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Geometr´ıa Anal´ıtica II Lectura 13

Ayudante: Guilmer Gonz´alez

D´ıa 2 de abril, 2009

El d´ıa de hoy veremos: 0. Comentarios sobre los trabajos u ´ltimos. 1. El triple producto vectorial

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El triple producto vectorial

Para los vectores ~a, ~b y ~c, en R3, el triple producto vectorial es un vector w ~ = ~a × (~b × ~c) Por una parte, ~b × ~c es perpendicular al plano formado por los vectores ~b y ~c, y, ya que w ~ = ~a × (~b × ~c) es perpendicular a ~b × ~c , entonces w ~ pertence al ~ plano formado por b y ~c:

Figura 1: El triple producto pertence al plano de ~b y ~c. ~a × (~b × ~c) = α~b + β~c 1

Por definici´on ~b × ~c =

~i ~j ~k b1 b2 b3 = (b2 c3 − b1 c3)~i + (b3c1 − b1c3 )~j + (b1 c2 − b2 c1)~k c1 c2 c3

luego ~k ~i ~j ~ ~a × (b × ~c) = a1 a2 a3 (b2 c3 − b1 c3) (b3c1 − b1c3 ) (b1 c2 − b2 c1 )



haciendo las cuentas,

~a × (~b × ~c) = [a2(b1 c2 − c1 b2) − a3 (c1b3 − B1c3 )]~i +[a3(b1 c2 − c1 b2) − a1 (b1c2 − c1b2 ]~j +[a1(c1 b3 − b1 c3) − a2 (b1c2 − c1b2 )]~k Ahora veamos que la primera componente tiene una forma muy particular

[a2(b1c2 − c1b2 ) − a3(c1 b3 − b1 c3)] = b1(a2 c2 + a3 c3) − c1 (a2b2 + a3b3) = b1(a2 c2 + a3 c3) − c1 (a2b2 + a3b3) +b1a1c1 − a1b1 c1 = (a1b1 + a2b2 + a3 c3)b1 − (a1b1 + a2b2 + a3 b3)c1 = (~a · ~c)b1 − (~a · ~c)c1 revisando las otras componente, observamos que [a3(b1c2 − c1 b2) − a1(b1 c2 − c1 b2] = (~a · ~c)b2 − (~a · ~c)c2 y

(a1 b1 + a2 b2 + a3c3 )b1 − (a1 b1 + a2 b2 + a3b3 )c1 = (~a · ~c)b3 − (~a · ~c)c3 2

con esto, el triple producto vectorial se escribe como ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b) · c Con ´esto podemos escribir las siguientes expresiones

~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c ~b × (~c × ~a) = (~b · ~a)~c − (~b · ~c)~a ~c × (~a × ~b) = (~c · ~b)~a − (~c · ~a)~b Observe las siguientes propiedades y muestre que eso ocurre: 1) (~a − ~b) × (~a + ~b) = 2~a × ~b 2) (~a × ~b) × (~c × ~b) = ~0, si est´an en el mismo plano. 3) ~a × (~b × ~c) + ~b × (~c × ~a) + ~c × (~a × ~b) = ~0, identidad de Jacobi. ~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ − (~a · d) ~ · (~b~c). 4) (~a × ~b) · (~c × d) ~ c − (~a · ~b × ~c)d~ 5) (~a × ~b) × (~c × ~b) = (~a · ~b × d)~ ~ se define a Resuelva el siguiente problema: La inducci´on magn´etica B ~ × B. ~ Se efectuaron tres trav´es de la ecuaci´on de la fuerza de Lorentz F~ = q V experimentos y se obtuvo que si: a) V~ = ~i, entonces

~ F q

= 2~k − 4~j

b) V~ = ~j, entonces

~ F q

= 4~i − ~k

c) V~ = ~k, entonces

~ F q

= ~j − 2~i

Para los resultados obtenidos, halle la inducci´on magn´etica.

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