1 + 𝑣2 𝑢2 + 𝑣3 𝑢3

EJEMPLO: DADOS U=(2,-2), V=(5,8) Y W=(-4,3), ENCONTRAR: A) 𝒖 ∙ 𝒗 B) 𝒖 ∙ 𝒗 𝒘 C) 𝒖 ∙ (2𝒗)

D) 𝑊

2

SOLUCION:

a) 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝟐, −𝟐 ∙ 𝟓, 𝟖 = 𝟐 𝟓 + −𝟐 𝟖 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟔 = −𝟔 b) 𝒖 ∙ 𝒗 𝒘 = −𝟔 −𝟒, 𝟑 = (𝟐𝟒, −𝟏𝟖) c) 𝒖 ∙ 2𝒗 = 𝟐, −𝟐 ∙ 𝟐 𝟓, 𝟖 = 𝟐, −𝟐 ∙ 𝟏𝟎, 𝟏𝟔 = 𝟐 𝟏𝟔 + −𝟐 𝟏𝟔 = 𝟑𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟎 d)

𝑊

2

= 𝑤 ∙ 𝑤 = −4,3 ∙ −4,3 = −4 −4 + 3 3 = 16 + 9 = 25

ANGULO ENTRE DOS VECTORES Si 𝜃 es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces: cos 𝜃 =

𝑢∙𝑣 𝑢

𝑣

EJEMPLO: SI U=(3,-1,2), V=(-4,0,2), W=(1,-1,-2) Y Z=(2,0,-1), HALLAR EL ANGULO ENTRE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PARES DE VECTORES: A) U Y V B) U Y W C) V Y Z cos 𝜃 =

𝑢∙𝑣 𝑢

=

𝑣

3, −1, 2 ∙ (−4, 0, 2) 14 20

=

−12 + 0 + 4

=

280

−8 280

=

−4 70

𝜃 = 118.5608° = 2.0693 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

cos 𝜃 =

𝑢∙𝑤 𝑢

𝑤

=

3, −1, 2 ∙ 1, −1, −2 14 6

=

3+1−4 84

=

0 84

=0

𝜃 = 90° = 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

cos 𝜃 =

𝑣∙𝑧 𝑣

𝑧

=

−4, 0, 2 ∙ 2, 0, −1 20 5

=

−8 + 0 − 2 100

−10 = = −1 10

𝜃 = 180° = 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 ⇒ 𝑣 = −2𝑧

PROYECCION UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada por:

𝑢∙𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝒖 = 𝑣 2 |𝑣|

EJEMPLO: HALLAR LA PROYECCIÓN DE U EN V Y LA COMPONENTE VECTORIAL DE U ORTOGONAL A V DE LOS VECTORES U = 3I – 5J + 2K Y V = 7I + J – 2K. SOLUCION:

*PARA LA PROYECCION DE u EN v ES 𝑢∙𝑣 𝑤1 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝒖 = 𝑣= | 𝑣 |2 =

3, −5,2 ∙ 7,1, −2 54

3𝑖 − 5𝑗 + 2𝑘 ∙ 7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘

7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 = 2 = 9

54

21 − 5 − 4 54

2

7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘

7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 =

14 2 4 7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 = 𝑖+ 𝑗− 𝑘 9 9 9

12 54

7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘

*PARA LA COMPONENTE VECTORIAL DE u ORTOGONAL A v ES EL VECTOR 14 2 4 13 47 22 𝑤2 = 𝑢 − 𝑤1 = 3𝑖 − 5𝑗 + 2𝑘 − 𝑖+ 𝑗− 𝑘 = 𝑖− 𝑗+ 𝑘 9 9 9 9 9 9

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES Sean u = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 + 𝑢3 𝑘 y 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘 vectores en el espacio. El producto vectorial de u y v es el vector: 𝑢 × 𝑣 = 𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 𝑖 − 𝑢1 𝑣3 − 𝑢3 𝑣1 𝑗 + 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 𝑘 La demostración a esta fórmula se debe al siguiente caso: 𝑖 𝑢 × 𝑣 = 𝑢1 𝑣1

𝑗 𝑢2 𝑣2

𝑘 𝑢3 = 𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 𝑖 − 𝑢1 𝑣3 − 𝑢3 𝑣1 𝑗 + 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 𝑘 𝑣3

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO ESCALAR 1. 𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢 2. 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤 3. 𝑐 𝑢 × 𝑣 = 𝑐𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × 𝑐𝑣 4. 𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0 5. 𝑢 × 𝑢 = 0 6. 𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 = (𝑢 × 𝑣) ∙ 𝑤

EJEMPLO: DADOS U=I-2J+K Y V=3I+J-2K, HALLAR CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PRODUCTOS VECTORIALES: A) U×V B) V×U C) V×V SOLUCION: 𝑖 𝑗 𝑘 a) 𝑢 × 𝑣 = 1 −2 1 = 4𝑖 + 3𝑗 + 1𝑘 − −6𝑘 − 2𝑗 + 𝑖 3 1 −2 = 4𝑖 + 3𝑗 + 1𝑘 + 6𝑘 + 2𝑗 − 𝑖 = 𝟑𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟕𝒌 b) 𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢 = − 3𝑖 + 5𝑗 + 7𝑘 = −𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 − 𝟕𝒌 c) 𝑣 × 𝑣 = 𝟎

EJEMPLO: HALLAR UN VECTOR UNITARIO QUE ES ORTOGONAL TANTO A U=I-4J+K COMO A V=2I+3J SOLUCION: 𝑖 𝑢 × 𝑣 = 𝑢1 𝑣1

𝑗 𝑢2 𝑣2

𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑢3 = 1 −4 1 = 0𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 − −8𝑘 + 0𝑗 + 3𝑖 𝑣3 2 3 0

= 0𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 + 8𝑘 − 0𝑗 − 3𝑖 = −3𝑖 + 2𝑗 + 11𝑘

𝑢×𝑣 =

𝑢×𝑣 𝑢×𝑣

−3

=

2

+ 2

2

+ 11

−3𝑖 + 2𝑗 + 11𝑘 134

=

2

= 9 + 4 + 121 = 134

−𝟑𝒊 𝟏𝟑𝟒

+

𝟐𝒋 𝟏𝟑𝟒

+

𝟏𝟏𝒌 𝟏𝟑𝟒

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Para u = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 + 𝑢3 𝑘, 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘 y 𝑤 = 𝑤1 𝑖 + 𝑤2 𝑗 + 𝑤3 𝑘, el triple producto escalar está dado por:

𝑢1 𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 = 𝑣1 𝑤1

𝑢2 𝑣2 𝑤2

𝑢3 𝑣3 𝑤3

𝑢∙ 𝑣×𝑤 = 𝑢×𝑣 ∙𝑤 =𝑣∙ 𝑢×𝑤 Por lo regular está interpretado geométricamente en el volumen de un paralelepípedo.

EJEMPLO: CALCULAR EL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO QUE TIENE U = 3I - 5J + K, V = 2J - 2K Y W = 3I + J + K 3 𝑉 =𝑢∙ 𝑣×𝑤 = 0 3

=

−5 2 1

6 + 30 + 0 − 6 − 6 + 0

∴ 𝑉 = 36 𝑈 3

1 −2 1

= 36

BIBLIOGRAFIA

 LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

 Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097